精品解析：浙江杭州市余杭第二高级中学（杭州市临平第二高级中学）2025-2026学年高二下学期3月阶段检测数学试题

2025学年第二学期杭州市余杭第二高级中学3月阶段检测 高二数学学科试题 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷. 第I卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数，则复数在复平面内的对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若 为一组从小到大排列的数1，2，3，5，7，8，11的第上四分位数，则二项式的展开式的常数项是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 过抛物线的焦点，且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 有两个盒子，第一个盒子恰有1个红球，4个黄球，第二个盒子恰有2个红球，3个黄球．现从这两个盒子中等可能地选择一个盒子，然后从中任意摸出2个球，则这2个球都是黄球的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数为自然对数的底数， ），若直线 是图象的切线，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 7. 长方体中，，点分别是棱和的中点，点在侧面（包括边界）移动．若，则异面直线与所成角的余弦值的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 某平面四边形中，， ，，设 ，.当 的面积取得最大值时，的值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则 C. 若，则与相互独立 D. 若，则 10. 已知，且 ，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知曲线，点在曲线上，下列说法正确的有（ ） A. 曲线是中心对称图形 B. 若，则有最大值，无最小值 C. 存在两个定点，使得为定值 D. 若直线与曲线交于两点，与轴交于点，与直线交于点，则 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 用0，1，2，3，4，5六个数字组成无重复数字的四位数，则共可组成_______个四位数． 13. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为_______． 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上， 是的中点，且满足，则的离心率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）若，求； （2）若，求的面积. 16. 某科技公司研发了一款用于医疗影像辅助诊断的AI算法，为了测试该算法的准确性，工程师准备了一组包含25张正常样本和75张异常样本的100张医学影像，算法对每张影像进行独立识别与判断，根据初步测试，算法的判断准确率如下： 当影像为正常样本时，算法判断为“正常”的概率为， 当影像为异常样本时，算法判断为“异常”的概率为. （1）从这100张影像中随机抽取2张，求2张均为正常样本的概率； （2）现从100张影像中随机抽取3次，每次抽取1张影像进行测试，每次抽取并测试后放回，用随机变量表示这3次测试中算法正确判断的次数，求随机变量的分布列及其数学期望 . 17. 在四棱锥 中，底面为菱形， ，是的中点，. （1）当时，证明：平面 ； （2）若与平面 所成角的正弦值为，求平面 与平面夹角的余弦值. 18. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为 上有两个不同动点. （1）若直线过点，求证：； （2）已知定点，若线段的长度依次成等差数列； （i）求证：线段的垂直平分线经过一个定点； （ii）若（i）中的定点到原点的距离为，求面积的最大值. 19. 已知函数． （1）若，求函数的单调区间； （2）对任意 ，不等式恒成立，求a的取值范围； （3）对任意，不等式恒成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期杭州市余杭第二高级中学3月阶段检测 高二数学学科试题 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷. 第I卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简集合 ，再根据交集的概念求解即可. 【详解】集合，集合， 则. 故选：C 2. 复数，则复数在复平面内的对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】， 则复数在复平面内的对应点为，则其位于第四象限. 3. 若 为一组从小到大排列的数1，2，3，5，7，8，11的第上四分位数，则二项式的展开式的常数项是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】利用百分位数的概念计算，再利用二项式展开式通项公式求常数项即可. 【详解】因为， 所以的第上四分位数是，即， 则， 由解得， 所以常数项为， 故选：D. 4. 过抛物线的焦点，且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的焦点坐标和直线垂直的斜率关系求解. 【详解】抛物线的焦点为， 设与直线垂直的直线方程为， 代入，可得，故所求直线方程为， 即. 故选：B. 5. 有两个盒子，第一个盒子恰有1个红球，4个黄球，第二个盒子恰有2个红球，3个黄球．现从这两个盒子中等可能地选择一个盒子，然后从中任意摸出2个球，则这2个球都是黄球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由全概率公式即可求解. 【详解】设 表示取得的2个球都是黄球， 表示选择第一个盒子， 表示选择第二个盒子； 所以， 故选：C 6. 已知函数为自然对数的底数， ），若直线 是图象的切线，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设切点坐标，由题意可得且，求解即可. 【详解】设切点坐标为， ， 则且， 解得 ，再代入， 可得：， 故选：D 7. 长方体中，，点分别是棱和的中点，点在侧面（包括边界）移动．若，则异面直线与 所成角的余弦值的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标运算公式结合基本不等式即可求出结果. 【详解】在长方体中，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系 . 设是的中点，所以. 设，， 因为，所以，所以， 设异面直线与 所成角为， 因为异面直线成角的范围是， 则， 因为，所以，当且仅当时取等号， ， 因此，异面直线与 所成角的余弦值的最大值为. 故选：A. 8. 某平面四边形中，， ，，设 ，.当 的面积取得最大值时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理和正弦定理并将面积表示为三角函数关系，再结合二倍角的正弦，降幂公式，辅助角公式以及正弦函数的取值求最大值. 【详解】 在 中，由余弦定理得， 所以 ， 因为， ， 所以，所以, 在 由正弦定理得， 所以 因为 所以 ， 因为所以所以当即时， 此时 的面积取得最大值. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若 与 互斥，则 B. 若 与 相互独立，则 C. 若，则 与 相互独立 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由互斥事件、独立事件及条件概率的计算公式逐个判断即可. 【详解】对于A：，A错； 对于B：，，B对， 对于C：由，，可得，所以 与相互独立，所以 与 相互独立，C对， 对于D：由，可得， 所以，D错， 故选：BC 10. 已知，且 ，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】推导出 ，利用基本不等式可判断AB选项；计算得出，令，其中，利用导数求出函数的最小值，可判断C选项；利用特殊值法进而判断D选项. 【详解】因为，且 ，所以， 因为，所以，可得，即 . 对于A选项，由基本不等式可得， 等号成立当且仅当时，即当时，等号成立， 又因为 ，故等号不成立，即，A对； 对于B选项，， 当且仅当时，即当或时，等号成立， 故，B对； 对于C选项，， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以，函数的单调递减区间为，递增区间为， 故，即，C对； 对于D选项，不妨取， ，则，D错. 故选：ABC. 11. 已知曲线，点在曲线上，下列说法正确的有（ ） A. 曲线是中心对称图形 B. 若，则有最大值，无最小值 C. 存在两个定点，使得为定值 D. 若直线与曲线交于两点，与轴交于点 ，与直线交于点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据是奇函数，结合对称性可判断A；由，结合基本不等式可判断B；根据双曲线定义可判断C；直线与曲线联立方程可得，解方程组可得，，计算可判断D. 【详解】由题意可得 对于A，因为是奇函数，所以曲线关于对称，所以A正确； 对于B，， 当且仅当，即时，取等号，所以 有最小值，无最大值，所以B错误； 对于C，对曲线，不论a，b取何实数，都表示双曲线，由双曲线的定义可知，C正确； 对于D，联立直线与曲线的方程得， 所以， 由已知， 故； 由得；显然， 所以，所以， 又， 所以，所以D正确. 故选：ACD. 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 用0，1，2，3，4，5六个数字组成无重复数字的四位数，则共可组成_______个四位数． 【答案】300 【解析】 【分析】根据排列，结合分步乘法计数原理即可求解. 【详解】从1，2，3，4，5中选一个数字作为千位，然后从剩下5个数中任选三个排百位，十位，个位，故共有， 故答案为：300 13. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由，得到，再由得到，再由夹角公式即可求解. 【详解】由， 可得：， 即，即， 又，可得：， 即， 所以，所以， 又，所以与的夹角为 故答案为：. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在 上， 是的中点，且满足，则 的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】法一：由题意和重心性质结合勾股定理依次求出、 、、即可由椭圆定义求出离心率； 法二：设，由题设求出点P代入椭圆方程即可求解. 【详解】法一：由题意PO和的交点为的重心，则. 因为，所以， 所以Rt中，，从而， 又，，则， 从而，从而. 法二：设，由题设知可得. 由可得，解得， 代入得， 从而. 故答案为:. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）若，求； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理化简等式，求出. （2）根据余弦定理求出，然后根据三角形面积公式求出面积即可. 【小问1详解】 由正弦定理，代入，得， 代入，得，即， 两边平方得到，所以. 【小问2详解】 由和，得及， 又，所以，解得或. 当时， 当时. 所以或. 16. 某科技公司研发了一款用于医疗影像辅助诊断的AI算法，为了测试该算法的准确性，工程师准备了一组包含25张正常样本和75张异常样本的100张医学影像，算法对每张影像进行独立识别与判断，根据初步测试，算法的判断准确率如下： 当影像为正常样本时，算法判断为“正常”的概率为， 当影像为异常样本时，算法判断为“异常”的概率为. （1）从这100张影像中随机抽取2张，求2张均为正常样本的概率； （2）现从100张影像中随机抽取3次，每次抽取1张影像进行测试，每次抽取并测试后放回，用随机变量 表示这3次测试中算法正确判断的次数，求随机变量 的分布列及其数学期望 . 【答案】（1） （2） X 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）利用组合知识解决古典概型的概率问题； （2）先利用全概率公式计算“算法正确判断”的概率，得出，根据二项分布求出分布列以及期望. 【小问1详解】 记“抽到的两张均为正常样本”为事件 ， 则， 故2张均为正常样本的概率为； 【小问2详解】 记“抽取一张抽到正常样本”为事件 ，“算法判断为正常”为事件 ， “算法正确判断”为事件， 则“抽到异常样本”为事件，“算法判断为异常”为事件， 则， ， 则， 法一， ， 的分布列为 X 0 1 2 3 . 法二： 的分布列为， . 17. 在四棱锥 中，底面为菱形， ， 是的中点，. （1）当时，证明：平面 ； （2）若与平面 所成角的正弦值为，求平面 与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）设 相交于点 ，在平面 内，过点 作 交 于点（如图1）， 由已知得 ，所以 ，所以点为中点，点 为中点； 又点 为 中点，所以 ，且 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . （2） 【解析】 【分析】（1）先作辅助线得出 ，再应用线面平行判定定理证明即可； （2）先应用线面垂直判定定理求出平面 的一个法向量，再应用线面角正弦值得出，进而得出平面的一个法向量最后应用二面角余弦公式计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为 ， 所以 平面， 所以 平面， 过A作 为 轴，以为轴，以为轴建立空间直角坐标系（如图2）. 设 ，则， ， 由 得 ， 因为为菱形，所以 ， 因为 ， 平面，所以平面，平面， 所以 平面 ，所以 平面 ， 所以平面 的一个法向量为 ， . 所以E是 的中点. 所以 ，而 ， 设平面的一个法向量为 ，则 ， 令，则， ， ， 所以平面 与平面夹角的余弦值. 18. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为 上有两个不同动点. （1）若直线 过点 ，求证：； （2）已知定点，若线段的长度依次成等差数列； （i）求证：线段 的垂直平分线经过一个定点； （ii）若（i）中的定点到原点的距离为，求面积的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）证明见解析（ii） 【解析】 【分析】（1）设直线，与抛物线方程联立，再利用韦达定理求解； （2）（i）设，利用抛物线定义结合已知得到，写出 的垂直平分线方程求解； （ii）结合（i）由，得到 ，令，得到，与抛物线方程联立，求得弦长和Q到AB的距离，得到，方法一：利用基本不等式求解；方法二：令，得到，再令，利用导数法求解. 【小问1详解】 显然直线AB的斜率不为 ，又，所以可设直线 的方程为， 联立，消去x得，由韦达定理得. 【小问2详解】 如图所示： （i）证明：设， 则由已知及抛物线定义得，，即， 当时， 的垂直平分线方程为， 令，得， 所以 的垂直平分线经过一个定点， 当时，由对称性知 的垂直平分线为 轴，也经过点， 综上， 的垂直平分线经过一个定点； （ii）由题意，，解得 ，所以， 故抛物线 的方程为 ，， 令，则 的中点，所以， 当时，直线 的方程为， 联立 消 得， 且依题意，解得且，且， 由弦长公式得， 又Q到直线 的距离， 所以， 方法一：， ， 当且仅当，即时取等号， 所以； 方法二：令，则， 记，令，得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 所以， 当时，线段 的中点， 由对称性知 为通径，不妨取、， 则. 综上得，此时直线 的方程为或. 19. 已知函数． （1）若，求函数的单调区间； （2）对任意 ，不等式恒成立，求a的取值范围； （3）对任意，不等式恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）增区间是 ，减区间是 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先求函数的导数，根据导数的正负，求解函数的单调性； （2）首先不等式变形为，再设函数，利用导数判断函数的单调性，转化为隐零点问题，求函数的最值，即可求的取值范围； （3）首先不等式变形，并且同构为函数，根据函数的单调性，得到恒成立，转化为求函数的最值问题. 【小问1详解】 此时，从而 所以当时，当时 因此的增区间是 ，的减区间是 【小问2详解】 得 则在 上单增 唯一，得 当时，单减, 当时，单增， 又 得 因为关于递减，而且当 时 所以，进而 【小问3详解】 得 在 上单增，则得恒成立 得 当 时，单增 当时，单减 因为 ，则 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $