6.3.1 平面向量基本定理 同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.3.1 平面向量基本定理 同步练习 一、选择题 1．在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，DE交AC于F，则（　　） A． B． C． D． 2．在中，设，，，，则（　　） A． B． C． D． 3．在中，点是线段上一点，若，则（　　） A． B． C． D． 4．在中，D为边的中点，E，F分别为边，上的点，且，，若，，则值为（　　） A．1 B． C．3 D．5 5．（多选）在中，在边上，，是的中点，则（　　） A． B． C． D． 三、填空题 6．已知，为两个不共线的向量，，，则　 　（用，表示） 7． 已知，是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则　 　． 8．在中，已知D是边的中点，E是线段的中点若，则的值为　 　. 一、单项选择题 9．已知分别是的边上的点，且满足与相交于点，连接并延长交于点，若，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 10．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若，则（　　） A． B． C． D． 11．如图，为平行四边形对角线上一点，交于点，若，则（　　） A． B． C． D． 12．如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点（点N与点C不重合），设，则的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 13． 在矩形中，已知分别是上的点，且满足．若点在线段上运动，且，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题 14．如图，在四边形中，，点满足，是的中点.设，，则下列等式正确的是（　　） A． B． C． D． 15．如图，是平行四边形外一点，是线段上靠近的一个三等分点，是AD的中点，则下列说法中正确的是（　　） A． B． C． D． 16．点D，E，F分别为的边BC，CA，AB上的中点，且，则有（　　） A． B． C． D． 三、填空题 17．如图，在中，，，过点的直线分别交直线，于点，.若，，则的最小值是　 　． 18．已知点在平面内，并且对不在平面内的任意一点，都有，则的值为　 　． 19．如图所示，平面内有三个向量 、 、 ，其中 与 的夹角为120°， 与 的夹角为30°，且| |＝| |＝1，| |＝2 .若 ＝λ ＋μ (λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为　 　． 四、解答题 20．如图，点、分别是中（靠近）、（靠近）边上的三等分点，已知，，求： （1）用与表示； （2）用与表示. 21．如图，，是的中点，与交于点． （1）用表示； （2）设，求的值． 22．已知点，，，，且点满足，其中， （1）若，点P在直线上，求实数； （2）若，求点P的坐标x，y满足的关系式. 参考答案 1．D 【解析】解：因为是BC的中点，，所以， 则. 2．D 【解析】解：由题意， 得 . 3．C 【解析】解：因为，且点是线段上一点， 所以，，三点共线， 所以， 解得. 4．A 【解析】解：因为，，所以， 又因为D为边的中点，所以，所以，则. 5．C,D 【解析】解：如图所示： 对于A：因为，故A错误； 对于B：因为，故B错误； 对于C：因为，故C正确； 对于D：因为，故D正确 6． 【解析】解：因为，为两个不共线的向量，又因为，， 所以 7． 【解析】解：因为，，且与共线， 所以，即，又因为，是两个不共线的单位向量， 所以，解得 8．； 【解析】解：如图所示： ， 因为，所以 9．A 【解析】解：如图所示， 三点共线， 三点共线， 解得， 即 三点共线，，解得 10．A 【解析】解：依题意，， 则， 所以 11．C 【解析】解：因为为平行四边形对角线上一点，交于点， 所以， 所以， 又因为， 所以， 所以 12．A 【解析】解：因为三点共线，所以， 则， 又因为G是的重心，所以， 则，整理可得 13．B 【解析】解：矩形中，已知分别是上的点如图所示： 且满足，所以E为BC的中点，F为靠近D的三等分点， 设，则，， 即， 因为点在线段上运动，则可设， 又， 所以， ， 因为，所以． 14．B,C 【解析】解：对于A，因为，故A错误； 对于B，因为，故B正确； 对于C，因为故C正确； 对于D，由选项B知：，故D错误 15．A,B,C 【解析】.A符合题意. 过点作AB的平行线交AM于点. ，， ； ； 因为，，； 所以 ；B符合题意. ；C符合题意.D不符合题意 16．A,D 【解析】如图， 在中，，A符合题意； ，B不符合题意； ， ，C不符合题意； ，D符合题意 17． 【解析】解：， 设，则，即 ，解得， 故， 当且仅当时等号成立，则的最小值为 18． 【解析】由题设，， ∴，又因为共面， ∴，可得 19．6 【解析】如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE， 则 ． 在直角△OCD中，因为 ，∠COD=30°，∠OCD=90°， 所以 ， ， 故 ， ， 即 ， 所以 20．（1）解：∵、分别为、边上的三等分点， ∴，， 又∵，， ∴； （2）解：∵、分别为、边上的三等分点， ∴，， ∴， 又∵，， ∴. 21．（1）解： 依题意，． （2）解： 依题意，， 而三点共线，则． 22．（1）解：由题意可知：，，， 因为， 故，即，化简可得， 因为点P在直线上，故，解得： （2）解：由，得：， 代入，得：，消去，得： 1 学科网（北京）股份有限公司 $