8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： 基础过关练 一、单项选择题 1．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于 （ ） A. B．1 C．2 D．3 2．圆锥的母线长扩大到原来的n倍，底面半径缩小为原来的，那么它的侧面积变为原来的 （ ） A．1倍 B．n倍 C．n2倍 D．倍 3．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为 （ ） A.2 B．2 C．4 D．8 4．如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为 （ ） A．5π B．6π C．20π D．10π 5．某种药物呈胶囊形状，该胶囊中间部分为圆柱，左右两端均为半径为1的半球．已知该胶囊的体积为π，则它的表面积为 （ ） A.π B．π C．10π D．π 二、多项选择题 6．圆台的上、下底面半径分别为10和20，它的侧面展开所得的扇环所对的圆心角为180°，则圆台的 （ ） A．母线长为20 B．表面积为1100π C．高为10 D．体积为 7．在南方不少地区，经常看到人们头戴一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，随着旅游和文化交流活动的开展，斗笠也逐渐成为了一种时尚旅游产品．有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，根据人的体形、高矮等制作成大小不一的型号供人选择使用，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长(母线长)和帽底宽(底面圆直径长)两个指标进行衡量，现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长20厘米，帽底宽20厘米，关于此斗笠，下面说法正确的是 （ ） A．若每100平方厘米的斗笠面需要价值1元的材料，此斗笠的制作费为2π元 B．用此斗笠盛水，则需要1000π立方厘米的水才能将斗笠装满 C．斗笠轴截面(过顶点和底面中心的截面图形)的顶角为120° D.过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为100平方厘米 三、填空题 8．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________． 9．若干毫升水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6 cm，若将这些水全部倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是________cm. 四、解答题 10．如图所示，四边形ABCD是直角梯形，其中AD⊥AB，AD∥BC，若将图中阴影部分绕AB所在直线旋转一周． （1）求阴影部分形成的几何体的表面积； （2）求阴影部分形成的几何体的体积． 11．如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积． 能力提升练 12．（多选）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图1).图2是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧，所在圆的半径分别是3和9，且∠ABC＝120°，则该圆台的 （ ） A．高为4 B．体积为π C．表面积为34π D．上底面积、下底面积和侧面积之比为1∶9∶22 13．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________． 14．如图是一款中空的正三棱柱冰淇淋模具，其内壁恰好是球体的表面，且内壁与棱柱的每一个面都相切(内壁厚度忽略不计)，店家可以将不同口味的冰淇淋放入该模具中，再通过按压的方式得到球形冰淇淋．已知该模具底部边长为3 cm. （1）求内壁的面积； （2）求制作该模具所需材料的体积； （3）求模具顶点到内壁的最短距离． 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： 基础过关练 一、单项选择题 1．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于 （ ） A. B．1 C．2 D．3 解析：设球的半径为R，则4πR2＝πR3，所以R＝3. 答案：D 2．圆锥的母线长扩大到原来的n倍，底面半径缩小为原来的，那么它的侧面积变为原来的 （ ） A．1倍 B．n倍 C．n2倍 D．倍 解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则侧面积S＝πrl，变化后其底面半径为r，母线长为nl，故此时侧面积S′＝π·r·nl＝πrl，所以S′＝S.故选A. 答案：A 3．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为 （ ） A.2 B．2 C．4 D．8 解析：设圆台的母线长为l，上、下底面半径分别为r，R，圆台的轴截面如图，由题意知，l＝(r＋R)，圆台的侧面积S圆台侧＝π(r＋R)·l＝π·2l·l＝32π，∴l＝4. 答案：C 4．如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为 （ ） A．5π B．6π C．20π D．10π 解析：用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.故选D. 答案：D 5．某种药物呈胶囊形状，该胶囊中间部分为圆柱，左右两端均为半径为1的半球．已知该胶囊的体积为π，则它的表面积为 （ ） A.π B．π C．10π D．π 解析：设中间圆柱部分的高为h，则胶囊的体积V＝π×13＋π×12×h＝，解得h＝3，所以胶囊的表面积为4π×12＋2π×1×3＝10π.故选C. 答案：C 二、多项选择题 6．圆台的上、下底面半径分别为10和20，它的侧面展开所得的扇环所对的圆心角为180°，则圆台的 （ ） A．母线长为20 B．表面积为1100π C．高为10 D．体积为 解析：如图所示，设圆台的上底面周长为C，因为扇环所对的圆心角为180°，所以C＝π·SA，又C＝10×2π，所以SA＝20，同理SB＝40，故圆台的母线AB＝SB－SA＝20，高h＝＝10，体积V＝π×10×(102＋10×20＋202)＝，表面积S＝π(10＋20)×20＋100π＋400π＝1100π. 答案：ABD 7．在南方不少地区，经常看到人们头戴一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，随着旅游和文化交流活动的开展，斗笠也逐渐成为了一种时尚旅游产品．有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，根据人的体形、高矮等制作成大小不一的型号供人选择使用，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长(母线长)和帽底宽(底面圆直径长)两个指标进行衡量，现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长20厘米，帽底宽20厘米，关于此斗笠，下面说法正确的是 （ ） A．若每100平方厘米的斗笠面需要价值1元的材料，此斗笠的制作费为2π元 B．用此斗笠盛水，则需要1000π立方厘米的水才能将斗笠装满 C．斗笠轴截面(过顶点和底面中心的截面图形)的顶角为120° D.过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为100平方厘米 解析：如图所示，由题意知，PA＝20厘米，AB＝20厘米．对于A，圆锥的侧面积S＝πrl＝π×10×20＝200π(平方厘米)，所以若每100平方厘米的斗笠面需要价值1元的材料，此斗笠的制作费为2π元，故正确；对于B，PO＝＝10(厘米)，圆锥的体积V＝πr2·PO＝×π×(10)2×10＝1000π(立方厘米)，所以用此斗笠盛水，则需要1000π立方厘米的水才能将斗笠装满，故正确；对于C，sin ∠APO＝＝＝，则∠APO＝60°，所以∠APB＝120°，所以斗笠轴截面(过顶点和底面中心的截面图形)的顶角为120°，故正确；对于D，由C知斗笠轴截面(过顶点和底面中心的截面图形)的顶角为120°，所以过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积S＝×20×20×sin 90°＝200(平方厘米)，故错误． 答案：ABC 三、填空题 8．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________． 解析：由正方体的体积为8可知，正方体的棱长a＝2.又正方体的体对角线是其外接球的一条直径，即2R＝a(R为正方体的外接球半径)，所以R＝，故该球的表面积S＝4πR2＝12π. 答案：12π 9．若干毫升水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6 cm，若将这些水全部倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是________cm. 解析：水的体积V＝π×22×6＝24π(cm3).设圆锥中水的底面半径为r，则水的高度为r，∴πr2·r＝24π，∴r3＝24.∴(r)3＝216，∴r＝6，即圆锥中水面的高度为6 cm. 答案：6 四、解答题 10．如图所示，四边形ABCD是直角梯形，其中AD⊥AB，AD∥BC，若将图中阴影部分绕AB所在直线旋转一周． （1）求阴影部分形成的几何体的表面积； （2）求阴影部分形成的几何体的体积． 解：（1）由题意知所求旋转体的表面由三部分组成：圆台下底面、侧面和半球面， S半球＝×4π×22＝8π， S圆台侧＝π×(2＋5)×＝35π， S圆台下底＝π×52＝25π. 故所求几何体的表面积为8π＋35π＋25π＝68π. （2）V圆台＝×[π×22＋＋π×52]×4＝52π，V半球＝π×23×＝π， 故所求几何体的体积为V圆台－V半球＝52π－π＝π. 11．如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积． 解：如图，设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r.则R＝OC＝2，AC＝4，AO＝＝＝2，AE＝AO－＝，易知△AEB∽△AOC，∴＝，即＝，∴r＝1， 则圆柱的底面积S底＝2πr2＝2π， 圆柱的侧面积S侧＝2πr·h＝2π. ∴S＝S底＋S侧＝2π＋2π＝(2＋2)π. 能力提升练 12．（多选）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图1).图2是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧，所在圆的半径分别是3和9，且∠ABC＝120°，则该圆台的 （ ） A．高为4 B．体积为π C．表面积为34π D．上底面积、下底面积和侧面积之比为1∶9∶22 解析：设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，则2πr＝×2π×3，2πR＝×2π×9，解得r＝1，R＝3.圆台的母线长l＝6，圆台的高h＝＝4，选项A正确；圆台的体积V＝π×4×(32＋3×1＋12)＝π，选项B错误；圆台的上底面面积为π，下底面面积为9π，侧面积为π(1＋3)×6＝24π，则圆台的表面积为π＋9π＋24π＝34π，选项C正确；由选项C可知圆台的上底面积、下底面积和侧面积之比为1∶9∶24，选项D错误，故选AC. 答案：AC 13．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________． 解析：设球的半径为R，则圆柱和圆锥的高均为2R，则V圆柱＝2π·R3，V圆锥＝π·R3，V球＝π·R3，故圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2. 答案：3∶1∶2 14．如图是一款中空的正三棱柱冰淇淋模具，其内壁恰好是球体的表面，且内壁与棱柱的每一个面都相切(内壁厚度忽略不计)，店家可以将不同口味的冰淇淋放入该模具中，再通过按压的方式得到球形冰淇淋．已知该模具底部边长为3 cm. （1）求内壁的面积； （2）求制作该模具所需材料的体积； （3）求模具顶点到内壁的最短距离． 解：（1）由题意得，内壁的面积就等于内切球的表面积，如图，过侧棱的中点作正三棱柱的截面，则球心为△MNG的中心． 因为MN＝3，所以△MNG内切圆的半径r＝OH＝MH＝＝×＝， 即内切球的半径R＝，所以内切球的表面积S球＝4πR2＝3π cm2. （2）由题意得，模型的体积等于棱柱的体积减去内切球的体积，由（1）得，正三棱柱的高h＝AA1＝2R＝. 因为V棱柱＝S底·h＝×32××＝ cm3，V球＝πR3＝π×()3＝π cm3，所以V模具＝V棱柱－V球＝(－π)cm3. （3）由题得，OM＝2OH＝，所以AO＝＝＝，所以A到球面上的点的距离最小值为AO－R＝ cm. 学科网（北京）股份有限公司 $