重难点专题01：向量表示“四心”与奔驰定理与“四心”【8个常考题型归纳】讲义-2025-2026学年高一数学下学期人教A版必修第二册

2026年高一数学下学期常考题型归纳 【重难点专题01：向量表示“四心”与奔驰定理与“四心”】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：奔驰定理与三角形的“重心”】 【练方法】 知识梳理 奔驰定理核心：对△ABC内一点O，有 重心性质：重心G将三角形面积三等分，即 模型介绍 重心模型：当O为重心G时，奔驰定理简化为 几何意义：重心到顶点的向量和为零向量，重心分中线比为2:1 解题方法 1.识别点为重心：若满足，则G为重心 2.面积比例法：由奔驰定理，面积比等于对应向量系数比，重心对应系数相等 3.坐标法：若，则重心坐标 名师点睛 口诀：“重心向量和为零，面积三等分” 重心是唯一满足“向量和为零”的四心，可直接作为判定条件 高考中常结合坐标运算，快速求重心坐标 （2025高一·全国·专题练习）已知是的重心，，其中内角的对边分别为，则______．经典例题1例题 【答案】/ 【分析】三角形重心的性质以及向量的线性运算，将已知向量等式转化为边的关系，再利用余弦定理求出角. 【详解】解法1：因为为的重心，所以， 从而，将其代入已知条件中， 可得 ． 又因为与不共线， 所以， 即，所以，即． 解法2：（以，为基底） 因为， ， ， 所以可化为， 即． 因为与不共线， 所以解得 所以，即． 故答案为：或 （24-25高一下·安徽马鞍山·月考）G是的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则角______.经典例题2例题 【答案】 【分析】根据三角形的重心求得，再利用余弦定理来求得正确答案． 【详解】因为G是的重心，所以有. 又，所以. 设，则有.由余弦定理，可得，， 所以. 故答案为： （23-24高一下·江西·期末）已知点O是的重心，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且，则______.小试牛刀1 【答案】 【分析】利用重心的向量性质，即可得到边的关系，再利用余弦定理即可求角. 【详解】由点O是的重心，可知：， 又，可设，则， 再由余弦定理得：， 又因为，所以. 故答案为： （23-24高一下·重庆·期中）已知在中，内角所对的边分别为，点是的重心，且，则角的大小为______．小试牛刀2 【答案】 【分析】根据重心性质可得，代入已知，结合平面向量基本定理可得，然后由余弦定理可解. 【详解】记的中点分别为， 则， 由重心性质可知，，所以， 所以，即， 由平面向量基本定理可知，即， 所以，， 因为，所以. 故答案为：    （2023高一·全国·单元测试）在中，，，，分别是边，，的中点，是的重心，若，则______.小试牛刀3 【答案】4 【分析】由向量的平行四边形法则，由向量共线，是的重心，可得，代入可得. 【详解】 因为的中点，所以， 因是的重心，所以，所以 ， 故， 故答案为：4 【题型2：奔驰定理与三角形“内心”】 【练方法】 知识梳理 奔驰定理： 内心性质：内心I到三边距离相等，面积比（a,b,c为△ABC三边） 模型介绍 内心模型：当O为内心I时，奔驰定理简化为 几何意义：内心对应的向量系数与对边长度成正比 解题方法 1.系数识别：若向量系数为，则点为内心 2.面积比例：由，，，代入奔驰定理得向量关系 3.角平分线性质：结合角平分线定理，验证内心位置 名师点睛 口诀：“内心系数看对边，aOA+bOB+cOC=0” 内心向量表示的核心是“边长比例”，可直接用于判定内心 高考中常结合解三角形，给出边长求向量关系 （2025高三·全国·专题练习）设的内心为，且满足，则的值是_____．经典例题1例题 【答案】 【分析】由内心的向量表示可得，结合余弦定理的推论计算即可得. 【详解】如图，连接交于点，则， 于是． 又，因此 同理可得，， 所以． 由向量表示的唯一性可知，，所以． 故答案为：. （2025高三·全国·专题练习）设为的内心，，，，，则______，______．经典例题2例题 【答案】 ； 【分析】根据三角形内心向量表示式，结合平面向量基本定理进行求解即可. 【详解】， 即． 又因为是三角形的内心， 所以， 则有，解得，． 故答案为：； （2025高三·全国·专题练习）在中，I为的内心，若，则__________.小试牛刀1 【答案】 【分析】根据内心的性质和向量关系可得到三角形三边的比值，然后根据勾股定理的逆定理可知三角形为直角三角形，从而得出的值. 【详解】根据题意，画出图形为： 因为是的内心，所以根据内心的性质和向量关系可知， 若，则，分别为三角形三边的长度. 因为，所以， 根据勾股定理的逆定理，则. 故答案为：90°. （24-25高一下·广西柳州·期中）设为的内心，，，，则_______________小试牛刀2 【答案】 【分析】取中点，作，根据内心的特征可知；利用内切圆半径的求法可求得，由长度关系可求得，利用向量线性运算可表示出 ，由此可得. 【详解】取中点，连接，作，垂足分别为， ，为的角平分线，； 又，，，则； 周长，面积， 内切圆半径，， 又，， ，， ，，. 故答案为：. （2023·浙江金华·一模）在中，，设是的内心，若，则的值为__________．小试牛刀3 【答案】/1.5 【分析】由AE是角平分线可知，由此可知，再将用表示，根据A、O、E三点共线知，由此即可求出p、q及其比值. 【详解】∵是三角形的内角平分线， ∴，∴， ∴， 又∵三点共线，∴， ∴. 故答案为：． 【题型3：奔驰定理与三角形“外心”】 【练方法】 知识梳理 奔驰定理： 外心性质：外心O为外接圆圆心，，圆心角，， 面积比： 模型介绍 外心模型：当O为外心时，奔驰定理简化为 几何意义：外心对应的向量系数与二倍角正弦成正比 解题方法 1.角度识别：若向量系数为，则点为外心 2.圆心角面积：由，代入奔驰定理得向量关系 3.垂直平分线：结合外心是垂直平分线交点的性质，验证向量垂直关系 名师点睛 口诀：“外心系数看二倍角正弦” 外心向量表示的核心是“圆心角与圆周角的关系” 注意钝角三角形时，二倍角正弦可能为负，需结合图形判断方向 （2025高三·全国·专题练习）已知三角形的外心满足，则_____．经典例题1例题 【答案】/ 【分析】依题意可得，平方后求出，再由二倍角公式得到，最后应用同角三角函数关系求出答案. 【详解】不妨设的外接圆半径 因为，所以， 两边平方得：， 因为三角形的外接圆半径为1，所以， 故，解得：， 因为，而， 所以， 因为， 故. 故答案为： （2024高三·江苏·专题练习）的外心满足，，则的面积为____________．经典例题2例题 【答案】 【分析】设的中点为，根据外心性质和向量线性运算可证得，利用勾股定理可构造方程求得外接圆半径，由此可得长，代入三角形面积公式即可. 【详解】设的中点为，则，，即， 又，所以， 三点共线且，； 设的外接圆半径为，则， ，，解得：， ，. 故答案为：. 已知的外心为O，且，则的值为___________.小试牛刀1 【答案】 【分析】根据题意，设，，将变形为，由数量积的计算公式可得的值，由二倍角公式计算可得答案． 【详解】解：根据题意，设，则，若为的外心，则设， 若，则， 则有，即， 所以， 由图可得：，则， 则有， 解得或（舍去）， 故答案为：． （2020·全国·模拟预测）已知为的外心，且，，则实数的值为______．小试牛刀2 【答案】 【分析】取边的中点，利用向量加法的平行四边形法则可得，，，三点共线，由，，再由即可求解. 【详解】如图所示，取边的中点，则， 又，所以， 所以，，三点共线，， 因为为的外心，所以，， 所以，． 因为，所以， 即，所以． 故答案为： 【点睛】本题考查了向量的共线定理、向量加法的平行四边形法则，属于中档题. （23-24高一下·陕西咸阳·期中）若O为的外心，且，则______．小试牛刀3 【答案】0 【分析】根据已知条件判断三角形的形状，进而计算向量的数量积. 【详解】由得即， ∴点是的中点， 故是直角三角形，且， ∴, 故答案为：0. 【题型4：奔驰定理与三角形“垂心”】 【练方法】 知识梳理 奔驰定理： 垂心性质：垂心H满足，， 面积比： 模型介绍 垂心模型：当O为垂心H时，奔驰定理简化为 几何意义：垂心对应的向量系数与角的正切值成正比 解题方法 1.正切识别：若向量系数为，则点为垂心 2.垂直验证：由，展开验证向量垂直关系 3.高的性质：结合高线与对边垂直的性质，推导向量关系 名师点睛 口诀：“垂心系数看正切，垂直点积为零” 垂心是唯一满足“向量点积为零”的四心，可直接作为判定条件 注意直角三角形时，垂心在直角顶点，正切值无穷大，需特殊处理 （2025高三·全国·专题练习）已知点在内，且是的垂心，若，则____．经典例题1例题 【答案】 【分析】利用五心的向量表达式可求，利用两角和的正切公式得，进而得，即可求解. 【详解】依题意，取的中点，取的中点，连接， 则， 因为，所以，所以. 所以三点共线，且，连接，则，且， 所以， 如图，延长分别交于点， 在线段上取，使得.连接， 取的中点，取的中点，连接，    则， 因为，所以， 所以三点共线，且， 因为为的中点，所以，且，所以， 所以， 综上可得， 设， 因为， 整理得，可得，因为， 所以．又，所以，所以． 故答案为：. （2025高一·全国·专题练习）已知为的垂心，，，若，则______．经典例题2例题 【答案】 【分析】设，根据向量线性运算得到，并结合余弦定理求出，，，根据得到方程组，求出，，从而得到答案. 【详解】因为，设， 所以，故． 其中， 故， 又， 故，同理可得， 而， ， 联立方程解得，，所以． 故答案为： 在中，，，为的垂心，且满足，则___________.小试牛刀1 【答案】 【分析】根据题意作出图形，然后根据，设设，则，进而根据平面几何性质表示出相关边的数量关系，然后根据平面向量的运算法则即可得出. 【详解】如图所示，为的中点，不妨设，则.因为，则，则，，由此可得.      故答案为：. （2023·江苏·一模）已知是的垂心（三角形三条高所在直线的交点），，则的值为_______.小试牛刀2 【答案】 【解析】根据垂心得到，得到，即，，计算得到答案. 【详解】因为是的垂心，所以， 因为，且，所以， 所以，同理，即， 所以，所以. 故答案为：. 【点睛】本题考查了三角形的垂心，向量的运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 设是的垂心，且，则的值为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形垂心性质及已知条件可求得，，由向量的夹角公式即可求解． 【详解】由三角形垂心性质可得，，不妨设x， ∵345， ∴， ∴，同理可求得， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查平面向量的运用及向量的夹角公式，解题的关键是由三角形的垂心性质，进而用同一变量表示出，要求学生有较充实的知识储备，属于中档题． 【题型5：重心的向量表示】 【练方法】 知识梳理 核心公式： 1. 2.（O为任意点） 3.若G为重心，则 模型介绍 重心向量模型：重心是三个顶点向量的平均，向量和为零，分中线为2:1 坐标模型：重心坐标为顶点坐标的算术平均 解题方法 1.向量和法：若，则G为重心 2.中线法：，验证中线比例 3.坐标法：直接计算顶点坐标的平均值 名师点睛 口诀：“重心向量平均和为零，中线二比一” 重心是四心中最基础的向量模型，高考中常作为基础题考查 可快速用于求线段比例、坐标运算 （25-26高一下·全国·单元测试）为平面上一动点，是平面上不共线的三点，且满足，则点的轨迹必过的（   ）经典例题1例题 A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心 【答案】D 【分析】由题意为平面内的动点，是平面内不共线的三点，满足，可得出必过的中点，由此可以得出点的轨迹一定过三角形的重心． 【详解】如图，设为边的中点，， ， 共线， 即点在底边的中线上． 故选：D． （2025高一·全国·专题练习）已知，为平面内任意一点，动点满足，则点的轨迹一定经过（    ）经典例题2例题 A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 【答案】C 【分析】取中点为，根据向量的线性运算，以及共线定理，即可判断. 【详解】先设的中点为，则，      又因为， 而， 由三点共线的充要条件知三点共线， 则点的轨迹一定经过的重心. 故选：C． （24-25高三下·陕西西安·月考）在中，若动点P满足向量平行于向量，则P的轨迹过的（   ）小试牛刀1 A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【分析】将提取出来, 转化成表示与共线的向量, 点是的中点, 故的轨迹一定通过三角形的重心. 【详解】由正弦定理得， 设 而 表示与共线的向量 而点是的中点, 所以的轨迹一定通过三角形的重心. 故选：C （24-25高一下·云南玉溪·月考）在中，设，，那么动点的轨迹一定通过的（    ）小试牛刀2 A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 【答案】A 【分析】用向量的线性运算，结合中线向量和共线向量性质即可作答. 【详解】因为，， 则 若设中的的中点为，有， 则. 所以在三角形的中线上，因此动点的轨迹必通过的重心． 故选：A． （2024·全国·二模）点是所在平面内两个不同的点，满足，则直线经过的（    ）小试牛刀3 A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】A 【分析】根据向量的运算，并结合数形结合分析，即可判断. 【详解】设的中点为点，所以， 则， 若四点共线时，即点都在中线上，所以经过三角形的重心， 若四点不共线时，，且，连结，交于点， 如图， ，即点是三角形的重心，即经过的重心， 综上可知，经过的重心. 故选：A 【题型6：内心的向量表示】 【练方法】 知识梳理 核心公式： 1.（a,b,c为△ABC三边） 2. 几何意义：内心在角平分线上，到三边距离相等 模型介绍 内心向量模型：内心向量由两边向量按边长比例线性组合而成 角平分线模型：与共线 解题方法 1.比例法：若，则 2.单位向量法：与共线，可用于求方向 3.奔驰定理法：由，展开推导线性组合 名师点睛 口诀：“内心向量看边长，单位向量定方向” 内心向量表示的核心是“角平分线的方向”，可快速用于求角平分线方程 高考中常结合解三角形，给出边长求内心位置 （2025高三·全国·专题练习）A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（   ）经典例题1例题 A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】根据是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知点轨迹，据此可求解. 【详解】 令， 则是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量， 即在的平分线上， ，共线， 故点P的轨迹一定通过△ABC的内心， 故选：B （2025高三·全国·专题练习）已知，为三角形所在平面上的一点，且点满足，则为三角形的（    ）．经典例题2例题 A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】由题可得 ，可得点在的角平分线上，同理点在的角平分线上，可得为的内心. 【详解】因为， ， ， 所以点在的角平分线上. 同理可得：点在的角平分线上. 所以点为的内心. 故选：B （24-25高一下·河南南阳·期中）在中，若，，则点的轨迹必经过的（   ）小试牛刀1 A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】根据平面向量加法及数乘的几何意义作出图形，即可得出判断． 【详解】因为是与同向的单位向量，是与同向的单位向量， 如图，设，， 则可化为：，且， 以，为邻边作平行四边形， 则，且平行四边形为菱形，所以平分， 所以， 又为公共端点，所以，，三点共线，所以在的平分线上， 则点的轨迹必经过的内心， 故选：A． （23-24高一·全国·课后作业）若的三边为a，b，c，有，则是的（ ）小试牛刀2 A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】在，上分别取点，，使得，，以，为邻边作平行四边形，即可得到四边形是菱形，再根据平面向量线性运算法则及共线定理得到，，三点共线，即可得到在的平分线上，同理说明可得在其它两角的平分线上，即可判断. 【详解】在，上分别取点，，使得，，则． 以，为邻边作平行四边形，如图，    则四边形是菱形，且． 为的平分线．  ， ，      即， ． ，，三点共线，即在的平分线上， 同理可得在其它两角的平分线上， 是的内心． 故选：B． （24-25高一上·上海·课堂例题）已知，若点P满足，其中，则点P的轨迹一定通过的（    ）小试牛刀3 A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【答案】B 【分析】先根据单位向量的加法得出点在角平分线上进而得出轨迹过内心即可. 【详解】指向角A的平分线方向， 而与是平行的，所以依旧指向角A的平分线方向， 所以点P的轨迹即为角A的平分线及其反向延长线.而内心一定落在角A的平分线上， 所以点P的轨迹会经过内心. 故选：B. 【题型7：外心的向量表示】 【练方法】 知识梳理 核心公式： 1.（外接圆半径） 2. 3. 几何意义：外心是垂直平分线交点，到三顶点距离相等 模型介绍 外心向量模型：外心向量模长相等，满足二倍角正弦的线性组合为零 垂直平分线模型：，即 解题方法 1.模长法：若，则O为外心 2.垂直平分线法：验证，即垂直平分AB 3.二倍角法：由，判定外心 名师点睛 口诀：“外心模长都相等，垂直平分找交点” 外心向量表示的核心是“模长相等”，可快速用于求外接圆半径 高考中常结合圆的方程，考查外心坐标运算 （2026高一·全国·专题练习）已知是所在平面上一点，若，则是的（ ）经典例题1例题 A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】B 【详解】因为，则， 所以是的外心. （2025高一·全国·专题练习）已知为所在平面内一点，若，则点是的（    ）．经典例题2例题 A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】先转化为共起点的向量，再利用三角恒等变换化简有序数对，最后等式两边点乘对边向量，由数量积的值进行判定． 【详解】 原式变形为： ． 因为 ， 所以 ， 同理，， 所以 （其中为的中点，内角的对边分别为）． （由三角形的高得到，即）， 即． 同理，，其中为的中点． 所以是的外心， 故选：A． （24-25高一下·全国·课后作业）已知O是所在平面上的一点，若，则点O是的（    ）小试牛刀1 A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】根据向量数量积的运算律，即可得，结合外心定义即可求解. 【详解】由已知得， 所以，所以， 所以点O是的外心， 故选:A． （24-25高一下·河南许昌·期末）已知点在所在平面内，满足，则点是的（    ）小试牛刀2 A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【答案】A 【分析】根据点到的距离相等可得答案. 【详解】因为，即点到的距离相等， 所以点是的外心. 故选：A （23-24高一下·浙江绍兴·期中）在△ABC中，O为BC的中点，若，则动点M的轨迹必通过△ABC的（    ）小试牛刀3 A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】本题根据O是BC的中点，结合给定的向量条件式，即可判断动点M的轨迹. 【详解】因为，所以， 又因为O是BC的中点，所以直线MO是BC的中垂线， 故动点M的轨迹必通过的外心. 故选：B. 【题型8：垂心的向量表示】 【练方法】 知识梳理 核心公式： 1.，， 2. 3.（O为外心，H为垂心，欧拉定理） 模型介绍 垂心向量模型：垂心与顶点的向量垂直于对边，满足正切比例的线性组合为零 欧拉定理模型：外心O、重心G、垂心H共线，且 解题方法 1.点积法：验证，即垂直于对边 2.正切法：由，判定垂心 3.欧拉定理法：若O为外心，且，则H为垂心 名师点睛 口诀：“垂心点积为零，正切比例定心” 垂心是四心中最难的向量模型，常结合外心、重心考查欧拉定理 高考中常以压轴题形式出现，需熟练掌握垂直判定与欧拉定理 （2026高三·全国·专题练习）设是的外心，点满足，则是的（　　）经典例题1例题 A．内心 B．任意一点 C．垂心 D．重心 【答案】C 【详解】由题可得， 由于是的外心，设为线段的中点， 故且，即， 所以，同理，，故是的垂心． 故选：C. （25-26高三上·四川成都·开学考试）设O是平面上一定点，动点P满足，，且A，B，C是平面上不共线的三点，则动点P的轨迹一定通过的（   ）经典例题2例题 A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【分析】根据数量积的运算可得，进而根据可得，结合垂线的定义即可求解. 【详解】， 则，即， 故，即点的轨迹经过的垂心. 故选：D （2025高三·全国·专题练习）已知点是非等边的外心，是平面内的一点且，则是的（    ）小试牛刀1 A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 【答案】A 【分析】由点是非等边的外心可得，又因为平面内满足，所以，设D为中点，得到，，从而得到，在边的高线上.同理可得在边高线上，在边高线上，故为高线交点，即为垂心. 【详解】 因为点是非等边的外心， 所以. 因为平面内满足， 所以, 设D为中点，则有 ， 所以， 所以在边的高线上. 同理可得，在边高线上，在边高线上. 故点P是高线的交点，即为的垂心. 故选：A. （2025高三·全国·专题练习）已知在同一个平面上有和一点，且满足关系式：，则为的（    ）．小试牛刀2 A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【分析】根据可得，同理根据可得：，所以为的垂心. 【详解】由 ， ，所以. 同理由可得：. 所以为的垂心. 故选：D （2025高一·全国·专题练习）已知为所在平面内一点，若，则点是的（    ）．小试牛刀3 A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【分析】先转化为共起点的向量，对其两边点乘对边向量，提取公因式，再由数量积的值进行判定． 【详解】原式变形为， ， 所以，同理，． 所以是的垂心， 故选：D． 课后针对训练 一、单选题 1．（23-24高一下·重庆·月考）已知O是内一点，，且，则的面积为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由题意判断O为的重心，可得，结合，求出，可求得，即可求得答案. 【详解】由题意知O是内一点，， 设D为的中点，则， 故O为的重心，则，    又且，则， 故， 则， 故选：D 2．（23-24高一下·山东淄博·期中）在中，为的重心，.则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形重心的性质，结合向量线性运算的性质，即可求解. 【详解】根据三角重心的性质，有 ， 所以，，故. 故选：B 3．（2025高一·全国·专题练习）已知的重心为，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】运用余弦定理及三角形面积公式可得，结合重心性质可得求解即可. 【详解】    在中，由余弦定理得， 又，所以， 所以， 又为的重心， 所以，即， 所以. 故选：C. 4．（23-24高三上·陕西安康·月考）已知是所在平面内一点，若均为正数，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】由题设是的重心，应用向量加法、数乘几何意义可得，根据得，最后应用基本不等式求最小值，注意等号成立条件. 【详解】因为，所以点是的重心， 所以. 因为，所以， 综上，. 因为，所以三点共线，则，即. 因为均为正数，所以，则， 所以（当且仅当，即时取等号）， 所以的最小值为. 故选：B 5．（23-24高一下·河南郑州·月考）在中，满足，，，则的轨迹一定经过的（    ） A．内心、重心、垂心 B．重心、内心、垂心 C．内心、垂心、重心 D．重心、垂心、内心 【答案】A 【分析】由表示过角平分线所在向量，即可判断，由正弦定理得到，再设的中点为，则，即可判断，推导出，即可判断. 【详解】因为表示过角平分线所在向量，又， 所以的轨迹经过的内心， 由正弦定理，所以， 令， 由， 得， 设的中点为，则， 所以，所以的轨迹经过的重心，    因为， 所以 ， 所以，所以的轨迹经过的垂心. 故选：A 6．（23-24高一下·安徽蚌埠·月考）已知点是的重心，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形重心的性质，结合平面向量的线性运算，即可求得答案. 【详解】 设的中点为，连接，点是的重心，则在上， ， 所以，， 所以. 故选：B. 7．（23-24高一下·河南郑州·期中）已知O，P，N在所在平面内，满足，且，则点P，O，N依次是的（    ） A．外心，垂心，重心 B．重心，外心，内心 C．垂心，外心，重心 D．外心，重心，内心 【答案】C 【分析】根据到三角形三个顶点的距离相等，得到为外心；根据中线的性质，可得为重心；根据向量垂直，即得到是垂心. 【详解】，到三个顶点的距离相等，所以为外心； ，，所在直线经过中点，与中线共线，同理可得，分别与，边的中线共线，是三角形中三条中线的交点，是重心； ，，，同理得到另外两个向量都与边垂直，得到是三角形的垂心. 故选：C. 8．（23-24高一下·天津·期中）已知G是的重心，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用正弦定理得，再由三角形重心性质得出，再结合三边一角用余弦定理即可求出结果. 【详解】因为， 所以由正弦定理得， 由三角形重心性质知，得， 即， 故由余弦定理得. 故选：D 9．（24-25高一下·安徽马鞍山·月考）在中，为内的一点，，则下列说法正确的是（   ） A．若P为的重心，则 B．若P为的外心，则 C．若P为的垂心，则 D．若P为的内心，则 【答案】C 【分析】对于ACD：先求出三角形各种心的坐标，然后代入坐标列方程求解；对于B：利用展开计算即可. 【详解】如图建立平面直角坐标系，， 对于A：若为的重心，则， 所以 若，则，解得，所以，A不正确；    对于B：若为的外心，其必在直线上， 所以，B错误； 对于C：若为的垂心，其必在上，设， 则，解得， 此时， 若，则，解得，所以，C正确； 对于D：若为的内心，设内切圆半径为， 则，得，则， 此时， 若，则，解得，所以，D不正确； 故选：C. 10．（24-25高一下·河南郑州·期中）已知，，在所在平面内，满足，，且，则点，，依次是的（    ） A．外心，垂心，重心 B．重心，外心，内心 C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，内心 【答案】C 【分析】根据到三角形三个顶点的距离相等，得到为外心；根据中线的性质，可得为重心；根据向量垂直，即得到是垂心. 【详解】 因为，所以到定点的距离相等， 所以为的外心； 由，则， 取的中点，则， 所以，所以是的重心； 由，得，即， 所以，同理，所以点为的垂心. 故选：C. 11．（24-25高一下·广东东莞·期中）点在所在平面内，满足，，，.则点依次为的（    ） A．重心、外心、内心、垂心 B．外心、重心、内心、垂心 C．重心、垂心、外心、内心 D．外心、重心、垂心、内心 【答案】D 【分析】根据模长相等可判断为的外心，利用重心性质以及向量共线定理可判断为重心；由垂直关系的向量表示可得点为垂心；再结合角平分线性质可判断点为内心. 【详解】由可知，点到三点的距离相等， 可知为的外接圆圆心，即为的外心， 取的中点为，如下图所示：    易知，又，可知； 即在中线上靠近的三等分点， 同理可得为三条中线的交点，即为重心； 由可得，即， 可得，同理可得， 所以点为三条高的交点，因此点为垂心； 易知为沿方向上的单位向量，即； 令，所以，且为等腰三角形，，如下图：    由可得，即, 此时为角的平分线， 同理由可得为角的平分线， 因此可知为三条角平分线的交点，因此点为内心. 故选：D 12．（25-26高三上·江西南昌·月考）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的内心，AB=8，且满足，设△ABC的内切圆半径为，外接圆半径为，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据新定义奔驰定理结合三角形的面积公式求解. 【详解】由奔驰定理 . 结合已知 ，得 . 因为 是内心(到各边距离为内切圆半径 )， 所以 ， ， ， 因此边长 . ，，半周长 ， 由海伦公式， ， 又 ，， 由余弦定理， ， 代入正弦定理: ， . 故选：D 二、多选题 13．（24-25高一下·江苏徐州·月考）设点，，，分别为三角形的重心､垂心､外心和内心，则下列结论正确的是（   ） A．； B．若且，则； C．若，，则； D．若，则． 【答案】ACD 【分析】利用向量的线性运算结合重心的性质可判断A的正误，对于B，将选项的向量关系式变形后平方求数量积，从而判断其正误，对于C，利用向量的线性运算结合角平分线的性质、平面向量基本定理可求的值，故可判断其正误，对于D，对选项中的向量等式分别乘以向量后结合数量积的定义可求，故可判断其正误. 【详解】对于A，延长，交与，则为的中点， 故，而为三角形重心，故， 故即，故A正确； 对于B，因为，所以， 所以， 故，故，故B错误； 对于C，，则为等腰三角形， 延长交于，则为的中点，且， 由角平分线的性质可得，所以， 故， 而不共线，故，故，故C正确； 对于D，因为为垂心，故，故 ， 故，故，同理， 因为，所以， 所以，同理，故， 所以， 故D正确； 故选：ACD. 14．（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，为内任意一点，内角所对的边分别为的面积分别为，总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理，则以下命题是真命题的有（    ） A．若是的重心，则有 B．若，则 C．若为的内心，，则 D．若是的外心，，则 【答案】ACD 【分析】对于A：利用重心的性质 ，代入即可；对于B：利用将表示出来，代入，化简即可表示出的关系式，用将表示出来即可得处其比值.对于C：利用“奔驰定理”可得出的值，结合勾股定理可判断；对于D：利用三角形的圆心角为圆周角的两倍，再将两边平方，化简可得，结合的取值范围可得出答案. 【详解】对于A：如图所示：因为分别为的中点， 所以，， 同理可得、， 所以 ， 又因为， 所以.正确； 对于B：因为， 所以，所以， 所以， 所以， 化简得：， 又因为不共线， 所以，所以， 所以，错误； 对于C，若为的内心，，则.， 又（为内切圆半径）， 所以，，故，正确； 对于D：因为是的外心，，所以，， 所以， 因为，则， 化简得：，由题意知不同时为正， 记，，则， 因为，所以， 所以， 所以，正确. 故选：ACD. 15．（2026高三·全国·专题练习）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（ ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若，，M为的外心，则 D．若M为的垂心，，则 【答案】ABD 【分析】A选项，，作出辅助线，得到，，三点共线，同理可得为的重心；B选项，设内切圆半径为，将面积公式代入得到；C选项，设外接圆半径，由三角形面积公式求出三个三角形的面积，得到比值；D选项，得到，作出辅助线，由面积关系得到线段比，设，，，表示出，，，结合三角函数得到，进而求出余弦值. 【详解】对A选项，因为，所以， 取的中点，则，所以， 故，，三点共线，且， 同理，取中点，中点，可得，，三点共线，，，三点共线， 所以为的重心，A正确； 对B选项，若为的内心，可设内切圆半径为， 则，，， 所以， 即，B正确； 对C选项，若，，为的外心，则， 设的外接圆半径为，故，， ， 故，，， 所以，C错误； 对D选项，若为的垂心，， 则， 如图，，，，相交于点， 又， ，即， ，即， ，即， 设，，，则，，， 因为，， 所以，即， ，则，D正确； 故选：ABD. 16．（25-26高一上·云南昆明·期末）（多选）中，，点满足，设，则（    ） A．若为的重心，则 B．若为的内心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的外心，则 【答案】ABC 【分析】以中点为原点，为轴建立平面直角坐标系，求出三角形各种心的坐标，然后代入坐标列方程求出即可得解. 【详解】如图以中点为原点，为轴建立平面直角坐标系， 则，，，，， 对于A，若为的重心，则，，即， 所以， 若，则，解得， 此时，A说法正确； 对于B，若为的内心，由点到，的距离相等可知在上， 设内切圆的半径为，则， 即，解得，所以，， 若，则，解得， 此时，B说法正确； 对于C，若为的垂心，由可知在上， 设，则，解得， 所以，， 若，则，解得， 此时，C说法正确； 对于D，若为的外心，由可知在上， 设，则，即，解得， 所以，， 若，则，解得， 此时，D说法错误； 故选：ABC 三、填空题 17．（2022高三·全国·专题练习）如图所示，点是内一点，若，，，且，则________. 【答案】 【分析】方法一：根据三角形的面积利用奔驰定理可得，然后利用平面向量的线性运算得出，进而求解即可. 方法二：以为重心，在内作，根据重心的性质和平面向量的线性运算即可求出，进而求解即可. 【详解】方法一：因为，，， 所以， ∴由奔驰定理可得：， 即， 整理可得：， 即， 所以，则， 故答案为：. 方法二：在上取一点，使得， 在上取一点，使得，连接， 所以，，， 所以为的重心，所以， 也即，所以， 即， 整理可得：， 即， 所以，则， 故答案为：. 18．（2023高一·全国·专题练习）是所在平面上的一定点，动点满足，，，则点 形成的图形一定通过 的____．（填外心或内心或重心或垂心） 【答案】垂心 【分析】根据直角三角形中三角函数及向量的夹角可得，据此可由向量的线性运算知P点在BC边垂线上，即可得解. 【详解】 ， 与 垂直， ， 点在的高线上，即的轨迹过的垂心. 故答案为：垂心． 19．（24-25高二上·四川广安·开学考试）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedes-Benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理）．“奔驰定理”的内容如下：如图，已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则下列说法正确的是______（填序号）    ①是的垂心；②； ③；④ 【答案】①③④ 【分析】将移项，并结合平面向量的减法和数量积的运算法则，可得，同理推出，，即可判断①；根据①可知，，，再由三角形内角和定理即可判断②；延长交于点，结合诱导公式与余弦函数的定义，可证，进而求解③；利用三角形面积公式和奔驰定理即可证明④. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 同理可得，，，所以为的垂心，故①正确； 因为，，所以，， 所以， 又， 所以，又， 所以，故②不正确； 由②知，， 延长交于点，    所以 ， 同理可得， 所以， 所以，故③正确； 由，， 则 ， 同理， 所以， 又， 则，故④正确. 故答案为：①③④. 20．（2025·海南·模拟预测）瑞士数学家欧拉在1765年提出定理：任意三角形的外心、重心和垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线也被称为欧拉线．已知在中，，，且，设的外心为O，重心为G，垂心为H，若，则实数________；________． 【答案】 3 或 【分析】根据重心的性质得出，进而都化为以点为起点的向量，即可得出空一；根据正弦定理得出或.然后分类讨论，建立坐标系，求出点的坐标，进而得出答案. 【详解】如图1，设中点为，，垂足为， 则，. 根据重心的性质可知， 所以有， 整理可得， 所以，，； 由已知在中，，，且， 根据正弦定理可得， . 又，所以有或. 当时，，则. 且由余弦定理可知， ， 代入可得，， 整理可得， 解得（舍去）， 所以. 如图1，，，，. 建立直角坐标系， 则，，，. 不妨设， 则，. 因为， 所以，， 即有， 解得，所以. 又，，， 所以. 所以，， 所以，. 又由欧拉定理可知，， 所以，； 当时，，则. 且由余弦定理可知， ， 代入可得，， 整理可得， 解得（舍去）， 所以. 如图1，，，，. 建立直角坐标系， 则，，，. 不妨设， 则，. 因为， 所以，， 即有， 解得，所以. 又，，， 所以. 所以，， 所以，. 又由欧拉定理可知，， 所以，. 故答案为：3；或. 【点睛】思路点睛：根据正弦定理得出或.然后分类讨论，建立坐标系，求出点的坐标，进而得出答案. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高一数学下学期常考题型归纳 【重难点专题01：向量表示“四心”与奔驰定理与“四心”】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：奔驰定理与三角形的“重心”】 【练方法】 知识梳理 奔驰定理核心：对△ABC内一点O，有 重心性质：重心G将三角形面积三等分，即 模型介绍 重心模型：当O为重心G时，奔驰定理简化为 几何意义：重心到顶点的向量和为零向量，重心分中线比为2:1 解题方法 1.识别点为重心：若满足，则G为重心 2.面积比例法：由奔驰定理，面积比等于对应向量系数比，重心对应系数相等 3.坐标法：若，则重心坐标 名师点睛 口诀：“重心向量和为零，面积三等分” 重心是唯一满足“向量和为零”的四心，可直接作为判定条件 高考中常结合坐标运算，快速求重心坐标 （2025高一·全国·专题练习）已知是的重心，，其中内角的对边分别为，则______．经典例题1例题 （24-25高一下·安徽马鞍山·月考）G是的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则角______.经典例题2例题 （23-24高一下·江西·期末）已知点O是的重心，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且，则______.小试牛刀1 （23-24高一下·重庆·期中）已知在中，内角所对的边分别为，点是的重心，且，则角的大小为______．小试牛刀2 （2023高一·全国·单元测试）在中，，，，分别是边，，的中点，是的重心，若，则______.小试牛刀3 【题型2：奔驰定理与三角形“内心”】 【练方法】 知识梳理 奔驰定理： 内心性质：内心I到三边距离相等，面积比（a,b,c为△ABC三边） 模型介绍 内心模型：当O为内心I时，奔驰定理简化为 几何意义：内心对应的向量系数与对边长度成正比 解题方法 1.系数识别：若向量系数为，则点为内心 2.面积比例：由，，，代入奔驰定理得向量关系 3.角平分线性质：结合角平分线定理，验证内心位置 名师点睛 口诀：“内心系数看对边，aOA+bOB+cOC=0” 内心向量表示的核心是“边长比例”，可直接用于判定内心 高考中常结合解三角形，给出边长求向量关系 （2025高三·全国·专题练习）设的内心为，且满足，则的值是_____．经典例题1例题 （2025高三·全国·专题练习）设为的内心，，，，，则______，______．经典例题2例题 （2025高三·全国·专题练习）在中，I为的内心，若，则__________.小试牛刀1 （24-25高一下·广西柳州·期中）设为的内心，，，，则_______________小试牛刀2 （2023·浙江金华·一模）在中，，设是的内心，若，则的值为__________．小试牛刀3 【题型3：奔驰定理与三角形“外心”】 【练方法】 知识梳理 奔驰定理： 外心性质：外心O为外接圆圆心，，圆心角，， 面积比： 模型介绍 外心模型：当O为外心时，奔驰定理简化为 几何意义：外心对应的向量系数与二倍角正弦成正比 解题方法 1.角度识别：若向量系数为，则点为外心 2.圆心角面积：由，代入奔驰定理得向量关系 3.垂直平分线：结合外心是垂直平分线交点的性质，验证向量垂直关系 名师点睛 口诀：“外心系数看二倍角正弦” 外心向量表示的核心是“圆心角与圆周角的关系” 注意钝角三角形时，二倍角正弦可能为负，需结合图形判断方向 （2025高三·全国·专题练习）已知三角形的外心满足，则_____．经典例题1例题 （2024高三·江苏·专题练习）的外心满足，，则的面积为____________．经典例题2例题 已知的外心为O，且，则的值为___________.小试牛刀1 （2020·全国·模拟预测）已知为的外心，且，，则实数的值为______．小试牛刀2 （23-24高一下·陕西咸阳·期中）若O为的外心，且，则______．小试牛刀3 【题型4：奔驰定理与三角形“垂心”】 【练方法】 知识梳理 奔驰定理： 垂心性质：垂心H满足，， 面积比： 模型介绍 垂心模型：当O为垂心H时，奔驰定理简化为 几何意义：垂心对应的向量系数与角的正切值成正比 解题方法 1.正切识别：若向量系数为，则点为垂心 2.垂直验证：由，展开验证向量垂直关系 3.高的性质：结合高线与对边垂直的性质，推导向量关系 名师点睛 口诀：“垂心系数看正切，垂直点积为零” 垂心是唯一满足“向量点积为零”的四心，可直接作为判定条件 注意直角三角形时，垂心在直角顶点，正切值无穷大，需特殊处理 （2025高三·全国·专题练习）已知点在内，且是的垂心，若，则____．经典例题1例题 （2025高一·全国·专题练习）已知为的垂心，，，若，则______．经典例题2例题 在中，，，为的垂心，且满足，则___________.小试牛刀1 （2023·江苏·一模）已知是的垂心（三角形三条高所在直线的交点），，则的值为_______.小试牛刀2 设是的垂心，且，则的值为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型5：重心的向量表示】 【练方法】 知识梳理 核心公式： 1. 2.（O为任意点） 3.若G为重心，则 模型介绍 重心向量模型：重心是三个顶点向量的平均，向量和为零，分中线为2:1 坐标模型：重心坐标为顶点坐标的算术平均 解题方法 1.向量和法：若，则G为重心 2.中线法：，验证中线比例 3.坐标法：直接计算顶点坐标的平均值 名师点睛 口诀：“重心向量平均和为零，中线二比一” 重心是四心中最基础的向量模型，高考中常作为基础题考查 可快速用于求线段比例、坐标运算 （25-26高一下·全国·单元测试）为平面上一动点，是平面上不共线的三点，且满足，则点的轨迹必过的（   ）经典例题1例题 A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心 （2025高一·全国·专题练习）已知，为平面内任意一点，动点满足，则点的轨迹一定经过（    ）经典例题2例题 A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 （24-25高三下·陕西西安·月考）在中，若动点P满足向量平行于向量，则P的轨迹过的（   ）小试牛刀1 A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 （24-25高一下·云南玉溪·月考）在中，设，，那么动点的轨迹一定通过的（    ）小试牛刀2 A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 （2024·全国·二模）点是所在平面内两个不同的点，满足，则直线经过的（    ）小试牛刀3 A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【题型6：内心的向量表示】 【练方法】 知识梳理 核心公式： 1.（a,b,c为△ABC三边） 2. 几何意义：内心在角平分线上，到三边距离相等 模型介绍 内心向量模型：内心向量由两边向量按边长比例线性组合而成 角平分线模型：与共线 解题方法 1.比例法：若，则 2.单位向量法：与共线，可用于求方向 3.奔驰定理法：由，展开推导线性组合 名师点睛 口诀：“内心向量看边长，单位向量定方向” 内心向量表示的核心是“角平分线的方向”，可快速用于求角平分线方程 高考中常结合解三角形，给出边长求内心位置 （2025高三·全国·专题练习）A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（   ）经典例题1例题 A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 （2025高三·全国·专题练习）已知，为三角形所在平面上的一点，且点满足，则为三角形的（    ）．经典例题2例题 A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 （24-25高一下·河南南阳·期中）在中，若，，则点的轨迹必经过的（   ）小试牛刀1 A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 （23-24高一·全国·课后作业）若的三边为a，b，c，有，则是的（ ）小试牛刀2 A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 （24-25高一上·上海·课堂例题）已知，若点P满足，其中，则点P的轨迹一定通过的（    ）小试牛刀3 A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【题型7：外心的向量表示】 【练方法】 知识梳理 核心公式： 1.（外接圆半径） 2. 3. 几何意义：外心是垂直平分线交点，到三顶点距离相等 模型介绍 外心向量模型：外心向量模长相等，满足二倍角正弦的线性组合为零 垂直平分线模型：，即 解题方法 1.模长法：若，则O为外心 2.垂直平分线法：验证，即垂直平分AB 3.二倍角法：由，判定外心 名师点睛 口诀：“外心模长都相等，垂直平分找交点” 外心向量表示的核心是“模长相等”，可快速用于求外接圆半径 高考中常结合圆的方程，考查外心坐标运算 （2026高一·全国·专题练习）已知是所在平面上一点，若，则是的（ ）经典例题1例题 A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 （2025高一·全国·专题练习）已知为所在平面内一点，若，则点是的（    ）．经典例题2例题 A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 （24-25高一下·全国·课后作业）已知O是所在平面上的一点，若，则点O是的（    ）小试牛刀1 A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 （24-25高一下·河南许昌·期末）已知点在所在平面内，满足，则点是的（    ）小试牛刀2 A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 （23-24高一下·浙江绍兴·期中）在△ABC中，O为BC的中点，若，则动点M的轨迹必通过△ABC的（    ）小试牛刀3 A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【题型8：垂心的向量表示】 【练方法】 知识梳理 核心公式： 1.，， 2. 3.（O为外心，H为垂心，欧拉定理） 模型介绍 垂心向量模型：垂心与顶点的向量垂直于对边，满足正切比例的线性组合为零 欧拉定理模型：外心O、重心G、垂心H共线，且 解题方法 1.点积法：验证，即垂直于对边 2.正切法：由，判定垂心 3.欧拉定理法：若O为外心，且，则H为垂心 名师点睛 口诀：“垂心点积为零，正切比例定心” 垂心是四心中最难的向量模型，常结合外心、重心考查欧拉定理 高考中常以压轴题形式出现，需熟练掌握垂直判定与欧拉定理 （2026高三·全国·专题练习）设是的外心，点满足，则是的（　　）经典例题1例题 A．内心 B．任意一点 C．垂心 D．重心 （25-26高三上·四川成都·开学考试）设O是平面上一定点，动点P满足，，且A，B，C是平面上不共线的三点，则动点P的轨迹一定通过的（   ）经典例题2例题 A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 （2025高三·全国·专题练习）已知点是非等边的外心，是平面内的一点且，则是的（    ）小试牛刀1 A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 （2025高三·全国·专题练习）已知在同一个平面上有和一点，且满足关系式：，则为的（    ）．小试牛刀2 A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 （2025高一·全国·专题练习）已知为所在平面内一点，若，则点是的（    ）．小试牛刀3 A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 课后针对训练 一、单选题 1．（23-24高一下·重庆·月考）已知O是内一点，，且，则的面积为（    ） A． B． C．1 D． 2．（23-24高一下·山东淄博·期中）在中，为的重心，.则（    ） A．1 B． C． D． 3．（2025高一·全国·专题练习）已知的重心为，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D．4 4．（23-24高三上·陕西安康·月考）已知是所在平面内一点，若均为正数，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 5．（23-24高一下·河南郑州·月考）在中，满足，，，则的轨迹一定经过的（    ） A．内心、重心、垂心 B．重心、内心、垂心 C．内心、垂心、重心 D．重心、垂心、内心 6．（23-24高一下·安徽蚌埠·月考）已知点是的重心，且，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·河南郑州·期中）已知O，P，N在所在平面内，满足，且，则点P，O，N依次是的（    ） A．外心，垂心，重心 B．重心，外心，内心 C．垂心，外心，重心 D．外心，重心，内心 8．（23-24高一下·天津·期中）已知G是的重心，若，则（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·安徽马鞍山·月考）在中，为内的一点，，则下列说法正确的是（   ） A．若P为的重心，则 B．若P为的外心，则 C．若P为的垂心，则 D．若P为的内心，则 10．（24-25高一下·河南郑州·期中）已知，，在所在平面内，满足，，且，则点，，依次是的（    ） A．外心，垂心，重心 B．重心，外心，内心 C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，内心 11．（24-25高一下·广东东莞·期中）点在所在平面内，满足，，，.则点依次为的（    ） A．重心、外心、内心、垂心 B．外心、重心、内心、垂心 C．重心、垂心、外心、内心 D．外心、重心、垂心、内心 12．（25-26高三上·江西南昌·月考）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的内心，AB=8，且满足，设△ABC的内切圆半径为，外接圆半径为，则（   ）    A． B． C． D． 二、多选题 13．（24-25高一下·江苏徐州·月考）设点，，，分别为三角形的重心､垂心､外心和内心，则下列结论正确的是（   ） A．； B．若且，则； C．若，，则； D．若，则． 14．（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，为内任意一点，内角所对的边分别为的面积分别为，总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理，则以下命题是真命题的有（    ） A．若是的重心，则有 B．若，则 C．若为的内心，，则 D．若是的外心，，则 15．（2026高三·全国·专题练习）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（ ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若，，M为的外心，则 D．若M为的垂心，，则 16．（25-26高一上·云南昆明·期末）（多选）中，，点满足，设，则（    ） A．若为的重心，则 B．若为的内心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的外心，则 三、填空题 17．（2022高三·全国·专题练习）如图所示，点是内一点，若，，，且，则________. 18．（2023高一·全国·专题练习）是所在平面上的一定点，动点满足，，，则点 形成的图形一定通过 的____．（填外心或内心或重心或垂心） 19．（24-25高二上·四川广安·开学考试）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedes-Benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理）．“奔驰定理”的内容如下：如图，已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则下列说法正确的是______（填序号）    ①是的垂心；②； ③；④ 20．（2025·海南·模拟预测）瑞士数学家欧拉在1765年提出定理：任意三角形的外心、重心和垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线也被称为欧拉线．已知在中，，，且，设的外心为O，重心为G，垂心为H，若，则实数________；________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $