精品解析：浙江海盐高级中学等学校2025-2026学年高二下学期期中数学学科练习

高二数学学科练习 注意事项： 1.本题共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卡指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号. 3.所有答案必须写在答题卡上，写在试题上无效. 4.结束后，只需上交答题卡. 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 从4本不同的数学书中选出2本，赠送给2位同学，每人一本，则不同的赠送方法共有（ ） A. 4 B. 6 C. 12 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】根据排列的知识求解. 【详解】题意相当于从4个不同元素中选取2个的排列，方法数为. 2. 已知等差数列中，，，则等于（ ） A. 23 B. 26 C. 29 D. 32 【答案】B 【解析】 【详解】由题意知，公差为，所以. 3. 设，则（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以. 4. 的展开式中的系数为（ ） A. 12 B. 36 C. 54 D. 108 【答案】D 【解析】 【分析】由二项展开式通项公式求解. 【详解】的展开式通项公式为， 令得的展开式中的系数为. 5. 一个袋子中有4张卡片，分别标有数字1，2，3，4，不放回地随机抽取两张卡片，记事件A：“第一次抽到的数字小于第二次抽到的数字”，事件B：“两次抽到的数字之和为偶数”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】列举出事件和事件的基本事件个数，利用条件概率公式即可求解. 【详解】事件为“第一次抽到的数字小于第二次抽到的数字”，所有满足条件的基本事件为：共个. 事件要求“两次抽到的数字之和为偶数”，和为偶数需要两个数字同奇偶，结合的条件， 满足要求的基本事件只有共个. 因此 . 6. 已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义判断. 【详解】从图象看，函数的增长越来越平缓，因此，而表示与间的平均变化率，因此. 7. 已知曲线在点处的切线与抛物线相切，则（ ） A. 18 B. 17 C. 12 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据导数的几何意义求出切线方程，然后利用切线与抛物线的位置关系即可求解. 【详解】 ，将 代入导数，得到切线斜率  ， 所以切线方程为： ，整理得切线方程：， 切线与抛物线  相切，说明联立方程后只有一个解，即一元二次方程判别式 ， 联立两个方程 得：， 令，解得. 8. 对于数列，定义为数列的“优值”，现已知数列的“优值”，记数列的前项和为，则（ ） A. 2027 B. C. 2029 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“优值”定义结合作差法求出，根据等差数列的前项和公式求出，代入求解即可. 【详解】由，得，① ，② ①-②得，即，， 所以． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前项和为，且，则下列叙述正确的是（ ） A. 数列是等差数列 B. C. 数列的前项和为 D. 对于任意的正整数，都有成立 【答案】AD 【解析】 【详解】因为，所以， 则， 又符合上式，所以， 则，， 所以数列是以为公差的递增的等差数列，故A正确，B错误，D正确； 因为，所以，故C错误； 10. 下列各式正确的是（ ） A. 已知，则的取值为6或7 B. C. 的展开式中的系数为 D. 将8个相同小球放入4个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，则共有70种不同放法 【答案】ABC 【解析】 【分析】由组合数的性质和二项式定理，计数原理及排列组合可得. 【详解】对于A，由题意得或，解得或；故A正确 对于B，由， 所以，故B正确； 对于C，的展开式中的系数为，故C正确； 对于D，将8个相同小球放入4个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，采用隔板法，故D错误. 11. 已知定义域为的奇函数满足，不恒为零，为函数的导函数且的定义域为，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，令，代入计算即可判断；对于B，结合奇函数和对称轴的性质即可判断；对于C，由，两边求导数即可求解；对于D，由，两边求导数，令即可求解. 【详解】因为定义域为的奇函数满足， 所以，且的对称轴为， 对于A，令，满足是定义在上的奇函数，且对称轴为，但，故A错误； 对于B，由于，则，因为为奇函数， 所以，则， 所以，故B正确； 对于C，由，两边求导数可得，所以是偶函数，故C正确； 对于D，由，两边求导数可得，令，可得，解得，故D正确. 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列的公比，且，若，3，成等差数列，则________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求得公比，再由等比数列的通项公式计算. 【详解】因为，3，成等差数列，所以， 又是等比数列，公比是且，所以， 因为，故解得（舍去）， 所以. 13. 若关于x的方程有唯一实数解，则实数k的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】设 ，问题转化为与有唯一实数解，对求导，分析其单调性以及变化趋势即可求解. 【详解】设 ​，定义域为， ，​  令 ，得 ，  时，，单调递增； 当 时，，单调递减， 因此的最大值为 ，  时，；当 时，，且 . 的大致图象如图所示： 由图可知，，与  无交点，方程无解，不符合； ​， 与 仅在最高点 处相切，仅有一个交点，方程有唯一解，符合； ， 仅与  在 上有一个交点（时仅 一个解）， 方程有唯一解，符合. 综上，的取值范围为 . 14. 某地区有两种天气类型：晴天和雨天.气象台对第二天的天气进行预报，但预报有误差：如果实际是晴天，预报为雨天的概率是0.2，如果实际是雨天，预报为雨天的概率是0.9.已知该地区预报为雨天的总概率是0.76，现在某天气象台预报为雨天，则实际为雨天的概率是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用条件概率公式与全概率公式计算即可得. 【详解】设事件表示预报为雨天，事件表示实际为雨天， 则由题意可得， ， 所以， 解得， 则，故， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的首项，且满足，为数列的前n项和. （1）求证：是等比数列； （2）求数列的通项公式并求满足的最小正整数n. 【答案】（1）证明见解析 （2）； 【解析】 【分析】（1）利用递推公式结合等比数列的定义即可证明； （2）首先求出，然后根据分组求和求出，最后逐一验证即可求解. 【小问1详解】 已知 ，首项  对等式变形得： ，即 ， 因此  是首项为1、公比为3的等比数列. 【小问2详解】 由（1）可知： ，整理得：， 则，代入不等式得：   ，显然单调递增， 当时，，不满足； 当时，，满足. 因此满足条件的最小正整数. 16. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最值； （3）若方程有三个不同的实数根，求实数k的取值范围. 【答案】（1）的单调递增区间为和，单调递减区间为 （2）最大值为，最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）求导后计算即可得； （2）求出极大极小值后，与、比较即可得； （3）结合三次函数性质，利用该函数极值即可得. 【小问1详解】 ， 当时，，当时，， 故的单调递增区间为和，单调递减区间为； 【小问2详解】 ，， 又， ， 故在区间上的最大值为，最小值为； 【小问3详解】 由，，则. 17. 已知张不同的奖券中有张中奖，张不中奖，现对这张奖券依次进行抽取，直至找出所有中奖奖券则停止.（请列式计算结果用数字表示） （1）若恰在第次抽取时抽到第一张中奖奖券，且第四次抽取时才抽到最后一张中奖奖券，则共有多少种不同的抽取顺序？ （2）若至多抽取次就能找出所有中奖奖券，则共有多少种不同的抽取顺序？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】结合题意进行分类讨论，利用排列组合，分步乘法求解. 【小问1详解】 由题意可知，前次抽取的结果为：第次不中奖、第次中奖、第次不中奖、第次中奖： 第次从不中奖张中选张：共种选择； 第次从张中奖券中选张：共种选择； 第次从剩余张不中奖券中选张：共种选择； 第次从剩余张中奖券中选张：共种选择； 总抽取顺序：. 【小问2详解】 至多次停止，即停止在第次、第次、第次，分三类计算： 停止在第次：前两次都是中奖券，总顺序； 停止在第次：第次一定是中奖，前次有张中奖张不中奖： 从前个位置选个放中奖， 共种，排列中奖券​，选张不中奖排列：​，总顺序； 停止在第次：第次一定是中奖，前次有张中奖张不中奖： 从前个位置选个放中奖， 共​种，排列中奖券​，选张不中奖排列：​，总顺序； 三类相加：. 18. 已知为等比数列的前项和，若是和的等差中项，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，且数列的前项和为，若恒成立，求的表达式以及的取值范围. 【答案】（1），. （2）， 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的通项公式和前项求和公式以及等差中项化简计算，即可求解； （2）由（1）可得，结合裂项相消求和法可得，判断为递增数列，则，进而求解. 【小问1详解】 设数列的公比为，由，，成等差数列可得， 故，解得， 由，得，解得， 故，即数列的通项公式为，. 【小问2详解】 由（1）可得， 故， 易知单调递减，故单调递增， 即为递增数列，则， 又当时，且，所以， 故，所以. 19. 已知函数，其中． （1）当时，求在处的切线方程； （2）若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围； （3）若R，对任意的恒成立，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导得出斜率并用点斜式即可求解； （2）可以利用反证法把存在性问题转化为恒成立问题分离参数再取补集即可求答案； （3）利用（2）判断导函数零点所在区间从而判断原函数单调性 【小问1详解】 当时，，函数定义域为 故， 又，所以切线方程为. 【小问2详解】 由题意得 若不存在单调增区间，则恒成立，即恒成立， 令， 当时，当时 所以在单调递减，在单调递增， 所以，所以即 因此所求实数的取值范围为. 【小问3详解】 由（2）知 所以在单调递减，又，， 所以必存在正数，使得，即 由（2）知当时，即，当时，即， 当时，即， 由上可知在单调递增，在单调递减， 所以， 所以，即， 令 因为 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以， 所以的最小值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学学科练习 注意事项： 1.本题共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卡指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号. 3.所有答案必须写在答题卡上，写在试题上无效. 4.结束后，只需上交答题卡. 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 从4本不同的数学书中选出2本，赠送给2位同学，每人一本，则不同的赠送方法共有（ ） A. 4 B. 6 C. 12 D. 24 2. 已知等差数列中，，，则等于（ ） A. 23 B. 26 C. 29 D. 32 3. 设，则（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 4. 的展开式中的系数为（ ） A. 12 B. 36 C. 54 D. 108 5. 一个袋子中有4张卡片，分别标有数字1，2，3，4，不放回地随机抽取两张卡片，记事件A：“第一次抽到的数字小于第二次抽到的数字”，事件B：“两次抽到的数字之和为偶数”，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知曲线在点处的切线与抛物线相切，则（ ） A. 18 B. 17 C. 12 D. 8 8. 对于数列，定义为数列的“优值”，现已知数列的“优值”，记数列的前项和为，则（ ） A. 2027 B. C. 2029 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前项和为，且，则下列叙述正确的是（ ） A. 数列是等差数列 B. C. 数列的前项和为 D. 对于任意的正整数，都有成立 10. 下列各式正确的是（ ） A. 已知，则的取值为6或7 B. C. 的展开式中的系数为 D. 将8个相同小球放入4个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，则共有70种不同放法 11. 已知定义域为的奇函数满足，不恒为零，为函数的导函数且的定义域为，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列的公比，且，若，3，成等差数列，则________. 13. 若关于x的方程有唯一实数解，则实数k的取值范围为______. 14. 某地区有两种天气类型：晴天和雨天.气象台对第二天的天气进行预报，但预报有误差：如果实际是晴天，预报为雨天的概率是0.2，如果实际是雨天，预报为雨天的概率是0.9.已知该地区预报为雨天的总概率是0.76，现在某天气象台预报为雨天，则实际为雨天的概率是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的首项，且满足，为数列的前n项和. （1）求证：是等比数列； （2）求数列的通项公式并求满足的最小正整数n. 16. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最值； （3）若方程有三个不同的实数根，求实数k的取值范围. 17. 已知张不同的奖券中有张中奖，张不中奖，现对这张奖券依次进行抽取，直至找出所有中奖奖券则停止.（请列式计算结果用数字表示） （1）若恰在第次抽取时抽到第一张中奖奖券，且第四次抽取时才抽到最后一张中奖奖券，则共有多少种不同的抽取顺序？ （2）若至多抽取次就能找出所有中奖奖券，则共有多少种不同的抽取顺序？ 18. 已知为等比数列的前项和，若是和的等差中项，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，且数列的前项和为，若恒成立，求的表达式以及的取值范围. 19. 已知函数，其中． （1）当时，求在处的切线方程； （2）若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围； （3）若R，对任意的恒成立，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $