相似三角形的判定与性质综合、相似的实际应用专项训练-2026年中考数学一轮复习

相似三角形的判定与性质综合、相似的实际应用专项训练 相似三角形的判定与性质综合、相似的实际应用专项训练 考点目录 相似三角形的判定与性质综合 相似的实际应用 考点一 相似三角形的判定与性质综合 例1．（24-25九年级下·四川内江·开学考试）如图，在四边形中，，，点在上，． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 例2．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如图，P为等边的边BC上一点，D为上一点，若． (1)求证：； (2)若，，求的长． 例3．（25-26九年级下·湖南长沙·月考）如图，在矩形中，点E为边的中点，，连接交对角线于点G．过点B作于点F．． (1)求证：． (2)求的值和的面积． 例4．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）在中，，，点P，D分别在边，上，且，． (1)求证：∽； (2)求的长． 变式1．（25-26九年级下·湖南衡阳·开学考试）如图，D是的边上的一点，． (1)与相似吗？请说明理由． (2)若，，求的长． 变式2．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，点D、E分别在边、上，且，连接、． (1)求证：； (2)若点E为的中点，，若，求的长度． 变式3．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知与都是等边三角形，点在上(不与、重合)，与相交于点． (1)求证：； (2)若，设，； ①求关于的函数解析式及自变量的取值范围； ②当最大时，判断的形状？ 变式4．（25-26九年级上·安徽池州·期末）如图，已知和，边、交于点，平分，平分，且． (1)求证：； (2)求证：． 考点二 相似的实际应用 例1．（24-25九年级上·陕西西安·期中）阳光明媚的一天，小明与同学计划测量学校周围一栋古建筑的高度，由于古建筑底部不可到达，他们在古建筑的影子顶端C处，直立一个长为2米的标杆，经测量，同一时刻标杆的影子米，接下来他们沿着方向从E点出发走了9米到达点F处（即米），利用无人机测得米，并用无人机在G处测得B点的俯角为，，，，点B、C、E、F在一条直线上，求古建筑的高．（参考数据：，） 例2．（2026·河南三门峡·一模）宝严寺塔位于河南省驻马店市，是研究宋塔建筑风格和佛教文化的实物资料，被誉为中原地区宋塔“活化石”．某校数学实践小组利用所学数学知识测量宝严寺塔的高度，他们制订了两个测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．在测量仰角的度数以及有关长度时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果．下面是两个方案及测量数据（不完整）： 项目 测量宝严寺塔的高度 方案 方案一：标杆垂直立于地面，借助平行的太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长，影长及同一时刻塔影长 方案二：利用锐角三角函数．测量：距离，仰角，仰角 说明 三点在同一条直线上 三点在同一条直线上 测量 示意图       测量 数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值 请从上述两种方案中选择一种，根据测量数据，求出宝严寺塔的高度（参考数据：，，）． 例3．（2026·陕西榆林·二模）“挂甲柏”又称“将军树”，位于陕西省境内．志书记载，汉武帝刘彻北巡朔方还，挂甲于此树．某综合与实践小组在阳光明媚的一天开展测量挂甲柏高度的活动．如图，挂甲柏前方的地面上放有两个长方体木箱，其截面分别是矩形和矩形，在某一时刻，挂甲柏顶端A在阳光下的影子落在木箱的点M处，点M在边上，，同时，木箱上点H在阳光下的影子落在地面上的点P处，．已知，，，、、均与地面垂直，点B、D、、、在同一水平直线上，图中所有点在同一平面内．求挂甲柏的高度． 例4．（25-26九年级下·江苏南京·开学考试）如图是燃烧的蜡烛经凸透镜在屏幕上成像的光路示意图，．点在同一直线上，点在同一直线上，且都与垂直，交于点．若，求像的长． 变式1．（2026·陕西西安·三模）刘徽是中国历史上杰出的数学家之一，《海岛算经》是他留给后世宝贵的数学遗产．某校数学兴趣小组决定参考《海岛算经》中的方法测量校园围墙外某建筑物的高度．因其在墙外，底部不可直接到达，故在校园内的，两点处分别竖立两根高为的标杆和（如图），两标杆间隔为，并且建筑物、标杆和在同一竖直平面内，将测量仪器（仪器高度忽略不计）放在标杆右侧远的点处，此时测得点D，F，A在同一条直线上；将测量仪器放在标杆右侧远的点处，测得点C，H，A在同一条直线上．已知点B，E，D，G，C在同一条直线上，，，，求该建筑物的高度． 变式2．（2026·河南商丘·一模）焦裕禄纪念碑是焦裕禄纪念园的核心组成部分，位于河南省兰考县城北关的黄河故堤沙丘上，与焦裕禄烈士墓、纪念馆等建筑共同构成中轴对称的纪念性园林，旨在缅怀焦裕禄同志并弘扬其精神．数学小组的同学开展了测量焦裕禄纪念碑高度的实践活动． 课题 测量焦裕禄纪念碑的高度 示意图 测量过程 步骤一：如图，小明在点D处竖立了一根高为的标杆，发现地面上的点G、标杆顶端C和焦裕禄纪念碑顶端A在一条直线上； 步骤二：小亮站在点F处，调整自己眼睛的位置，当眼睛在E处时，恰好看到标杆顶端C和焦裕禄纪念碑底端B在一条直线上． 测量数据 小亮的眼睛到地面的距离．，，．已知，，，点B，D，G，F在一条水平线上，图中所有点在同一平面内． 请你根据以上实践报告，帮助该小组求出焦裕禄纪念碑的高度AB． 变式3．（2026·河南驻马店·模拟预测）周末王老师给学生们布置了一项实践作业：应用学过的数学知识实地测量崇法寺塔的高度．下面是他们的部分测量方案及测量数据． 背景素材 崇法寺塔，位于河南省商丘市，因建于崇法寺内，故名崇法寺塔．塔檐是由莲花瓣石叠砌而成，平座用斗拱承托，显得层层叠叠，极富装饰性．挑檐角配以石雕龙头，口衔风铎，微风吹动，叮咚作响． 测量工具 标杆，皮尺 测量方案 选一同学作为观测者，在观测者与崇法寺塔之间的地面直立一根标杆．观测者调整自己的位置，使崇法寺塔的顶端、标杆的顶端与自己的眼睛恰好在一条直线上．另一同学分别测出观测者的脚到崇法寺塔底端的距离，观测者的脚到标杆底端的距离，标杆的高． 测量示意图 测量数据 线段表示崇法寺塔，标杆，观测者的眼睛到地面的距离，观测者的脚到崇法寺塔底端的距离，观测者的脚到标杆底端的距离． 方案评价 根据以上信息，解决下列问题． (1)过点作于，交于，则得出四边形是矩形的直接依据是__________；（填序号） ①对角线相等的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形； ③有一个角是直角的平行四边形是矩形． (2)帮该小组求出崇法寺塔的高度； (3)写出一条你在活动中的收获或反思． 变式4．（25-26九年级上·浙江金华·月考）春节前夕，太原市道路两旁的路灯上挂起了灯笼，增添了不少年味．某班成立的学习小组想通过所学知识来测量灯笼的高度，下面是勤学小组和思辨小组的测量方案，根据表格中的信息回答问题． 小组名称 勤学小组 思辨小组 测量工具 自制测倾仪，皮尺 皮尺 测量示意图       测量方案及数据 如图，点A，B分别为灯笼的上、下端点，该小组成员站在距离电线杆底端点C远的点D处，利用自制的测倾仪测得A，B两点的仰角和分别为和，自制测倾仪的高度为 如图，点A，B分别为灯笼的上、下端点，该小组成员站在距离电线杆底端点C远的点D处，举起手中长度为的铅笔，竖直放置于眼前观察，调整的位置使铅笔的上、下端点分别与灯笼的上、下端点重合 计算 …… …… (1)利用勤学小组的数据计算灯笼的高度；（结果保留小数点后两位．参考数据：） (2)思辨小组的丽丽发现利用已有的测量数据无法计算出灯笼的高度，于是又测量了眼睛到铅笔所在直线的距离．若测得该数据为，则的高度为 m（用含x的式子表示）． 2 学科网（北京）股份有限公司 $相似三角形的判定与性质综合、相似的实际应用专项训练 相似三角形的判定与性质综合、相似的实际应用专项训练 考点目录 相似三角形的判定与性质综合 相似的实际应用 考点一 相似三角形的判定与性质综合 例1．（24-25九年级下·四川内江·开学考试）如图，在四边形中，，，点在上，． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长为． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，，， ∴，即， ∴， ∴， ∴的长为． 例2．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如图，P为等边的边BC上一点，D为上一点，若． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵等边， ∴， ∵，且， ∴， ∴． （2）解：∵等边，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：． 例3．（25-26九年级下·湖南长沙·月考）如图，在矩形中，点E为边的中点，，连接交对角线于点G．过点B作于点F．． (1)求证：． (2)求的值和的面积． 【答案】(1)见解析 (2)， 【详解】（1）证明：在矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：如图，过点作交于， ∵点E为边的中点，，， ∴，， ∴，， ∴， ， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， 在中，， ∴， ， 解得， ∴； ∵， ∴， ∴． 例4．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）在中，，，点P，D分别在边，上，且，． (1)求证：∽； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：， ， ，， ， ． （2）解：， ， ，， ， ， ， ． 变式1．（25-26九年级下·湖南衡阳·开学考试）如图，D是的边上的一点，． (1)与相似吗？请说明理由． (2)若，，求的长． 【答案】(1)相似，理由见解析 (2) 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴． （2）解： 由（1）可得 ， ∴， ∴， ∴． 变式2．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，点D、E分别在边、上，且，连接、． (1)求证：； (2)若点E为的中点，，若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵，， ∴； （2）解：∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式3．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知与都是等边三角形，点在上(不与、重合)，与相交于点． (1)求证：； (2)若，设，； ①求关于的函数解析式及自变量的取值范围； ②当最大时，判断的形状？ 【答案】(1)证明见解析； (2)①；②直角三角形 【详解】（1）解：∵与都是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）①解：∵是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， 由（1）知， ∴，即， ∴， ∵点在上且不与、重合， ∴自变量的取值范围是； ②解：， ∵， ∴当时，取得最大值， 此时，， 在中，， ∵， ∴， ∴是直角三角形； 答：当最大时，是直角三角形． 变式4．（25-26九年级上·安徽池州·期末）如图，已知和，边、交于点，平分，平分，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）证明：∵平分， ∴， 由（1）已证：， ∴， 由对顶角相等得：， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 考点二 相似的实际应用 例1．（24-25九年级上·陕西西安·期中）阳光明媚的一天，小明与同学计划测量学校周围一栋古建筑的高度，由于古建筑底部不可到达，他们在古建筑的影子顶端C处，直立一个长为2米的标杆，经测量，同一时刻标杆的影子米，接下来他们沿着方向从E点出发走了9米到达点F处（即米），利用无人机测得米，并用无人机在G处测得B点的俯角为，，，，点B、C、E、F在一条直线上，求古建筑的高．（参考数据：，） 【答案】古建筑的高为12米 【详解】解：在中，米，，， ∴（米）， ∴（米）， ∵太阳光线是平行光线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴米． 答：古建筑的高为12米． 例2．（2026·河南三门峡·一模）宝严寺塔位于河南省驻马店市，是研究宋塔建筑风格和佛教文化的实物资料，被誉为中原地区宋塔“活化石”．某校数学实践小组利用所学数学知识测量宝严寺塔的高度，他们制订了两个测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．在测量仰角的度数以及有关长度时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果．下面是两个方案及测量数据（不完整）： 项目 测量宝严寺塔的高度 方案 方案一：标杆垂直立于地面，借助平行的太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长，影长及同一时刻塔影长 方案二：利用锐角三角函数．测量：距离，仰角，仰角 说明 三点在同一条直线上 三点在同一条直线上 测量 示意图       测量 数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值 请从上述两种方案中选择一种，根据测量数据，求出宝严寺塔的高度（参考数据：，，）． 【答案】 【详解】解：选择“方案一”． 由题意，得． ∴， ∵，，， ∴， 答：宝严寺塔的高度约为． 选择“方案二”． 由题意，知． ∵， ∴． 设， 则． 在中，，， 即， 解得． ∴． 答：宝严寺塔的高度约为． 例3．（2026·陕西榆林·二模）“挂甲柏”又称“将军树”，位于陕西省境内．志书记载，汉武帝刘彻北巡朔方还，挂甲于此树．某综合与实践小组在阳光明媚的一天开展测量挂甲柏高度的活动．如图，挂甲柏前方的地面上放有两个长方体木箱，其截面分别是矩形和矩形，在某一时刻，挂甲柏顶端A在阳光下的影子落在木箱的点M处，点M在边上，，同时，木箱上点H在阳光下的影子落在地面上的点P处，．已知，，，、、均与地面垂直，点B、D、、、在同一水平直线上，图中所有点在同一平面内．求挂甲柏的高度． 【答案】挂甲柏的高度为17m 【详解】解：如图，延长交于点，延长交于点， 由题可得：，，四边形是矩形， 则，，，， ，， ， ， ，即， ， ， ∴挂甲柏的高度为17m． 例4．（25-26九年级下·江苏南京·开学考试）如图是燃烧的蜡烛经凸透镜在屏幕上成像的光路示意图，．点在同一直线上，点在同一直线上，且都与垂直，交于点．若，求像的长． 【答案】 【详解】解：∵都与垂直， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 即，， 解得，（经检验，符合题意）， 答：像的长为． 变式1．（2026·陕西西安·三模）刘徽是中国历史上杰出的数学家之一，《海岛算经》是他留给后世宝贵的数学遗产．某校数学兴趣小组决定参考《海岛算经》中的方法测量校园围墙外某建筑物的高度．因其在墙外，底部不可直接到达，故在校园内的，两点处分别竖立两根高为的标杆和（如图），两标杆间隔为，并且建筑物、标杆和在同一竖直平面内，将测量仪器（仪器高度忽略不计）放在标杆右侧远的点处，此时测得点D，F，A在同一条直线上；将测量仪器放在标杆右侧远的点处，测得点C，H，A在同一条直线上．已知点B，E，D，G，C在同一条直线上，，，，求该建筑物的高度． 【答案】 【详解】解：设， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴ 解得：， 答：该建筑物的高度为． 变式2．（2026·河南商丘·一模）焦裕禄纪念碑是焦裕禄纪念园的核心组成部分，位于河南省兰考县城北关的黄河故堤沙丘上，与焦裕禄烈士墓、纪念馆等建筑共同构成中轴对称的纪念性园林，旨在缅怀焦裕禄同志并弘扬其精神．数学小组的同学开展了测量焦裕禄纪念碑高度的实践活动． 课题 测量焦裕禄纪念碑的高度 示意图 测量过程 步骤一：如图，小明在点D处竖立了一根高为的标杆，发现地面上的点G、标杆顶端C和焦裕禄纪念碑顶端A在一条直线上； 步骤二：小亮站在点F处，调整自己眼睛的位置，当眼睛在E处时，恰好看到标杆顶端C和焦裕禄纪念碑底端B在一条直线上． 测量数据 小亮的眼睛到地面的距离．，，．已知，，，点B，D，G，F在一条水平线上，图中所有点在同一平面内． 请你根据以上实践报告，帮助该小组求出焦裕禄纪念碑的高度AB． 【答案】19米 【详解】解：∵，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得，， 解得． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：焦裕禄纪念碑的高度AB为19米． 变式3．（2026·河南驻马店·模拟预测）周末王老师给学生们布置了一项实践作业：应用学过的数学知识实地测量崇法寺塔的高度．下面是他们的部分测量方案及测量数据． 背景素材 崇法寺塔，位于河南省商丘市，因建于崇法寺内，故名崇法寺塔．塔檐是由莲花瓣石叠砌而成，平座用斗拱承托，显得层层叠叠，极富装饰性．挑檐角配以石雕龙头，口衔风铎，微风吹动，叮咚作响． 测量工具 标杆，皮尺 测量方案 选一同学作为观测者，在观测者与崇法寺塔之间的地面直立一根标杆．观测者调整自己的位置，使崇法寺塔的顶端、标杆的顶端与自己的眼睛恰好在一条直线上．另一同学分别测出观测者的脚到崇法寺塔底端的距离，观测者的脚到标杆底端的距离，标杆的高． 测量示意图 测量数据 线段表示崇法寺塔，标杆，观测者的眼睛到地面的距离，观测者的脚到崇法寺塔底端的距离，观测者的脚到标杆底端的距离． 方案评价 根据以上信息，解决下列问题． (1)过点作于，交于，则得出四边形是矩形的直接依据是__________；（填序号） ①对角线相等的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形； ③有一个角是直角的平行四边形是矩形． (2)帮该小组求出崇法寺塔的高度； (3)写出一条你在活动中的收获或反思． 【答案】(1)② (2)米 (3)测量数据不准确，在测量过程中为了避免误差太大，可以多次测量，取平均值作为最后的测量结果(答案不唯一) 【详解】（1）解：由题意，， ， ， 四边形是矩形． 得出四边形是矩形的直接依据是有三个角是直角的四边形是矩形． （2）解：如图， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， 米， 米． 崇法寺塔的高度为米． （3）解：测量数据不准确，在测量过程中为了避免误差太大，可以多次测量，取平均值作为最后的测量结果(答案不唯一)． 变式4．（25-26九年级上·浙江金华·月考）春节前夕，太原市道路两旁的路灯上挂起了灯笼，增添了不少年味．某班成立的学习小组想通过所学知识来测量灯笼的高度，下面是勤学小组和思辨小组的测量方案，根据表格中的信息回答问题． 小组名称 勤学小组 思辨小组 测量工具 自制测倾仪，皮尺 皮尺 测量示意图       测量方案及数据 如图，点A，B分别为灯笼的上、下端点，该小组成员站在距离电线杆底端点C远的点D处，利用自制的测倾仪测得A，B两点的仰角和分别为和，自制测倾仪的高度为 如图，点A，B分别为灯笼的上、下端点，该小组成员站在距离电线杆底端点C远的点D处，举起手中长度为的铅笔，竖直放置于眼前观察，调整的位置使铅笔的上、下端点分别与灯笼的上、下端点重合 计算 …… …… (1)利用勤学小组的数据计算灯笼的高度；（结果保留小数点后两位．参考数据：） (2)思辨小组的丽丽发现利用已有的测量数据无法计算出灯笼的高度，于是又测量了眼睛到铅笔所在直线的距离．若测得该数据为，则的高度为 m（用含x的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设交于H点，如图1， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 答：灯笼的高度为； （2）解：过E点作于M点，延长交于N点，如图， ，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $