2.3 轴对称和平移的坐标表示 第1课时课件2025-2026学年湘教版数学八年级下册

2.3 轴对称和平移的坐标表示 第2章 图形与坐标 湘教版 八年级下册 第1课时 轴对称的坐标表示 问题1：已知点 A 和一条直线 MN，你能画出这个点关于已知直线的对称点吗? A A′ M N 则 A′ 就是点 A 关于直线 MN 的对称点. O （2）延长 AO 至 A′，使 OA′ = AO. （1）过点 A 作 AO⊥MN， 垂足为点 O， 导入新课 x y O 问题2：如图，在平面直角坐标系中你能画出点 A 关于x 轴的对称点吗? A (2，3) A′(2，-3) 点 A 与点 A' 的坐标有什么关系呢？ x y O 在平面直角坐标系中画出下列各点关于 x 轴的对称点. C (3，-4) C'(3，4) B(-4，2) B'(-4，-2) (x，y) 关于 x 轴 对称 ( ， ) x -y 做一做 知识讲解 关于 x 轴对称的点的坐标的特点: 横坐标相等，纵坐标互为相反数. (x，y) 关于 x 轴 对称 ( ， ) x -y x y O A (2，3) A′(-2，3) 问题3：如图，在平面直角坐标系中你能画出点 A 关于y 轴的对称点吗? 点 A 与点 A' 的坐标有什么关系呢？ 做一做 x y O 在平面直角坐标系中画出下列各点关于 y 轴的对称点. C (3，-4) C'(-3，-4) B(-4，2) B'(4，2) (x，y) 关于 y 轴 对称 ( ， ) -x y 知识讲解 关于 y 轴对称的点的坐标的特点: 横坐标互为相反数，纵坐标相等. (x，y) 关于 y 轴 对称 ( ， ) -x y 做一做 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(2,4)，B(1,2)，C(5,2). (1)作出△ABC关于y轴的对称图形，并写出其顶点坐标； (2)作出△ABC关于x轴的对称图形，并写出其顶点坐标. 解：(1)如图，分别作出点A，B，C关于y轴的对称点A1，B1，C1，并连接这三点，则△A1B1C1即为所求作的图形. 此时其顶点坐标分别为A1(-2,4)，B1(-1,2)，C1(-5,2). (2)类似(1)的作法，可作出△ABC关于x轴的轴对称图形△A2B2C2，其顶点坐标分别为A2(2,-4)，B2(1,-2)，C2(5,-2). 做一做 例1 如图，求出折线OABCD的端点和各转折点的坐标以及它们关于y轴的对称点O'，A'，B'，C'，D'的坐标，并将点O'，A'，B'，C'，D'依次用线段连接起来. 解：折线OABCD的端点和各转折点的坐标分别为O(0,0)，A(2,1)，B(3,3)，C(3,5)，D(0,5)， 它们关于y轴的对称点的坐标是O'(0,0)，A'(-2,1)，B'(-3,3)，C'(-3,5)，D'(0,5). 将各点依次连接起来，得到右图. (D') C' B' A' (O') 典例精析 在坐标系中作已知图形的对称图形 对于这类问题，只要先求出已知图形中的一些特殊点(如多边形的顶点)的对应点的坐标，描出并连接这些点，就可以得到这个图形的轴对称图形. (一找二描三连） 知识讲解 课堂小结 轴对称的坐标表示 关于坐标轴对称的点的坐标特征 在坐标系中作已知图形的对称图形 关于 x 轴对称，横同纵反；关于 y 轴对称，横反纵同 关键要明确点关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标变化规律，然后正确描出对称点的位置 D 1． 线段MN在平面直角坐标系中的位置如图所示，若线段M′N′与线段MN关于y轴对称，则点M的对应点M′的坐标为(　　)  A．(4，2) B．(－4，2) C．(－4，－2) D．(4，－2) 随堂练习 B 2． 如图，将图中各点的横坐标不变，纵坐标分别乘以－1，所得图形为(　　) (－2，9) 3． 在坐标系中有两个图形成轴对称，若点A(3，－1)和点A1(3，1)是一对对称点，则图形上另一点C(－2，－9)的对称点C1的坐标为________． 4． (5，－1)，(2，0)，(－1，－3) 如图，△ABC经过两次轴对称(x轴和y轴为对称轴)变化后，得到△DEF，如果A，B，C各点的坐标分别为A(－5，1)，B(－2，0)，C(1，3)，那么D，E，F各点的坐标分别为___________________________． 5． 一 6． 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC，△EFD的顶点都在网格线的交点上，在图中建立平面直角坐标系xOy，使△ABC与△EFD关于y轴对称，点C的坐标为(－1，1)． (1)在图中画出平面直角坐标系xOy； (2)①画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，其中点A的对称点是A1，点B的对称点是B1，点C的对称点是C1； ②写出点B1的坐标． 【解】(1)建立平面直角 坐标系xOy如图所示．  (2)①△A1B1C1如图所示． ②B1(－4，－2)． 7． B 如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是(　　) A．点A B．点B C．点C D．点D 8． B 已知点M(1－2a，－a)关于x轴的对称点在第四象限，则a的取值范围是(　　) 9． (－1，2) 如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是(1，2)，则经过第 2 025次变换后点A的对应点的坐标为________． 10． 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B，D两点的坐标分别为B(－4，6)，D(0，4)， 线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，则BF＋DE的最小值为________． 11． 【解】△AOG是等腰三角形． 证明：因为AC∥y轴，所以∠CAO＝∠AOG. 因为AO平分∠BAC，所以∠CAO＝∠GAO. 所以∠GAO＝∠AOG.所以AG＝GO. 所以△AOG是等腰三角形． 如图，已知线段AC∥y轴，点B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y轴于点G，连接OB，OC． (1)判断△AOG的形状，并予以证明； (2)若OB，OC关于y轴对称，求证：AO⊥BO. 【证明】如图，连接BC交y轴于点K， 过点A作AN⊥y轴于点N.  因为AC∥y轴，OB，OC关于y轴对称， 所以AN＝CK＝BK. 12． 在平面直角坐标系xOy中，直线l：x＝m表示经过点(m，0)，且平行于y轴的直线．给出如下定义：将点P关于x轴的对称点P1，称为点P的一次反射点；将点P1关于直线l的对称点P2，称为点P关于直线l的二次反射点．例如，如图，点M(3，2)的一次反射点为M1(3，－2)，点M关于直线l：x＝1的二次反射点为M2(－1，－2)． 已知点A(－1，－1)，B(－3，1)． (1)点A的一次反射点为________，点A关于直线l1：x＝2的二次反射点为________； (2)点B是点A关于直线l2：x＝a的二次反射点，求a的值； (－1，1) (5，1) (3)设点A，B关于直线l3：x＝0的二次反射点分别为A2，B2，求四边形AB2A2B的面积． 【解】因为A(－1，－1)，B(－3，1)， 所以点A，B关于直线l3：x＝0的二次反射点 分别为A2(1，1)，B2(3，－1)． 所以易得四边形AB2A2B的面积＝4×2＝8. 若x，y满足＋(5y－2)2＝0，则平面直角坐标系内，点M(x，y)关于y轴对称的点N在第________象限． A．0<a< B．a<0 C．0≤a< D．a< 在△ANG和△BKG中， 所以△ANG≌△BKG.所以AG＝BG. 因为AG＝OG，所以OG＝BG.所以∠BOG＝∠OBG. 又因为∠OAG＋∠AOG＋∠BOG＋∠OBG＝180°，∠OAG＝∠AOG，所以∠AOG＋∠BOG＝90°，即∠AOB＝90°. 所以AO⊥BO. 【解】因为点B是点A关于直线l2：x＝a的二次反射点， 所以a＝＝－2. $