精品解析：浙江省温州市部分校2021-2022学年九年级上学期11月份学力调研数学试题

浙江省温州市部分校2021-2022学年九年级上学期11月份 学力调研数学试题 一.选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题要求） 1. 下列运算正确的是（　　） A. ＝±3 B. |﹣3|＝﹣3 C. ＝﹣3 D. ＝π﹣4 【答案】C 【解析】 【分析】根据绝对值、立方根、算术平方根定义求出每个式子的值，再判断即可． 【详解】解：A、，故A错误； B、|﹣3|＝3，故B错误； C、=﹣3，故C正确； D、=4﹣π，故D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了对绝对值、立方根、算术平方根定义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力． 2. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据判别式等于0计算即可． 【详解】解：由题意知，， 解得． 3. 若扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用扇形的面积计算． 【详解】解：扇形的面积． 故选：A． 4. 已知线段AB的长为4，点P是线段AB的黄金分割点(AP＞BP)，则PA的长为(　　) A. 2﹣2 B. 6﹣2√5 C. D. 4﹣2 【答案】A 【解析】 【分析】利用黄金分割的定义得到PA=AB，然后把AB=4代入计算即可． 【详解】∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP）， ∴PA=AB=×4=2-2． 故选A． 【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． 5. 如图，在中，已知，点，分别为，的中点，平分交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理，等腰三角形的判定等证明即可求解． 【详解】解：∵点，分别为，的中点， ∴是的中位线，， ，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 6. 已知二次函数自变量x与函数值y之间满足如图数量关系：那么的值为（ ） 2 4 7 1 A. 4 B. 6 C. 10 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质（对称性），一元二次方程根与系数的关系，求根公式等知识点，根据已知x与y之间的数量关系得出二次函数的对称轴是解题关键．先得出二次函数的对称轴，从而可得的值，由一元二次方程根与系数的关系，可求的值，再根据函数图象的对称性求出时y的值，从而可得的值，然后代入求解即可得． 【详解】解：由表格可知，二次函数图像过两点， 二次函数的对称轴为直线， ， 当时，得方程，方程两根为， ， 由二次函数的对称性得：时的函数值与时的函数值相等，则， ， 故选：． 7. 二次根式的最小值是（ ） A. 5 B. C. 12 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】将二次根式转化为两点间的距离是解题的关键． 【详解】解：可看成点到点或点的距离， 可看成点到点或点的距离， ∵点关于x轴对称，点关于x轴对称， ∴连接交x轴于点A，此时取最小值，此时． 8. 等腰中，，分别是、上的点，且，连接、交于点P，若，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作交于D，得到，进而得到，设，证明，得到，推出，进而得到，即可． 【详解】解：作交于D，如图， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 整理得， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质．解题的关键是添加辅助线，构造相似三角形． 9. 如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°．在扇形内放一个Rt△EDF，其中DE＝10，DF＝9，直角顶点D在半径OB上，OD＝2DB，点E在半径OA上，点F在弧上．则半径OA的长为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】看到点想位置，用角度刻画F在上的位置，再利用建立等量关系解得半径 【详解】解：连接OF，作FG⊥ OB于点G，过F作于H， 设半径为r，， 在中，， ∵，， ∴ ， 又， ∴ ， ∴ ， 由， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ，， 在中， 因为解方程复杂，代入检验得： 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，首先要明确的一点是：△EDF的形状是确定的．D点在OB上的位置也是确定的，所以点F在弧AB上的位置以及点E在OA上的位置也是确定的，应当思考利用什么样的数量关系去刻画这两点的位置关系，而这恰恰是解题的关键． 10. 如图，在中，，，．点是边上一点（不包括端点），在边上取点，使得．过、、三点作，交、于、两点．连接、、．当为等腰三角形时，则的长为（ ）． A. 或或 B. 或或 C. 或或 D. 或或 【答案】A 【解析】 【分析】分三种情况讨论，①当时，过点作于，容易证明，计算得，由结合三角函数可得，进一步计算得，使用勾股定理计算出；②当时，过点作于，过点作于，容易判断是等腰直角三角形，则，，通过可得．设，则，计算得，在直角中，使用勾股定理构造方程，解出的值，进而求出；③当时，过点作于，过点作于，设，则，，进一步计算得，结合，求出的值，最后使用勾股定理求出即可． 【详解】解：分三种情况： ①如图1，当时，过点作于，则， ∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由勾股定理可得，； ②如图2，当时，过点作于，过点作于， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， 由①可得，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 解得（舍），， ∴； ③如图3，当时，过点作于，过点作于， 由②同理，设，则， 由勾股定理可得， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理可得，， 综上所述，的长为或或． 【点睛】注意运用分类讨论的思想并证明三角形相似． 二．填空题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 11. 一组数据1，3，2，7，x，2，3的平均数是3，则该组数据的众数为________． 【答案】3 【解析】 【分析】首先根据这组数据的总和等于各个数据之和，或等于这组数据的平均数乘以这组数据的个数，列出方程，得出x的值，再根据众数的概念，这组数据中出现次数最多的是3，从而得出答案. 【详解】解: 1+3+2+7+x+2+3=3×7 解得  ：x=3, 这组数据中出现次数最多的是3，故该组数据的众数为3. 故答案为3. 点睛: 本题考查的是平均数和众数的概念．注意一组数据的众数可能不只一个. 12. 不等式组的解是____. 【答案】 【解析】 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】 解不等式①，得x＞1， 解不等式②，得x≤6， 所以不等式组的解集是1＜x≤6， 故答案是：1＜x≤6． 【点睛】考查了一元一次不等式解集的求法，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 13. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再运用十字相乘法进行因式分解，即可作答． 【详解】解： ， 故答案为：． 14. 已知等腰△ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，则△ABC的内切圆半径为________________cm． 【答案】 【解析】 【分析】如图，设△ABC的内切圆半径为r，由勾股定理得AD=12，再由切线长定理得AE=8，根据勾股定理求得r即可． 【详解】解：如图， ∵AB=AC=13cm，BC=10cm， ∴BD=5cm， ∴AD=12cm， 根据切线长定理，AE=AB-BE=AB-BD=13-5=8， 设△ABC的内切圆半径为r， ∴AO=12-r， ∴（12-r）2-r2=64， 解得r=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、三角形的内切圆以及等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的内切圆及等腰三角形的性质是解题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P在一次函数的图象上运动，求PB﹣PA的最大值 __________． 【答案】4 【解析】 【分析】作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接．首先确定点的坐标，当点在的延长线上时，的值最大． 【详解】解：设直线与x轴交于，与y轴交于Q， 作点A关于直线的对称点K， 连接交直线于H，连接，如图： 在中，令时，得，令得， ∴，， ∴，， ，， ∵A关于直线的对称点K， ∴， ∴， ∵， ∴， ，即， ，， ∵， ， 在中，令得， ∴， ∵H是的中点，且， ∴， ∴， ∴当点P在的延长线上时， 的值最大，最大值为， 16. 如图甲，平面内有一点P到的三个顶点的距离分别为，，．若满足，则称点P为关于点A的勾股点．如图乙，E是矩形内一点，且点C是关于点A的勾股点，连接．已知，，，则的长为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可得，由矩形的性质可得，，结合勾股定理得出，作的高线，和的高线，结合勾股定理以及三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵点C是关于点A的勾股点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， 如图，作的高线，和的高线， ∵，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， 由勾股定理可得：， 解得：． 17. 已知二次函数，当时函数的最小值为，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数在最值等知识．先把函数化为顶点式，根据抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，进行分情况讨论即可． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， 当时，为最小值， 解得舍或， 当时，时，为最小值， 解得或舍， 故答案为：或． 18. 将小王与小孙现在的年龄按从左至右的顺序排列得到一个四位数，这个数为完全平方数，再过31年，将他们的年龄按同样方式排列，又得到一个四位数，这个数仍然为完全平方数，则小王现在的年龄是_____岁． 【答案】12 【解析】 【分析】设小王年龄为x岁，小孙年龄为y岁，可得，，两式相减因式分解后得到，得到方程组后解答即可． 【详解】解：设小王年龄为x岁，小孙年龄为y岁， 可得，， 两式相减得， ， ∴， 解得， ∴， ∴，， 即：小王现在的年龄是12岁， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了完全平方数，平方差公式，根据题意得到表达相减构造平方差公式，然后试解是解题的基本思路． 三．解答题（共6小题，共70分，解答需写出必要的过程，演算步骤或证明过程） 19. 已知，求代数式的值． 【答案】2021 【解析】 【分析】先化简代数式，再将代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 20. 已知，是一元二次方程的两个根． （1）求的值． （2）若时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，利用立方和公式变形，进而代入数值进行计算即可； （2）先通分得，由方程得，再将其代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵，是一元二次方程的两个根， ，， ； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ， 由得， ∴ ． 21. 如图，以的边为直径的交对角线于点，交于点．连结．过点作于点，是的切线． （1）求证：是菱形． （2）已知，．求的长． 【答案】（1）见解析 （2）的长为 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的判定和性质，平行四边形的性质，三角函数，正确的识别图形是解题的关键． （1）如图，连接，根据切线的性质得到，根据平行四边形的性质得到，推出，根据等角对等边，菱形的判定，即可得到结论； （2）如图，连接，由（1）得，，得到点是的中点，根据菱形的性质，则经过点且；，，根据，求出，根据平行线的性质，可得，则，分别求出，，，根据相似三角形的判定和性质，求出，最后根据勾股定理求出，即可． 【小问1详解】 解：证明，如下：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形． 【小问2详解】 解：如图，连接， 由（1）得，，， ∴， ∴， ∴点是的中点， ∵四边形是菱形， ∴经过点且；，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即的长为． 22. 如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏． （1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长； （2）求矩形菜园ABCD面积的最大值． 【答案】（1）D的长为10m；（2）当a≥50时，S的最大值为1250；当0＜a＜50时，S的最大值为50a﹣a2． 【解析】 【分析】（1）设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m，利用矩形的面积公式得到x（100﹣2x）=450，解方程求得x1=5，x2=45，然后计算100﹣2x后与20进行大小比较即可得到AD的长； （2）设AD=xm，利用矩形面积可得S= x（100﹣x），配方得到S=﹣（x﹣50）2+1250，根据a的取值范围和二次函数的性质分类讨论：当a≥50时，根据二次函数的性质得S的最大值为1250；当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，根据二次函数的性质得S的最大值为50a﹣a 【详解】（1）设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m， 根据题意得x（100﹣2x）=450， 解得x1=5，x2=45， 当x=5时，100﹣2x=90＞20，不合题意舍去； 当x=45时，100﹣2x=10， 答：AD的长为10m； （2）设AD=xm， ∴S=x（100﹣x）=﹣（x﹣50）2+1250， 当a≥50时，则x=50时，S的最大值为1250； 当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大，当x=a时，S的最大值为50a﹣a2， 综上所述，当a≥50时，S的最大值为1250；当0＜a＜50时，S的最大值为50a﹣a2． 【点睛】本题考查了一元二次方程及二次函数的应用．解决第（2）问时，要注意根据二次函数的性质并结合a的取值范围进行分类讨论，这也是本题的难点． 23. 先自学下列材料，再解题．在不等式的研究中，有以下两个重要基本不等式： 若，，则 若，，，则 不等式、反映了两个（或三个）非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数．这两个基本不等式在不等式证明中有着广泛的应用．现举例如下： 若，试证明不等式：． 证明： 即． 现请你利用上述不等式、证明下列不等式： （1）当时，试证明：． （2）当、为任意实数时，试证明：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知将原式变形为例题形式，即可证明； （2）分当时与当时两种情况，将原式变形为例题形式，即可证明． 【小问1详解】 解：， ， 即； 【小问2详解】 解：当时， ， 当时， ， 综上，当、为任意实数时，． 24. 如图1，抛物线与轴交于点，与轴交于点，在轴上有一动点，，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点，过点作于点． （1）求a的值和直线的函数表达式； （2）设的周长为，的周长为，若，求m的值； （3）如图2，在（2）条件下将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接、，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令，求出抛物线与轴交点，列出方程即可求出，根据待定系数法可以确定直线解析式． （2）由，推出，列出方程即可解决问题． （3）在轴上取一点使得，构造相似三角形，可以证明就是的最小值． 【小问1详解】 令，则， ， 或， 抛物线与轴交于点， ， ． ，， 设直线解析式为，则， 解得， 直线解析式为． 【小问2详解】 如图1中， ，， ， ， ， ， ， ， ， 抛物线解析式为， ， ， 解得或4， 经检验是分式方程的增根， ． 【小问3详解】 如图2中，在轴上 取一点使得，连接，在上取一点使得． ，， ， ， ， ， ， ， ，此时最小（两点间线段最短，、、共线时）， 最小值． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段就是的最小值，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省温州市部分校2021-2022学年九年级上学期11月份 学力调研数学试题 一.选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题要求） 1. 下列运算正确的是（　　） A. ＝±3 B. |﹣3|＝﹣3 C. ＝﹣3 D. ＝π﹣4 2. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为（ ） A. B. C. D. 3. 若扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知线段AB的长为4，点P是线段AB的黄金分割点(AP＞BP)，则PA的长为(　　) A. 2﹣2 B. 6﹣2√5 C. D. 4﹣2 5. 如图，在中，已知，点，分别为，的中点，平分交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数自变量x与函数值y之间满足如图数量关系：那么的值为（ ） 2 4 7 1 A. 4 B. 6 C. 10 D. 14 7. 二次根式的最小值是（ ） A. 5 B. C. 12 D. 13 8. 等腰中，，分别是、上的点，且，连接、交于点P，若，则的值为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°．在扇形内放一个Rt△EDF，其中DE＝10，DF＝9，直角顶点D在半径OB上，OD＝2DB，点E在半径OA上，点F在弧上．则半径OA的长为（ ） A. B. 2 C. D. 10. 如图，在中，，，．点是边上一点（不包括端点），在边上取点，使得．过、、三点作，交、于、两点．连接、、．当为等腰三角形时，则的长为（ ）． A. 或或 B. 或或 C. 或或 D. 或或 二．填空题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 11. 一组数据1，3，2，7，x，2，3的平均数是3，则该组数据的众数为________． 12. 不等式组的解是____. 13. 分解因式：______． 14. 已知等腰△ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，则△ABC的内切圆半径为________________cm． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P在一次函数的图象上运动，求PB﹣PA的最大值 __________． 16. 如图甲，平面内有一点P到的三个顶点的距离分别为，，．若满足，则称点P为关于点A的勾股点．如图乙，E是矩形内一点，且点C是关于点A的勾股点，连接．已知，，，则的长为__________． 17. 已知二次函数，当时函数的最小值为，则的值为______． 18. 将小王与小孙现在的年龄按从左至右的顺序排列得到一个四位数，这个数为完全平方数，再过31年，将他们的年龄按同样方式排列，又得到一个四位数，这个数仍然为完全平方数，则小王现在的年龄是_____岁． 三．解答题（共6小题，共70分，解答需写出必要的过程，演算步骤或证明过程） 19. 已知，求代数式的值． 20. 已知，是一元二次方程的两个根． （1）求的值． （2）若时，求的值． 21. 如图，以的边为直径的交对角线于点，交于点．连结．过点作于点，是的切线． （1）求证：是菱形． （2）已知，．求的长． 22. 如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏． （1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长； （2）求矩形菜园ABCD面积的最大值． 23. 先自学下列材料，再解题．在不等式的研究中，有以下两个重要基本不等式： 若，，则 若，，，则 不等式、反映了两个（或三个）非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数．这两个基本不等式在不等式证明中有着广泛的应用．现举例如下： 若，试证明不等式：． 证明： 即． 现请你利用上述不等式、证明下列不等式： （1）当时，试证明：． （2）当、为任意实数时，试证明：． 24. 如图1，抛物线与轴交于点，与轴交于点，在轴上有一动点，，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点，过点作于点． （1）求a的值和直线的函数表达式； （2）设的周长为，的周长为，若，求m的值； （3）如图2，在（2）条件下将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接、，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $