专题21.3.3 正方形（5大知识点+9大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年人教版八年级数学下学期培优讲义

本初中数学讲义聚焦正方形核心知识点，系统梳理从平行四边形到矩形、菱形再到正方形的演变脉络，涵盖定义、性质、判定、面积计算及与特殊平行四边形的关系，构建完整知识支架。 资料以分层题型设计为特色，基础题型巩固性质应用，培优题型结合坐标与折叠培养数学思维，压轴题型通过全等与实际情境建模提升数学眼光。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用能力。

专题21.3.3 正方形 知识点1：正方形的定义 1.有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2.定义的三重属性：正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形和特殊的菱形（矩形+邻边相等=正方形，菱形+直角=正方形）。 3.数学语言：在中，若且，则是正方形。 知识点2：正方形的性质 正方形兼具平行四边形、矩形、菱形的所有性质，具体如下： 性质类型 具体内容 数学语言（正方形，对角线交于） 边 对边平行；四条边都相等 ，； 角 四个角都是直角；邻角互补 ； 对角线 相等且互相垂直平分；每条对角线平分一组对角 ，，；， 对称性 中心对称图形（对称中心为）；轴对称图形（4条对称轴：两条对角线所在直线+两组对边中点连线） 三角形构成 对角线将正方形分成4个全等的等腰直角三角形 （均为等腰直角三角形） 知识点3：正方形的判定方法 正方形的判定需遵循“先定性（平行四边形/矩形/菱形），再特殊化”的思路，具体判定方法如下： 判定路径 具体条件 数学语言 平行四边形→正方形 ①有一组邻边相等；②有一个角是直角（满足其一即可） 在中，（或），是正方形 矩形→正方形 ①有一组邻边相等；②对角线互相垂直（满足其一即可） 在矩形中，（或），矩形是正方形 菱形→正方形 ①有一个角是直角；②对角线相等（满足其一即可） 在菱形中，（或），菱形是正方形 一般四边形→正方形 ①四条边都相等；②四个角都是直角；③对角线相等且互相垂直平分（满足其一组合即可） 在四边形中，且，四边形是正方形 知识点4：正方形与特殊平行四边形的关系 图形 与正方形的关系 核心区别 平行四边形 正方形的基础图形 无直角、邻边不一定相等 矩形 正方形的“直角基础” 邻边不一定相等，对角线不垂直 菱形 正方形的“邻边相等基础” 无直角，对角线不相等 知识点5：正方形的面积计算 计算方法 数学表达式 适用条件 边长法 （为边长） 已知边长 对角线法 （、为对角线） 已知对角线长度（正方形对角线，可互通） 【基础必考题型】 【题型1】正方形性质的直接应用（角度计算） 1.核心知识点 正方形的四个角为直角；对角线平分一组对角；等腰直角三角形的性质。 2.解题方法技巧 利用“对角线平分对角”得到特殊角；结合直角三角形内角和、等腰直角三角形底角相等的性质推导角度；注意对角线夹角与正方形内角的关联（如对角线夹角为）。 【例题1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，正方形的对角线相交于点O，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据四边形为正方形，得到，平分，即可求出． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，平分， ∴． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在正方形的外侧作等边，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正方形和等边三角形的性质以及三角形内角和定理进行求解． 【详解】解：四边形为正方形， ，， 是等边三角形， ，， ，， ． 【变式题1-2】.（25-26九年级下·江苏南京·月考）若以正方形的一边为边画正，则的度数为 _____________ ． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，点在正方形内部、点在正方形外部，结合正方形的性质、等边三角形的性质得到等腰三角形，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可求解． 【详解】解：分两种情况讨论： 当点在正方形外部时， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ， ， ∴和都是等腰三角形， ∴，， ∴； 当点在正方形内部时， 同理，，，， ∴， ， ∴和都是等腰三角形， ∴，， ∴； 故答案为：或． 【变式题1-3】.（25-26九年级上·陕西汉中·期末）如图，在正方形中，点在对角线上，过点作于点，连接，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形的外角性质． 根据正方形的性质求得，根据三角形的外角性质求得，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，是对角线，点在对角线上， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 【题型2】正方形性质的直接应用（线段计算） 1.核心知识点 正方形的四边相等、对角线相等且互相垂直平分的性质；勾股定理。 2.解题方法技巧 已知边长直接用“四边相等”转化线段；已知对角线，先求对角线一半（），再用勾股定理求边长；对角线与边长的关系为，可直接换算。 【例题2】.（24-25八年级下·上海·期末）如图，用四根相同长度的木条制作成正方形，测得对角线长为，如果将此正方形变形为菱形，且，那么菱形对角线长为（    ） A．10 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质以及勾股定理可得，如图，连接交于点，根据菱形的性质结合可得，再利用勾股定理得到，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，对角线长为， ∴， ∴，即 ∴ 如图，连接交于点， ∵将正方形变形为菱形， ∴，，，， ∵ ∴为等边三角形， ∴，， ， ∴． 【变式题2-1】.（24-25八年级下·上海·期末）如图，正方形中，点E、F分别在边、上，，，如果，那么的周长是_________． 【答案】/ 【分析】证明出四边形是平行四边形，得到，求出，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形 ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴ ∴的周长是． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，分别以为边向外作正方形，正方形，连接，则的长为（   ） A．10 B．9 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，过点E作，交的延长线于点P，设交于点Q，则，，先由勾股定理求出，根据正方形性质得，，，证明，进而依据“”判定，则，进而依据“”判定，则，，然后在中，由勾股定理求出即可得出的长． 【详解】解：过点E作，交的延长线于点P，设交于点Q，如图所示： ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴，和都是直角三角形， 在中，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 故选：C． 【变式题2-3】.（25-26九年级上·山西运城·期末）在正方形中，对角线，交于点，延长至点，使，连接，点为的中点，连接．若，则的长为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，运用正方形的性质证明，，又因为点为的中点，得出，再根据勾股定理得，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型3】正方形的基础判定 1.核心知识点 正方形的四种判定方法；矩形、菱形、平行四边形的性质。 2.解题方法技巧 若已知图形是矩形，补充“邻边相等”或“对角线垂直”；若为菱形，补充“直角”或“对角线相等”；若为平行四边形，补充“邻边相等+直角”或“对角线垂直且相等”；排除无关条件（如仅对角线相等是矩形，仅对角线垂直是菱形）。 【例题3】.（24-25八年级下·重庆·期中）下列说法正确的是（    ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是正方形 C．一组邻边相等的四边形是菱形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】D 【详解】解：∵对角线相等且互相平分的四边形才是矩形，仅对角线相等的四边形不一定是矩形，∴A错误． ∵对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，仅对角线互相垂直的四边形不一定是正方形，∴B错误． ∵一组邻边相等的平行四边形才是菱形，仅一组邻边相等的四边形不一定是菱形，∴C错误． ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴D正确． 【变式题3-1】.（2026·广东佛山·一模）在平行四边形中，．添加一个条件，使得四边形为正方形，添加的条件可以为（   ） A． B． C．平分 D．平分 【答案】A 【分析】根据已知条件先得出四边形是菱形，再结合正方形的判定定理，分析各选项即可． 【详解】解：在平行四边形中， ∴四边形是菱形， A、当时，则菱形是正方形，正确； B、菱形本身对角线，故添加，不能使得四边形为正方形； C、菱形本身对角线平分，故添加平分，不能使得四边形为正方形； D、菱形本身对角线平分，故添加平分，不能使得四边形为正方形． 【变式题3-2】.（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，在中，，是边上的中线，过点C作的平行线，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)当满足 时，四边形是正方形．请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了直角三角形的性质、菱形的判定与性质、正方形的判定定理、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由直角三角形的性质可得，推出，结合得出四边形是平行四边形，再结合即可得证； （2）由等腰直角三角形的性质可得，即，即可得证． 【详解】（1）证明：∵在中，，是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：当满足时，四边形是正方形，理由如下： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∴菱形是正方形， 故答案为：． 【变式题3-3】.（25-26九年级上·河南平顶山·期末）如图，点在直线上，过的中点作的平行线，分别交的平分线和的平分线于点． (1)试判断四边形的形状，并证明你的结论； (2)当与的位置关系为____时，四边形是正方形． 【答案】(1)矩形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的判定，平行四边形的判定，矩形的判定，平行线的性质的应用，注意：对角线互相平分且相等四边形是矩形． （1）根据角平分线定义和平行线推出，推出，同理，即可得出答案； （2）根据矩形的性质和正方形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）解：四边形是矩形， 证明：∵平行， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可证：， ∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：当与的位置关系为时，四边形是正方形． 证明：由（1）得四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 故答案为：． 【题型4】正方形面积的基础计算 1.核心知识点 正方形的三种面积计算公式；对角线与边长的关系。 2.解题方法技巧 已知边长用；已知对角线用（因）；已知对角线一半，先求对角线全长，再代入面积公式。 【例题4】.（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）如图所示，从一个大正方形中裁掉面积为20和90的两个小正方形，则余下部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设面积为20和90的两个小正方形的边长分别为x，y，根据题意，得，，，解答即可． 本题考查了正方形的性质，算术平方根的计算，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设面积为20和90的两个小正方形的边长分别为x，y， 根据题意，得，，， 故， 故， 故剩余图形的面积为， 故选：C． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形．若，，则（   ） A．50 B．60 C．100 D．110 【答案】B 【分析】连接，即可利用勾股定理的几何意义解答． 本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边． 【详解】解：连接，根据勾股定理，得， 由正方形的性质，得， 故， 又，， 则， 故选：B． 【变式题4-2】.（25-26六年级下·全国·课后作业）如图所示，一块长厘米、宽厘米的长方形纸板①，一块长厘米、宽厘米的长方形纸板②，一块正方形纸板③，以及另两块长方形纸板④和⑤，恰好拼成一个大正方形，则大正方形的面积是_____________平方厘米． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设正方形纸板③的边长为厘米，则大正方形的边长为厘米或厘米，根据正方形的四条边长相等，可得方程，解方程可以求出正方形纸板③的边长为厘米，可得大正方形的边长为厘米，根据正方形的面积公式即可求出结果． 【详解】解：设正方形纸板③的边长为厘米， 则大正方形的边长为厘米或厘米， 根据题意可得：， 解得：， 正方形纸板③的边长为厘米， 大正方形的边长为厘米， 大正方形的面积为平方厘米． 故答案为：． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·四川成都·期末）我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理．如图，已知正方形和正方形，A，B，E三点在一条直线上，现将其裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形，若正方形和正方形的面积之和为220，阴影部分的面积为130，则的长为________． 【答案】20 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和判定、乘法公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 设，，根据正方形的性质得到，证明≌，推出，根据解题即可． 【详解】解：如图： 设，， ∴， ∵四边形、四边形和都是正方形， ∴，，，，， ∴，， ∴， 在和中， ∴≌， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴． 故答案为：20． 【培优高频题型】 【题型5】正方形与坐标综合 1.核心知识点 正方形的性质；平面直角坐标系的坐标特征；中点坐标公式；勾股定理。 2.解题方法技巧 利用“对角线互相垂直平分”，结合中点坐标公式求顶点坐标；根据“四边相等”，用两点间距离公式列方程验证正方形；对角线垂直且相等的正方形。 【例题5】.（2026·浙江·模拟预测）七巧板是我国古代著名的益智玩具，由一个正方形分割成七块几何图形组成，现把正方形边长为的图1七巧板拼成“小天鹅”形状，并放置在图2所示的直角坐标系中，则最高点的坐标为_________． 【答案】 【分析】根据七巧板图形性质即可求解． 【详解】解：由图可知，正方形边长为， 所以最小三角形最长边为2，高为，平行四边形长边长为2，小正方形可由两个最小三角形拼成， 且点在负半轴， 则点的坐标为． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·河北石家庄·月考）正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点坐标，点坐标，则点坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，图形与坐标等知识．作轴于点E，先求出．再证明，得到，进而求出，即可得到坐标是． 【详解】解：如图，作轴于点E． ∵点坐标，点坐标， ∴． ∵四边形为正方形， ∴， ∴． ∵轴， ∴， ∴ ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴坐标是． 故答案为： 【变式题5-2】.（25-26九年级上·辽宁锦州·月考）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为．点在边上．将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为．则点的坐标为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理，设点的坐标为，则，根据点的坐标可知，根据正方形的四条边都相等可知，根据点的坐标可知，利用勾股定理可得：，解方程求出的值即为点的横坐标，根据的值求出的长度即为点的纵坐标． 【详解】解：设点的坐标为，则， 点的坐标为， ， 四边形是正方形， ， 由折叠可知，， 点的坐标为， ， 在中，， ， 整理得：， ， 点的坐标是． 故答案为：． 【变式题5-3】.（24-25八年级下·重庆·开学考试）如图，正方形的边长为1，与点O相对的顶点B坐标为，以对角线为边作第二个正方形，与点O相对的顶点D的坐标为，再以对角线为边作第三个正方形，与点O相对的顶点F的坐标为，如此下去，则第个正方形中与点O相对的顶点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，正方形的性质，根据题意得出每变换8次，点O相对顶点所在的方向线位置重复，再根据每次变换后，对角线的长变为上一次的倍即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题知，， ∴每变换8次，点O相对顶点所在的方向线位置重复， 又∵余2， ∴第个正方形中与点O相对的顶点在上，即在y轴上， 又∴每次变换后，对角线的长变为上一次的倍， ∴第个正方形中含点O的对角线长为， ∴第个正方形中与点O相对的顶点的坐标为， 故选： 【题型6】正方形中的折叠问题 1.核心知识点 正方形的性质；折叠的性质（对应边相等、对应角相等）；勾股定理。 2.解题方法技巧 折叠后标注对应相等的线段和角，设未知线段为；利用正方形的直角和边长关系，将相关线段用表示；在折叠形成的直角三角形中建立勾股定理方程，求解未知量；注意折叠后点的位置（在正方形内/外）对线段关系的影响。 【例题6】.（2025·河南周口·一模）如图，在正方形中，点E，F分别在边上，将正方形沿折叠，使点B落在边上的三等分点M处，点C的对应点为点N，若 ，则线段的长为______． 【答案】或 【分析】分和两种情况讨论，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：在正方形中，， ∴，， ∵点B落在边上的三等分点M处， ∴和， 设，则， 由折叠的性质得， 当时，则， 在中，，即， 解得； 当时，则， 在中，，即， 解得； 综上，线段的长为或． 【点睛】注意三等分点有和两种情况，不要遗漏． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，则（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠性质可知，进而利用同角的余角相等证明，由此即可得出，进而确定．在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点，过点作，垂足为， 则， ∵正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠可知， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 设正方形边长为，则， ∵， ∴， 在中，，即 解得：或（不合题意舍去） ∴． 故选：D 【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，掌握折叠的性质，根据垂直模型证明是解题关键． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·广东佛山·期末）你知道吗？通过规则折纸，我们可以实现分点切割、直角定位、平行线绘制等精准构图，一张普通的纸张也可化作一把“几何神器” 以下是某一折纸的操作流程： 第一步：取一张正方形纸片，对折正方形纸片，折叠后左右两部分完全重合，记折痕为； 第二步：展开折叠纸片，继续沿直线折叠，使折叠后点D与点E重合，点C落在点处． (1)尺规作图：画出折痕； (2)设与的交点为Q．观察并猜想：点Q是线段的几等分点？验证你的猜想． 【答案】(1)图见解析 (2)点为的三等分点，证明见解析 【分析】本题考查尺规作图—作垂直平分线，正方形与折叠，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据折叠的性质，得到垂直平分，连接，作的中垂线即为直线； （2）设正方形的边长为1，作，连接，设，则，在，勾股定理求出的值，设，则，，在和中，勾股定理表示出，，再在中，利用勾股定理求出的值，即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：点为的三等分点，证明如下： 设正方形的边长为1，作，连接，则四边形为矩形， ∴，， 设，则， ∵折叠， ∴，，， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∴， 设，则，， 在中，； 在中，， 在中，， ∴，解得； ∴， 即点为的三等分点． 【变式题6-3】.（24-25八年级下·上海·期末）如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边和上，将该正方形沿着翻折，点A落在处，点B恰好落在边CD上的点处，如果四边形的面积为6，那么的面积是_________． 【答案】 【分析】本题考查翻折的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 连接，则，过点F作于点H，易证，进而得到、，设，则，根据四边形的面积为6，列方程得到关于的表达式，在中，利用勾股定理求出的值，最后利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：连接，则，过点F作于点H， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 、， 设，则， 四边形的面积为6， ， 即， 解得， ， ， 由翻折的性质得：， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 的面积为：． 【压轴素养题型】 【题型7】正方形与全等三角形综合 1.核心知识点 正方形的性质；全等三角形的判定（SAS、ASA、SSS、HL）。 2.解题方法技巧 利用正方形的“边相等、角相等”构造全等条件（如，）；通过对角线平分对角得到角，补充全等条件；证明线段相等可转化为证明对应三角形全等。 【例题7】.（内蒙古呼和浩特市剑桥、世宙中学2021-2022学年八年级下学期期中考试数学试题）如图，正方形，G是边上任意一点（不与B、C重合），于点E，，且交于点F． (1)求证：； (2)请直接判断四边形是否可能是平行四边形．（无需说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)不可能，理由见解析 【分析】（1）证明，从而得到，可得结果； （2）若要四边形是平行四边形，则，则，再证明即可． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：不可能，理由是： 如图，连接，若要使四边形是平行四边形， ∵， ∴当时，四边形为平行四边形， ∵， ∴，即此时， 而点G不与B、C重合， ∴，矛盾， ∴四边形不能是平行四边形． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·广西桂林·月考）四边形为矩形，，若点F是上的点，E是延长线上的一点，，于点G， (1)求证： (2)求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)的度数为． 【分析】（1）根据题意可得矩形是正方形，利用“”证明全等即可； （2）结合全等三角形的性质证明是等腰直角三角形，即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴矩形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）知， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴的度数为． 【变式题7-2】.（24-25八年级下·浙江宁波·月考）如图，在正方形中，点，点分别在边．上且满足，点是对角线的中点，连接． (1)求证：． (2)若． ①求证：． ②求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用证明，即可； （2）①延长交分别于点，作于点，则，，，进而推出，，进而得到，即可； ②证明，，进而得到，推出，三角形的中线的性质得到，证明，推出，进而得到，即可得证． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：①延长交分别于点，作于点，如图， 则，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∴； ②由①可知：，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·广西桂林·月考）如图，在边长为的正方形中， (1)如图1，，垂足为点，求证：； (2)如图2，垂直平分，且，求的长； (3)如图3，，点、和分别为、和的中点，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的性质得出，，利用直角三角形两锐角互余的性质得出，即可证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）连接，根据垂直平分线的性质得出，，，设，可得，，可求出，设，则，利用勾股定理得出，解方程求出值即可； （3）如图，过点作于点，连接，并延长交于点，连接，可证明四边形是矩形，得出，，即可证明，根据可得出，，，，证明，得出，，利用勾股定理求出，利用中位线的性质即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴． （2）解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵垂直平分，且， ∴，，， 设， ∴，， ∴， 解得：， ∴， 设，则， ∴， ∴ 解得：，即． （3）解：如图，过点作于点，连接，并延长交于点，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴． 【点睛】本题是四边形的综合，涉及全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线的性质及矩形的判定与性质，合理作出辅助线是解题关键． 【题型8】正方形的实际应用（情境建模题） 1.核心知识点 正方形的性质与判定；正方形的面积计算。 2.解题方法技巧 从实际情境（如地砖拼接、窗户框架、折纸、赵爽弦图）中抽象出正方形模型；提取情境中的已知条件（边长、对角线、直角），转化为数学问题；利用正方形的性质或面积公式求解实际问题（如用料面积、边长长度），注意单位统一和实际意义验证。 【例题8】.（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）如图，从一个大正方形木板上裁去面积为和的两个小正方形木料． (1)裁去的两块正方形木料的边长分别为_____和_____； (2)求剩余木料的面积； 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的应用： （1）根据正方形面积计算公式即可求出两个小正方形的边长； （2）根据（1）中结论求出大正方形的面积，再减去两个小正方形的面积即可得到答案． 【详解】（1）解：两个小正方形的面积为和， 两个小正方形的边长为，， 故答案为：，； （2）解：由（1）知大正方形的边长为： ； ∴大正方形的面积为， ∴阴影部分的面积． 答：剩余木料为． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·陕西渭南·期中）现有一块长方形木板，木工采用如图所示的方式，在长方形木板上截出三个面积分别为4平方分米、8平方分米和18平方分米的正方形木板A，B，C． (1)正方形木板A的边长为 分米，B的边长为 分米，C的边长为 分米； (2)求木板中阴影部分的面积． 【答案】(1)2，， (2)平方分米 【分析】本题考查了正方形面积与边长的关系及长方形面积计算． （1）根据正方形面积公式求出边长； （2）先确定长方形木板的长和宽，再用长方形面积减去三个正方形面积得到阴影部分面积． 【详解】（1）解：由题意知，设正方形木板的边长分别为，，， ∴，，， 解得，，， 故答案为：2，，． （2）解：木板中的阴影面积为：长方形木板面积-正方形木板A面积-正方形木板B面积-正方形木板C面积， 由（1）知，长方形木板的长为，长方形木板的宽为， ∴木板中阴影部分的面积为： ． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·陕西延安·月考）一个正方体的木箱卡在了垂直于地面且互相平行的两堵墙之间，抽象出几何图形如图，为墙面，四边形为正方形，说明该正方体木箱能否平放在这两堵墙之间． 【答案】该正方体木箱能平放在这两堵墙之间，说明见详解 【分析】先由正方形性质得到，再由互余定义，等量代换得到，进而根据两个三角形全等的判定定理确定，得到，则，在中，由三角形三边关系可得，即，从而确定答案． 【详解】解：该正方体木箱能平放在这两堵墙之间． 说明如下： ∵四边形为正方形 ， ， 又， ， ， ， ， 在中，由三角形三边关系可得， 即， 该正方体木箱能平放在这两堵墙之间． 【点睛】本题考查全等三角形判定与性质解决实际问题，涉及正方形性质、互余定义、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，熟记相关几何性质，掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·江苏苏州·期末）综合与实践：摆放正方形纸片． 正方形纸片是我们身边熟悉的物品，将正方形纸片进行摆放，可以产生一些有趣的数学问题． (1)将正方形纸片，按图①所示方式摆放在大正方形中，已知正方形纸片，的周长之和为，则该大正方形的边长是__________； (2)将7张大小相同的正方形纸片按图②所示方式，可以相互重叠地摆放成一个正方形，写出这些纸片自下而上的摆放顺序； (3)将9张大小不同的正方形纸片按图③所示方式，可以既无缝隙、又不重叠地摆放成一个长方形．已知正方形纸片的边长为，求该长方形的周长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了正方形的周长、边长及图形拼接，关键是图形的观察能力； （1）根据图形可知，大正方形的边长等于两个小正方形边长之和，由周长关系即可求得结果； （2）比较各纸片的边界包含关系确定顺序即可； （3）设正方形的边长为，根据图形中边长的关系列方程求解，再求出长方形的长和宽，最后计算周长即可． 【详解】（1）解：设正方形的边长为，正方形的边长为， ∴， 解得：， 即：大正方形的边长为：， 故答案为：； （2）解：观察图②得：最底层是，因为它被其他正方形覆盖最多，接着往上是正方形，再往上是正方形，然后是正方形，再往上是正方形，接着是正方形，最上层是正方形， ∴这些纸片自下而上的摆放顺序：； （3）解：设正方形的边长为， 则正方形的边长为， 正方形的边长为， 正方形的边长为， 正方形的边长为， 正方形的边长为， 正方形的边长为， 正方形的边长为， ∴， 解得：， ∴长方形的周长：． 【题型9】正方形的判定与性质综合 1.核心知识点 正方形的判定与性质；矩形、菱形的性质；勾股定理；全等三角形。 2.解题方法技巧 先根据已知条件判定四边形为正方形（如先证平行四边形，再证邻边相等+直角）；再利用正方形的性质推导线段、角的关系；结合全等三角形、勾股定理求解未知量；证明过程需逻辑连贯，先定性再定量。 【例题9】.（25-26八年级上·上海·月考）如图，已知在菱形中，点为对角线上一点，连结，过点作，与交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）通过证明和全等得到、，结合推出，进而证得； （2）利用菱形性质、全等三角形判定与性质，结合等腰三角形三线合一、矩形及正方形的判定，推导得出． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴，． 在和中， ， ∴（）， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴，． 在和中， ， ∴（）， ∴． 又∵， ∴， ∴是等腰三角形． 过点作于，交于， ∴（等腰三角形三线合一）． ∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∵是菱形对角线， ∴， 又∵，， ∴（）， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵四边形是菱形， ∴菱形是正方形， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、正方形的判定，熟练掌握菱形的性质及全等三角形的判定方法是解题的关键． 【变式题9-1】.（2025·广东惠州·一模）已知正方形中，是上一动点，过点作交正方形的外角的平分线于点． (1)【动手操作】 如图①，在上截取，连接，根据题意在图中画出图形，图中_____度． (2)【深入探究】是线段上的一个动点，如图②，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．试判断四边形的形状，并证明． (3)【拓展应用】 是射线上的一个动点，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．若，，求线段的长． 【答案】(1)； (2)矩形是正方形；见解析； (3)线段的长为或． 【分析】本题考查了正方形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，关键是通过构造辅助线证明三角形全等，推导线段相等关系，结合特殊四边形的判定定理进行推理，并根据动点的位置进行分类讨论． （1）利用正方形的直角性质，结合证为等腰直角三角形，再通过邻补角的和差关系计算的度数； （2）先在上截取，证明得，再构造辅助线证得，结合证平行四边形，再由垂直证矩形，最后由邻边相等证正方形； （3）分点在线段上和点在延长线上两种情况，先证明两种情况下四边形均为正方形，得到，再利用勾股定理分别计算的长度，即可得的长． 【详解】（1）解：根据题意画图如图； ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； （2）解：四边形为正方形，证明如下： 在上截取，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴， 在上截取，连接，则， ∵，， ∴，， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形； （3）解：①当点在线段上时， 由（2）知四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； ②当点在延长线上时，延长至，使得，连接， ∵，，且，， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵，， ∴，即． 延长至点，使，连接， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，且是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 在和中，， ∴， ∴． 结合，可得， 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形． ， 综上所述，线段的长为或． 【变式题9-2】.（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形． (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)是定值，6 (3) 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （）过作于点，过作于点，可证四边形是正方形，得，进而证明，得到，即可求证； （）证明，可得，即得，即可求解； （3）由矩形为正方形，得到，根据垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为，此时，有最小值，即可解答． 【详解】（1）证明：如图，过作于点，过作于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是正方形对角线的一点， ∴， ， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； （2）解：是定值，定值为，理由如下： ∵矩形为正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴是定值，定值为． （3）解：∵矩形为正方形， ∴， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为， 此时，有最小值， 由（2）知， ∴的最小值为． 【变式题9-3】.（25-26九年级上·四川成都·期中）【初步发现】如图1，点E、F分别在正方形的边，上，，延长至点G，使得，得到，从而发现．已知，，求正方形的边长． 【类比探究】如图2，正方形中，P，F，Q三点分别在边，，上，连接，，若，，，求线段的长． 【拓展迁移】如图3，在中，，两锐角的角平分线交于点O，点M、N分别在边、上，且都不与点C重合，若，连接，当，时，求的周长． 【答案】初步发现：6；类比探究：；拓展迁移：2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键。 初步发现：如图：延长至点G，使得，连接,先利用正方形的性质证明可得,,进而证明可得,设正方形边长为a，则，然后运用勾股定理列方程求解即可； 类比探究：如图：过A作交于G，则四边形是平行四边形，利用全等三角形的性质以及勾股定理可得，如图：延长至点H，使得，连接,利用初步发现中的方法可得：可得，再在利用勾股定理列方程求得，最后再运用勾股定理求解即可； 拓展迁移：如图：过O作,垂足分别为E、G、F，则，四边形是正方形，,设，运用等面积法可求得，即正方形的边长为1；如图：在上截取,连接,利用初步发现中的方法可得：,即；最后根据周长公式以及等量代换即可解答. 【详解】解：初步发现：如图：延长至点G，使得，连接, ∵正方形， ∴,即， ∵， ∴, ∴,, ∵， ∴, ∴,即, ∴, ∵, ∴, ∴, 设正方形边长为a，则， 在中，,即，解得：或（舍去）， ∴正方形的边长为6； 类比探究： 如图：过A作交于G，则四边形是平行四边形， ∴, ∵正方形中，， ∴,, ∴, 如图：延长至点H，使得，连接, 利用初步发现中的方法可得：, ∴, ∵在，，,,, ∴，解得：, . 拓展迁移： 如图：过O作,垂足分别为E、G、F， ∵在中，，，,锐角的角平分线交于点O， ∴，四边形是矩形，, ∴四边形是正方形， 设， ∵, ∴，解得：， ∴正方形的边长为1，即 如图：在上截取,连接, 利用初步发现中的方法可得：, ∴, ∴的周长为. 易错点 1.混淆正方形的判定条件：误将“对角线互相平分”当作正方形的判定条件（仅为平行四边形）；忽略“矩形→正方形”需补充“邻边相等”，“菱形→正方形”需补充“直角”。 2.误用正方形的对角线与边长的关系：忘记对角线与边长的换算关系，导致计算错误；对角线互相垂直平分但未注意“相等”，误判为正方形（实际为菱形）。 3.折叠问题中忽略对应关系：折叠后未准确识别对应边和对应角，导致线段长度表示错误；未考虑折叠后点在正方形外部的情况，遗漏解。 4.坐标综合题中未验证正方形的双重条件：仅验证“四边相等”未验证“直角”，或仅验证“对角线垂直”未验证“对角线相等”，导致误判。 重点 1.熟练掌握正方形的“双重属性”：既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，兼具两者所有性质。 2.灵活运用正方形的判定方法：根据已知图形的类型（平行四边形/矩形/菱形/一般四边形），选择对应的判定条件，避免冗余。 3.掌握正方形与折叠、旋转、坐标的综合解题思路：利用正方形的对称性和特殊角（、），结合勾股定理、全等三角形求解。 4.牢记正方形的核心数量关系：边长与对角线的关系，面积与边长、对角线的换算公式。 难点 1.正方形中的最值问题：难以利用对称性和模型（将军饮马）转化线段，无法准确确定最值的位置。 2.正方形与旋转、折叠的综合问题：难以梳理旋转/折叠前后的等量关系，不会构造全等三角形转化未知线段。 3.正方形的存在性动点问题：需用变量表示线段和坐标，建立方程并分类讨论，对代数运算和几何推理的综合能力要求较高。 4.跨学科/情境题的建模：难以从实际情境中抽象出正方形模型，无法将实际问题转化为数学中的线段、角度、面积问题。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列结论中，正确的有（   ） ①正方形具有平行四边形的一切性质；②正方形具有矩形的一切性质；③正方形具有菱形的一切性质；④正方形有两条对称轴；⑤正方形有4条对称轴 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据正方形，矩形，菱形的性质，逐一判断即可解答． 【详解】∵正方形属于平行四边形，也是特殊的矩形，特殊的菱形， ∴正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，故①②③正确， ∵正方形的对称轴分别为两组对边的中垂线（2条）和两条对角线所在直线（2条），共4条对称轴，∴④错误，⑤正确， 综上，正确的结论共有4个． 2．亮亮用四根长度相等的木条制作了角度能够调整的菱形学具．他先将学具调整为图1所示的菱形，其中，然后调整为图2所示的正方形，此时对角线，则图1中菱形的对角线的长为（   ） A．6 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形和菱形的性质以及勾股定理进行求解． 【详解】解：由正方形得，， ∴， 解得，（负值已舍）， 由菱形得，， ∵， ∴为等边三角形， ∴． 3．，，，四个点位于正方形的四个顶点，现在将这四个点用线段连接，则以下四种方案中，所有线段之和最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正方形边长为，分别求出四种情况下的线段和，比较即可； 【详解】解：设正方形边长为， A、正方形三边之和为； B、∵，∴； C、作， 由题意， ∴， 设， ∵， ∴， 则， （负值舍去）， ∴， 由题意为等腰直角三角形， 设， 则， （负值舍去） ∴， ∵, ∴ ， ∴线段和为：； D、作， 由题意， ∴， 设， ∵， ∴， 则， （负值舍去）， ∴， ∴线段和为：； ∵ ∴所有线段之和最小的应为D． 4．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上．将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，可得，在中，利用勾股定理可求出，根据翻折的性质得出，，，设，在中利用勾股定理可求出a值，即可得答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，如图，设与y轴交于点G，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点B坐标为， ∴， ∵将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：，则． 5．三个边长分别是3，4，5的正方形按如图所示摆放（后两个正方形的一个顶点与相邻的一个正方形对角线交点重合），则图中阴影部分的面积和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 根据正方形的性质，得，，，从而，利用“”，得，则，进而阴影部分，同理可求另一阴影部分的面积，相加即可求解． 【详解】解：如图所示： 三个边长分别是3，4，5的正方形， ，，， ，， ， ()， ， 则， 正方形的边长为4， ， 即第2个和第3个正方形重叠部分的面积为4， 同理可得第1个和第2个正方形重叠部分的面积为， 则图中阴影部分的面积和为． 故选：B． 二、填空题 6．如图，在菱形中，添加一个条件使其成为正方形，你添加的条件是________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了正方形的判定方法，①对角线相等的菱形是正方形，②有一个角是直角的菱形是正方形，③对角线互相垂直的矩形是正方形，④一组邻边相等的矩形是正方形． 根据①对角线相等的菱形是正方形，②有一个角是直角的菱形是正方形，添加条件即可． 【详解】解：∵有一个角是直角的菱形是正方形， ∴添加的条件是． 故答案为：（答案不唯一）． 7．如图，甲、乙两动点分别从正方形的顶点，同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行．若甲的速度是乙的速度的倍，则它们第次相遇在边________上． 【答案】 【分析】先根据甲、乙的运动速度和运动方向分别得出第、、、、次相遇位置，再归纳类推出一般规律，由此即可解答． 【详解】解：设正方形的边长为，因为甲的速度是乙的速度的倍，时间相同，甲乙所行的路程比为，由题意知： ①第一次相遇甲乙行的路程和为，甲行的路程为，乙行的路程为，在边相遇； ②第二次相遇甲乙行的路程和为，甲行的路程为，乙行的路程为，在边相遇； ③第三次相遇甲乙行的路程和为，甲行的路程为，乙行的路程为，在边相遇； ④第四次相遇甲乙行的路程和为，甲行的路程为，乙行的路程为，在边相遇； ⑤第五次相遇甲乙行的路程和为，甲行的路程为，乙行的路程为，在边相遇； 归纳推理得：它们相遇位置每四次一循环， ， 它们第次相遇位置与第一次相遇位置相同，即在边相遇． 8．如图：矩形内有两个相邻的正方形，且左右两边的正方形面积分别为和，那么图中阴影部分的面积为_______． 【答案】 【分析】根据正方形的面积求出矩形的长和宽，再用矩形的面积减去两正方形的面积即为阴影部分的面积． 【详解】解：如图 由两个相邻的正方形，面积分别为和， 得， ∴， 故 ． 9．现有①②③三种不同的矩形木板（边长如图（1）所示），取①②③木板各一块，按如图（2）所示的方式摆放（木板②③无重叠，无缝隙），则木板①没有被覆盖的面积为________；在图（2）摆放的基础上再放置一块木板②，如图（3）所示，则此时的木板①没有被覆盖的面积为________． 【答案】 【分析】此题考查正方形的性质，整式的混合运算，掌握基本平面图形的面积计算方法是解决问题的关键． 图（2）木板①没有被覆盖的是长为，宽为的矩形，利用矩形的面积公式直接求解即可；图（3）木板①没有被覆盖的部分可以用长为，宽为的矩形面积减去长为，宽为的矩形，化简后合并同类项即可． 【详解】解：图（2）木板①没有被覆盖的面积为， 图（3）木板①没有被覆盖的面积为， 故答案为：，． 10．如图，正方形的边长为，为上的一点，，为上的一点，，为上一个动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据“将军饮马”模型，作点关于直线的对称点，连接，则的最小值为的长，再过点作于点，证出四边形为矩形，进一步得出和的长，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接，，过点作于点， ，，， ． 在正方形中，，， 四边形为矩形， ，， ． 在中， , 即的最小值为． 三、解答题 11．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，，且为的平分线，求证：平行四边形为正方形．    【答案】详见解析 【分析】先证明，则平行四边形为矩形，再证明，即可得到结论． 【详解】证明：四边形为平行四边行， ，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 平行四边形为矩形， 为的平分线， ， ∴， ， ∴平行四边形为正方形 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、矩形的判定、正方形的判定、等角对等边等知识，熟练掌握正方形的判定是解题的关键． 12．如图，在正方形中，E为边上一点，F为延长线上一点，且．与之间有怎样的关系?请说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质． 延长交于点，证明即可求解． 【详解】解：，理由如下： 延长交于点， ∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．如图，将边长为4的正方形沿着折痕折叠，使点B落在边中点G处． (1)求线段的长； (2)连接，求证： 【答案】(1) (2)见解析 【分析】对于本题，重点掌握折叠的不变性，即对应边相等，以及正确利用方程的思想解决问题． （1）根据折叠得到，，再设，然后对运用勾股定理建立方程求解； （2）直接根据折叠得到对应边相等即可证明． 【详解】（1）解：由题意得，， 设，则， 四边形是正方形， ， ， 落在边的中点处， ， ， 解得：， ； （2）证明：如图，由折叠可得． 14．如图，是正方形的对角线上的两点，且． (1)求证：； (2)若，则四边形的面积是___________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据正方形的性质可证明，再证明，据此结合全等三角形的判定定理可证明结论； （2）连接交于点O，利用正方形的性质和勾股定理求出的长，进而求出的长，可证明，据此可得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图所示，连接交于点O， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴； 由（1）得， ∴， ∴， ∴ ． 15．如图，在正方形中，点，（不在正方形的顶点上）分别在，上，，连接． (1)求证：． (2)已知分别是的高线和的中线，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由正方形的性质得到，据此利用可证明结论； （2）由三角形的高线的定义和直角三角形的两锐角互余求出的度数，由全等三角形的性质得到的度数，再由直角三角形的性质得到，据此由等腰三角形的性质可得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴； （2）解：是的高线， ∴，即 ． ∵， ． 是斜边上的中线， ， ． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21.3.3 正方形 知识点1：正方形的定义 1.有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2.定义的三重属性：正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形和特殊的菱形（矩形+邻边相等=正方形，菱形+直角=正方形）。 3.数学语言：在中，若且，则是正方形。 知识点2：正方形的性质 正方形兼具平行四边形、矩形、菱形的所有性质，具体如下： 性质类型 具体内容 数学语言（正方形，对角线交于） 边 对边平行；四条边都相等 ，； 角 四个角都是直角；邻角互补 ； 对角线 相等且互相垂直平分；每条对角线平分一组对角 ，，；， 对称性 中心对称图形（对称中心为）；轴对称图形（4条对称轴：两条对角线所在直线+两组对边中点连线） 三角形构成 对角线将正方形分成4个全等的等腰直角三角形 （均为等腰直角三角形） 知识点3：正方形的判定方法 正方形的判定需遵循“先定性（平行四边形/矩形/菱形），再特殊化”的思路，具体判定方法如下： 判定路径 具体条件 数学语言 平行四边形→正方形 ①有一组邻边相等；②有一个角是直角（满足其一即可） 在中，（或），是正方形 矩形→正方形 ①有一组邻边相等；②对角线互相垂直（满足其一即可） 在矩形中，（或），矩形是正方形 菱形→正方形 ①有一个角是直角；②对角线相等（满足其一即可） 在菱形中，（或），菱形是正方形 一般四边形→正方形 ①四条边都相等；②四个角都是直角；③对角线相等且互相垂直平分（满足其一组合即可） 在四边形中，且，四边形是正方形 知识点4：正方形与特殊平行四边形的关系 图形 与正方形的关系 核心区别 平行四边形 正方形的基础图形 无直角、邻边不一定相等 矩形 正方形的“直角基础” 邻边不一定相等，对角线不垂直 菱形 正方形的“邻边相等基础” 无直角，对角线不相等 知识点5：正方形的面积计算 计算方法 数学表达式 适用条件 边长法 （为边长） 已知边长 对角线法 （、为对角线） 已知对角线长度（正方形对角线，可互通） 【基础必考题型】 【题型1】正方形性质的直接应用（角度计算） 1.核心知识点 正方形的四个角为直角；对角线平分一组对角；等腰直角三角形的性质。 2.解题方法技巧 利用“对角线平分对角”得到特殊角；结合直角三角形内角和、等腰直角三角形底角相等的性质推导角度；注意对角线夹角与正方形内角的关联（如对角线夹角为）。 【例题1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，正方形的对角线相交于点O，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在正方形的外侧作等边，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26九年级下·江苏南京·月考）若以正方形的一边为边画正，则的度数为 _____________ ． 【变式题1-3】.（25-26九年级上·陕西汉中·期末）如图，在正方形中，点在对角线上，过点作于点，连接，若，则的度数为______． 【题型2】正方形性质的直接应用（线段计算） 1.核心知识点 正方形的四边相等、对角线相等且互相垂直平分的性质；勾股定理。 2.解题方法技巧 已知边长直接用“四边相等”转化线段；已知对角线，先求对角线一半（），再用勾股定理求边长；对角线与边长的关系为，可直接换算。 【例题2】.（24-25八年级下·上海·期末）如图，用四根相同长度的木条制作成正方形，测得对角线长为，如果将此正方形变形为菱形，且，那么菱形对角线长为（    ） A．10 B． C． D． 【变式题2-1】.（24-25八年级下·上海·期末）如图，正方形中，点E、F分别在边、上，，，如果，那么的周长是_________． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，分别以为边向外作正方形，正方形，连接，则的长为（   ） A．10 B．9 C． D． 【变式题2-3】.（25-26九年级上·山西运城·期末）在正方形中，对角线，交于点，延长至点，使，连接，点为的中点，连接．若，则的长为_____________． 【题型3】正方形的基础判定 1.核心知识点 正方形的四种判定方法；矩形、菱形、平行四边形的性质。 2.解题方法技巧 若已知图形是矩形，补充“邻边相等”或“对角线垂直”；若为菱形，补充“直角”或“对角线相等”；若为平行四边形，补充“邻边相等+直角”或“对角线垂直且相等”；排除无关条件（如仅对角线相等是矩形，仅对角线垂直是菱形）。 【例题3】.（24-25八年级下·重庆·期中）下列说法正确的是（    ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是正方形 C．一组邻边相等的四边形是菱形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【变式题3-1】.（2026·广东佛山·一模）在平行四边形中，．添加一个条件，使得四边形为正方形，添加的条件可以为（   ） A． B． C．平分 D．平分 【变式题3-2】.（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，在中，，是边上的中线，过点C作的平行线，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)当满足 时，四边形是正方形．请说明理由． 【变式题3-3】.（25-26九年级上·河南平顶山·期末）如图，点在直线上，过的中点作的平行线，分别交的平分线和的平分线于点． (1)试判断四边形的形状，并证明你的结论； (2)当与的位置关系为____时，四边形是正方形． 【题型4】正方形面积的基础计算 1.核心知识点 正方形的三种面积计算公式；对角线与边长的关系。 2.解题方法技巧 已知边长用；已知对角线用（因）；已知对角线一半，先求对角线全长，再代入面积公式。 【例题4】.（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）如图所示，从一个大正方形中裁掉面积为20和90的两个小正方形，则余下部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形．若，，则（   ） A．50 B．60 C．100 D．110 【变式题4-2】.（25-26六年级下·全国·课后作业）如图所示，一块长厘米、宽厘米的长方形纸板①，一块长厘米、宽厘米的长方形纸板②，一块正方形纸板③，以及另两块长方形纸板④和⑤，恰好拼成一个大正方形，则大正方形的面积是_____________平方厘米． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·四川成都·期末）我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理．如图，已知正方形和正方形，A，B，E三点在一条直线上，现将其裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形，若正方形和正方形的面积之和为220，阴影部分的面积为130，则的长为________． 【培优高频题型】 【题型5】正方形与坐标综合 1.核心知识点 正方形的性质；平面直角坐标系的坐标特征；中点坐标公式；勾股定理。 2.解题方法技巧 利用“对角线互相垂直平分”，结合中点坐标公式求顶点坐标；根据“四边相等”，用两点间距离公式列方程验证正方形；对角线垂直且相等的正方形。 【例题5】.（2026·浙江·模拟预测）七巧板是我国古代著名的益智玩具，由一个正方形分割成七块几何图形组成，现把正方形边长为的图1七巧板拼成“小天鹅”形状，并放置在图2所示的直角坐标系中，则最高点的坐标为_________． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·河北石家庄·月考）正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点坐标，点坐标，则点坐标是________． 【变式题5-2】.（25-26九年级上·辽宁锦州·月考）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为．点在边上．将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为．则点的坐标为________． 【变式题5-3】.（24-25八年级下·重庆·开学考试）如图，正方形的边长为1，与点O相对的顶点B坐标为，以对角线为边作第二个正方形，与点O相对的顶点D的坐标为，再以对角线为边作第三个正方形，与点O相对的顶点F的坐标为，如此下去，则第个正方形中与点O相对的顶点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【题型6】正方形中的折叠问题 1.核心知识点 正方形的性质；折叠的性质（对应边相等、对应角相等）；勾股定理。 2.解题方法技巧 折叠后标注对应相等的线段和角，设未知线段为；利用正方形的直角和边长关系，将相关线段用表示；在折叠形成的直角三角形中建立勾股定理方程，求解未知量；注意折叠后点的位置（在正方形内/外）对线段关系的影响。 【例题6】.（2025·河南周口·一模）如图，在正方形中，点E，F分别在边上，将正方形沿折叠，使点B落在边上的三等分点M处，点C的对应点为点N，若 ，则线段的长为______． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，则（   ） A．4 B． C． D． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·广东佛山·期末）你知道吗？通过规则折纸，我们可以实现分点切割、直角定位、平行线绘制等精准构图，一张普通的纸张也可化作一把“几何神器” 以下是某一折纸的操作流程： 第一步：取一张正方形纸片，对折正方形纸片，折叠后左右两部分完全重合，记折痕为； 第二步：展开折叠纸片，继续沿直线折叠，使折叠后点D与点E重合，点C落在点处． (1)尺规作图：画出折痕； (2)设与的交点为Q．观察并猜想：点Q是线段的几等分点？验证你的猜想． 【变式题6-3】.（24-25八年级下·上海·期末）如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边和上，将该正方形沿着翻折，点A落在处，点B恰好落在边CD上的点处，如果四边形的面积为6，那么的面积是_________． 【压轴素养题型】 【题型7】正方形与全等三角形综合 1.核心知识点 正方形的性质；全等三角形的判定（SAS、ASA、SSS、HL）。 2.解题方法技巧 利用正方形的“边相等、角相等”构造全等条件（如，）；通过对角线平分对角得到角，补充全等条件；证明线段相等可转化为证明对应三角形全等。 【例题7】.（内蒙古呼和浩特市剑桥、世宙中学2021-2022学年八年级下学期期中考试数学试题）如图，正方形，G是边上任意一点（不与B、C重合），于点E，，且交于点F． (1)求证：； (2)请直接判断四边形是否可能是平行四边形．（无需说明理由） 【变式题7-1】.（25-26八年级下·广西桂林·月考）四边形为矩形，，若点F是上的点，E是延长线上的一点，，于点G， (1)求证： (2)求的度数． 【变式题7-2】.（24-25八年级下·浙江宁波·月考）如图，在正方形中，点，点分别在边．上且满足，点是对角线的中点，连接． (1)求证：． (2)若． ①求证：． ②求证：． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·广西桂林·月考）如图，在边长为的正方形中， (1)如图1，，垂足为点，求证：； (2)如图2，垂直平分，且，求的长； (3)如图3，，点、和分别为、和的中点，，求的长． 【题型8】正方形的实际应用（情境建模题） 1.核心知识点 正方形的性质与判定；正方形的面积计算。 2.解题方法技巧 从实际情境（如地砖拼接、窗户框架、折纸、赵爽弦图）中抽象出正方形模型；提取情境中的已知条件（边长、对角线、直角），转化为数学问题；利用正方形的性质或面积公式求解实际问题（如用料面积、边长长度），注意单位统一和实际意义验证。 【例题8】.（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）如图，从一个大正方形木板上裁去面积为和的两个小正方形木料． (1)裁去的两块正方形木料的边长分别为_____和_____； (2)求剩余木料的面积； 【变式题8-1】.（25-26八年级上·陕西渭南·期中）现有一块长方形木板，木工采用如图所示的方式，在长方形木板上截出三个面积分别为4平方分米、8平方分米和18平方分米的正方形木板A，B，C． (1)正方形木板A的边长为 分米，B的边长为 分米，C的边长为 分米； (2)求木板中阴影部分的面积． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·陕西延安·月考）一个正方体的木箱卡在了垂直于地面且互相平行的两堵墙之间，抽象出几何图形如图，为墙面，四边形为正方形，说明该正方体木箱能否平放在这两堵墙之间． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·江苏苏州·期末）综合与实践：摆放正方形纸片． 正方形纸片是我们身边熟悉的物品，将正方形纸片进行摆放，可以产生一些有趣的数学问题． (1)将正方形纸片，按图①所示方式摆放在大正方形中，已知正方形纸片，的周长之和为，则该大正方形的边长是__________； (2)将7张大小相同的正方形纸片按图②所示方式，可以相互重叠地摆放成一个正方形，写出这些纸片自下而上的摆放顺序； (3)将9张大小不同的正方形纸片按图③所示方式，可以既无缝隙、又不重叠地摆放成一个长方形．已知正方形纸片的边长为，求该长方形的周长． 【题型9】正方形的判定与性质综合 1.核心知识点 正方形的判定与性质；矩形、菱形的性质；勾股定理；全等三角形。 2.解题方法技巧 先根据已知条件判定四边形为正方形（如先证平行四边形，再证邻边相等+直角）；再利用正方形的性质推导线段、角的关系；结合全等三角形、勾股定理求解未知量；证明过程需逻辑连贯，先定性再定量。 【例题9】.（25-26八年级上·上海·月考）如图，已知在菱形中，点为对角线上一点，连结，过点作，与交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 【变式题9-1】.（2025·广东惠州·一模）已知正方形中，是上一动点，过点作交正方形的外角的平分线于点． (1)【动手操作】 如图①，在上截取，连接，根据题意在图中画出图形，图中_____度． (2)【深入探究】是线段上的一个动点，如图②，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．试判断四边形的形状，并证明． (3)【拓展应用】 是射线上的一个动点，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．若，，求线段的长． 【变式题9-2】.（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形． (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)直接写出的最小值． ∵四边形为正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是正方形对角线的一点， ∴， 【变式题9-3】.（25-26九年级上·四川成都·期中）【初步发现】如图1，点E、F分别在正方形的边，上，，延长至点G，使得，得到，从而发现．已知，，求正方形的边长． 【类比探究】如图2，正方形中，P，F，Q三点分别在边，，上，连接，，若，，，求线段的长． 【拓展迁移】如图3，在中，，两锐角的角平分线交于点O，点M、N分别在边、上，且都不与点C重合，若，连接，当，时，求的周长． 易错点 1.混淆正方形的判定条件：误将“对角线互相平分”当作正方形的判定条件（仅为平行四边形）；忽略“矩形→正方形”需补充“邻边相等”，“菱形→正方形”需补充“直角”。 2.误用正方形的对角线与边长的关系：忘记对角线与边长的换算关系，导致计算错误；对角线互相垂直平分但未注意“相等”，误判为正方形（实际为菱形）。 3.折叠问题中忽略对应关系：折叠后未准确识别对应边和对应角，导致线段长度表示错误；未考虑折叠后点在正方形外部的情况，遗漏解。 4.坐标综合题中未验证正方形的双重条件：仅验证“四边相等”未验证“直角”，或仅验证“对角线垂直”未验证“对角线相等”，导致误判。 重点 1.熟练掌握正方形的“双重属性”：既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，兼具两者所有性质。 2.灵活运用正方形的判定方法：根据已知图形的类型（平行四边形/矩形/菱形/一般四边形），选择对应的判定条件，避免冗余。 3.掌握正方形与折叠、旋转、坐标的综合解题思路：利用正方形的对称性和特殊角（、），结合勾股定理、全等三角形求解。 4.牢记正方形的核心数量关系：边长与对角线的关系，面积与边长、对角线的换算公式。 难点 1.正方形中的最值问题：难以利用对称性和模型（将军饮马）转化线段，无法准确确定最值的位置。 2.正方形与旋转、折叠的综合问题：难以梳理旋转/折叠前后的等量关系，不会构造全等三角形转化未知线段。 3.正方形的存在性动点问题：需用变量表示线段和坐标，建立方程并分类讨论，对代数运算和几何推理的综合能力要求较高。 4.跨学科/情境题的建模：难以从实际情境中抽象出正方形模型，无法将实际问题转化为数学中的线段、角度、面积问题。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列结论中，正确的有（   ） ①正方形具有平行四边形的一切性质；②正方形具有矩形的一切性质；③正方形具有菱形的一切性质；④正方形有两条对称轴；⑤正方形有4条对称轴 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．亮亮用四根长度相等的木条制作了角度能够调整的菱形学具．他先将学具调整为图1所示的菱形，其中，然后调整为图2所示的正方形，此时对角线，则图1中菱形的对角线的长为（   ） A．6 B．8 C． D． 3．，，，四个点位于正方形的四个顶点，现在将这四个点用线段连接，则以下四种方案中，所有线段之和最小的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上．将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．三个边长分别是3，4，5的正方形按如图所示摆放（后两个正方形的一个顶点与相邻的一个正方形对角线交点重合），则图中阴影部分的面积和为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，在菱形中，添加一个条件使其成为正方形，你添加的条件是________． 7．如图，甲、乙两动点分别从正方形的顶点，同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行．若甲的速度是乙的速度的倍，则它们第次相遇在边________上． 8．如图：矩形内有两个相邻的正方形，且左右两边的正方形面积分别为和，那么图中阴影部分的面积为_______． 9．现有①②③三种不同的矩形木板（边长如图（1）所示），取①②③木板各一块，按如图（2）所示的方式摆放（木板②③无重叠，无缝隙），则木板①没有被覆盖的面积为________；在图（2）摆放的基础上再放置一块木板②，如图（3）所示，则此时的木板①没有被覆盖的面积为________． 10．如图，正方形的边长为，为上的一点，，为上的一点，，为上一个动点，则的最小值为______． 三、解答题 11．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，，且为的平分线，求证：平行四边形为正方形．    12．如图，在正方形中，E为边上一点，F为延长线上一点，且．与之间有怎样的关系?请说明理由． 13．如图，将边长为4的正方形沿着折痕折叠，使点B落在边中点G处． (1)求线段的长； (2)连接，求证： 14．如图，是正方形的对角线上的两点，且． (1)求证：； (2)若，则四边形的面积是___________． 15．如图，在正方形中，点，（不在正方形的顶点上）分别在，上，，连接． (1)求证：． (2)已知分别是的高线和的中线，若，求的度数． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $