精品解析：河北保定地区学校联考2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试题

高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定形式判断即可. 【详解】原命题的否定为“，”. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因，解得或，故或， 又，则或， 即. 3. 的展开式中常数项为（ ） A. 252 B. 264 C. 248 D. 240 【答案】A 【解析】 【分析】由二项式展开的通项公式求解即可. 【详解】由题意可知此二项式展开的通项公式为：， 令，解得， 所以原式二项式展开式中的常数项为. 4. 已知随机变量，，，，且其密度曲线如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布密度曲线的对称轴确定均值，根据曲线的形状（“瘦高”或“矮胖”）确定标准差的大小，再利用正态分布曲线的对称性及概率的几何意义逐项判断可得. 【详解】由题意及图像可知，随机变量的密度曲线关于直线对称， 随机变量 的密度曲线关于直线对称，所以 ，. 对于选项A，由图可知，的密度曲线比的密度曲线更“矮胖”， 根据正态分布的性质， 越小曲线越“瘦高”， 越大曲线越“矮胖”， 所以，故选项A错误； 对于选项 B，根据正态分布曲线的对称性可知，，， 所以 ，故选项B错误； 对于选项C，由选项 B 可知， 对于随机变量，其对称轴为， 因为 ，所以 ， 所以，故选项C正确； 对于选项D，由图可知  表示的密度曲线在左侧的面积， 故， 表示的密度曲线在左侧的面积， 故，又， 所以，故选项D错误. 5. 通俗歌曲记谱常采用简谱，，，，，，，为基础音级，对应简谱数字记号分别为1，2，3，4，5，6，7．现截取一段经典乐曲片段，统计各音级出现的频次，如下表所示，整段乐谱共20个音级．若从该段乐谱中随机抽取2个音级进行练习，则恰好是1个和1个的概率为（ ） 音级 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 频次/次 2 4 3 2 5 3 1 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用古典概型的概率计算公式求解. 【详解】随机抽取2个音级，恰好是1个和1个的概率. 6. 某农业科研团队连续7年对某新品农作物第（，2，3，4，5，6，7）年的亩产量（单位：百公斤）进行跟踪记录，用最小二乘法得到关于的经验回归方程为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用已知数据求出样本中心点，代入经验回归直线方程即可求解. 【详解】， 则，即， 则，所以，样本中心点的坐标为， 代入得，解得. 7. 已知随机变量的分布列为（），则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因，，则， ， 即，解得． 8. 若关于的不等式在上有解，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将原不等式在上有解问题转化为（，），结合导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】不等式在上有解等价于不等式在上有解， 令，，则即可. ， 当时，，，所以，单调递减； 当时，，，所以，单调递增； 因此，当时，取得最小值， ， 所以. 故的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 袋中有（）个白球和4个黑球，从中任取1个球，记事件为取到白球．设p：；q：，则（ ） A. 当时， B. 是的充分不必要条件 C. 当时，为假命题 D. 是的充分不必要条件 【答案】AD 【解析】 【分析】利用概率公式解出命题和成立时的取值集合，再通过比较这两个集合的包含关系来判断充分必要条件并验证各选项. 【详解】由题意得，解得， 结合，命题成立的条件是， 命题成立的条件是， 即集合，集合， 对于A，代入得，故A正确； 对于B， 因为集合不是集合的子集，所以不是的充分条件，故B错误； 对于C，因为满足，所以为真命题，故C错误； 对于D，集合是集合的真子集，则是的充分不必要条件，故D正确. 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 能被1250整除 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用赋值法求解二项展开式的各类系数和，结合整除概念判断选项正误即可. 【详解】选项A：令，代入等式得，故A错误. 选项B：令，代入得， 移项得，故B正确. 选项C：因的展开式通项为， 依题意，，则当为奇数时，，当为偶数时，. 令得，故C正确. 选项D：令得， 故，能被1250整除，故D正确。 11. 给定非空数集，设集合，，为中元素的个数．设集合，．若，则；若，则．下列结论正确的是（ ） A. B. 的值可能为 C. 的最大元素不大于 D. 的值可能为 【答案】AD 【解析】 【分析】首先根据集合的定义确定其元素范围，结合、的约束条件，推导的元素个数最值、的最大元素范围，逐一判断选项. 【详解】∵ 集合 ，且 ， 可得 ，中最大元素为. 对于选项A， 题设明确，根据子集定义，可得 ，故A正确. 设中最小元素为，最大元素为，. ∵ ，即. ∵ ，故的最小元素为. ∵ ，故的最大元素为. 要满足，需保证的最大元素小于的最小元素， 即 ①. 对于选项C：若，则，， 满足，且，故C错误. 对于选项B、D：要使最大，可取为连续自然数集合，此时. 代入①得 . 又 ，当时，， 因为，所以， 代入得，且， 满足①式，此时符合所有条件，故可能为，故D正确. 当时，，因为，所以， 代入得，超出的元素范围，不可能成立，故B错误. 【点睛】方法归纳：解决集合新定义问题，需先准确理解新集合的含义，将陌生条件转化为熟悉的集合运算、不等关系，涉及最值问题时优先考虑元素连续的集合构造. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若随机变量~，则______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先根据二项分布的方差公式计算，再利用方差的性质求解. 【详解】因为随机变量，即服从参数为，的二项分布. 二项分布的方差公式为. 根据方差的运算性质：对任意常数，有， 所以. 13. 已知函数为减函数，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得在R上恒成立，据此可得答案. 【详解】由题设可得在上恒成立，则. ， 当且仅当时取等号，则. 14. 某建筑材料实验室有份（编号分别为）同批次的仿古青砖试样，其中仅份含有符合明代官窑标准的矿物成分（检测员知道是哪一份）．实习生先随机选取份试样做编号登记，暂不开展检测；检测员再从剩余份试样中随机取出份不含目标矿物的试样，用于常规成分演示检测．已知实习生选了号试样，则在检测员检测号试样的情况下，目标矿物在号试样的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】先定义事件，利用全概率公式计算“实习生选号后检测员选号”的总概率，再用贝叶斯公式，结合目标在号时检测员选号的条件概率，求得目标矿物在号试样的条件概率为． 【详解】设事件为目标在号（），则， 事件为检测员选出了2号（且2号不含目标）， 若事件成立（目标在1号），剩余都不含目标，检测员从4个中随机选，选到2号的概率， 若事件成立（目标在2号），则检测员不能选含目标的试样，不可能选出2号，即， 若事件成立（目标在3号），则剩余都不含目标，检测员从这3个里随机选1个， 即选出2号的概率， 若事件成立（目标在4号），则剩余都不含目标，检测员从这3个里随机选1个， 即选出2号的概率， 若事件成立（目标在5号），则剩余都不含目标，检测员从这3个里随机选1个， 即选出2号的概率， 所以 ， 所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某批古琴琴轸的直径（单位：）服从正态分布． （1）从这批古琴琴轸中随机抽取一件，求其直径在内的概率； （2）设直径在之外的古琴琴轸被判定为不合格，若从这批古琴琴轸中随机抽取一件，求其不合格的概率． 参考数据：若~，则，，． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正态分布的对称性求解； （2）根据正态分布的原则求解即可. 【小问1详解】 由知，, 直径，即， 所以 . 【小问2详解】 因为， 所以合格古琴琴轸直径为，即， 因为， 所以不合格的古琴琴轸的概率为. 16. 钟表匠要修复7台（A，B，C，D，E，F，G）不同的古董钟表． （1）若A，B，C这3台古董钟表的修复顺序互不相邻，则共有多少种不同的修复顺序？ （2）若B在A之后修复，在C之前修复，则共有多少种不同的修复顺序？ （3）若C不能作为首台修复，且B，D必须连续修复，则共有多少种不同的修复顺序？ 【答案】（1）种 （2）种 （3）种 【解析】 【分析】（1）采用插空法，先排无限制元素，再将要求不相邻的元素插入空隙，保证彼此不相邻； （2）用总排列数除以该部分元素自身的全排列数，消除多余顺序即可； （3）采用捆绑法把B，D看作一个整体，与其余5台共6个元素全排列，再排除C在首位的不符合情况． 【小问1详解】 先排D，E，F，G共4台，全排列数为, 而4台钟表排好后形成5个空隙，从5个空隙中选3个插入A，B，C，3者互不相邻， 排列数为， 总修复顺序数． 【小问2详解】 已知A，B，C顺序固定，7台全排列有种，其中A，B，C全排列有种， 仅1种符合已知固定顺序，故总排列数为：． 【小问3详解】 而B，D捆绑为一体有种，总共相当于6个元素，排列数为， 总排列数为， 固定在首位，剩余5个元素全排列，数量为， 符合条件的总排列数为． 17. 某环境监测站对一款水质检测设备进行算法优化，规定检测误差率低于3%的检测结果为合格．技术人员分别采集该设备优化前、优化后对同一批水样的检测数据并加以统计，得到如下列联表： 单位：份 设备 检测结果 合计 合格 不合格 优化前 82 18 100 优化后 98 2 100 合计 180 20 200 （1）根据表中数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为该设备算法优化与检测结果的准确性有关联？ （2）用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取该设备算法优化后的水样1000份，记其中检测结果为合格的份数为，求使事件“”的概率最大时的值． 参考公式及数据：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）能认为该设备算法优化与检测结果的准确性有关联 （2） 【解析】 【分析】（1）计算卡方统计量，与对应的临界值比较，判断是否拒绝“算法优化与检测准确性无关”的零假设； （2）先确定Y服从二项分布，通过相邻两项概率的比值列不等式求解概率取最大值时的k值. 【小问1详解】 提出零假设：设备算法优化与检测结果的准确性无关联.  由列联表可知，， 得到， 依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即能认为该设备算法优化与检测结果的准确性有关联. 【小问2详解】 由题意，优化后检测结果合格的概率，则， 要使最大，需满足，， 即，解得， 由于，所以. 18. 设函数，且关于的方程有两个不相等的根，． （1）证明：无极值． （2）求的取值范围． （3）证明：． 【答案】（1）由求导得， 当时，，则， 当时，，则， 所以在上单调递减，无极值. （2） （3）由题意，不妨设，要证，即证， 因为，则需证，即， 因为在上单调递减， 所以只需证明，又因为， 即证：， 令，， 令，则， 当时，，所以，所以在上单调递增， 故，所以，所以，所以， 即，故. 【解析】 【分析】（1）求出函数导函数，再解关于导函数的不等式，结合极值的定义即可证明； （2）分和讨论，令，先求函数导数，得到的单调性和最值，即可求出的取值范围； （3）构造函数，，要证，即证，利用导数易得函数单调递增，即得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由方程可得：， 所以， 当时，； 当时，， 令，则， 因为，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当趋近负无穷时，趋近，当趋近正无穷时，趋近正无穷， 如下图： 要使关于的方程有两个不相等的根，需使， 即，故的取值范围为. 【小问3详解】 略 19. 微纳机器人集群靶向药物输送技术中，微纳机器人的运动状态直接影响药物输送效率，某科研团队对6台微纳机器人的运动状态进行动态调控． 1．动态调控按初始运动模式分为三类，每类对应固定的输送效能值： ①低速巡航模式：4台微纳机器人，处于基础巡航状态，单台输送效能值记为1． ②中速靶向模式：2台微纳机器人，处于精准寻靶状态，单台输送效能值记为2． ③高速渗透模式：初始0台，处于病灶渗透状态，单台输送效能值记为3． 2．调控规则：控制系统每次等可能随机选取1台微纳机器人发送调控指令，机器人接收指令后按以下规则切换运动模式． ①若选取低速巡航模式机器人：接收指令后维持原模式，运动状态不改变． ②若选取中速靶向模式机器人：成功接收渗透指令，切换为高速渗透模式，状态更新． ③若选取高速渗透模式机器人：已达最优输送状态，模式保持稳定，不再变更． 定义第（）次调控完成后，6台微纳机器人的总输送效能值为随机变量，其取值均属于集合．记，，，且． （1）求，，； （2）用，，表示； （3）求． 【答案】（1），，； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用概率公式计算即可得； （2）利用全概率公式，可用，，表示出、与，再利用期望公式计算即可得； （3）结合与可得与关系，再构造等比数列，利用等比数列判定定理及其性质计算即可得. 【小问1详解】 时，6台微纳机器人有台在低速巡航模式，台在中速靶向模式； 时，6台微纳机器人有台在低速巡航模式，台在中速靶向模式，台在高速渗透模式； 时，6台微纳机器人有台在低速巡航模式，台在高速渗透模式； 故， ， ； 【小问2详解】 ， ， ， 故； 【小问3详解】 ， ， 则， 设为初始状态，则，故， 故，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 的展开式中常数项为（ ） A. 252 B. 264 C. 248 D. 240 4. 已知随机变量，，，，且其密度曲线如图所示，则（ ） A. B. C. D. 5. 通俗歌曲记谱常采用简谱，，，，，，，为基础音级，对应简谱数字记号分别为1，2，3，4，5，6，7．现截取一段经典乐曲片段，统计各音级出现的频次，如下表所示，整段乐谱共20个音级．若从该段乐谱中随机抽取2个音级进行练习，则恰好是1个和1个的概率为（ ） 音级 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 频次/次 2 4 3 2 5 3 1 A. B. C. D. 6. 某农业科研团队连续7年对某新品农作物第（，2，3，4，5，6，7）年的亩产量（单位：百公斤）进行跟踪记录，用最小二乘法得到关于的经验回归方程为，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知随机变量的分布列为（），则（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的不等式在上有解，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 袋中有（）个白球和4个黑球，从中任取1个球，记事件为取到白球．设p：；q：，则（ ） A. 当时， B. 是的充分不必要条件 C. 当时，为假命题 D. 是的充分不必要条件 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 能被1250整除 11. 给定非空数集，设集合，，为中元素的个数．设集合，．若，则；若，则．下列结论正确的是（ ） A. B. 的值可能为 C. 的最大元素不大于 D. 的值可能为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若随机变量~，则______，______． 13. 已知函数为减函数，则的取值范围是______． 14. 某建筑材料实验室有份（编号分别为）同批次的仿古青砖试样，其中仅份含有符合明代官窑标准的矿物成分（检测员知道是哪一份）．实习生先随机选取份试样做编号登记，暂不开展检测；检测员再从剩余份试样中随机取出份不含目标矿物的试样，用于常规成分演示检测．已知实习生选了号试样，则在检测员检测号试样的情况下，目标矿物在号试样的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某批古琴琴轸的直径（单位：）服从正态分布． （1）从这批古琴琴轸中随机抽取一件，求其直径在内的概率； （2）设直径在之外的古琴琴轸被判定为不合格，若从这批古琴琴轸中随机抽取一件，求其不合格的概率． 参考数据：若~，则，，． 16. 钟表匠要修复7台（A，B，C，D，E，F，G）不同的古董钟表． （1）若A，B，C这3台古董钟表的修复顺序互不相邻，则共有多少种不同的修复顺序？ （2）若B在A之后修复，在C之前修复，则共有多少种不同的修复顺序？ （3）若C不能作为首台修复，且B，D必须连续修复，则共有多少种不同的修复顺序？ 17. 某环境监测站对一款水质检测设备进行算法优化，规定检测误差率低于3%的检测结果为合格．技术人员分别采集该设备优化前、优化后对同一批水样的检测数据并加以统计，得到如下列联表： 单位：份 设备 检测结果 合计 合格 不合格 优化前 82 18 100 优化后 98 2 100 合计 180 20 200 （1）根据表中数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为该设备算法优化与检测结果的准确性有关联？ （2）用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取该设备算法优化后的水样1000份，记其中检测结果为合格的份数为，求使事件“”的概率最大时的值． 参考公式及数据：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 设函数，且关于的方程有两个不相等的根，． （1）证明：无极值． （2）求的取值范围． （3）证明：． 19. 微纳机器人集群靶向药物输送技术中，微纳机器人的运动状态直接影响药物输送效率，某科研团队对6台微纳机器人的运动状态进行动态调控． 1．动态调控按初始运动模式分为三类，每类对应固定的输送效能值： ①低速巡航模式：4台微纳机器人，处于基础巡航状态，单台输送效能值记为1． ②中速靶向模式：2台微纳机器人，处于精准寻靶状态，单台输送效能值记为2． ③高速渗透模式：初始0台，处于病灶渗透状态，单台输送效能值记为3． 2．调控规则：控制系统每次等可能随机选取1台微纳机器人发送调控指令，机器人接收指令后按以下规则切换运动模式． ①若选取低速巡航模式机器人：接收指令后维持原模式，运动状态不改变． ②若选取中速靶向模式机器人：成功接收渗透指令，切换为高速渗透模式，状态更新． ③若选取高速渗透模式机器人：已达最优输送状态，模式保持稳定，不再变更． 定义第（）次调控完成后，6台微纳机器人的总输送效能值为随机变量，其取值均属于集合．记，，，且． （1）求，，； （2）用，，表示； （3）求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $