精品解析：吉林长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高一下学期第四周周测数学试题

2025-2026学年下学期高一年级 （数学）学科大练习（四） 考试时间：90分钟 试卷满分：120分 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 化简：等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】. 2. 若非零向量满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由投影向量的定义可列出等式，求出向量与的夹角. 【详解】设向量与夹角为，则由题意可知，， 因为向量的夹角，所以. 故选：B. 3. 如图，在四边形ABCD中，，设，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的基底，利用向量的线性运算，结合几何图形求解即得. 【详解】依题意， . 故选：C 4. 向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：，我们称为极化恒等式.在△中，是中点，，，则（ ） A. 32 B. -32 C. 16 D. -16 【答案】D 【解析】 【分析】由题设有，代入极化恒等式求即可. 【详解】由题设，，， . 故选：D 5. 为平面上一动点，是平面上不共线的三点，且满足，则点的轨迹必过的（ ） A. 垂心 B. 外心 C. 内心 D. 重心 【答案】D 【解析】 【分析】由题意为平面内的动点，是平面内不共线的三点，满足，可得出必过的中点，由此可以得出点的轨迹一定过三角形的重心． 【详解】如图，设为边的中点，， ， 共线， 即点在底边的中线上． 故选：D． 6. 已知为所在平面内一点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量线性运算求解. 【详解】 . 7. 已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量模与夹角的公式得，进而结合向量的夹角范围求解即可. 【详解】因为是单位向量，且的夹角为， 所以， 又， 所以， 又，所以，所以. 故选：C. 8. 如图，在等腰直角三角形中，斜边，为线段上的动点（包含端点），为的中点．将线段绕着点旋转得到线段，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用转化法，将转化为或，进而求得的最小值. 【详解】解法一： 连接，则 ， 当时，最小，即， 结合，得的最小值为． 解法二（极化恒等式法）： 依题意，为线段的中点， 则 , 由于，，所以的最小值为． 故选:D 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，是两个非零向量，下列四个命题为真命题的是（ ） A. 若，则和的夹角为 B. 若，则和的夹角为 C. 若，则和方向相同 D. 若，则和b的夹角为钝角 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用向量加减法的几何意义，判断A、B的正误；两向量模的性质判断C，由向量的夹角与数量积间的关系判定判断D. 【详解】解：，，，构成等边三角形，A正确； 由向量加法的平行四边形法则可知，和的夹角为，B正确；，则与同向，C正确； 若，则和的夹角为钝角或者，D错误， 故选：ABC. 10. 已知函数，下列结论中正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称； B. 函数在区间上是单调增函数； C. 若函数的定义域为，则值域为 D. 函数的图象与的图象重合 【答案】AD 【解析】 【分析】依次判断各项，其中B中，函数应为单调减函数；C中，函数的值域为，可知此两项错误；A和D经验证，是正确的，由此可得结果. 【详解】对于A，，函数的图象关于直线对称，故A正确； 对于B，时，，函数在区间上是单调减函数，故B错误； 对于C，若函数的定义域为，，则值域为，故C错误； 对于D，，故D正确． 本题正确结果：AD 11. 已知、是平面上夹角为的两个单位向量，在该平面上，且，则下列结论中正确的有（ ） A. B. C. D. 与夹角是钝角 【答案】BC 【解析】 【分析】利用平面向量的数量积运算可判断AB选项的正误；作，，，分析得出点的轨迹，求出的最大值，可判断C；以、为邻边作平行四边形，求出取最大值时点的位置，可判断D. 【详解】对于A，， 故，故A错误； 对于B选项，， 故，故B正确； 对于CD选项，作，，， 则，， 因为，所以， 故点的轨迹是以为直径的圆，如下图所示： 设线段的中点为点，则，， 所以，，故C正确； 以、为邻边作平行四边形，则， 则为向量与的夹角， 当与圆相切时（此时点与点重合），此时，取得最大值， 连接，则，则为锐角，即与的夹角是锐角，故D错误. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 在平行四边形中，．设，请用表示_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算计算. 【详解】 . 故答案为：. 13. 已知，则______________． 【答案】 【解析】 【详解】由，得， 即 整理得：，即， 而，故，故答案为. 14. 已知平面向量满足，则与夹角的大小为______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用向量的运算律求得及，然后利用向量的夹角公式求解即可. 【详解】因为平面向量满足， 所以， 所以，即， 所以， 设与夹角为，则， 又，所以. 故答案为： 四、解答题：本大题共3小题，共47分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）若，求； （2）若，的夹角为，求； （3）若，求与的夹角为． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】(1)根据向量平行得到夹角，根据向量数量积的公式即可得； (2)根据向量模的求法及数量积计算可得； (3)根据向量垂直性质，及数量积可得夹角余弦值，进一步得到夹角. 【小问1详解】 若，则与夹角为0或． 所以或． 【小问2详解】 因为 ， 所以． 【小问3详解】 若，则，即， 所以， 即，所以， 又，所以． 16. 已知函数为奇函数．且图象的相邻两对称轴间的距离为． （1）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域． （2）设，若恒成立，求实数c的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据的性质得到，然后根据图象的平移变换得到，最后求值域即可； （2）利用换元法得到最大值，即可得到的范围. 【小问1详解】 , 因为为奇函数，所以，解得， 又，所以， 因为图象相邻两对称轴间的距离为，所以的最小正周期为， 所以，解得， 所以， 由题意得， 当时，，则， 所以的值域为. 【小问2详解】 ， 令， 则， 所以当时，取得最大值，最大值为， 因为恒成立，所以， 所以的最小值为. 17. 如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于两点． （1）用和表示； （2）设，实数，求的值； （3）如果是边长为的等边三角形，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的线性运算可得出、关于的表达式； （2）由、、三点共线并结合系数和为1的结论即可求解； （3）由向量数量积的运算律求出的表达式，利用基本不等式求最值即可. 【小问1详解】 因，所以，又因为的中点，所以， 所以． 【小问2详解】 因，所以， 又因，所以， 又因三点共线，所以，即． 【小问3详解】 设，由（1）（2）可知， 即． 因， ， 所以 ， 又因是边长为的等边三角形，所以， 所以化简得， 令，因，即， 当且仅当时，等号成立，所以． 因此， 又因为，所以， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期高一年级 （数学）学科大练习（四） 考试时间：90分钟 试卷满分：120分 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 化简：等于（ ） A B. C. D. 2. 若非零向量满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在四边形ABCD中，，设，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 向量数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：，我们称为极化恒等式.在△中，是中点，，，则（ ） A. 32 B. -32 C. 16 D. -16 5. 为平面上一动点，是平面上不共线的三点，且满足，则点的轨迹必过的（ ） A. 垂心 B. 外心 C. 内心 D. 重心 6. 已知为所在平面内一点，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在等腰直角三角形中，斜边，为线段上的动点（包含端点），为的中点．将线段绕着点旋转得到线段，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，是两个非零向量，下列四个命题为真命题是（ ） A. 若，则和的夹角为 B. 若，则和的夹角为 C. 若，则和方向相同 D. 若，则和b的夹角为钝角 10. 已知函数，下列结论中正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称； B. 函数在区间上是单调增函数； C. 若函数的定义域为，则值域为 D. 函数的图象与的图象重合 11. 已知、是平面上夹角为的两个单位向量，在该平面上，且，则下列结论中正确的有（ ） A. B. C. D. 与的夹角是钝角 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 平行四边形中，．设，请用表示_______． 13. 已知，则______________． 14. 已知平面向量满足，则与夹角的大小为______. 四、解答题：本大题共3小题，共47分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）若，求； （2）若，夹角为，求； （3）若，求与的夹角为． 16. 已知函数为奇函数．且图象的相邻两对称轴间的距离为． （1）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域． （2）设，若恒成立，求实数c的最小值． 17. 如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于两点． （1）用和表示； （2）设，实数，求的值； （3）如果是边长为的等边三角形，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $