精品解析：湖南省株洲市炎陵县2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

炎陵县教学质量监测九年级数学试题（2025.1） （时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 本试题卷共三个大题26小题，注意不漏页，不漏题． 答题时，切记答案要填在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共10小题，满分30分） 1. 反比例函数图象经过点，则的值是（ ） A. 12 B. C. D. 2. 一元二次方程配方后化为（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 4. 中，，若， ，则的长为（ ） A. B. C. D. 8 5. 在“庆元旦，迎新年”文艺汇演中，5位评委给小明同学的评分如下：90，92，92，91，95．则这5个数据的平均数和众数分别是（ ） A. 91，92 B. 92，92 C. 92，93 D. 93，92 6. 抛物线的顶点坐标为（　　） A. B. C. D. 7. 若等腰三角形的某两边的长是方程的两根，则它的周长为（ ） A. 9或12 B. 9 C. 10或12 D. 12 8. 如图，直线，如，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函与的一个交点，则图中阴影部分的面积（ ） A. B. C. D. 10. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共8小题，共24分） 11. 已知反比例函数的图象位于一、三象限，则的取值范围为_________． 12. 一元二次方程的两根为，，则的值是__________． 13. 某住宅小区有居民600户，从中随机抽取100户，调查是否购买家用小轿车，调查结果有40户购买了家用小轿车，则该小区已购买了家用小轿车的户数估计为________户． 14. 将二次函数的图象沿x轴向右平移2个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为_______． 15. 如图，在中，D，E分别是边的中点，则与的面积比_____ 16. 在综合实践课上，孔明同学设计了如图测量河塘宽的方案：在河塘外选一点，连接，，测得，，延长，分别到，两点，使，，有测得，则河塘宽__________． 17. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，⊙O的半径为cm，则弦CD的长为______________________________． 18. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现，在计算tan 15°时，如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB到点D，使BD=AB，连接AD，得∠D=15°， 所以tan 15°==．类比这种方法，计算的值为_______． 三、解答题（本大题共8题，共66分） 19. 计算： 20. 若关于x的方程 有实数根． （1）求a的取值范围； （2）若a为符合条件的最小整数，求此时方程的根 21. 中学生骑电动车上学的现象越来越受到社会的关注．为此某媒体记者随机调查了某市城区若干名中学生家长对这种现象的态度（态度分为：A：无所谓；B：反对；C：赞成），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次抽样调查中，共调查了　 　名中学生家长； （2）将图①补充完整； （3）根据抽样调查结果，请你估计该市城区80 000名中学生家长中有多少名家长持赞成态度？ 22. 如图，甲乙两楼的水平距离为，自乙楼楼顶处，测得甲楼顶端处的仰角为，测得甲楼底部处的俯角为，求甲楼的高度．（结果取整数）参考数据：，取1.73． 23. 已知：如图，在菱形ABCD中，E为BC边上一点，∠AED=∠B． （1）求证：△ABE∽△DEA； （2）若AB=4，求AE•DE的值． 24. 湖南农业大区零陵区土地资源丰富，近年来，该区利用农业特色资源优势，大力发展特色种植，带动农民门口致富，尤其是各种水果的种植驰名省内外．下面是一家果农所遇到的问题，请你阅读下面材料帮忙解决果农所遇到的问题. 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对纽荷尔脐橙的种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2020年纽荷尔脐橙平均每株产量是50千克，2022年达到了72千克，每年的增长率是相同的． 素材二 一般采用的是长方体包装盒． （1）任务1：求纽荷尔脐橙产量的年平均增长率； （2）任务2：为了放下适当数量的纽荷尔脐橙，现有边长为的正方形纸板，将四角各裁掉一个正方形，折成无盖长方体纸盒．折成的长方体盒子侧面积（四个侧面的面积之和）有没有最大值？如果没有，说明理由；如果有，求出此时剪掉的正方形边长． 25. 如图，是圆O的直径，是圆O的弦，点P是圆O外一点，连结，，且． （1）求证：是圆O的切线； （2）连结，交于点Q，且. ①求证：； ②若，圆O的半径为2，求的长． 26. 如图，抛物线（b、c为常数）与x轴相交于点、，与y轴相交于点C，其对称轴与x轴相交于点D，作直线． （1）求抛物线的表达式； （2）若点P为抛物线的顶点，求的面积； （3）若点P为直线下方抛物线上的一点，是否存在点P使的面积为最大？ 若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 炎陵县教学质量监测九年级数学试题（2025.1） （时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 本试题卷共三个大题26小题，注意不漏页，不漏题． 答题时，切记答案要填在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共10小题，满分30分） 1. 反比例函数图象经过点，则的值是（ ） A. 12 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点：点在反比例函数图象上，则点的坐标满足反比例函数解析式；把点的坐标代入中，即可求得的值． 【详解】解：∵反比例函数图象经过点， ∴， ∴； 故选：A． 2. 一元二次方程配方后化为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程－配方法，先把方程两边都加9，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选B． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】求出其根的判别式，然后根据根的判别式的正负情况即可作出判断． 【详解】∵，，， ∴， ∴方程有两个相等的实数根． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程（）的根的判别式：当＞0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当＜0，方程没有实数根． 4. 中，，若， ，则的长为（ ） A. B. C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查利用余弦求线段长度，解题的关键是判断斜边及邻边．根据直角三角形余弦定义即可求值． 【详解】解：由题意得， ， ∴ ， 故选D． 5. 在“庆元旦，迎新年”文艺汇演中，5位评委给小明同学的评分如下：90，92，92，91，95．则这5个数据的平均数和众数分别是（ ） A. 91，92 B. 92，92 C. 92，93 D. 93，92 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平均数与众数的计算，理解平均数、众数的概念是解题的关键；依据平均数的计算公式与众数的概念进行计算即可． 【详解】解：这5个数据的平均数是：；这5个数据中92出现的次数最多，故众数是92； 故选：B． 6. 抛物线的顶点坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标． 【详解】解：由，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为， 故选：C． 7. 若等腰三角形的某两边的长是方程的两根，则它的周长为（ ） A. 9或12 B. 9 C. 10或12 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解一元二次方程，三角形三边关系；先解一元二次方程，求得两边分别为2与5，分腰为2与腰为5两种情况考虑，结合三角形三边关系即可求解． 【详解】解：解得：； 由题意，当腰为2时，则底边为5，但，不符合三角形三边关系，不符合题意； 当腰为5时，则底边为2，，符合三角形三边关系， 所以周长为； 故选：D． 8. 如图，直线，如，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握定理内容并熟练应用是关键；由平行线分线段成比例定理得，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴； 故选：B． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函与的一个交点，则图中阴影部分的面积（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象的对称性：反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是坐标原点．先利用反比例函数解析式确定P点坐标为，由于圆心在原点O，则圆的面积的面积为，然后根据反比例函数图象关于原点中心对称得到阴影部分的面积为圆面积的即可求解． 【详解】解：把代入得，解得或， ∵点P在第一象限， ∴， ∴P点坐标为， ∴， ∴圆的面积， ∴图中阴影部分的面积． 故选：C． 10. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致． 【详解】解：A、由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，与事实矛盾，不符合题意； B、由抛物线的开口向下可知与事实矛盾，不符合题意； C、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，，由直线可知， ，符合题意； D、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，，由直线可知，，错误， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数图象的综合判断，熟知一次函数、二次函数图象与其系数的关系是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共8小题，共24分） 11. 已知反比例函数的图象位于一、三象限，则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质得，然后解不等式即可. 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴，解得， 故答案为：. 【点睛】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大. 12. 一元二次方程的两根为，，则的值是__________． 【答案】-3 【解析】 【分析】根据韦达定理进行求解即可． 【详解】解：由韦达定理可知． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 13. 某住宅小区有居民600户，从中随机抽取100户，调查是否购买家用小轿车，调查结果有40户购买了家用小轿车，则该小区已购买了家用小轿车的户数估计为________户． 【答案】240 【解析】 【分析】本题考查了用样本估计总体，用600乘以样本中购买了家用小轿车的比例即可求解． 【详解】解：户． 故答案为：240． 14. 将二次函数的图象沿x轴向右平移2个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移；根据左移加，右移减，上移加，下移减，即可确定平移后的函数表达式． 【详解】解：由题意，平移后的解析式为，即； 故答案为：． 15. 如图，在中，D，E分别是边的中点，则与的面积比_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据中位线点性质及相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得答案． 【详解】∵D，E分别是边的中点， ∴DE是三角形的中位线， ∴， ∴∽， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查相似三角形的性质及中位线性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键． 16. 在综合实践课上，孔明同学设计了如图测量河塘宽的方案：在河塘外选一点，连接，，测得，，延长，分别到，两点，使，，有测得，则河塘宽__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质的应用；由题意得，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， 即，且， ∴， ∴， ∴ 即河塘宽； 故答案为：． 17. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，⊙O的半径为cm，则弦CD的长为______________________________． 【答案】3 cm　 【解析】 【分析】由垂径定理知CD=2CE，欲求CD，需求出CE的长；在Rt△COE中，已知OC的长，缺少的是∠COB的度数；已知了同弧所对的∠CDB的度数，由圆周角定理即可求出∠COB的度数，由此得解． 【详解】因为∠CDB=30∘,所以∠COB=60∘, Rt△CEO中,OE= cm, CE= cm, 所以CD=3cm. 【点睛】本题主要考查了圆周角定理, 垂径定理, 解直角三角形的应用，关键在于求出∠COB的度数. 18. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现，在计算tan 15°时，如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB到点D，使BD=AB，连接AD，得∠D=15°， 所以tan 15°==．类比这种方法，计算的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=45°，可知AC=BC，延长CB到点D，使BD=AB，得∠D=22.5°，根据勾股定理求出AB=，可求CD= ，利用定义求tan 22.5°，取倒数即可． 【详解】解：在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=45°， ∴AC=BC， 延长CB到点D，使BD=AB， 得∠D=22.5°， 根据勾股定理AB=， CD=BC+BD=AC+AB=， tan 22.5°=， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查类比方法求三角函数值，勾股定理，掌握三角函数的定义，勾股定理的应用，以及构图取半角的方法是解题关键． 三、解答题（本大题共8题，共66分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根、零指数幂、负整数指数幂及特殊角三角函数，掌握这些基础知识是关键；依次计算算术平方根、零指数幂、特殊角三角函数及负整数指数幂，即可求解． 【详解】 ． 20. 若关于x的方程 有实数根． （1）求a的取值范围； （2）若a为符合条件的最小整数，求此时方程的根 【答案】（1）a≥（2）a=，． 【解析】 【详解】试题分析：(1)、根据方程有实数根则△≥0求出a的取值范围；(2)、首先求出a的值，然后得出一元二次方程，从而求出方程的解. 试题解析：(1)、△=4+4a；∵方程由实数根，∴4+4a≥0，∴a≥-1； (2)、当a为符合条件的最小整数时，a=-1，原方程为：，其解为： 考点：(1)、一元二次方程根的判别式；(2)、解一元二次方程. 21. 中学生骑电动车上学的现象越来越受到社会的关注．为此某媒体记者随机调查了某市城区若干名中学生家长对这种现象的态度（态度分为：A：无所谓；B：反对；C：赞成），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次抽样调查中，共调查了　 　名中学生家长； （2）将图①补充完整； （3）根据抽样调查结果，请你估计该市城区80 000名中学生家长中有多少名家长持赞成态度？ 【答案】（1）200； （2）补图见解析； （3）12 000名 【解析】 【分析】（1）用“无所谓”的人数除以其所占的百分比即可得到调查的总数； （2）总数减去A、B两种态度的人数即可得到C态度的人数，进而补全条形图； （3）求出抽样调查中持“赞成态度”的百分比，然后用家长总数乘以该百分比即可． 【小问1详解】 解：调查的家长总人数为：（名）， 故答案为：200； 【小问2详解】 解：持赞成态度的学生家长有（名）， 条形统计图补全如下： 【小问3详解】 解：由题意可得，估计该市城区80 000名中学生家长中持赞成态度人数为： （名） 答：估计该市城区80 000名中学生家长中持赞成态度人数为12 000名． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 22. 如图，甲乙两楼的水平距离为，自乙楼楼顶处，测得甲楼顶端处的仰角为，测得甲楼底部处的俯角为，求甲楼的高度．（结果取整数）参考数据：，取1.73． 【答案】甲楼的高度约为 【解析】 【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解． 【详解】解：过点作，垂足为． 在中，，， 由， ， 在中，， 由， 得， ， ， 答：甲楼的高度约为． 【点睛】本题考查解直角三角形仰角俯角、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，属于基础题，中考常考题型． 23. 已知：如图，在菱形ABCD中，E为BC边上一点，∠AED=∠B． （1）求证：△ABE∽△DEA； （2）若AB=4，求AE•DE的值． 【答案】（1）如图， ∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC．∴∠1=∠2. 又∵∠B=∠AED，∴△ABE∽△DEA． （2）16 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据菱形的对边平行，可得出∠1=∠2，结合∠AED=∠B即可证明两三角形都得相似．（2）根据（1）的结论可得出 ，进而代入可得出AE•DE的值． 试题解析：（1）略 （2）∵△ABE∽△DEA，∴.∴AE•DE=AB•DA． ∵四边形ABCD是菱形，AB=4，∴AB=DA=4． ∴AE•DE=AB2=16． 考点：1.菱形的性质；2.相似三角形的判定和性质． 24. 湖南农业大区零陵区土地资源丰富，近年来，该区利用农业特色资源优势，大力发展特色种植，带动农民门口致富，尤其是各种水果的种植驰名省内外．下面是一家果农所遇到的问题，请你阅读下面材料帮忙解决果农所遇到的问题. 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对纽荷尔脐橙的种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2020年纽荷尔脐橙平均每株产量是50千克，2022年达到了72千克，每年的增长率是相同的． 素材二 一般采用的是长方体包装盒． （1）任务1：求纽荷尔脐橙产量的年平均增长率； （2）任务2：为了放下适当数量的纽荷尔脐橙，现有边长为的正方形纸板，将四角各裁掉一个正方形，折成无盖长方体纸盒．折成的长方体盒子侧面积（四个侧面的面积之和）有没有最大值？如果没有，说明理由；如果有，求出此时剪掉的正方形边长． 【答案】（1）纽荷尔脐橙产量的年平均增长率为 （2）有，被裁掉的正方形边长为20厘米时，无盖长方体纸盒的侧面积最大 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用；掌握二次函数的性质是解题关键． （1）设纽荷尔脐橙产量的年平均增长率为x，则年的产量为50千克，2022年的产量为千克，由2022年的产量72千克列方程即可； （2）由可得裁掉正方形的边长即为正方体盒子的高，设裁掉正方形的边长为，根据正方体纸盒的侧面积列出解析式配方即可． 【小问1详解】 解：设纽荷尔脐橙产量的年平均增长率为，由题意得： 解得：，（不符合题意舍去） 纽荷尔脐橙产量的年平均增长率为 【小问2详解】 设裁掉正方形的边长为，由题意得： ∴当时，有最大值 ∴被裁掉的正方形边长为厘米时，无盖长方体纸盒的侧面积最大． 25. 如图，是圆O的直径，是圆O的弦，点P是圆O外一点，连结，，且． （1）求证：是圆O的切线； （2）连结，交于点Q，且. ①求证：； ②若，圆O的半径为2，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）连接，先根据圆周角定理的推论证明，再根据圆的性质证明，再根据切线的判定定理即可； （2）①根据平行线的性质，及切线的性质定理即可证明，②根据①中的结论，利用相似的性质即可． 【小问1详解】 连接， ∵是圆O的直径 ∴ ， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵是圆O的半径， ∴是圆O的切线； 【小问2详解】 ①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是圆O的切线 ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵，圆O的半径为2 ∴， ∴. ． 【点睛】本题考查了圆的综合，涉及的知识点主要由切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，熟练的将已知条件与所给图形相结合是解题的关键． 26. 如图，抛物线（b、c为常数）与x轴相交于点、，与y轴相交于点C，其对称轴与x轴相交于点D，作直线． （1）求抛物线的表达式； （2）若点P为抛物线的顶点，求的面积； （3）若点P为直线下方抛物线上的一点，是否存在点P使的面积为最大？ 若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）存在， 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法、二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键． （1）把、两点坐标代入抛物线解析式，可求得、的值，可求得抛物线解析式； （2）由抛物线解析式可求得、的坐标，可求得直线解析式，设对称轴交直线于点，则可求得点坐标，可求得的长，则可求得的面积； （3）设，则，，根据列出关系式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线、为常数）与轴相交于点、， ， 解得， 抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：， ，且， 设直线解析式为，则有， 解得， 直线解析式为， 设对称轴交于点，则， ， ； 【小问3详解】 解：设，则， ∴， ， ∴当时，的面积最大，此时点P的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $