6.3.1 平面向量基本定理 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

1．已知向量a与向量b不共线，且向量m与向量n共线，m＝5a＋xb，n＝ya＋3b，则xy＝(　　) A．5 B．15 C．40 D．60 解析：选B.由于m＝5a＋xb与n＝ya＋3b共线，向量a与向量b不共线，所以＝，所以xy＝15. 2．已知AD是△ABC的中线，＝a，＝b，以{a，b}为基底表示，则＝(　　) A.(a－b) B．2b－a C．(b－a) D．2b＋a 解析：选B.因为AD是△ABC的中线，所以＝2，＝＋＝＋2＝＋2(－)＝－＋2＝－a＋2b. 3．已知{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的一组是(　　) A.e1＋e2和e1－2e2 B．2e1－e2和2e2－4e1 C．e1－2e2和e1 D．e1＋e2和2e2＋e1 解析：选B.因为2e1－e2＝－(2e2－4e1)，所以2e1－e2和2e2－4e1共线，所以2e1－e2和2e2－4e1不能作为基底．故选B. 4．已知单位向量e1，e2，{e1，e2}是平面内的一个基底，且〈e1，e2〉＝，若向量a＝e1＋3e2与b＝λe1＋e2垂直，则λ＝(　　) A．－ B． C．1 D．－1 解析：选A.e1，e2为单位向量且〈e1，e2〉＝， 所以e＝1，e＝1，e1·e2＝|e1||e2|cos ＝， 向量a＝e1＋3e2与b＝λe1＋e2垂直， 所以a·b＝0， 即(e1＋3e2)·(λe1＋e2)＝λe＋3e＋(3λ＋1)e1·e2＝0， 即λ＋3＋(3λ＋1)×＝0， 解得λ＝－. 5．如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，若＝λ－μ，则λ＋μ＝(　　) A.－ B．－ C． D． 解析：选C.方法一：因为在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点， 所以＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋， 又因为＝λ－μ， 所以λ＝，μ＝－， 所以λ＋μ＝＋＝. 方法二：过点F作FM⊥AB于点M，过点F作FN⊥AD于点N(图略).因为E为AB的中点，F为CE的中点，所以＝，＝.在长方形AMFN中，＝＋＝＋.又因为＝λ－μ，所以λ＝，μ＝－.所以λ＋μ＝＋＝. 6．(多选)如图所示，四边形ABCD为梯形，其中AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则(　　) A.＝＋ B．＝＋ C.＝＋ D．＝＋ 解析：选AB.因为AB∥CD，AB＝2CD，M为AB的中点，所以AM綉CD，则四边形AMCD为平行四边形，所以＝＋＝＋，故A正确；因为M为AB的中点，所以＝＋，故B正确；＝＋＋＝－＋＋＝－，故C错误；由A知，＝，故＝－＝－，故D错误． 7．已知向量a在基底{e1，e2}下可表示为a＝2e1＋3e2，若a在基底{e1＋e2，e1－e2}下可表示为a＝λ(e1＋e2)＋μ(e1－e2)，则λ＝________，μ＝__________． 解析：因为a＝(λ＋μ)e1＋(λ－μ)e2， 所以解得 答案：　－ 8．在平行四边形ABCD中，点E为线段CD的中点，点F在线段BC上，且满足BF＝2FC，记＝m，＝n，则＝_______________.(用m，n表示) 解析：由题意，得＝＋＝－＝m－n. 答案：m－n 9．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝________． 解析：由题图可设＝x(0<x<1)， 则＝x(＋)＝x(＋) ＝＋x. 因为＝λ＋μ，且与不共线， 所以所以＝. 答案： 10．(13分)设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2. (1)证明：{a，b}可以作为一个基底；(6分) (2)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．(7分) 解：(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2). 由e1，e2不共线，得无解， 故a与b不共线，可以作为一个基底． (2)由4e1－3e2＝λa＋μb， 得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2) ＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2， 所以解得 故所求λ，μ的值分别为3和1. 11．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若BE＝2EF，则＝(　　) A.＋ B．＋ C．＋ D．＋ 解析：选B.因为在正方形ABCD中，BE＝2EF，所以＝＝(＋)＝(＋)＝＋＝＋(－)＝＋(－2)＝＋－，所以＝＋，所以＝＋. 12．如图，在Rt△ABC中，两直角边CA＝3，CB＝6，点E，F为斜边AB的三等分点，则·＝________． 解析：方法一：因为点E，F分别为斜边AB的三等分点，则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以·＝·＝2＋2＝2＋8＝10. 方法二：取EF的中点为M，连接CM(图略). 则＋＝2，①－＝＝2，② ①2－②2得4·＝42－42， 所以·＝2－2.在Rt△ABC中，AB＝＝＝3，所以CM＝AB＝，ME＝EF＝AB＝.所以·＝||2－||2＝－＝10. 答案：10 13．(13分)如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＝2BA，∠ABC＝60°，作AE⊥BD交BC于点E，求BE∶EC. 解：设＝a，＝b，|a|＝1，则|b|＝2， 由题知a·b＝|a||b|cos ∠ABC＝1×2×＝1， 则＝a＋b，设＝λ， 所以＝＋＝＋λ＝－a＋λb， 因为AE⊥BD， 所以·＝0， 即(－a＋λb)·(a＋b)＝－|a|2－a·b＋λa·b＋λ|b|2＝0， 即－1－1＋λ＋4λ＝0，解得λ＝， 所以BE∶BC＝2∶5，即BE∶EC＝2∶3. 14．(15分)如图，在△ABC中，＝2，E是AD的中点，设＝a，＝b. (1)试用a，b表示，；(7分) (2)若|a|＝1，|b|＝1，a与b的夹角为60°，求||.(8分) 解：(1)因为＝2，所以＝. 所以＝＋＝＋ ＝＋(－) ＝＋＝a＋b. 因为E是AD的中点， 所以＝(＋)＝(－＋) ＝ ＝－＋＝－a＋b. (2)由(1)知，＝－a＋b， 所以||2＝(－a＋b)2＝a2－2××a·b＋b2＝×12－2×××1×1×cos 60°＋×12＝， 所以||＝. 15．在△ABC中， 若I是△ABC的内心，AI的延长线交BC于点D, 则有＝称之为三角形的内角平分线定理， 现已知AC＝2，BC＝3，AB＝4且＝x＋y， 则实数x＋y＝(　　) A.1 B． C． D．2 解析：选C.由题意，可得＝＝2，可得BD＝BC，＝2，即－＝2(－)，则＝＋， 又因为BC＝3，BD＝2，连接BI且BI为∠ABD的平分线， 所以＝＝2，即＝＝ ＝＋， 又＝x＋y，且向量，不共线， 所以所以x＋y＝. 学科网（北京）股份有限公司 $