精品解析：湖南株洲市炎陵县2025-2026学年九年级上学期期末质量监测数学试题

炎陵县九年级数学质量监测试题 （时量：120分钟 满分：120分） 2026.01 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分） 1. 关于抛物线，下列说法错误的是（） A. 开口向上 B. 对称轴是 C. 顶点坐标是 D. 最大值y=2 2. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A B. C. D. 3. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线的函数表达式为（ ） A B. C. D. 4. 如图，在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点在中，若，则的度数是（  ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，．若，则的长为（  ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 7. 如图，为的半径，为的切线，连接．若，则的度数为（  ） A. B. C. D. 无法确定 8. 某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙三名同学的平均分为及方差如右表所示，那么这三名同学数学成绩最稳定的是（ ） 甲 乙 丙 91 91 91 6 24 54 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法确定 9. 在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E对应点E′的坐标是 A. （﹣2，1） B. （﹣8，4） C. （﹣8，4）或（8，﹣4） D. （﹣2，1）或（2，﹣1） 10. 如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，且过点，下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则；⑤关于的方程，有两个相等的实数根；其中说法正确的是（  ） A. ①②③ B. ①②④⑤ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分） 11. 已知，则______． 12. 如图，⊙O的半径为5，弦，B是的中点，连接，则的长为 _____． 13. 反比例函数如图，则矩形的面积是________． 14. 一元二次方程的解是_________． 15. 如图，是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆C处时，另一端D处就会撬动石头．已知动力臂米，阻力臂米，如果杠杆D端被向上撬起米，那么此时要将杠杆的C点向下压的长度是_______米． 16. 实数a，b定义新运算“*”如下：，例如，则方程的根的情况是________．（填序号） ①有两个不相等的实数根 ②有两个相等的实数根 ③没有实数根 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值： ，其中． 19. 为了满足同学们的多样化兴趣，促进同学们的个性化成长，某校计划开设5个类别的选修课：A：“音乐类”，B：“绘画类”，C：“体育类”，D：“舞蹈类”，E：“文学类”，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查，每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门，对调查结果进行统计后，绘制了如下的两个不完整的统计图． 根据以上统计图的信息，解答下列问题： （1）此次调查抽取的学生人数为________名，在扇形图中，A：“音乐类”所在扇形的圆心角的度数是________； （2）请补全条形统计图； （3）如果该校有2000名学生，请估计全校选择C：“体育类”的学生大约有多少人． 20. 张掖红梨果皮色泽鲜红，是外观精美的梨族新秀．若将进货价为8元/千克的张掖红梨按10元/千克出售，每日能销售100千克．已知张掖红梨在一定范围内每涨价1元/千克，其日销售量就减少10千克，为了能获取更大的利润，决定对其涨价x元/千克销售．回答下列问题： （1）涨价后，每千克张掖红梨的利润为 元，每天可销售 千克（用含x的代数式表示）； （2）若每天要盈利320元，则该张掖红梨应涨价多少元？ （3）若需获得最大利润，应涨价多少元，最大利润是多少元？ 21. 如图，已知的直径为，平分，交于点，过点作，垂足为． （1）判断与的位置关系，并给出证明． （2）若，求的半径． 22. 如图，一楼房后有一假山，的坡度，山坡坡面上点处有一休息亭，测得假山脚与楼房水平距离米，与亭子距离米，小丽从楼房房顶测得的俯角为． （1）求点到水平地面的距离的高度； （2）求楼房的高． 23. 某数学兴趣小组在数学课外活动中研究三角形和矩形性质时，做了如下探究：在矩形中，点在上，， （1）【观察与猜想】如图1，连接，过点作，交于点，连接，求证：； （2）【类比探究】如图2，点在矩形的边上（点不与点、重合），连接，过点作，交于点，连接．求证：； （3）【拓展延伸】如图3，点在矩形的边上（点不与点、重合），连接，过点作，交于点，连接，且的面积是4.5，直接写出长． 24. 在坐标系中，正方形的顶点A，B在x轴上，.抛物线与x 轴交于点和点 F. （1）如图，若抛物线过点C，求抛物线的表达式和点F的坐标； （2）如图，在（1）的条件下，连接，作直线，平移线段，使点C的对应点P落在直线上，点F的对应点Q落在抛物线上，求点Q的坐标； （3）若抛物线与正方形恰有两个交点，直接写出a取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 炎陵县九年级数学质量监测试题 （时量：120分钟 满分：120分） 2026.01 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分） 1. 关于抛物线，下列说法错误的是（） A. 开口向上 B. 对称轴是 C. 顶点坐标是 D. 最大值y=2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线顶点式的性质，分析开口方向、对称轴、顶点坐标及最值． 【详解】解：∵抛物线为， ∴，开口向上，顶点为，对称轴为． ∵开口向上， ∴顶点为最低点，纵坐标为2，无最大值． ∴选项A、B、C正确，D错误， 故选：D． 2. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．先将常数项移项，再两边同加上一次项系数一半的平方，由此即可得． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 3. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（-2，-3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 【详解】抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移2个单位，再向下平移3个单位长度所得对应点的坐标为（-2，-3）， 所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2-3． 故选：A． 4. 如图，在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，先利用勾股定理求得，再利用余弦定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：B． 5. 如图，点在中，若，则的度数是（  ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵，， ∴． 6. 如图，已知，．若，则的长为（  ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 7. 如图，为的半径，为的切线，连接．若，则的度数为（  ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据切线的性质得到，再根据等腰三角形的性质得到，进一步计算即可求解． 【详解】解：∵为的切线， ∴． ∵， ∴． ∴ ． 8. 某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙三名同学的平均分为及方差如右表所示，那么这三名同学数学成绩最稳定的是（ ） 甲 乙 丙 91 91 91 6 24 54 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】先比较平均成绩，当平均成绩一致时，比较方差，方差小的波动小，成绩更稳定． 【详解】甲、乙、丙的成绩的平均分都是91，故比较它们的方差，甲、乙、丙三名同学的方差分别为6，24，54；故甲的方差是最小的，则甲的成绩是最稳定的． 故选A． 【点睛】本题考查了方差的意义，若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，理解方差的意义是解题的关键． 9. 在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是 A. （﹣2，1） B. （﹣8，4） C. （﹣8，4）或（8，﹣4） D. （﹣2，1）或（2，﹣1） 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据位似的性质，缩小后的点在原点的同侧，为（-2，1），然后求在另一侧为（2，-1）． 故选∶D． 10. 如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，且过点，下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则；⑤关于的方程，有两个相等的实数根；其中说法正确的是（  ） A ①②③ B. ①②④⑤ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】①利用抛物线判定二次函数的参数取值； ②根据对称轴确定参数的关系； ③根据函数特殊值进行判断； ④根据对称点进行判断； ⑤根据图象和一元二次方程的关系，结合数形结合的思想进行判断． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴； ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴； ∴，故①正确； ②∵对称轴为直线， ∴, ∴， ∴，故②正确； ③由图象可知，当时，， 即，故③错误； ④∵对称轴为直线， ∴点，关于直线对称， ∴，故④正确； ⑤由图象可知，抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线与直线有一个交点， ∴方程，有两个相等的实数根，故⑤正确； 综上，正确选项为①②④⑤． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分） 11. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设，（），代入求值即可． 【详解】解：由，设，（）， 则． 故答案为：． 12. 如图，⊙O的半径为5，弦，B是的中点，连接，则的长为 _____． 【答案】3 【解析】 【分析】连接，根据垂径定理的推论得OB⊥AC，再根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵B是的中点，， ∴，， ∴在中，， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了垂径定理的推论、勾股定理，熟练掌握垂径定理的推论是解答的关键． 13. 反比例函数如图，则矩形的面积是________． 【答案】6 【解析】 【分析】直接设点P的坐标，表示出和，再计算矩形的面积即可． 【详解】解：设， ∴，， ∴矩形的面积是． 14. 一元二次方程的解是_________． 【答案】， 【解析】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： ∴或 解得， 15. 如图，是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆C处时，另一端D处就会撬动石头．已知动力臂米，阻力臂米，如果杠杆D端被向上撬起米，那么此时要将杠杆的C点向下压的长度是_______米． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 证明，得到，代入求出的值即可． 【详解】解：由题意，得 ， ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 故答案为：． 16. 实数a，b定义新运算“*”如下：，例如，则方程根的情况是________．（填序号） ①有两个不相等的实数根 ②有两个相等的实数根 ③没有实数根 【答案】③ 【解析】 【分析】根据题意列出一元二次方程，根据根的判别式进行判断即可． 【详解】解：由题意可得，， 即， ∵， ∴方程的根的情况是没有实数根． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】先化简绝对值、代入特殊三角函数值、计算零指数幂，再计算乘法，最后算加减法即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值： ，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的运算法则进行化简，再代值计算即可． 【详解】解：原式 = = 将代入，得原式． 19. 为了满足同学们的多样化兴趣，促进同学们的个性化成长，某校计划开设5个类别的选修课：A：“音乐类”，B：“绘画类”，C：“体育类”，D：“舞蹈类”，E：“文学类”，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查，每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门，对调查结果进行统计后，绘制了如下的两个不完整的统计图． 根据以上统计图的信息，解答下列问题： （1）此次调查抽取的学生人数为________名，在扇形图中，A：“音乐类”所在扇形的圆心角的度数是________； （2）请补全条形统计图； （3）如果该校有2000名学生，请估计全校选择C：“体育类”的学生大约有多少人． 【答案】（1）100， （2）见解析 （3）大约有800人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图综合． （1）用B的人数除以B的百分比即可求出总人数，用A的人数除以总人数乘以即可求出圆心角的度数； （2）求出选修“舞蹈类”的人数，即可补全全条形统计图； （3）用2000乘以C所占比例即可． 【小问1详解】 解：（人），所以此次调查抽取的学生人数为100人； 在扇形图中，“音乐类”所在扇形的圆心角的度数为； 故答案为：100，； 【小问2详解】 解：选修“舞蹈类”的人数为（人）， 补全条形统计图为： 【小问3详解】 解：（人）， 所以估计全校选择C：“体育类”的学生大约有800人． 20. 张掖红梨果皮色泽鲜红，是外观精美的梨族新秀．若将进货价为8元/千克的张掖红梨按10元/千克出售，每日能销售100千克．已知张掖红梨在一定范围内每涨价1元/千克，其日销售量就减少10千克，为了能获取更大的利润，决定对其涨价x元/千克销售．回答下列问题： （1）涨价后，每千克张掖红梨的利润为 元，每天可销售 千克（用含x的代数式表示）； （2）若每天要盈利320元，则该张掖红梨应涨价多少元？ （3）若需获得最大利润，应涨价多少元，最大利润是多少元？ 【答案】（1）， （2）涨价2元或6元 （3）涨价4元，利润最大，最大利润为360元 【解析】 【分析】（1）根据售价减去进价即可求出利润，根据现在的销量减去涨价后减少的销量可求出涨价后的销量； （2）根据每天要盈利320元即可列出方程，解方程即可求出答案； （3）设最大利润为w，根据利润等于每千克的利润乘以数量列出函数关系式，然后根据二次函数的性质求解． 【小问1详解】 解：由题意可得，每千克张掖红梨的利润为元； ∵在一定范围内每涨价1元/千克，其日销售量就减少10千克， ∴每天可销售千克； 【小问2详解】 解：由题意可得，， 解得， 所以该张掖红梨应涨价2元或6元； 【小问3详解】 解：设最大利润为w， 则 ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，利润最大，最大利润为360元． 21. 如图，已知的直径为，平分，交于点，过点作，垂足为． （1）判断与的位置关系，并给出证明． （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接 ∵平分 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵为半径 ∴直线是的切线 （2）4.5 【解析】 【分析】（1）连接，证明，则可证，进而证明，最后根据切线的判定即可得证； （2）证明，根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵为的直径 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴， 即的半径为4.5． 22. 如图，一楼房后有一假山，的坡度，山坡坡面上点处有一休息亭，测得假山脚与楼房水平距离米，与亭子距离米，小丽从楼房房顶测得的俯角为． （1）求点到水平地面的距离的高度； （2）求楼房的高． 【答案】（1）4 （2）米 【解析】 【分析】（1）过点E作于点F，根据坡度的定义得到，求出，再根据直角三角形的性质求解即可； （2）过点作于点，先由勾股定理求解，然后解即可求解，最后由求解即可． 【小问1详解】 解：过点E作于点F， 在中， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点作于点， 在中，由勾股定理得： ， ∴由题意可得，米， ， 在中，∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴米． 所以楼房的高为米． 23. 某数学兴趣小组在数学课外活动中研究三角形和矩形性质时，做了如下探究：在矩形中，点在上，， （1）【观察与猜想】如图1，连接，过点作，交于点，连接，求证：； （2）【类比探究】如图2，点在矩形的边上（点不与点、重合），连接，过点作，交于点，连接．求证：； （3）【拓展延伸】如图3，点在矩形边上（点不与点、重合），连接，过点作，交于点，连接，且的面积是4.5，直接写出长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和已知数据，证明； （2）根据矩形性质可得，再通过导角证明，即可证明； （3）过作于，根据的面积可得，同（2）可证，推出，进而求出，再利用勾股定理解求出，即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ 在和中， ， ∴． 小问2详解】 证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【小问3详解】 解：如图，过F作于G， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 同（2）可证：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：． 24. 在坐标系中，正方形的顶点A，B在x轴上，.抛物线与x 轴交于点和点 F. （1）如图，若抛物线过点C，求抛物线的表达式和点F的坐标； （2）如图，在（1）的条件下，连接，作直线，平移线段，使点C的对应点P落在直线上，点F的对应点Q落在抛物线上，求点Q的坐标； （3）若抛物线与正方形恰有两个交点，直接写出a的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3）的取值范围为或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的几何综合以及二次函数的性质： （1）运用待定系数法进行解二次函数的解析式，得，再令，即可作答． （2）运用待定系数法得到直线的表达式为，设点，则点，依题意，把点代入，即可作答． （3）分类讨论，①如图，当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点，或②如图，当抛物线与直线交点在点c下方，且与直线交点在点上D方时，与正方形有两个交点，联立不等式组，即可作答． 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【小问1详解】 解：把，代入得： 解得 ： ∴ 令 ∴ ∴ 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示： 设直线的表达式为过点，， ∴ 解得 ： ∴ 设点，则点 把点代入 ∴ 整理得： 解得： ∴； 【小问3详解】 解：∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∴点A和点D的横坐标为，点B和点C的横坐标为2， 将代入，得， ∴顶点坐标为， ①如图，当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点， ∴ ∴ ②如图，当抛物线与直线交点在点c下方，且与直线交点在点上D方时，与正方形有两个交点， ∴ 综上所述，a的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $