7.3 复数的三角表示同步检测-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

7.3* 复数的三角表示同步检测-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： （满分：100分）（单选题、填空题每题5分；多选题每题6分） 一、选择题 1．将复数1－i化成三角形式，正确的是（ ） A．2 B．2 C．2 D．2 2．已知复数z＝sin －icos ，若zn＝ (n∈N且n≥2），则n的最小值是（ ） A．1 B．3 C．5 D．7 3．复数4·的结果是（ ） A．2 B．2 C．2 D．8 4．（多选）下列复数是三角形式的是（ ） A．5 B．2 C．3 D．2 5．（多选）2÷的三角形式是（ ） A．2 B． C． D． 6．设复数2－i和3－i的辐角的主值分别为α和β，则α＋β等于（ ） A．135° B．315° C．675° D．585° 7．复数－i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是（ ） A．±i B．－±i C．±＋i D．±－i 8．（多选）已知复数z＝cos ＋isin，则下列关于复数z的结论中正确的是（ ） A．|z|＝1 B．＝cos ＋isin C．复数z是方程x3－1＝0的一个根 D．复数－z的辐角的主值为－ 9．（多选）已知复数z＝－＋i(i为虚数单位），则下列说法中正确的是（ ） A．z3＝1 B．z2＝z C．z2＋z＋1＝0 D．z＋z2＋…＋z2 024＝0 10．（多选）已知单位向量，分别对应复数z1，z2，且·＝0，则可能为（ ） A．i B．1 C．－1 D．－i 二、填空题 11．写出一个arg z＝的复数：________． 12．·＝________(结果化为代数形式）． 13．设z＝(－3＋3i）n，n∈N*．当z∈R时，n的最小值为________． 三、解答题 14．（7分）已知复数z＝2＋3i，是z的共轭复数，求复数u＝z－i的辐角的主值与模． 15．（8分）把下列复数化为三角形式． （1）－＋i；（2）－1＋i；（3）4＋4i；（4）－4－4i． 16．（15分）计算(结果化为代数形式）： （1）4÷； （2）； （3）． 7.3* 复数的三角表示同步检测-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： （满分：100分）（单选题、填空题每题5分；多选题每题6分） 一、选择题 1．将复数1－i化成三角形式，正确的是（ ） A．2 B．2 C．2 D．2 解析：C　|1－i|＝2，又(1，－）在第四象限且tan θ＝－，故arg(1－i）＝．所以化成三角形式为2． 2．已知复数z＝sin －icos ，若zn＝ (n∈N且n≥2），则n的最小值是（ ） A．1 B．3 C．5 D．7 解析：C　z＝sin －icos ＝cos ＋isin，＝cos ＋isin ＝＝cos ＋isin，由于n∈N且n≥2，∴n最小值为5． 3．复数4·的结果是（ ） A．2 B．2 C．2 D．8 解析：C　原式＝4·＝ 2＝2． 4．（多选）下列复数是三角形式的是（ ） A．5 B．2 C．3 D．2 解析：BC　由复数三角形式的结构特征判断，A中角不同，D中cos 前是负号，故A，D都不是三角形式，B，C符合复数三角形式的要求． 5．（多选）2÷的三角形式是（ ） A．2 B． C． D． 解析：BC　原式＝＝＝＝． 6．设复数2－i和3－i的辐角的主值分别为α和β，则α＋β等于（ ） A．135° B．315° C．675° D．585° 解析：C　依题意复数2－i和3－i的辐角的主值分别为α和β，所以cos α＝，sin α＝－，cos β＝，sin β＝－，所以cos (α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝，因为270°<α<360°，270°<β<360°，所以540°<α＋β<720°，所以α＋β＝675°． 7．复数－i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是（ ） A．±i B．－±i C．±＋i D．±－i 解析：D　－i＝cos ＋isin ，－i的立方根为cos ＋isin(其中k＝0，1，2），当k＝0时，得cos ＋isin＝i；当k＝1时，得cos ＋sin ＝－－i；当k＝2时，得cos ＋sin ＝－i．故选D． 8．（多选）已知复数z＝cos ＋isin，则下列关于复数z的结论中正确的是（ ） A．|z|＝1 B．＝cos ＋isin C．复数z是方程x3－1＝0的一个根 D．复数－z的辐角的主值为－ 解析：ABC　∵z＝－＋i，∴|z|＝＝1，故A正确；∵＝－－i＝cos ＋isin，故B正确；∵z3＝cos ＋isin＝1，∴z3－1＝0，故C正确；∵－z＝－i，∴复数－z的辐角的主值为，故D错误．故选ABC． 9．（多选）已知复数z＝－＋i(i为虚数单位），则下列说法中正确的是（ ） A．z3＝1 B．z2＝z C．z2＋z＋1＝0 D．z＋z2＋…＋z2 024＝0 解析：AC　由z＝－＋i＝cos ＋isin，A：z3＝cos 2π＋isin 2π＝1，正确；B：z2＝cos ＋isin＝－cos －isin＝－－i≠z，错误；C：由B知z2＋z＋1＝－－i－＋i＋1＝0，正确；D：z＋z2＋…＋z2 024＝(z＋z4＋…＋z2 020＋z2 023）(1＋z＋z2）－z2 025＝－(z3）675＝－1，错误．故选AC． 10．（多选）已知单位向量，分别对应复数z1，z2，且·＝0，则可能为（ ） A．i B．1 C．－1 D．－i 解析：AD　因为单位向量，分别对应复数z1，z2，设复数z1＝cos θ1＋isin θ1，z2＝cos θ2＋isin θ2，因为·＝0，所以⊥，即θ1－θ2＝±，所以＝＝cos (θ1－θ2）＋isin(θ1－θ2）＝cos ＋isin＝±i．故选AD． 二、填空题 11．写出一个arg z＝的复数：________． 答案：z＝＋i(答案不唯一） 解析：由题设z＝r(cos θ＋isin θ），且θ＝arg z＝，而r≥0，所以z＝cos ＋isin＝＋i满足要求． 12．·＝________(结果化为代数形式）． 答案：－3－3i 解析：原式＝3＝3＝－3－3i． 13．设z＝(－3＋3i）n，n∈N*．当z∈R时，n的最小值为________． 答案：4 解析：z＝(－3＋3i）n＝＝6n∈R，∴sin ＝0，∴＝kπ(k∈Z），∴n＝k(k∈Z），又n∈N*，∴n的最小值为4． 三、解答题 14．（7分）已知复数z＝2＋3i，是z的共轭复数，求复数u＝z－i的辐角的主值与模． 解：∵z＝2＋3i，∴＝2－3i，∴u＝2＋3i－i(2－3i）＝2＋3i－2i－3＝－1＋i，u对应的点为(－1，1），在第二象限，又tan θ＝－1，∴arg u＝π，|u|＝|－1＋i|＝． 15．（8分）把下列复数化为三角形式． （1）－＋i；（2）－1＋i；（3）4＋4i；（4）－4－4i． 解：（1）－＋i＝2＝2． （2）－1＋i＝2＝2． （3）4＋4i＝4＝4． （4）－4－4i＝4＝4． 16．（15分）计算(结果化为代数形式）： （1）4÷； （2）； （3）． 解：（1）4÷ ＝2 ＝2＝2i． （2）＝＝ ＝＝ ＝－＋i． （3）∵1＋i＝2，－＋i＝2， 1＋i＝， －1－i＝， －1＋i＝， ∴＝ ＝2[cos ＋isin] ＝2＝＋i． 学科网（北京）股份有限公司 $