专题探究：向量与三角形的四心及向量相关定理 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题探究——向量与三角形的心 一．知识讲解 （一）重心：三角形的重心是三角形三条中线的交点． 重心性质： 1．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 2．重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． 3．在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数． 重心的向量式：设是的重心，是所在平面内一点 应用举例： 1．已知为内一点，，则为的 A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 2．已知为所在平面内一点，，则是的 A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 3．已知为平面内一点，、、是平面上不共线的三点，若动点满足，且，则动点的轨迹一定通过的 A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 4．已知为平面内一点，、、是平面上不共线的三点，若动点满足，且，则动点的轨迹一定通过的 A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 5．在所在平面内有一动点，若，则当取得最小值时，为的 A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 （二）外心：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心)． 外心性质：到三角形三个顶点的距离相等 正弦定理中，涉及到外接圆的半径R 外心的向量式：设是的外心 应用举例： 1．为所在平面内一点，若，则为的 A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 2．已知为所在平面内一点，动点满足 ，则动点的轨迹一定经过的 A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 3．已知的外接圆半径为1，圆心为点，且，则的值为 A． B． C． D． 4．已知的外接圆的圆心为，，则的值为 ． （三）垂心：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点． 垂心性质： 锐角三角形的垂心在三角形内； 直角三角形的垂心在直角顶点上； 钝角三角形的垂心在三角形外． 垂心的向量式: 设是的垂心 应用举例： 1．P是所在平面上一点，若，则P是的　　　　　 A．外心　　　B．内心　　　C．重心　　　D．垂心 2．为所在平面内一点，满足，则为的 A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 3．已知是平面上一定点，、、为平面上不共线的三点，动点满足，则的轨迹一定通过的 A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 4.的垂心在其内部，，则的取值范围是_ _． （四）内心：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)． 内心性质： 1．三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r 2． 3．在Rt△ABC中，∠C=90°， 内心的向量式: 设是的内心 1．为内心， 2． 3．． 应用举例： 1．为平面内一点，、、为平面上不共线的三点，动点满足 ，则的轨迹一定通过的 A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 2．若点是所在平面内一点，满足 ，则点是的 A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高的交点 3．已知是所在平面上的一点，所对的三边分别为，若 ，则为的 A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 （五）阅读与思考 1．例题．设△ABC外心为O，重心为G．取点H，使． 求证：（1）H是△ABC的垂心； （2）O，G，H三点共线（欧拉线），且OG：GH=1：2． 跟练 2．奔驰定理 推论：是△内的一点，且，则 由此定理可得三角形四心向量式 应用举例： 已知点是△内部一点，且满足，则△，△， △的面积之比依次为 A． B． C． D． 第9页共6页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题探究——向量与三角形的心 一．知识讲解 （一）重心：三角形的重心是三角形三条中线的交点． 重心性质： 1．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 2．重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． 3．在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数． 重心的向量式：设是的重心，是所在平面内一点 应用举例： 1．已知为内一点，，则为的 答案A A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 2．已知为所在平面内一点，，则是的 答案A A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 3．已知为平面内一点，、、是平面上不共线的三点，若动点满足，且，则动点的轨迹一定通过的 答案A A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 4．已知为平面内一点，、、是平面上不共线的三点，若动点满足，且，则动点的轨迹一定通过的 答案A A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 5．在所在平面内有一动点，若，则当取得最小值时，为的 答案A A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 （二）外心：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心)． 外心性质：到三角形三个顶点的距离相等 正弦定理中，涉及到外接圆的半径R 外心的向量式：设是的外心 应用举例： 1．为所在平面内一点，若，则为的 答案C A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 2．已知为所在平面内一点，动点满足 ，则动点的轨迹一定经过的 答案C A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 3．已知的外接圆半径为1，圆心为点，且，则的值为 答案C A． B． C． D． 4．已知的外接圆的圆心为，，则的值为 ．答案： （三）垂心：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点． 垂心性质： 锐角三角形的垂心在三角形内； 直角三角形的垂心在直角顶点上； 钝角三角形的垂心在三角形外． 垂心的向量式: 设是的垂心 应用举例： 1．P是所在平面上一点，若，则P是的 答案D　　　　　 A．外心　　　B．内心　　　C．重心　　　D．垂心 2．为所在平面内一点，满足，则为的 答案B A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 解析：设，有．所以，即，所以，．同理，，． 3．已知是平面上一定点，、、为平面上不共线的三点，动点满足，则的轨迹一定通过的 答案B A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 解析：， 由于，所以，的轨迹过垂心． 4.的垂心在其内部，，则的取值范围是_ _．答案： （四）内心：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)． 内心性质： 1．三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r 2． 3．在Rt△ABC中，∠C=90°， 内心的向量式: 设是的内心 1．为内心， 2． 3．． 应用举例： 1．为平面内一点，、、为平面上不共线的三点，动点满足 ，则的轨迹一定通过的 答案D A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 解析：，在的平分线上，所以为内心． 2．若点是所在平面内一点，满足 ，则点是的 答案A A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高的交点 3．已知是所在平面上的一点，所对的三边分别为，若 ，则为的 答案D A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 解析：，又， ， 所以，是内心． （五）阅读与思考 1．例题．设△ABC外心为O，重心为G．取点H，使． 求证：（1）H是△ABC的垂心； （2）O，G，H三点共线（欧拉线），且OG：GH=1：2． 证明：（1）∵△ABC外心为O， ∴ 又∵ ∴ 则=•==0，即AH⊥BC 同理BH⊥AC，CH⊥AB，即H是△ABC的垂心； (2) 为三角形的重心 即，即O,G,H三点共线且OG:GH=1:2 跟练 答案： 2．奔驰定理 推论：是△内的一点，且，则 由此定理可得三角形四心向量式 应用举例： 已知点是△内部一点，且满足，则△，△， △的面积之比依次为 答案A A． B． C． D． 第9页共6页 学科网（北京）股份有限公司 $