精品解析：黑龙江哈尔滨市第六中学校2025-2026学年高一下学期3月阶段性检测考试数学试题

哈尔滨市第六中学校2025级高一下学期 3月阶段性检测考试 数学试题 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1. 已知平面向量，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知向量，则与向量同向的单位向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量满足，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在矩形ABCD中，，E为边AB上的任意一点（包含端点），O为AC的中点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，若在上的投影向量是，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行四边形中，，和相交于点，且为上一点（不包括端点），若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于，连接并延长交于点．若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2 8. 设向量与的夹角为，定义，已知，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分．) 9. 《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形图中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 和能构成一组基底 10. 设O为所在平面内的一点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点O为的重心 B. 若，则点O为的垂心 C. 若，则的形状为等腰直角三角形 D. 若，则和的面积之比为 11. 如图，在梯形ABCD中，，，M为线段BC的中点，AM与BD交于点N，P为线段CD上的一个动点，则（ ） A. B. 向量与共线 C. D. 若，则最大值 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．) 12. 已知向量，满足，则在上的投影向量的坐标为______． 13. 已知向量，，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围________． 14. 如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，，且点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，则最大值为__________，若，则的最大值为________ ； 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答时要求写出必要的文字说明证明过程演算步骤．） 15. 已知向量 且， （1）求与； （2）若 求向量，的夹角的大小． 16. 已知，且与的夹角为120°，求: （1）； （2）与的夹角； （3）若向量与垂直，求实数λ的值. 17. 如图，在平行四边形中，.分别为上的点，且 （1）若求的值； （2）求的值； （3）求 18. 已知向量，，函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）若，且，求的值； （3）将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象．当时，求函数的值域． 19. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数. （1）设函数，试求的伴随向量； （2）记向量的伴随函数为，求当．且时的值； （3）设，已知，问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市第六中学校2025级高一下学期 3月阶段性检测考试 数学试题 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1. 已知平面向量，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出的坐标，根据，列出方程，计算可得. 【详解】因为， 所以， 因为，， 所以，解得 故选：C. 2. 已知向量，则与向量同向的单位向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的坐标除以向量的模，可得与向量同向的单位向量的坐标. 【详解】因为，所以， 所以与向量同向的单位向量的坐标为：， 故选：B 3. 已知平面向量满足，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数量积的运算律求出，再由夹角公式计算可得. 【详解】因为， 所以，所以， 所以，而，所以， 即向量与的夹角为. 故选：C. 4. 如图，在矩形ABCD中，，E为边AB上的任意一点（包含端点），O为AC的中点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】法一：设，然后用，分别表示出，，从而由平面向量的数量积运算并结合的范围求得结果； 法二：以A为坐标原点建立平面直角坐标系，设，然后求出，，从而由向量的坐标运算并结合m的范围求得结果． 【详解】法一：设， 因为O为AC的中点，所以， 所以．又， 所以， 因为，所以， 所以； 法二：以A为坐标原点，，的方向分别为x，y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，设， 所以，，所以． 因为，所以， 即. 故选：A． 5. 已知向量，若在上的投影向量是，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的定义可求得，再利用二次函数的性质求解的最小值. 【详解】∵向量，∴， ∴在上的投影向量是，∴， ∴， ∴当时，取最小值. 故选：D. 6. 如图，在平行四边形中，，和相交于点，且为上一点（不包括端点），若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定的位置，接着由进行转化，利用共线定理得，再利用基本不等式“1”的妙用即可求解. 【详解】由题意，设， 则, 因为三点共线， 所以，即， 所以， 所以， 又三点共线， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故选：B. 7. 如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于，连接并延长交于点．若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由共线、共线分别可得、，进而得、求参数，得，最后由且共线求参数. 【详解】由共线，则，， 所以①， 由共线，则，， 所以②， 由①②知：，则，故， 由，则， 由共线，则，可得. 故选：A 【点睛】关键点点睛：令、，利用不同参数及表示出为关键. 8. 设向量与的夹角为，定义，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的运算法则求得与，进而求得，再代入，利用数量积求模长公式即可得解. 【详解】，，， 即，则， 故，得， ，， . 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用转化法求得与，从而得解. 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分．) 9. 《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形图中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 和能构成一组基底 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正八边形的几何特点，结合向量线性运算和平行关系的判断，对每个选项逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对于A选项，，A选项错误. 对于B选项，，B选项正确. 对于C选项，由于八边形ABCDEFGH为正八边形，故，且， 故，所以选项C正确. 对于D选项，由于和不共线，故和能构成一组基底，所以D正确. 故选：BCD. 10. 设O为所在平面内的一点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点O为的重心 B. 若，则点O为的垂心 C. 若，则的形状为等腰直角三角形 D. 若，则和的面积之比为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，取边中点，连接边上的中线，由向量关系可以判断出为中线的三等分点，可知为重心；对B，由，可得，即，同理可得，，由此可判断；对C，由条件结合向量运算可得，即，可判断；对D，由条件可得与边上的高之比为，得解. 【详解】对于A，如图，取边中点，连接边上的中线，则， 又，，即， 所以点为的重心，故A正确； 对于B，由，可得，即， 同理，可得，，即点为的3条高的交点，所以点为的垂心，故B正确； 对于C，由，则， ，即，化简得， 即，所以为直角三角形，故C错误； 对于D，因为，所以与边上的高之比为， 所以与的面积之比为，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，在梯形ABCD中，，，M为线段BC的中点，AM与BD交于点N，P为线段CD上的一个动点，则（ ） A. B. 向量与共线 C. D. 若，则最大值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据平面向量的基本定理，用和表示出可判断选项A；根据三点共线的向量表示和平面向量的线性运算，得出，进而得出，再结合平面向量共线的基本定理，即可判断选项B；根据M为线段BC的中点，，可得出、、面积之间的关系，可判断选项C；根据题目条件得出，，再利用平面向量的基本定理得出，进而可求出最大值，可判断选项D. 【详解】因为在梯形ABCD中，，， 所以, 则. 对于选项A：因为M为线段BC的中点， 所以，即, 所以，故选项A正确； 对于选项B：因为、、三点共线， 所以存在唯一的，使得. 又因为、、三点共线， 所以存在唯一的，使得, 又因为, 所以，解得，故， 所以, 则向量与不共线，故选项B错误； 对于选项C：因为M为线段BC的中点， 所以. 由选项B可得：， 所以；；， 所以，故选项C正确； 对于选项D：因为P为线段CD上的一个动点, 所以设，. 又因为，， 所以，则最大值，故选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．) 12. 已知向量，满足，则在上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题可先根据向量垂直的性质求出的值，再根据投影向量的计算公式求出在上的投影向量的坐标. 【详解】已知，则. 因为，根据向量垂直的性质可知，即. 将代入上式可得，即，解得.  根据投影向量的计算公式，向量在向量上的投影向量为. 将，，代入可得： .  故答案为：. 13. 已知向量，，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量数量积及共线的定理的坐标表示即可求解. 【详解】向量，，且与的夹角为钝角，则（且排除反向共线情况）. 当时，则，解得. 当当反向共线时，，解得. 综上所得，求实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，，且点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，则最大值为__________，若，则的最大值为________ ； 【答案】 ①. 9 ②. 【解析】 【分析】根据线性运算法则，可得，根据数量积公式，可得，根据的范围，分析即可得答案；以O为原点，OA为x轴正方向建系，可得各点坐标及P的轨迹方程，设出P点坐标，根据题意，可得的表达式，分析即可得答案. 【详解】因为 ， 所以 ， 因为，故当时，取得最大值1， 此时取得最大值为9. 以O为原点，OA为x轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 由题意得P的轨迹为以O为圆心，1为半径的半圆，其轨迹方程为， 设， 则， 因为， 所以， 所以， 所以当时，，此时的最大值为. 故答案为：9； 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答时要求写出必要的文字说明证明过程演算步骤．） 15. 已知向量 且， （1）求与； （2）若 求向量，的夹角的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行和向量垂直的坐标表示即可求出的值，从而得到. （2）首先将向量的坐标表示出来，然后根据向量夹角的余弦公式求出向量的夹角的余弦值，从而求得夹角的大小. 【小问1详解】 因为， 所以，所以.从而. 因为， 所以，所以，从而. 【小问2详解】 因为， 所以， . 所以，. 所以. 所以向量的夹角为. 16. 已知，且与的夹角为120°，求: （1）； （2）与的夹角； （3）若向量与垂直，求实数λ的值. 【答案】（1）； （2）； （3）或. 【解析】 【分析】（1）利用关系结合数量积的性质计算； （2）求出，，然后利用向量夹角余弦公式计算即可； （3）分析可知，利用平面向量数量积的运算性质可得出关于的方程，解之即可. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 因为， 所以，又， 所以， 又， 所以与的夹角为； 【小问3详解】 因为向量与垂直， 则， 整理可得，解得或. 17. 如图，在平行四边形中，.分别为上的点，且 （1）若求的值； （2）求的值； （3）求 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面基本定理求解：用表示出即可得； （2）用为基底表示其它向量后，由数量积的运算律及定义计算； （3）即为与的夹角，由数量积的定义可求得其余弦值． 【小问1详解】 ， 所以. 【小问2详解】 ， 所以 . 【小问3详解】 ， ， ， ， 则. 18. 已知向量，，函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）若，且，求的值； （3）将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象．当时，求函数的值域． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积坐标运算、二倍角和辅助角公式可化简得到，利用整体代换的方式可求得单调递增区间； （2）根据的范围可确定，由，结合两角和差公式可求得结果； （3）根据三角函数平移变换可得，由余弦型函数值域求法可求得结果. 【小问1详解】 ， 令，解得：， 的单调递增区间为. 【小问2详解】 由（1）得：， ，，又，， ， . 【小问3详解】 由题意知：， 当时，，， 即的值域为. 19. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数. （1）设函数，试求的伴随向量； （2）记向量的伴随函数为，求当．且时的值； （3）设，已知，问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件及诱导公式化简函数，利用伴随向量的定义即可求解； （2）根据伴随函数及同角函数基本关系式直接计算即可； （3）设点的坐标，根据向量垂直建立方程，利用三角函数及二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 ， 所以的伴随向量； 【小问2详解】 因为向量的伴随函数为，所以， 由题意，又，， 解得或（舍去）； 【小问3详解】 假设存在点，使得， 又，所以， 因为，所以 ， 即， 又因为，所以， 所以，所以， 又因为，所以当且仅当时，， 此时和和同时等于， 此时，故在函数的图象上存在点P，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $