8.4乘法公式的综合应用学案2025-2026学年苏科版数学七年级下册

8.4乘法公式的综合应用 一、学习目标 1. 能熟练掌握乘法公式，并能灵活运用进行相关计算。 2. 在运用乘法公式的过程中，感悟公式的逆用与整体转化的数学思想。 3. 掌握添括号法则，能正确进行添括号变形。 二、知识回顾（独立完成，再核对） 【学习提示】 先回忆公式，再填写，写完后可对照教材检查。 1. 完全平方公式 · (a + b)² = ____________________ · (a - b)² = ____________________ · 记忆口诀：首平方，尾平方，____________________，符号看前方。 2. 平方差公式 · (a + b)(a - b) = ____________________ · 记忆口诀：____________________，平方相减。 3. 添括号法则 · 括号前面是“+”号，添括号后，括号里各项的符号 ____________________。 · 括号前面是“-”号，添括号后，括号里各项的符号 ____________________（正变负，负变正）。 三、添括号练习（试一试） 【学习提示】 添括号时注意：括号前是“-”号，里面各项要变号。 1. a - 2b - c = a - ( __________ ) 2. a - 2b + c = a - ( __________ ) 3. a + b - c = a + ( __________ ) 4. a - b + c - d = (a - d) + ( __________ ) 四、公式的综合应用 第1关：模仿练习（跟着步骤填空） 例1 计算 (x - 3)(x + 3)(x² + 9) 思路：先算前两个，再用平方差公式。 解：原式 = ( ___________ )(x² + 9) = (x²)² - ______________ = ____________________ 思考：这一步用了什么公式？____________________ 例2 计算 (2x + 3)² (2x - 3)² 思路：先观察能否逆用积的乘方公式。 解：原式 = [(2x + 3)(2x - 3)]² = ( ___________ )² = ____________________ 思考：如果直接展开，计算量会怎样？哪种方法更简便？____________________ 第2关：独立尝试（先自己算，再核对） 例3 计算 (2a + b)(b - 2a) - (a - 3b)² 我的解答： 原式 = ________________________________________ = ________________________________________ = ________________________________________ 核对答案：____________________ 例4 计算 (x + y + 4)(x + y - 4) 我的解答： 原式 = ________________________________________ = ________________________________________ = ________________________________________ 核对答案：____________________ 第3关：挑战自己（整体思想的运用） 例5 计算 (x + y - 3)(x - y + 3) 【学习提示】 尝试把 x 看作整体，或者把 y-3 看作整体。 方法1：将 x 看作整体 原式 = [x + ( ___________ )][x - ( ___________ )] = x² - ( ___________ )² = x² - ( ______________ ) = ____________________ 方法2：将 y-3 看作整体 原式 = [( ___________ ) + y][( ___________ ) - y] = ( ___________ )² - y² = ____________________ 思考：你喜欢哪种方法？为什么？____________________ 例6 计算 (a - b + c)² 【学习提示】 三项的完全平方，可以先把其中两项看作一个整体。 我的解法（选择一种分组方式）： 我选择将 __________ 看作整体。 原式 = [ ___________ ]² = ____________________ = ____________________ = ____________________ 核对答案：a² + b² + c² - 2ab + 2ac - 2bc 五、课堂练习（独立完成） 【学习提示】 先独立完成，再对照答案订正，用红笔标注错题。 1. 计算： (1) a² + (b - a)(b + a) = ____________________ (2) (a - 1)(a + 1)(a² - 1) = ____________________ (3) (3x + 1)² (3x - 1)² = ____________________ (4) (x - y + z)(x - y - z) = ____________________ 2. 计算： (1) (2a - b)² - 4(a + b)(a - b) = ____________________ (2) 3(x + y)(-x - y) - (3x + y)(-3x + y) = ____________________ 六、几何应用 【学习提示】 观察图形，从不同角度计算阴影面积。 如图，4个完全相同的长方形围成一个正方形。阴影部分由四个小长方形组成。 · 用长方形的长和宽表示阴影面积：____________________ · 用大正方形面积减去小正方形面积表示：____________________ 由此得到的等式是：____________________ 验证（用乘法公式说明）： 左边 = ( ___________ )² - ( ___________ )² = ( ______________ ) - ( ______________ ) = ____________________ = 右边 结论：这个等式成立。 七、拓展提高（挑战题） 【学习提示】 这道题很经典，先观察式子的特点，再尝试构造。 例 计算： (2 + 1)(2² + 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1) + 1 思路：乘以 (2-1) 构造平方差，逐次化简。 解：原式 = (2 - 1)(2 + 1)(2² + 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1) + 1 = ( ___________ - 1)(2² + 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1) + 1 = ( ___________ - 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1) + 1 = ( ___________ - 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1) + 1 = ( ___________ - 1)(2¹⁶ + 1) + 1 = ( ___________ - 1) + 1 = ____________________ 思考： 1. 为什么要乘以 (2-1)？____________________ 2. 这种方法的名称是什么？____________________ 八、课后作业（巩固提升） 1. 基础计算： (1) (x - y)² - (x + y)² = ____________________ (2) (3a - b)² + (b + 3a)² = ____________________ (3) (2x - 1)(2x + 1)(4x² + 1) = ____________________ 2. 综合计算： (1) 4(a + 2)² - 7(a + 3)(a - 3) + 3(a - 1)² = ____________________ (2) (2a - b - 3)(2a + b - 3) = ____________________ 3. 先化简，再求值： (1) (3 - 4y)(3 + 4y) + (3 + 4y)²，其中 y = 0.4 化简：原式 = ____________________ 当 y = 0.4 时，原式 = ____________________ (2) (2a + b)² - (3a - b)² + 5a(a - b)，其中 a =0.4 ，b = 0.75 化简：原式 = ____________________ 当 a = 0.4，b = 0.75 时，原式 = ____________________ 4.如图，从边长为a的正方形ABCD中剪去一个边长为b的正方形CGEF． (1)若a－b＝3，a2－b2＝21，求a＋b的值； (2) 请根据图中阴影部分面积验证平方差公式； 九、反思与总结 【学习提示】 完成所有练习后，花2分钟回顾本节课的内容。 1. 本节课我学到的运算技巧有： （1）____________________ （2）____________________ （3）____________________ 2. 我在计算中容易出错的地方是： 3. 我还有不懂的问题： 学科网（北京）股份有限公司 $