专题04平方根期中复习讲义(9大题型+题型突破)2025-2026学年人教版七年级数学下册

专题04平方根期中复习讲义 ☆ 复习目标 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解平方根、算术平方 11能熟练计算非负数的平方|1必拿分点： 根的概念，能区分两者的根、算术平方根，会求代概念辨析（区分平方根与 区别与联系 数式的平方根。 算术平方根)、基础开平 2.掌握平方与开平方互为2.能利用“已知平方根求 方计算（选择/填空） 逆运算，记住平方根的核！原数”“利用平方根解方！利用平方根解方程、已知 心性质。 程”解决基础问题。 平方根求原数（填空/简 3.明确算术平方根的双重3.会用算术平方根的非负性 答) 非负性（被开方数a≥0， 处理“和为0”类的求值2提分关键 结果Va≥0)。 题。 运用算术平方根非负性解 4.了解无限不循环小数， 4.能估算算术平方根的取值题（期中高频难点） 能估算正数算术平方根的范围，完成简单的大小比 估算算术平方根范围、探 大致范围。 较与规律探究。 究规律（选择/填空压 5能运用算术平方根解决实！轴) 3.易错提醒： 际问题（如面积、长度计 正数有两个互为相反数的 算)。 平方根，算术平方根是其 中正的那个 负数没有平方根，算术平 方根的被开方数必须非负 题型梳理 ====■■=■=年■ 题型1.平方根的概念辨析 题型2平方根的计算 1题型3.平方根的逆用 题型4.平方根解方程 题型5.算术平方根的计算 题型6算术平方根的非负性应用 题型7.算术平方根的估算 题型8算术平方根的规律探究 题型9算术平方根的综合应用 解答题(5题) 知识梳理 知识点01：算术平方根 1.定义 试卷第1页，共3页 若一个正数x的平方等于a(即x?=a,a≥0)，则这个正数x叫做a的算术平 方根。 符号表示：x=a,其中a叫被开方数，V是根号。 2.特殊规定 0的算术平方根是0，即√0=0。 负数没有算术平方根（因为没有数的平方是负数）。 3.双重非负性（期中高频考点） 被开方数非负：a≥0（根号下的数不能是负数） 算术平方根结果非负：√ā≥0（算术平方根是正数或0） 应用：若a+b=0,则a=0且b=0(几个非负数的和为0，则每个非负数都 为0)。 知识点02：平方根 1.定义 若一个数x的平方等于a(即x2=a,a≥0)，则这个数x叫做a的平方根（或 二次方根)。 符号表示：x=±ā（“±”表示正负两个根)。 2.平方根的性质 正数：有2个平方根，它们互为相反数（如9的平方根是3和-3）。 0:只有1个平方根，就是它本身(V0=0)。 负数：没有平方根（因为任何数的平方都不会是负数）。 3.算术平方根与平方根的区别 对比项算术平方根 平方根 符号 a ±Va 个数 正数有1个，0有1个 正数有2个，0有1个 取值 非负（≥0） 可正、可负、可为0 关系 平方根包含算术平方根（正的那个）平方根=算术平方根+它的相反数 试卷第2页，共3页 知识点03：开平方运算 1.定义 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。 2.逆运算关系 开平方与平方互为逆运算： 平方：x2=a(由x求a) 开平方：x=±Va(由a求x) 3.重要公式 (a)2=a(a≥0，先开方再平方，结果不变) aa(先平方再开方，结果是a的绝对值) 1必背点：平方根与算术平方根的定义、性质、区别：开平方与平方的逆运 算。 2.高频考法： 概念辨析（选择/填空）：区分平方根与算术平方根、判断非负性。 计算：求数/代数式的平方根、算术平方根；利用平方根解方程。 难点：利用非负性求值、估算算术平方根范围。 3易错点： 正数的平方根有两个，不要漏写负根：算术平方根只有一个正根。 被开方数必须是非负数，负数没有平方根。 ☆ 题型精析 题型01：平方根的概念辨析 【典例】已知正数x的两个平方根是m+3和2m-3,则x等于 【跟踪专练1】已知2a-1和a-5是一个正数的两个平方根，则这个正数是 【跟踪专练2】下列说法：①36的平方根是6；②±9的平方根是+3：③0.01是0.1的平方 根：④42的平方根是4；⑤81的算术平方根是±9.其中正确的有() 试卷第3页，共3页 A.0个 B.1个 C.3个 D.5个 跟踪专练3“4的平方根是士8”用数学式子表示为( 9 3 93 9.3 93 =士 64 8 B.V648 -1V64-8 D.V648 题型02：平方根的计算 【典例】16的平方根是（) A.4 B.4 c. 2 D.2 【跟踪专练1】已知a-2+(b-1+V6-c=0 则Va+b+c的平方根为 【跟踪专练2】若 m=2n2=16 m+n<0 则m-”的值是 【跟踪专练3】小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表. 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16 x2 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256 下面有四个推断： ①2.4649的平方根是±1.57 ②240的算术平方根位于15和16这两个连续的整数之间： ③对于大于16的两个正数，若它们的差等于0.1，则它们的平方的差大于3.19 ④一定有3个整数的算术平方根在15.1~15.2之间 其中正确的序号是() A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.①②③④ 题型03：平方根的逆用 【典例】一个数的平方根是它本身，这个数是() A.0 B.0和1 C.±1 D.±1和0 【跟踪专练1】一个正数的两个平方根分别是1-2a和a-4,则a的值是 【跟踪专练2】已知一个正数的平方根分别是2a+1和3-4a,则a的值为 【跟踪专练3】若2m-5与3m-15是同一个数的两个不相等的平方根，则这个数是() A.3 B.-3 C.16 D.9 题型04：平方根解方程 试卷第4页，共3页 【奥例】物体自由下落时，下落的高度《单位：口)可用公式0=8米计算，其中，g 是里力加速度，取8=10m令，【（单位：5）表示物体下落的时间。若一个小球从离跑面 45m的高处自由下落，则小球落到地面的时间是s. 【跟踪专练1】现在定义一种运算，其规则为*6=- ，根据此规则，如果x满足 2(x+2)*5=-1 ,那么x的值为() A.-2+V6 B.-2+2V6 C.-2±6 D.-2±2V6 【跟踪专练2】如图是一个数值转换机，若输出y的值为9，则输入x的值为 输入x -1 输出y 【跟踪专练3】以下是嘉琪所做的4道填空题，每道25分，则嘉琪实际得分为() 1、27289(精确到千位) ≈2.7×104） 2V16 的算术平方根是(4). 3 已知)=Vr-3+3-x+9 求 √-3v5 4、(x+5)2=9 则x的值是(4 A.25 B.50 C.75 D.100 题型05：算术平方根的计算 【典例创】V5 等于() A.3 B.3 C.3 0 试卷第5页，共3页 11.12≈3.3352,111.2≈10.5452 【跟踪专练1】已知： 那么.112、 【跟踪专练2】定义：对于三个正整数，如果其中任意两个数乘积的算术平方根都是整 数，则称这三个数为“LN数”，这三个算术平方根中最小的整数称为“最小算术平方 根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1,4,9这三个数， V1×4=2 x9=3,4x9=6,其结果分别为2,3,6，都是整数，所以1,4,9三个数称为一个 “LN数”组，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6.已知m,9,25三个数是 “LN数”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，则m的值为 【跟踪专练3】以下是甲、乙、丙、丁四位同学对相关知识的描述，其中描述错误的是( ) 甲：16的平方根是±4 乙：√5的平方等于5 丙：-1的平方根是±1 丁：4的算术平方根是2 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 题型06：算术平方根的非负性应用 【典例】若Vx-5+(y-22=0 则x-y的值是() A.7 B.-7 C.3 D.-3 【跟踪专练1)若m++v2m=0,则m+6加的平方根为一 【跟踪专练2】若5x+10++3+V6-6=0,则2x+4y-2= 【跟踪专练3】.已知两个整式：，3x+y, 将这两个整式进行如下操作： 第一次操作：用这两个整式的和除以2，将结果放在这两个整式之间，可以得到一个新的 整式串：x,2x+2y,3x+y,新整式串的和记作M: 第二次操作：用相邻两个整式的和除以2，将结果放在这两个整式之间，又得到一个新的 试卷第6页，共3页 31 1 53 整式串：x,2+,2x+2,+,3x+y,新整式串的和记作M,:以此类 推。 某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论： ①经过三次操作后的整式串共有9个整式： ②若V-1+-2=0,经过四次操作后，M,=52 |20+2x+y ③第10次操作后，从左往右第2个整式为： 210 ④若4r+y=2.M,-Mn=3072 则n=13 以上四个结论正确的有() A.1 B.2 C.3 D.4 题型07：算术平方根的估算 【典例】已知 102.1≈10.1 则h.021 的近似值为() A.0.0101 B.0.101 C.101 D.1.01 【跟踪专练1】已知实数“b满足=20-0，若ab为正整数，当b取最大值时，a 【跟踪专练2】估计26-2 的值应在() A.1和2之间B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间 【跟踪专练3】我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三 角形的三边长分别为a,.c,记P-0++C, 2,那么其面积S=√pp-a(p-b(p-c.如 ,3,3 果某个三角形的三边长分别为 33,其面积介于整数”和”+之间，那么”的值是 题型08：算术平方根的规律探究 【典例】已知53.873,5125，则50（). 试卷第7页，共3页 A.38.73 B.387.3 C.12.25 D.122.5 【跟踪专练1】小明利用计算器得到 26.86≈5.1832.686≈1.639 根据这些数据猜 √268.6≈ 想： 【跟踪专练2】观察下表，我们可以发现被开方数“和它的算术平方根口的变化规律： 0.000001 0.0001 0.01 100 10000 1000000 Va 0.001 0.01 0.1 10 100 1000 若51.732 √b≈0.01732 根据发现的规律， 那么b 的值为 【跟踪专练3】下面是一个按某种规律排列的数阵： 第一行 12 第二行 525√6 √万8310i2 第三行 第四行 13√14 154√1718√19√20 … 根据数阵规律，第八行十三个数是( ) A.72 B.7 c. √70 √69 D. 题型09：算术平方根的综合应用 3dm 【典例】一个正方形的面积为 则它的边长为() A.√2dm B.√3dm C.3 D.3dm 【跟踪专练1】如图将边长分别为1和2的两个正方形剪拼成一个较大的正方形，则大正方 形的边长是 试卷第8页，共3页 【跟踪专练2】如图所示，由多个边长均为1的小正方形拼成一个大正方形，则图中阴影 部分的正方形的边长为 B 【跟踪专练3】小明用计算器求了一些正数的平方，记录如表，下面有四个推断：① √2310.4=15 2: ②-定有3个整数的算术平方根在15.，5~15.6之间；③对于大于16的两个 正数，若它们的差等于0.1，则它们的平方的差一定大于3.19，④与239 更接近的整数是 15,所有合理推断的序号是() 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16 22 228.0 231.0 234.0 237.1 240.2 243.3 246.4 249.6 252.8 25 5 × 9 6 5 6 9 x 1 6 A.② B.②③ c.①②③ D.②③④ 【解答题】 1.[核心素养]【实践与探究】 计：目到 【归纳与应用】 (2)观察(1)中的等式，发现其中的规律，并猜想V与“有怎样的关系，请用数学式 子表示出来： 试卷第9页，共3页 (3)利用你得到的规律，计算： ①若x<2,则x-2=: ②V3.14-元2= 2.(1)已知一个正数m的两个不相等的平方根a+6与2a-9,求这个正数m的值： (2)已知30+l的平方根是5,2a+b-1l的算术平方根是4，求2a+0 的平方根. 3。一个正数有两个平方根，它们互为相反数例如：若= 9,则=3或=-3 ()如果一个正数的平方根分别为a+2和2a-11,求这个正数： (②已知自由下落物体的高度（单位：米）与下落时间，（单位：秒）的关系为A=方， 8表示重力加速度，其标准值为8=98米秒若有一个物体从离地19.6米高处自由落下， 求这个物体到达地面所需的时间. 4.已知：6是最小的正整数，且0、b满足e-+a+b=0, 请回答： A B (1)请直接写出a、b、c的值：a= ；b= ；C (2)若a、b、C所对应的点分别为A、B、C,点P为数轴上一动点，其对应的数为x,当 点P在B、C两点之间运动时（点P不与点B、C重合），请化简下列式子并判断该式子的值 是否随点P的运动而改变？若不变，请求出该式子的值，若改变，请说明理由. 化简：++a-b-+r-d 5.如图，已知一个长方形1BC 长和宽的比为5：3，面积为 765cm2 B ()求该长方形的长与宽. (2)如图在此长方形内沿着AB这条边裁剪一排圆，请计算说明最多能裁剪出多少个面积为 试卷第10页，共3页 专题04平方根期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解平方根、算术平方根的概念，能区分两者的区别与联系。 2.掌握平方与开平方互为逆运算，记住平方根的核心性质。 3.明确算术平方根的双重非负性（被开方数 a≥0，结果 ≥0）。 4.了解无限不循环小数，能估算正数算术平方根的大致范围。 1.能熟练计算非负数的平方根、算术平方根，会求代数式的平方根。 2.能利用 “已知平方根求原数”“利用平方根解方程” 解决基础问题。 3.会用算术平方根的非负性处理 “和为 0” 类的求值题。 4.能估算算术平方根的取值范围，完成简单的大小比较与规律探究。 5.能运用算术平方根解决实际问题（如面积、长度计算）。 1.必拿分点： 概念辨析（区分平方根与算术平方根）、基础开平方计算（选择 / 填空） 利用平方根解方程、已知平方根求原数（填空 / 简答） 2.提分关键： 运用算术平方根非负性解题（期中高频难点） 估算算术平方根范围、探究规律（选择 / 填空压轴） 3.易错提醒： 正数有两个互为相反数的平方根，算术平方根是其中正的那个 负数没有平方根，算术平方根的被开方数必须非负 题型1.平方根的概念辨析 题型2.平方根的计算 题型3.平方根的逆用 题型4.平方根解方程 题型5.算术平方根的计算 题型6.算术平方根的非负性应用 题型7.算术平方根的估算 题型8.算术平方根的规律探究 题型9.算术平方根的综合应用 解答题(5题) 知识点01:算术平方根 1. 定义 若一个正数 x 的平方等于 a（即 x2=a，a≥0），则这个正数 x 叫做 a 的算术平方根。 符号表示：x=，其中 a 叫被开方数， 是根号。 2. 特殊规定 0 的算术平方根是 0，即 =0。 负数没有算术平方根（因为没有数的平方是负数）。 3. 双重非负性（期中高频考点） 被开方数非负：a≥0（根号下的数不能是负数） 算术平方根结果非负：​≥0（算术平方根是正数或 0） 应用：若 +=0，则 a=0 且 b=0（几个非负数的和为 0，则每个非负数都为 0）。 知识点02:平方根 1. 定义 若一个数 x 的平方等于 a（即 x2=a，a≥0），则这个数 x 叫做 a 的平方根（或二次方根）。 符号表示：x=±（“±” 表示正负两个根）。 2. 平方根的性质 正数：有 2 个 平方根，它们互为相反数（如 9 的平方根是 3 和 −3）。 0：只有 1 个 平方根，就是它本身（=0）。 负数：没有平方根（因为任何数的平方都不会是负数）。 3. 算术平方根与平方根的区别 对比项 算术平方根 平方根 符号 ± 个数 正数有 1 个，0 有 1 个 正数有 2 个，0 有 1 个 取值 非负（≥0） 可正、可负、可为 0 关系 平方根包含算术平方根（正的那个） 平方根 = 算术平方根 + 它的相反数 知识点03:开平方运算 1. 定义 求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。 2. 逆运算关系 开平方与平方互为逆运算： 平方：x2=a（由 x 求 a） 开平方：x=±（由 a 求 x） 3. 重要公式 ()2=a（a≥0，先开方再平方，结果不变） =∣a∣（先平方再开方，结果是 a 的绝对值） 知识点04:期中应试核心提醒 1.必背点：平方根与算术平方根的定义、性质、区别；开平方与平方的逆运算。 2.高频考法： 概念辨析（选择 / 填空）：区分平方根与算术平方根、判断非负性。 计算：求数 / 代数式的平方根、算术平方根；利用平方根解方程。 难点：利用非负性求值、估算算术平方根范围。 3.易错点： 正数的平方根有两个，不要漏写负根；算术平方根只有一个正根。 被开方数必须是非负数，负数没有平方根。 题型01:平方根的概念辨析 【典例】已知正数的两个平方根是和，则等于___________． 【答案】9 【分析】根据一个正数的两个平方根是互为相反数可得，求出，即可得出这两个平方根，即可得出答案． 【详解】解：∵正数x的两个平方根是和， ∴， 解得， ∴两个平方根是． ∵9的平方根是， ∴x等于9． 【跟踪专练1】已知和是一个正数的两个平方根，则这个正数是______． 【答案】9 【分析】此题主要考查了平方根的定义， 根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，列出方程求解a，再求平方根的值，最后求正数． 【详解】∵和是一个正数的两个平方根， ∴， 即， 解得， ∴， ∴这个正数为． 故答案为：9． 【跟踪专练2】下列说法：①36的平方根是6；②的平方根是；③0.01是0.1的平方根；④的平方根是4；⑤81的算术平方根是．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．3个 D．5个 【答案】A 【分析】本题运用了平方根和算术平方根的性质，利用平方根和算术平方根的性质可求解． 【详解】解：①36的平方根是，故①错误； ②9的平方根是，没有平方根，故②错误； ③0.1是0.01的算术平方根，故③错误； ④的平方根是，故④错误； ⑤81的算术平方根是9，故⑤错误． 故选：A． 【跟踪专练3】“的平方根是”用数学式子表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平方根的知识，掌握平方根的表示方法是解题的关键． 正数的平方根用表示，一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数，即可得到“的平方根是”用数学式子的表示形式． 【详解】解：， ， 故选：C． 题型02:平方根的计算 【典例】的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正数的平方根有两个且互为相反数，根据定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 【跟踪专练1】已知，则的平方根为____． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为零，则它们都为零，求平方根；由非负数的性质求得，，的值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴的平方根为， 故答案为：． 【跟踪专练2】若，，，则的值是________． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值的非负性、平方根的定义、求代数式的值，根据绝对值的非负性、平方根的定义可知、，根据，可知，或，，分情况求代数式的值即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ，或，， 当，时， 可得：， 当，时， 可得：． 综上所述，的值是或． 故答案为：或． 【跟踪专练3】小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表． 下面有四个推断： ①的平方根是 ②的算术平方根位于和这两个连续的整数之间； ③对于大于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差大于 ④一定有个整数的算术平方根在之间 其中正确的序号是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根，平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键； 根据算术平方根，平方根的定义和性质进行判定即可求解； 【详解】解：的平方根是，故①正确； 的算术平方根位于和这两个连续的整数之间；故②正确； 对于大于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差大于，故③正确； ，， 之间有，， 一定有个整数的算术平方根在之间；故④正确； 综上所述：正确的序号是①②③④； 故选：D 题型03:平方根的逆用 【典例】一个数的平方根是它本身，这个数是（   ） A．0 B．0和1 C． D．和0 【答案】A 【分析】本题考查平方根，根据一个正数的平方根有两个，且互为相反数，0的平方根为0，负数没有平方根求解即可． 【详解】解：∵一个数的平方根是它本身， ∴这个数是0， 故选：A． 【跟踪专练1】一个正数的两个平方根分别是和，则a的值是_____________． 【答案】 【分析】根据平方根性质，列方程解方程即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得：． 【跟踪专练2】已知一个正数的平方根分别是和，则的值为_________． 【答案】2 【分析】本题考查平方根，理解平方根的定义以及一个正数的两个平方根的特征是正确解答的关键． 根据正数的平方根互为相反数，列出方程求解． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， . 化简得 ， 即 ， 移项得， 解得 ． 故答案为：． 【跟踪专练3】若与是同一个数的两个不相等的平方根，则这个数是（    ） A．3 B． C．16 D．9 【答案】D 【分析】本题考查平方根，由平方根的定义可知同一个数的两个不相等的平方根互为相反数，由此列方程求出m的值，进而求出或的平方即可． 【详解】解：与是同一个数的两个不相等的平方根， ， 解得， ， ，即这个数是9． 故选D． 题型04:平方根解方程 【典例】物体自由下落时，下落的高度（单位：）可用公式来计算，其中，是重力加速度，取，（单位：）表示物体下落的时间．若一个小球从离地面的高处自由下落，则小球落到地面的时间是_____． 【答案】 【分析】本题考查利用算术平方根的性质解方程，通过代入已知量到自由下落公式，关键步骤是正确代入数值并解方程，舍去不符合实际的负解．根据题目给出的自由下落公式，将已知高度和重力加速度代入，利用算术平方根的性质解方程求出下落时间． 【详解】解：由题意将，， 代入公式，可得：， 化简得：， 表示物体下落的时间， ，即小球落到地面的时间是． 故答案为：． 【跟踪专练1】现在定义一种运算，其规则为，根据此规则，如果x满足，那么x的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新运算，平方根的应用，理解新运算是关键；由规定的新运算得：，整理后用平方根的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， 即， ∴； 故选：C． 【跟踪专练2】如图是一个数值转换机，若输出y的值为9，则输入x的值为______． 【答案】4或 【分析】本题考查了代数式的逆运算与平方根的性质，解题关键是根据数值转换机的流程列出方程，再利用平方根的定义求解． 根据转换机流程列方程，利用平方根性质分别求解即可． 【详解】根据数值转换机的运算规则，可得等式：． 已知，则，开平方得或． 当时，； 当时，． 故答案为：4或． 【跟踪专练3】以下是嘉琪所做的道填空题，每道分，则嘉琪实际得分为（   ）   、（精确到千位）． 、的算术平方根是（）． 、已知，求． 、，则的值是（）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了近似数，算术平方根和平方根，根据近似数、算术平方根和平方根的定义解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解： 、精确到千位，百位数字为，故舍去，得，即，答案正确； 、，的算术平方根为，答案错误； 、由，得，，即得，，故，答案正确； 、由，得，即得或，答案错误； ∴嘉琪答对题，得分为分， 故选：． 题型05:算术平方根的计算 【典例】等于（　　） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，一般地，如果一个非负数x的平方等于a，即，那么这个非负数x叫做a的算术平方根．正数a有一个正的算术平方根，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根． 根据算术平方根的定义作答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 【跟踪专练1】已知：，那么_______． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，利用平方根的性质和给定的近似值，通过小数点移动的关系求解． 【详解】解：由，得． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】定义：对于三个正整数，如果其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“数”，这三个算术平方根中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为一个“数”组，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．已知m，9，25三个数是“数”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，则m的值为____________________． 【答案】 【分析】此题考查了新定义问题，算术平方根等知识，解题的关键是理解并掌握新定义的运算法则． 根据题意分3种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，分别列方程求解即可． 【详解】解：分三种情况：①当时，，解得（舍去）； ②当时，，解得（舍去）； ③当时，，解得； 综上所述，的值为． 故答案为：。 【跟踪专练3】以下是甲、乙、丙、丁四位同学对相关知识的描述，其中描述错误的是（    ） 甲：16的平方根是        乙：的平方等于5 丙：的平方根是       丁：4的算术平方根是2 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】根据平方根和算术平方根的性质依次判断即可． 本题主要考查了平方根和算术平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根叫做算术平方根；负数没有平方根；0的平方根是0．熟练掌握平方根和算术平方根的性质是解题的关键． 【详解】解：16的平方根是，故甲的描述正确； 乙：的平方等于5，故乙的描述正确； 丙：没有平方根，故丙的描述错误； 丁：4的算术平方根是2，故丁的描述正确． 故选：C． 题型06:算术平方根的非负性应用 【典例】若，则的值是（    ） A．7 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质，几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0，根据非负数的性质列出方程，求出x、y的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】， ， ， ， 故选：C． 【跟踪专练1】若，则的平方根为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，先根据绝对值和算术平方根的非负性求出m、n的值，然后代入计算，最后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根是， 故答案为：． 【跟踪专练2】若，则___________． 【答案】 【分析】先根据非负数的性质求出，，，代入所求式子计算即可得出结果． 【详解】解：∵，且，，， ∴，，， ∴，，， ∴． 【跟踪专练3】.已知两个整式：，，将这两个整式进行如下操作： 第一次操作：用这两个整式的和除以2，将结果放在这两个整式之间，可以得到一个新的整式串：，，，新整式串的和记作； 第二次操作：用相邻两个整式的和除以2，将结果放在这两个整式之间，又得到一个新的整式串：，，，，，新整式串的和记作；以此类推． 某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论： ①经过三次操作后的整式串共有9个整式； ②若，经过四次操作后，； ③第10次操作后，从左往右第2个整式为：； ④若，，则． 以上四个结论正确的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】第二次操作后得到的整式串有5个整式，那么第三次操作时，相邻两个整式之间都会产生一个新的整式，即一共要产生4个新的整式，据此可判断①；求出第三次操作后产生的整式串，再分别求出，，，从而推出，根据非负数的性质求出x、y的值，再计算即可判断②；根据前三次操作的结果可得第n次操作后的第2个整式中x的系数是， y的系数是，据此可判断③；可求出，根据题意求出的值，则可得到，据此可判断④． 【详解】解：①∵第二次操作后得到5个整式， ∴第三次操作时，从左边起，第1个整数和第2个整式之间会产生一个新的整式，第2个整数和第3个整式之间会产生一个新的整式，第3个整数和第4个整式之间会产生一个新的整式，第4个整数和第5个整式之间会产生一个新的整式， ∴第三次操作后的整式串共有个整式，故①正确； ②， ∴第一次操作所得的整式串：， ∴， 第二次操作所得的整式串：，，，，， ∴， 第三次操作所得的整式串：，，，，，，，，， ∴ ， 以此类推可知，； ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴，故②错误； ③第一次操作后的第2个整式中x的系数是，y的系数是， 第二次操作后的第2个整式中x的系数是，y的系数是， 第三次操作后的第2个整式中x的系数是，y的系数是， ……， 以此类推可知，第n次操作后的第2个整式中x的系数是， y的系数是， ∴第10次操作后的第2个整式中x的系数是，y的系数是， 第10次操作后，从左往右第2个整式为，故③正确； ④∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④错误； ∴正确的有①③． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了数字类的规律探索，整式的加减运算，非负数的性质，正确理解题意找到对应的规律是解题的关键． 题型07:算术平方根的估算 【典例】已知，则的近似值为（   ） A．0.0101 B．0.101 C．101 D．1.01 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，被开平方的数的小数点每向左移动两位，那么被开平方的结果的小数点向左移动一位，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 【跟踪专练1】已知实数满足，若为正整数，当b取最大值时，_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根，解题的关键在于能够熟练掌握算术平方根的相关知识．由，a，b均为正整数，可知当b取最大值时，即，由此求解即可． 【详解】解：∵，a，b均为正整数， ∴ ∴当b取最大值时，即时，， ∴， 解得， 故答案为：4． 【跟踪专练2】估计的值应在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【分析】根据利用夹逼法得到取值范围，即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， ∵， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查根数的估算，解题的关键是将原来的根数变形． 【跟踪专练3】我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，其面积介于整数和之间，那么的值是_________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根以及算术平方根的估算，掌握算术平方根的估算方法是解本题的关键． 首先计算三角形的面积为，再估算的范围可得，从而可得答案． 【详解】解：根据题意，三角形的三边长分别为2，3，3， 则， 所以其面积， ， ， ， ∵面积介于整数和之间， 的值为2． 故答案为：2． 题型08:算术平方根的规律探究 【典例】已知，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根与被开方数的关系，关键在于知道它们之间有何关系． 根据算术平方根与被开方数的关系：“被开方数每向左或向右移动2个位数，则它的算术平方根就向左或向右移动1个位数”可知答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C 【跟踪专练1】小明利用计算器得到，．根据这些数据猜想：______． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根，算术平方根的规律计算，理解题意，找出计算规律是关键．根据材料提示找出规律即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】观察下表，我们可以发现被开方数和它的算术平方根的变化规律： a 1 100 10000 1000000 1 10 100 1000 根据发现的规律，若，，那么的值为________． 【答案】 【分析】此题考查的是算术平方根的探索规律题． 通过观察表格，发现被开方数每扩大或缩小100倍，其算术平方根相应地扩大或缩小10倍．已知和，比较可知是的倍，因此是3的 倍． 【详解】解：由表格规律可知，被开方数与算术平方根满足： 被开方数每扩大或缩小100倍，其算术平方根相应地扩大或缩小10倍． 已知，， 因为，即， 所以． 故答案为：． 【跟踪专练3】下面是一个按某种规律排列的数阵： 第一行                        第二行                       第三行                     第四行                                       根据数阵规律，第八行十三个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字的变化，算术平方根，根据题意找到规律，即可求解，找到规律是解题的关键． 【详解】解：第一行                   第二行                       第三行                     第四行                                       由题意可得：第行的元素个数为：（个），第行的末尾数为：， ∴第八行共有个数，末尾数为， ∴第八行十三个数也为倒数第四个数，即， 故选：D． 题型09:算术平方根的综合应用 【典例】一个正方形的面积为，则它的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的定义，根据正方形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵一个正方形的面积为， ∴它的边长为； 故选B． 【跟踪专练1】如图将边长分别为1和2的两个正方形剪拼成一个较大的正方形，则大正方形的边长是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的实际应用，解题时要熟练掌握并能根据题意求出大正方形的面积是关键． 依据题意，先求出该正方形的面积为5，从而可以计算得解． 【详解】解：由题意，小正方形边长分别为1和2， 拼成的大正方形的面积为， 拼成的大正方形的边长为 故答案为： 【跟踪专练2】如图所示，由多个边长均为1的小正方形拼成一个大正方形，则图中阴影部分的正方形的边长为______． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的应用，涉及正方形面积计算和面积割补法．解题关键是通过面积割补法（大正方形面积减空白部分面积）求出阴影正方形的面积，再由面积推导边长；易错点是误判空白三角形的直角边长度，导致面积计算错误． 先确定大正方形边长为4，面积为；再计算空白部分（4个直角三角形）的总面积：每个三角形直角边为1和3，面积为，4个总面积为；最后用大正方形面积减空白面积得阴影正方形面积，由正方形面积公式得边长为． 【详解】解：大正方形面积为， 空白部分是4个直角边为1和3的三角形，总面积为． 阴影正方形面积为， 故其边长为． 故答案为：． 【跟踪专练3】小明用计算器求了一些正数的平方，记录如表，下面有四个推断：①；②一定有3个整数的算术平方根在之间；③对于大于16的两个正数，若它们的差等于0.1，则它们的平方的差一定大于3.19；④与更接近的整数是15，所有合理推断的序号是（   ） x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256 A．② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，根据表格数据，逐一验证各推断的正确性． 【详解】解：推断①：由表格知，，故，①错误． 推断②：，，因此满足的整数n有241、242、243，共3个，其算术平方根在之间，②正确． 推断③：设，则．因，故，得，③正确． 推断④：由表格，，，故介于15.4与15.5之间．此时离15的距离小于离16的距离，④正确． 综上，合理推断为②③④， 故选D． 【解答题】 1．[核心素养]【实践与探究】 （1）计算： ， ， ， ， ； 【归纳与应用】 （2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与有怎样的关系，请用数学式子表示出来； （3）利用你得到的规律，计算： ①若，则 ； ② ． 【答案】（1）3，0.5，0，6，；（2）；（3）①；② 【分析】本题属于规律探究题，主要考查了算术平方根的定义、绝对值化简等知识，运用发现的规律是解决第（3）小问的关键． （1）根据算术平方根定义进行计算即可； （2）从（1）中可以得到规律：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值； （3）①②利用（2）中总结的规律化简即可． 【详解】解：（1）计算：，，，，． （2）观察（1）中的等式，可以发现，． （3）①．   ， ， ． ②． ， ． 2．（1）已知一个正数的两个不相等的平方根与，求这个正数的值； （2）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的平方根． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据平方根求原数． （1）一个正数的两个平方根互为相反数，据此可得，解方程求出平方根，即可求出这个数； （2）根据平方根的定义得到，，据此求出a、b的值，进而求出的值，最后根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不相等的平方根与， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵的平方根是，的算术平方根是4， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的平方根为． 3．一个正数有两个平方根，它们互为相反数例如：若，则或． (1)如果一个正数的平方根分别为和，求这个正数； (2)已知自由下落物体的高度（单位：米）与下落时间（单位：秒）的关系为，表示重力加速度，其标准值为米/秒若有一个物体从离地米高处自由落下，求这个物体到达地面所需的时间． 【答案】(1) (2)秒 【分析】本题考查了平方根、平方根的运用等知识点，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． （1）根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数可得到关于的等式，解得的值，进而求得这个正数即可； （2）把和的值代入等式得到关于t的方程，然后根据平方根的意义求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，解得：， ∴，， ，即这个数为． （2）解：当，时，，解得：（舍弃）． 答：这个物体到达地面所需的时间为秒． 4．已知：是最小的正整数，且、满足，请回答： (1)请直接写出、、的值：________；________；________； (2)若、、所对应的点分别为、、，点为数轴上一动点，其对应的数为，当点在、两点之间运动时(点不与点、重合)，请化简下列式子并判断该式子的值是否随点的运动而改变？若不变，请求出该式子的值，若改变，请说明理由． 化简：． 【答案】(1)；； (2)，该式子的值不随点的运动而改变． 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根的非负性，解题的关键是掌握实数的性质，非负数的性质，数轴知识． （1）利用非负数的性质计算； （2）利用数轴知识绝对值的定义计算． 【详解】（1）解：∵是最小的正整数，且、满足， ∴ ，，， 则，， 故答案为：；；； （2）∵点在、两点之间运动点不与点、重合， ，，，， ， 该式子的值不随点的运动而改变． 5．如图，已知一个长方形长和宽的比为，面积为． (1)求该长方形的长与宽． (2)如图在此长方形内沿着这条边裁剪一排圆，请计算说明最多能裁剪出多少个面积为的圆． 【答案】(1)该长方形的长为，宽为 (2)4个 【分析】本题主要考查了算术平方根的实际应用，正确列出方程求出长方形的长和宽是解题的关键． （1）设该长方形的长为，宽为，根据长方形面积计算公式建立方程求解即可； （2）根据可推出，再根据圆面积计算公式求出圆的半径，进而求出圆的直径，再用长方形的长除以圆的直径即可得到答案． 【详解】（1）解：设该长方形的长为，宽为， 由题意得，， ∵， ∴， ∴， 答：该长方形的长为，宽为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵一个圆的面积为， ∴该圆的半径为， ∴该圆的直径为， ∵， ∴最多能裁剪出4个面积为的圆． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $