暑假作业03 乘法公式（要点梳理+7大题型+巩固强化）-【暑假分层作业】2025年七年级数学暑假培优练（苏科版2024）

限时练习：90min 完成时间： 月 日 天气： 作业03 乘法公式 要点一、平方差公式 （1）平方差公式：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差，即 （2）平方差公式的结构特征：平方差公式，它的左边是两个二项式的积，在这两个二项式中，有一项完全相同，而另一项互为相反数；公式的右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与互为相反数项的平方差. 【注意】 1. 在平方差公式中，字母a和b可以表示具体的数，也可以表示一个单项式，也可以表示一个多项式，但字母之间的运算规律是不发生变化的，因此，只要符合公式的特征，就可以直接写出结果. 2. 有些多项式乘法，公式特征不明显，所以看起来不符合公式，其实只要经过变形就能使用公式. 3. 对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便. 要点二、平方差公式的验证 （1）平方差公式的几何意义：边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，则阴影部分的面积是；将阴影部分剪拼成一个长方形，这个长方形的长为，宽为，面积为，因为两个长方形的阴影部分面积相等，所以. （2）常见验证平方差公式的几何图形： 【注意】利用图形验证平方差公式的关键是将同一个图形的面积用不同的方法表示，即直接表示和间接表示. 要点三、完全平方公式 （1）完全平方公式：，即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍.可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式的常见变形： （3）完全平方公式的特征：左边是两个数的和的平方；右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同. 【注意】 1. 公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式. 2. 对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式. 3. 对于三项的可以把其中的两项看作一项后，也可以用完全平方公式. 要点四、完全平方公式的验证 （1）验证：如图，大正方形的面积可以表示为，也可以用四个部分的面积之和来表示，即，所以. （2）验证：如图，阴影部分的面积可以表示为，也可用大正方形的面积减去三个空白部分的面积，所以. 【注意】利用几何图形验证完全平方公式时，所列式子表示同一个图形的面积. 要点五、整式的混合运算 （1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似. （2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看作整体的代数式通常要用括号括起来. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一、运用平方差公式进行运算 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．下列能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 3．计算： ． 4．若，，则 ． 5．计算 ． 题型二、平方差公式与几何图形 6．如图，我们可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．观察图形，通过面积的计算，可以验证的恒等式是（    ） A． B． C． D． 7．从边长为的大正方形纸板正中央挖去一个边长为的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（    ） A． B． C． D． 8．如图，边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形，根据图形能验证的等式为（    ） A． B． C． D． 9．如图，大正方形与小正方形的面积差为72，则阴影部分的面积为（   ） A．18 B．24 C．36 D．72 10．如图，将一个边长为a的正方形，剪掉一个边长为b的小正方形后，剩余部分沿对角线分成I 和 II 两部分，剪开后的 I 和 Ⅱ 可以拼成一个长方形． (1)以上操作过程可以验证的乘法公式是___________ ．（填正确选项的字母代号） A．    B．     C． (2)利用（1）中的结论，求的值． 题型三、运用完全平方公式进行运算 11．下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 12．在运用乘法公式计算时，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 13．设，，其中为实数，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 14．已知，则的值是 ． 15．若，，则 ． 题型四、通过对完全平方公式变形求值 16．已知，，则的值为（   ） A．10 B．4 C．2 D．1 17．已知，则的值是（      ） A． B．8 C． D． 18．已知，则的值是（  ） A．13 B．14 C．15 D．16 19．已知，，那么 ． 20．已知，则的值为 ． 题型五、完全平方公式在几何图形中的应用 21．有两类正方形、，其边长分别为、（），现将放在的内部得图，将、并列放置后构造新的正方形得图，图和图中阴影部分的面积分别为和．若将三个正方形和两个正方形如图摆放，则阴影部分的面积为（   ） A．29 B．25 C．18 D．24 22．有两个正方形、，将、并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图1与正方形图2．若图1、图2中阴影的面积分别为11与32，则正方形的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 23．如图，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，两正方形的面积和，已知，则图中阴影部分面积为（    ）    A． B．8 C．6 D．12 24．如图，正方形的边长为，点在边上，四边形也是正方形，它的边长为，连接、、． (1)用含、的代数式表示________________； (2)若两个正方形的面积之和为60，且，求图中线段的长； (3)记的面积为，则______________（用字母表示）． 25．如图1，正方形A、B、C的边长分别为m、n、p，且． (1)将一个A种和一个B种正方形组合成图2的图形，外边框可以围成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，从而可以得到一个乘法公式为 ． (2)如图3，将正方形A、B、C拼接在一起，沿着外边框可以围成一个大正方形，类比（1）的思路进行思考，直接写出所得到的等式 ． (3)利用用正方形A、B、C画出恰当的图形，说明 题型六、求完全平方式中的字母系数 26．若是一个完全平方，则的值为（　　） A． B． C． D． 27．若一个关于x的多项式的完全平方是，则m的值为（   ） A． B． C．或 D．或 28．若是完全平方式，则（    ） A．6 B． C．12 D． 29．代数式可以化为，则的值是（ ） A． B．3或 C．28 D．98 30．若关于x的二次三项式是一个完全平方式，则m的值为（   ） A． B． C．或 D．或 题型七、整式的混合运算 31．计算的结果是 ． 32．（）用乘法公式计算：； （）先化简，再求值： ，其中，． 33．先化简，再求值：，其中，． 34．先化简，再求值：，其中，． 35．先化简，再求值：，其中． 1．下列算式中，结果为的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则的值是（   ） A．12 B．19 C．18 D．11 3．若，则（    ） A．3 B． C． D． 4．已知两块边长都为的大正方形，两块边长都为的小正方形和五块长、宽分别是，的小长方形，按如图所示的方式正好不重叠地拼成一个大长方形．已知拼成的大长方形周长为，图中阴影部分四个正方形的面积之和为，则图中每个小长方形的面积为（   ） A． B． C． D． 5．若是一个完全平方式，则 ． 6．如图，正方形和的边长分别为，，点，分别在边，上，若，，则图中阴影部分图形的面积的和为 ． 7．先化简，再求值：， 其中． 8．如图，某校有一块长为米，宽为米的长方形地块，该校计划在中间留一块边长为米的正方形空地修建雕像，其余部分铺设草坪（阴影部分）． (1)求草坪的面积是多少平方米？（用含a、b的代数式表示，结果请化简） (2)若a，b使代数式的值与x的取值无关，草坪的单价为每平方米50元．求购买草坪所需要的总费用． 9．把完全平方公式适当的变形，可解决很多数学问题． 例如：若，求的值． 解：因为；所以；所以；得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： 【初步应用】 （1）若，，则 ； 【类题探究】     （2）若m满足．求的值． 【拓展延伸】 （3）如图，点C在线段上，以为边向两边作正方形，若，两正方形的面积之和，求阴影部分的面积． 10．【探索】 （1）观察图1，图2，请写出之间的等量关系：_______；根据（1）的结论，若的值是_______． 【应用】 （2）如图3，某学校有一块梯形空地，于点E，，．该校计划在和区域内种草．经测量种花区域的面积和为109平方米，米，求种草区域的面积和． 【拓展】 （3）利用4张完全相同的小长方形纸片（长为，宽为）拼成如图所示的大长方形，记长方形的面积为，长方形的面积为．若不论的长为何值时，永远为定值，求之间的数量关系． 1．对于任何一个数，我们规定符号的意义是，按照这个规定计算的结果是 ． 2．如果一个正整数能写成两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，，24就是一个智慧数．在正整数中，从1开始，第2025个智慧数是 ． 3．对于任意四个有理数，可以组成两个有理数对与，我们规定：．例如：．    (1)若是一个完全平方式，求常数的值为 ； (2)若，且，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点分别在边上，连接，若，，，，求图中阴影部分的面积． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：90min 完成时间： 月 日 天气： 作业03 乘法公式 要点一、平方差公式 （1）平方差公式：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差，即 （2）平方差公式的结构特征：平方差公式，它的左边是两个二项式的积，在这两个二项式中，有一项完全相同，而另一项互为相反数；公式的右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与互为相反数项的平方差. 【注意】 1. 在平方差公式中，字母a和b可以表示具体的数，也可以表示一个单项式，也可以表示一个多项式，但字母之间的运算规律是不发生变化的，因此，只要符合公式的特征，就可以直接写出结果. 2. 有些多项式乘法，公式特征不明显，所以看起来不符合公式，其实只要经过变形就能使用公式. 3. 对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便. 要点二、平方差公式的验证 （1）平方差公式的几何意义：边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，则阴影部分的面积是；将阴影部分剪拼成一个长方形，这个长方形的长为，宽为，面积为，因为两个长方形的阴影部分面积相等，所以. （2）常见验证平方差公式的几何图形： 【注意】利用图形验证平方差公式的关键是将同一个图形的面积用不同的方法表示，即直接表示和间接表示. 要点三、完全平方公式 （1）完全平方公式：，即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍.可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式的常见变形： （3）完全平方公式的特征：左边是两个数的和的平方；右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同. 【注意】 1. 公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式. 2. 对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式. 3. 对于三项的可以把其中的两项看作一项后，也可以用完全平方公式. 要点四、完全平方公式的验证 （1）验证：如图，大正方形的面积可以表示为，也可以用四个部分的面积之和来表示，即，所以. （2）验证：如图，阴影部分的面积可以表示为，也可用大正方形的面积减去三个空白部分的面积，所以. 【注意】利用几何图形验证完全平方公式时，所列式子表示同一个图形的面积. 要点五、整式的混合运算 （1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似. （2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看作整体的代数式通常要用括号括起来. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一、运用平方差公式进行运算 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 原式利用平方差公式化简，即可得到结果． 【详解】解：， 故选：B． 2．下列能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式：，其特点是：①两个二项式相乘，②有一项相同，另一项互为相反数，③a和b既可以代表单项式，也可以代表多项式．根据公式逐项分析即可． 【详解】解：A．无相同的项，故不能用平方差公式计算； B．故能用平方差公式计算； C．无相反的项，故不能用平方差公式计算；     D．无相同的项，故不能用平方差公式计算； 故选B． 3．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平方差公式，根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 4．若，，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查了平方差公式：，根据平方根公式计算即可． 【详解】解∶∵，， ∴， ∴， 故答案为∶12． 5．计算 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平方差公式的应用，把原式化为，再利用平方差公式计算即可． 【详解】解：； 故答案为： 题型二、平方差公式与几何图形 6．如图，我们可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．观察图形，通过面积的计算，可以验证的恒等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式与几何图形，根据长方形的面积和正方形的面积公式求解即可． 【详解】解：由图知，第一个长方形的面积为， 第二个图形的面积为， ∴， 故选：C． 7．从边长为的大正方形纸板正中央挖去一个边长为的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何背景，根据图形求相应的面积，进而得解． 【详解】解：由题意可知：图1阴影部分的面积为， 结合图1可知，等腰梯形的底角为，高为，可得图2平行四边形的高为，面积为， 所以． 故选：D． 8．如图，边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形，根据图形能验证的等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用几何方法验证平方差公式，解决问题的关键是根据拼接前后不同的几何图形的面积不变得到等量关系．边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后的面积为，新的图形面积等于，由于两图中阴影部分面积相等，即可得到结论． 【详解】解：图中剩余部分的面积等于两个正方形的面积之差，即， 剩余部分通过割补拼成的长方形的面积为， ∵前后两个图形中阴影部分的面积相等， ∴， 故选：D． 9．如图，大正方形与小正方形的面积差为72，则阴影部分的面积为（   ） A．18 B．24 C．36 D．72 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式、平方差公式在几何图形中的应用，正确运用算式表示出阴影部分面积是解题的关键．设大正方形边长为，小正方形边长为，由题意得，，利用三角形的面积公式表示出阴影部分面积，再利用整式的运算法则化简，代入数据即可得出答案． 【详解】解：如图， 设大正方形边长为，小正方形边长为，则， 大正方形与小正方形的面积差为72， ， 阴影部分面积 ． 故选：C． 10．如图，将一个边长为a的正方形，剪掉一个边长为b的小正方形后，剩余部分沿对角线分成I 和 II 两部分，剪开后的 I 和 Ⅱ 可以拼成一个长方形． (1)以上操作过程可以验证的乘法公式是___________ ．（填正确选项的字母代号） A．    B．     C． (2)利用（1）中的结论，求的值． 【答案】(1)A (2) 【分析】此题主要考查平方差公式的验证，根据图形找到面积关系是解答的关键． （1）根据第一个图形两个正方形面积的差，构造一个长为，宽为的长方形，相同的面积用不同的表达式表示，从而可推导验证乘法公式中的平方差公式； （2）变形原式，再利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，第二个长方形面积为， 第一个图形中大正方形减去小正方形后的面积为， ∴， 故答案为：A． （2）解： ． 题型三、运用完全平方公式进行运算 11．下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的完全平方公式的应用，根据完全平方公式的结构特点：两项平方项的符号相同，另一项是这两数积的2倍，逐一判断即可． 【详解】解：A．，原计算错误，不合题意； B．，原计算错误，不符合题意； C．，原计算正确，符合题意； D．，原计算错误，不合题意； 故选：C． 12．在运用乘法公式计算时，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查乘法公式；把原式提出负号进行变形即可求出． 【详解】解： 故选：D． 13．设，，其中为实数，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式减法的应用，完全平方公式的应用，利用作差法，用完全平方公式，得，即可得解． 【详解】解：∵ ， ∴， 故选：A． 14．已知，则的值是 ． 【答案】9 【分析】本题考查整式的化简求值和完全平方公式，解题的关键将代入式子进行化简计算． 将代入中，利用完全平方公式展开，再进行化简计算． 【详解】, ． 故答案为：9． 15．若，，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式因式分解，然后整体代入计算解题． 【详解】解：， 故答案为：8． 题型四、通过对完全平方公式变形求值 16．已知，，则的值为（   ） A．10 B．4 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据，即可得到，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：D． 17．已知，则的值是（      ） A． B．8 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了换元法，完全平方公式．令，则，整理得出，即可作答． 【详解】解：令， ∴， 整理得， 则， 故选：B． 18．已知，则的值是（  ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式及换元法的应用，解题关键是通过巧妙换元，将复杂方程转化为简单形式求解． 通过设进行换元，将转化为关于y的方程，展开化简求出的值，再还原得到的值． 【详解】解：设， ∴，， ∴原方程变形为 ， 即． 故选：B． 19．已知，，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键．利用进行计算即可． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 20．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，代数式求值．熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据，再整体代值求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 题型五、完全平方公式在几何图形中的应用 21．有两类正方形、，其边长分别为、（），现将放在的内部得图，将、并列放置后构造新的正方形得图，图和图中阴影部分的面积分别为和．若将三个正方形和两个正方形如图摆放，则阴影部分的面积为（   ） A．29 B．25 C．18 D．24 【答案】A 【分析】本题主要考查了乘法公式的应用，掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．首先设两个正方形的边长为，，由图1求出，再根据图2求出，进而求出，然后表示出图3的阴影面积，再整理代入计算即可． 【详解】解：设正方形，的边长各为，， 得图1中阴影部分的面积为：， 解得：或（舍去）， 图2中阴影部分的面积为， 可得：， 解得：或（舍去）； 图3阴影部分的面积为：， ； 故选：A． 22．有两个正方形、，将、并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图1与正方形图2．若图1、图2中阴影的面积分别为11与32，则正方形的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提． 设正方形的边长为，正方形的边长为，用代数式表示图1，图2中阴影部分的面积，整体代入即可得出，即正方形的面积． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 由图1得：， 由图2得：，即， ∴， 故选：C． 23．如图，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，两正方形的面积和，已知，则图中阴影部分面积为（    ）    A． B．8 C．6 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式在图形面积中的应用．设正方形的边长为，正方形的边长为，可得，，利用完全平方公式即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 则：，， 由得：， 解得：， 图中阴影部分面积为：， 故选：C． 24．如图，正方形的边长为，点在边上，四边形也是正方形，它的边长为，连接、、． (1)用含、的代数式表示________________； (2)若两个正方形的面积之和为60，且，求图中线段的长； (3)记的面积为，则______________（用字母表示）． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的运用，解题的关键是完全平方公式展开与合并． （1）可由图形直观的得出结论； （2）利用完全平方公式通过展开推导，再将数值代入计算可得； （3）通过割补法计算可得，的面积为． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2）解：∵两个正方形的面积之和为60， ∴， ， ， ； （3）解： ． 故答案为：． 25．如图1，正方形A、B、C的边长分别为m、n、p，且． (1)将一个A种和一个B种正方形组合成图2的图形，外边框可以围成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，从而可以得到一个乘法公式为 ． (2)如图3，将正方形A、B、C拼接在一起，沿着外边框可以围成一个大正方形，类比（1）的思路进行思考，直接写出所得到的等式 ． (3)利用用正方形A、B、C画出恰当的图形，说明 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）方法一：求出这个大正方形的边长，利用正方形的面积公式求解即可得；方法二：根据这个大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和即可得；由此即可得出乘法公式； （2）利用两种方法求出大正方形的面积，由此即可得出等式； （3）利用正方形甲、乙、丙构造图形，根据图形中的面积关系即可得． 【详解】（1）解：方法一：这个大正方形的边长为， 则这个大正方形的面积为； 方法二：因为这个大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和， 所以这个大正方形的面积为； 从而可以得到一个乘法公式为， 故答案为：； （2）解：方法一：这个大正方形的边长为， 则这个大正方形的面积为； 方法二：因为这个大正方形的面积等于3个小正方形的面积与6个小长方形的面积之和， 所以这个大正方形的面积为； 则所得到的等式为， 故答案为：； （3）解：构造图形如下：其中，图形是边长为的正方形， 则图形的面积为，阴影部分的面积为， 所以由图知． 题型六、求完全平方式中的字母系数 26．若是一个完全平方，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方式，熟记完全平方公式、根据平方项确定出这两个数是解题的关键．本题先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的结构特征即可确定的值． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 故选：A． 27．若一个关于x的多项式的完全平方是，则m的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式，把握公式有和差两种情形计算即可． 【详解】解：∵二次三项式是一个完全平方式， ∴， ∴， 解得或， 故选：C． 28．若是完全平方式，则（    ） A．6 B． C．12 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要． 先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴， 故选：B． 29．代数式可以化为，则的值是（ ） A． B．3或 C．28 D．98 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，属于基础应用题，只需学生熟练掌握配方法，即可完成．根据配方法化，即可得到a、b的值，从而求得结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴． 故选C． 30．若关于x的二次三项式是一个完全平方式，则m的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴或． 故选：D ． 题型七、整式的混合运算 31．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握平方差公式和完全平方公式是解题关键．先根据平方差公式和完全平方公式展开，再去括号，然后合并同类项，即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 32．（）用乘法公式计算：； （）先化简，再求值： ，其中，． 【答案】（）；（）， 【分析】（）利用平方差公式计算即可； （）利用整式的乘法公式和运算法则先进行化简，再把的值代入化简后的结果中计算即可求解； 本题考查了整式的混合运算及化简求值，掌握整式的乘法公式和运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）原式 ； （）原式 ， 当，时， 原式． 33．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，代入求值，掌握整式的混合运算法则是关键． 运用乘法公式，整式的混合运算法则化简，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 34．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，4 【分析】本题考查整式的混合运算，化简求值，先计算乘法公式，再合并同类项，化简后，代值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当，时，原式． 35．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】此题考查了整式的混合运算化简求值，原式利用多项式乘以多项式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式， 当时，原式． 1．下列算式中，结果为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的乘法，解题的关键在于正确掌握相关运算法则． 根据整式的乘法运算法则，完全平方公式，以及平方差公式计算各项并判断，即可解题． 【详解】解：A、，结果不为，不符合题意； B、，结果为，符合题意； C、，结果不为，不符合题意； D、，结果不为，不符合题意． 故选：B． 2．已知，则的值是（   ） A．12 B．19 C．18 D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查了代数式求值、平方差公式、多项式乘以多项式等知识，熟练运用相关运算法则和运算公式是解题关键．首先根据多项式乘以多项式法则，易得，再计算并将代入，然后利用平方差公式变形求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴ ． 故选：C． 3．若，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式和乘方，先根据得出，进而可得当时，，当时，，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴，即 ∴， ∴或， 当时，，则， 当时，，则， 故选：D． 4．已知两块边长都为的大正方形，两块边长都为的小正方形和五块长、宽分别是，的小长方形，按如图所示的方式正好不重叠地拼成一个大长方形．已知拼成的大长方形周长为，图中阴影部分四个正方形的面积之和为，则图中每个小长方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值，掌握是解题的关键． 根据拼成的大长方形周长为，四个正方形的面积之和为，得到，，根据完全平方公式求出的值即可． 【详解】解：大长方形周长为， ， ， 四个正方形的面积之和为， ， ， ， ， ， 故选：B． 5．若是一个完全平方式，则 ． 【答案】11或 【分析】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，并灵活应用． 利用完全平方公式进行求解即可． 【详解】解：根据题意得， 或 解得或， 故答案为：11或． 6．如图，正方形和的边长分别为，，点，分别在边，上，若，，则图中阴影部分图形的面积的和为 ． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方公式和图形面积综合题，解题的关键是正确利用数形结合方法．首先根据题意得到，然后利用完全平方公式得到，代入表示出，然后表示出阴影面积代入求解即可． 【详解】解：∵正方形和的边长分别为， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴代入得，解得 ∴（负值舍去）， ∴图中阴影部分图形的面积的和为． 故答案为：． 7．先化简，再求值：， 其中． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，根据完全平方公式和积的乘方计算，然后合并同类项，再将a、b的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 8．如图，某校有一块长为米，宽为米的长方形地块，该校计划在中间留一块边长为米的正方形空地修建雕像，其余部分铺设草坪（阴影部分）． (1)求草坪的面积是多少平方米？（用含a、b的代数式表示，结果请化简） (2)若a，b使代数式的值与x的取值无关，草坪的单价为每平方米50元．求购买草坪所需要的总费用． 【答案】(1)平方米 (2)4050元 【分析】本题考查多项式乘多项式，完全平方公式以及代数式求值，掌握多项式乘多项式的计算方法，完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据图形中面积之间的关系进行计算即可； （2）求出a、b的值，代入求出草坪的面积，再根据单价数量总价进行计算即可． 【详解】（1）解： 平方米； （2）解： ∵代数式的值与x的取值无关 ∴，， ∴   元． 9．把完全平方公式适当的变形，可解决很多数学问题． 例如：若，求的值． 解：因为；所以；所以；得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： 【初步应用】 （1）若，，则 ； 【类题探究】     （2）若m满足．求的值． 【拓展延伸】 （3）如图，点C在线段上，以为边向两边作正方形，若，两正方形的面积之和，求阴影部分的面积． 【答案】（1）3；（2）；（3）． 【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题的关键． （1）由完全平方公式即可计算； （2）由完全平方公式即可计算； （3）由正方形，三角形的面积，利用完全平方公式求出，，即可求解 【详解】解：（1）∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）设，则，，， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （3）设， ∵， ∴， ∵， ∴， 由完全平方公式可得，， ∴， 解得：， ∴阴影部分的面积． 10．【探索】 （1）观察图1，图2，请写出之间的等量关系：_______；根据（1）的结论，若的值是_______． 【应用】 （2）如图3，某学校有一块梯形空地，于点E，，．该校计划在和区域内种草．经测量种花区域的面积和为109平方米，米，求种草区域的面积和． 【拓展】 （3）利用4张完全相同的小长方形纸片（长为，宽为）拼成如图所示的大长方形，记长方形的面积为，长方形的面积为．若不论的长为何值时，永远为定值，求之间的数量关系． 【答案】（1），12 （2）种草区域的面积和为19 （3）的面积为14 （4） 【分析】本题考查了单项式乘多项式的应用，整式的加减无关型问题，完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用两种不同的方法表示出4个小长方形的面积即可得到；然后根据题意得到，将，代入求解即可； （2）设，由题意得，，，根据代入计算即可． （3）根据长方形的面积得，结合永远为定值，整理得，根据，则，即可作答． 【详解】解：（1）图1中4个小长方形的面积为， 图②中4个小长方形的面积为， ∴； ∵，， 根据题意得，， ∴， ∴； 故答案为：， （2）设，， 由题意得，， ∴，即， ∴ ， 即种草区域的面积和为19． （3）∵长方形的面积为，长方形的面积为． ∴， ∴， ∵不论的长为何值时，永远为定值，且， ∴的值与无关， ∴， 即a与b之间的数量关系为． 11．对于任何一个数，我们规定符号的意义是，按照这个规定计算的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，明确题意、运用新运算法则得到代数式是解题的关键． 先根据新运算法则得到代数式，然后再运用整式的混合运算计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 12．如果一个正整数能写成两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，，24就是一个智慧数．在正整数中，从1开始，第2025个智慧数是 ． 【答案】2703 【分析】本题考查了平方差公式，利用平方差公式探究出规律是解题的关键．从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数． 【详解】解：设k是正整数， 由于， 所以，除1外，所有奇数都是智慧数； 又因为， 所以，除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数； 被4除余2的正整数都不是智慧数． ∴从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数． ∵， ∴第2025个智慧数是第675组的第3个数， 即：． 故答案为：2703． 13．对于任意四个有理数，可以组成两个有理数对与，我们规定：．例如：．    (1)若是一个完全平方式，求常数的值为 ； (2)若，且，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点分别在边上，连接，若，，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3)48 【分析】本题考查了新定义公式，完全平方式，完全平方公变形应用，式整式的混合运算，熟练掌握新定义公式，完全平方式是解题的关键． （1）根据新定义，求出，再根据完全平方式的特征，即可求出； （2）根据新定义，求出的左边，从而得出方程，再配方将整体代入，即可求出； （3）根据阴影部分的面积等于，，把阴影部分的面积表示出来，从得到含有，的整式，再把（2）的条件和结论整体代入即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵是完全平方式， ∴， ∴； （2）∵ ∴， 去括号得：， 合并同类项得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）∵， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：； ∵ ∵， ∴阴影部分的面积为：． 1 / 5 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