精品解析：2026年湖北省部分学校九年级学情调研训练模拟预测数学试题

2026届九年级学情调研训练 数学 考生注意： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸作答无效． 4考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 2026年是马年，春晚的主题是“骐骥驰骋，势不可挡”，2026的相反数是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 下列国产软件图标属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. 米可智能 D. 通义千问 3. 下列各式计算正确的是( ) A. B. C. D. 4. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部“反面向上”这一事件是（　　） A. 随机事件 B. 确定性事件 C. 不可能事件 D. 必然事件 5. 下列关于x的一元一次不等式的解集在数轴上的表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图折叠一张长方形纸片，已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，则的长为 （　　） A. 3 B. 4 C. D. 8. 某餐厅中1张桌子可坐8人，按照下图方式将桌子拼在一起，张桌子拼在一起可坐（ ） A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 9. 如图，在中，，，按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧相交于点H，作射线；②分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧相交于点M，N，作直线，交射线于点O；③以点O为圆心，线段长为半径作圆．则的半径为（ ） A. 2.5 B. C. 2 D. 5 10. 抛物线（，，为常数，）经过，两点，下列四个结论： ①一元二次方程的根为，； ②若点，在该抛物线上，则； ③对于任意实数，总有； ④对于的每一个确定值，若一元二次方程（为常数，）的根为整数，则的值只有两个．其中正确的结论有几个（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 因式分解：x2－36= _________． 12. 当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值______． 13. 有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子“”“”“”“”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一枚，恰好翻到棋子“”的概率是________． 14. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置．已知一款机器狗的最快移动速度与载重后总质量的函数表达式为，当其载重后总质量时，它的最快移动速度___________． 15. 如图1，在菱形中，，E是边的中点，P是对角线上一动点，设的长度为x，与的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点，则菱形的边长为__________的值为__________． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 17. 如图，在正方形中，点，分别在边，上，且．求证：． 18. 如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处．这时，处距离灯塔有多远？（结果取整，） 19. 某校举办了“数学节”活动，通过开展趣味数学游戏、知识拓展、数学创意展示、数学素养竞赛等活动，展现数学魅力、传播数学文化，研究小组为了解学生数学素养竞赛的答题情况，从七、八年级各随机抽取了名学生的成绩（百分制）进行整理和分析．所有学生的成绩均高于分（成绩用表示，共分成四个等级：A：；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级名学生的成绩是： ，． 八年级名学生的成绩在B等级的数据是：． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 八年级所抽学生的竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中___________，___________，___________； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级哪个年级学生的数学素养竞赛成绩更好？请说明理由； （3）该校七年级有名学生、八年级有名学生参加了此次数学素养竞赛，估算该校七、八年级成绩为A等级的学生共有多少人？ 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 21. 如图，是半圆O的直径，点D是弦延长线上一点，连接，． （1）求证：是半圆O的切线； （2）当时，求的长． 22. 元旦联欢会上，小宇设计了一项抛掷乒乓球的游戏．如图1，向斜坡抛掷一个乒乓球，乒乓球从斜坡弹起，第一次落地后再一次弹起，第二次又落在地面上，如果把乒乓球看成点，乒乓球两次的飞行路线都可以近似看成某条抛物线的一部分． 如图2，小宇以斜坡底端为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，记弹起点为A，两次落地点分别为B，C，乒乓球飞行过程中距斜坡底端O的水平距离为，距地面的竖直高度为．如果乒乓球的弹起点为，第一次弹起时的最高点为，请帮助小宇求解下列问题： （1）求乒乓球第一次飞行路线对应的抛物线的解析式； （2）求乒乓球第一次落地点B距斜坡底端O的水平距离； （3）若乒乓球第二次飞行路线和第一次飞行路线的抛物线形状相同，且第二次落地点C距离第一次落地点B的水平距离是，如果规定乒乓球第二次弹起时达到的最高点距地面的竖直高度超过，则挑战成功，否则挑战失败，判断此次游戏小宇是否挑战成功，并说明理由． 23. 综合与实践 折纸是一项有趣的活动，在折纸过程中，我们通过研究图形的性质可以发展空间观念，在思考问题的过程中建立几何直观．在一次综合实践课上，小丽尝试将手中的矩形纸片进行折叠．如图（1），在矩形纸片中，，，折叠纸片使点落在点处，并使折痕经过点，得到折痕，把纸片展开，连接，． 【问题解决】 （1）如图（2），连接，在折叠过程中，当点恰好落在线段上时，求线段的长． （2）如图（3），连接，将矩形纸片折叠，使得点的对应点落在对角线上，并使折痕经过点，得到折痕，当点也落在对角线上时： 试判断四边形的形状，并说明理由； 求线段的长． 【拓展延伸】 （3）如图（4），当点为线段的中点时，延长交于点，连接，请直接写出与的数量关系和线段的长．（温馨提示：） 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点．点在抛物线上，且点的横坐标为．以点为中心，构造正方形，，且轴． （1）求该抛物线对应的函数表达式， （2）若点是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点作轴的平行线交抛物线于另一点，连结．当时，求点的坐标． （3）若，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标随的增大而增大或者随的增大而减小时，求的取值范围． （4）当抛物线与正方形的边只有个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届九年级学情调研训练 数学 考生注意： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸作答无效． 4考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 2026年是马年，春晚的主题是“骐骥驰骋，势不可挡”，2026的相反数是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由相反数的定义：绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数，可知，2026的相反数是． 【详解】解：∵绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数， ∴2026的相反数是． 故选：B． 2. 下列国产软件图标属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. 米可智能 D. 通义千问 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意． 3. 下列各式计算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案． 【详解】A、，正确； B、，故此选项错误； C、，故此选项错误； D、，故此选项错误． 故选A． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 4. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部“反面向上”这一事件是（　　） A. 随机事件 B. 确定性事件 C. 不可能事件 D. 必然事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了必然事件、随机事件、不可能事件的概念，掌握“必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．”是解题的关键． 根据不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件即可得出答案． 【详解】解：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部“反面向上”这一事件是随机事件， 故选：A． 5. 下列关于x的一元一次不等式的解集在数轴上的表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用数轴表示不等式的解集，先求出不等式的解集，定边界，定方向在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：∵， ∴， 在数轴表示如图： 故选B． 6. 如图折叠一张长方形纸片，已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据平行线的性质求出，然后根据折叠的性质得到的度数. 【详解】解：根据折叠得出，， ， ， ， ， ． 7. 如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，则的长为 （　　） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，利用勾股定理解直角三角形等知识点，解题的关键是熟练掌握旋转的性质及勾股定理． 利用旋转的性质得出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵,， ∴， 由旋转的性质可得，， 由勾股定理得, 故选：A． 8. 某餐厅中1张桌子可坐8人，按照下图方式将桌子拼在一起，张桌子拼在一起可坐（ ） A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，桌子左右两边坐的人数不变，都是6，人数可以增加的地方在上下两侧，6表示左右两侧人数，2表示一张桌子上下两侧人数，据此规律解题． 【详解】由题意得， 第一张桌子可坐人数：6+2= 第二张桌子可坐人数：6+2+2= 第三张桌子可坐人数：6+2+2+2= 第四张桌子可坐人数：6+2+2+2+2= 第五张桌子可坐人数：6+2+2+2+2+2= 依次类推， 第n张桌子可坐人数： 故选：B． 【点睛】本题考查数与形结合的规律、列代数式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 9. 如图，在中，，，按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧相交于点H，作射线；②分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧相交于点M，N，作直线，交射线于点O；③以点O为圆心，线段长为半径作圆．则的半径为（ ） A. 2.5 B. C. 2 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本作图得到AO平分∠BAC，MN垂直平分AB，利用等腰三角形的性质得到AO⊥BC，BD=CD=2，连接OB，如图，设⊙O的半径为r，利用勾股定理计算出AD=1，则OD=r-1，再利用勾股定理得到22+（r-1）2=r2，然后解方程即可． 【详解】由作法得AO平分∠BAC，MN垂直平分AB， 设AO交BC于D， ∵AB=AC， ∴AO⊥BC，BD=CD=BC=×4=2， 连接OB，如图，设⊙O的半径为r， 在Rt△ABD中，， 在Rt△OBD中，OB=r，OD=r-1， ∴22+（r-1）2=r2， 解得r=2.5， 即⊙O的半径为2.5． 故选：A． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的判定与性质和勾股定理． 10. 抛物线（，，为常数，）经过，两点，下列四个结论： ①一元二次方程的根为，； ②若点，在该抛物线上，则； ③对于任意实数，总有； ④对于的每一个确定值，若一元二次方程（为常数，）的根为整数，则的值只有两个．其中正确的结论有几个（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．根据二次函数与一元二次方程的关系判断①，由抛物线对称轴及二次函数性质判定②，根据抛物线平移特征判断③，根据平移特征和抛物线性质判定④． 【详解】解：①抛物线，，为常数，经过，两点， 一元二次方程的根为：，，则结论①正确； ②抛物线的对称轴为直线， 当时的函数值与的函数值相等， ， 当，随的增大而减小， ， ，②结论错误； ③当时，，则抛物线顶点的纵坐标为：，且， 将抛物线向下平移个单位得到新的抛物线解析式为： ，由二次函数图象特征可知，的图象位于轴下方，顶点恰好在轴上，即恒成立， 对于任意实数总有，即，③正确； ④将抛物线向下平移个单位长度得到抛物线解析式为，函数对应的一元二次方程， 若方程的根为整数，则其根只能是，或，或，对应的值只有三个，则结论④错误． 综上，结论正确的有①③． 故选：． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 因式分解：x2－36= _________． 【答案】（x＋6）（x－6） 【解析】 【分析】根据平方差公式解答即可． 【详解】解：x2－36=（x＋6）（x－6）； 故答案为：（x＋6）（x－6）． 【点睛】本题考查了多项式的因式分解，属于基础题目，掌握平方差公式是解答的关键． 12. 当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值______． 【答案】3（答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为正数的条件，解题的关键是根据分式值为正的条件列出不等式求解． 根据分式值为正数的条件列出不等式，求出的取值范围，再在范围内取一个值即可． 【详解】根据题意可得：． 解得：． 那么在这个范围内任取一个值都满足条件，例如． 故答案为：3（答案不唯一，满足即可） 13. 有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子“”“”“”“”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一枚，恰好翻到棋子“”的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解本题的关键．概率所求情况数与总情况数之比． 根据概率公式计算即可． 【详解】解：∵共有4枚棋子， ∴从中任意摸出一张，恰好翻到棋子“”的概率是． 故答案为： 14. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置．已知一款机器狗的最快移动速度与载重后总质量的函数表达式为，当其载重后总质量时，它的最快移动速度___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，将代入计算即可． 【详解】解：当 时，（m/s）． 故答案为 4． 15. 如图1，在菱形中，，E是边的中点，P是对角线上一动点，设的长度为x，与的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点，则菱形的边长为__________的值为__________． 【答案】 ①. 4 ②. 16 【解析】 【分析】连接，，，设交于点Q，由A、C关于对称，推出，推出，推出的最小值为的长，观察图象可知，当点P与B重合时，，推出，分别求出，的长，即可解决问题． 【详解】解：连接，，，设交于点Q， 在菱形中，，，且， ， 为等边三角形， ∴， 点E是边的中点， ， ∵A、C关于对称， ， ， ∴当A、P、E共线时，，的值最小． 观察图象可知，当点P与B重合时，， ， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的边长为4； ∴在中，， 的最小值为， 点H的纵坐标， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点H的横坐标， ． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】根据乘方，算术平方根和负整数指数幂的运算法则，进行计算即可． 【详解】解：． 17. 如图，在正方形中，点，分别在边，上，且．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质，运用全等转化思想．解题关键是利用正方形的边和角的性质证明三角形全等，进而通过线段的和差关系推导结论；易错点是对正方形性质理解不全面，或全等三角形的对应关系判断错误． 先根据正方形性质得出，，结合已知，证明，得到．再由正方形中，通过，推出． 【详解】证明：四边形是正方形， ． ， ， ， ，即． 18. 如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处．这时，处距离灯塔有多远？（结果取整，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．作于，根据余弦的定义求出，再根据余弦的定义求出即可． 【详解】解：作于， 由题意得，，，， 在中，， 在中，， 答：处距离灯塔有． 19. 某校举办了“数学节”活动，通过开展趣味数学游戏、知识拓展、数学创意展示、数学素养竞赛等活动，展现数学魅力、传播数学文化，研究小组为了解学生数学素养竞赛的答题情况，从七、八年级各随机抽取了名学生的成绩（百分制）进行整理和分析．所有学生的成绩均高于分（成绩用表示，共分成四个等级：A：；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级名学生的成绩是： ，． 八年级名学生的成绩在B等级的数据是：． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 八年级所抽学生的竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中___________，___________，___________； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级哪个年级学生的数学素养竞赛成绩更好？请说明理由； （3）该校七年级有名学生、八年级有名学生参加了此次数学素养竞赛，估算该校七、八年级成绩为A等级的学生共有多少人？ 【答案】（1），， （2）八年级学生成绩较好，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，用样本估计总体，平均数，中位数，众数． （1）根据众数和中位数的定义求解即可；求出八年级成绩为B等级的学生人数的占比，用可得的值； （2）七年级和八年级学生的平均数和众数相等，八年级学生的中位数较高，八年级学生成绩较好； （3）利用样本百分比估计总体百分比，分别计算出七、八年级学生成绩为A等级的学生的大约人数． 【小问1详解】 解：由七年级学生的成绩可知，分出现的次数最多，出现了次， 七年级成绩的众数为； 八年级学生的成绩在B等级的数据有个， 八年级学生的成绩在B等级的数据占总数的， 八年级学生的成绩在A等级的数据占； 八年级学生的成绩在A等级的人数有人， 由八年级学生的成绩在B等级的数据可知：把八年级学生成绩从高到低排列，第名成绩是，第名是， 八年级学生成绩的中位数是； 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：八年级学生成绩较好， 理由如下： 七年级和八年级学生的平均数和众数相等，八年级学生的中位数较高， 八年级学生成绩较好； 【小问3详解】 解：七年级名学生达到A等级的有人，占抽查总人数的， 八年级名学生达到A等级的占， 该校七、八年级成绩为A等级的学生共有人． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）k的值为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程相关问题，涉及一元二次方程判别式与根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程等知识，熟练掌握一元二次方程相关知识是解决问题的关键． （1）根据一元二次方程判别式与根的情况，证明即可得到答案； （2）由一元二次方程根与系数的关系得，根据题意，代入，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 证明：关于的一元二次方程， ， 方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：由一元二次方程根与系数的关系得， ， ， 解得：． 21. 如图，是半圆O的直径，点D是弦延长线上一点，连接，． （1）求证：是半圆O的切线； （2）当时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，等边三角形的判定和性质，弧长公式，熟知相关性质和计算公式是解题的关键． （1）根据直径所对的圆周角为直角结合已知条件，可得，即可得，进而可证得结论； （2）连接，证明为等边三角形，求得，利用弧长公式即可解答． 【小问1详解】 证明：是半圆O的直径， ， ， ， ， 是半圆O的切线； 【小问2详解】 解：如图，连接， ， 为等边三角形， ，， ， ． 22. 元旦联欢会上，小宇设计了一项抛掷乒乓球的游戏．如图1，向斜坡抛掷一个乒乓球，乒乓球从斜坡弹起，第一次落地后再一次弹起，第二次又落在地面上，如果把乒乓球看成点，乒乓球两次的飞行路线都可以近似看成某条抛物线的一部分． 如图2，小宇以斜坡底端为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，记弹起点为A，两次落地点分别为B，C，乒乓球飞行过程中距斜坡底端O的水平距离为，距地面的竖直高度为．如果乒乓球的弹起点为，第一次弹起时的最高点为，请帮助小宇求解下列问题： （1）求乒乓球第一次飞行路线对应的抛物线的解析式； （2）求乒乓球第一次落地点B距斜坡底端O的水平距离； （3）若乒乓球第二次飞行路线和第一次飞行路线的抛物线形状相同，且第二次落地点C距离第一次落地点B的水平距离是，如果规定乒乓球第二次弹起时达到的最高点距地面的竖直高度超过，则挑战成功，否则挑战失败，判断此次游戏小宇是否挑战成功，并说明理由． 【答案】（1） （2）乒乓球第一次落地点B距斜坡底端O的水平距离为 （3）小宇挑战成功，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）用顶点式表示出抛物线解析式，进而把点A的坐标代入可得二次项系数； （2）取（1）中得到的抛物线的解析式中的y等于0，求得合适的x的值即可求得乒乓球第一次落地点B距斜坡底端O的水平距离； （3）判断出新的抛物线的二次项系数和对称轴，设出函数解析式，进而把点B的坐标代入可得抛物线顶点的纵坐标，与1比较即可判断小宇是否挑战成功． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为：， ∵经过点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，， 解得：（不合题意，舍去）． ∴点B坐标为， ∴． 答：乒乓球第一次落地点B距斜坡底端O的水平距离为； 【小问3详解】 小宇挑战成功． 理由：∵点C距离点B的水平距离是，点B坐标为， ∴点C坐标为， ∴乒乓球第二次飞行路线的对称轴为：直线， ∵乒乓球第二次飞行路线和第一次飞行路线的抛物线形状相同， ∴设抛物线的解析式为：， ∵经过点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∵， ∴小宇挑战成功． 23. 综合与实践 折纸是一项有趣的活动，在折纸过程中，我们通过研究图形的性质可以发展空间观念，在思考问题的过程中建立几何直观．在一次综合实践课上，小丽尝试将手中的矩形纸片进行折叠．如图（1），在矩形纸片中，，，折叠纸片使点落在点处，并使折痕经过点，得到折痕，把纸片展开，连接，． 【问题解决】 （1）如图（2），连接，在折叠过程中，当点恰好落在线段上时，求线段的长． （2）如图（3），连接，将矩形纸片折叠，使得点的对应点落在对角线上，并使折痕经过点，得到折痕，当点也落在对角线上时： 试判断四边形的形状，并说明理由； 求线段的长． 【拓展延伸】 （3）如图（4），当点为线段的中点时，延长交于点，连接，请直接写出与的数量关系和线段的长．（温馨提示：） 【答案】（1）（2）四边形是平行四边形，见解析 （3）与的数量关系为，线段的长为 【解析】 【分析】（1）利用四边形是矩形得到，由折叠的性质得，，，，所以，，再根据勾股定理求出，即可得解； （2）利用四边形是矩形得到，由折叠的性质可知，，，，， 证明得到，再结合，即可求解； 根据勾股定理得，证明得到，代入数据，即可求解； （3）根据点是的中点以及折叠的性质可得，再根据得，所以，利用勾股定理得，连接交于点，则，证明得，代入数据求出，即可求解． 【详解】（1）四边形是矩形， ，，， ， 由折叠可知，，，，， ，， ，， ； （2）四边形是平行四边形， 理由：四边形是矩形， ，，， ， 由折叠的性质可知，，，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形； 在中，，， ， ， ， 又， ， ， ， ； （3）与的数量关系为，线段的长为， 点是的中点， ， 由折叠的性质可知，， ， ， 易知， ， ， 在中，由勾股定理得，， 如图，连接交于点，则， 又点是的中点， 是的中位线， ， 易证， ，即， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、相似三角形的判定与性质、中位线定理等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点．点在抛物线上，且点的横坐标为．以点为中心，构造正方形，，且轴． （1）求该抛物线对应的函数表达式， （2）若点是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点作轴的平行线交抛物线于另一点，连结．当时，求点的坐标． （3）若，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标随的增大而增大或者随的增大而减小时，求的取值范围． （4）当抛物线与正方形的边只有个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）或或 【解析】 【分析】（1）将点代入，解方程求得，进而得到函数表达式； （2）利用抛物线对称轴，设点的坐标为，由对称性得点的坐标，根据列方程求解，得到点的坐标； （3）分两种情况：①抛物线在正方形内随增大而增大时，正方形点在轴上；②随增大而减小时，经过抛物线的对称轴，综合得取值范围； （4）分三类交点情况：①当点在抛物线对称轴左侧，轴左侧，利用中心对称得​；②当点在抛物线对称轴左侧，轴右侧时，代入抛物线方程得；③当点在抛物线对称轴的右侧时，联立直线与抛物线方程得． 【小问1详解】 解：抛物线（b是常数）经过点， ， 解得， 抛物线对应的函数表达式为． 【小问2详解】 解：如图，由，则对称轴为直线， 设点的坐标为，由点与点关于轴对称， 则点的横坐标为，则点的坐标为， ，解得， ． 【小问3详解】 解：以点为中心，构造正方形， 点在抛物线上，且点的横坐标为，，且轴， ，且，在轴上， ①当抛物线在正方形内部的点的纵坐标随的增大而增大时，如图，当正方形点在轴上时，此时与点重合， ， 的解析式为， ，将代入，即， 解得，， ， ，观察图形可知，当时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标随的增大而增大； ②当抛物线在正方形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，如图，当经过抛物线的对称轴时， ，， ，解得， 观察图形可知，当时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标随的增大而减小； 综上所述，的取值范围为或． 【小问4详解】 解：①如图，当点在抛物线对称轴左侧，轴左侧， 设正方形与抛物线的交点分别为，，当时，则， 是正方形的中心， 设点的坐标为， ， 即， ②如图，当点在抛物线对称轴左侧，轴右侧时， ， ， ， 交点的纵坐标之差为， 的纵坐标为， 的横坐标为， ， 在抛物线上， ， 解得； ③当在抛物线对称轴的右侧时，正方形与抛物线的交点分别为，，设直线交轴于点，如图， 则， ， 即：，， 设直线解析式为， 可得， 解得， 直线解析式为， 令，解得，（舍去）， 即的横坐标为，即， 综上所述，或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $