第4章平行四边形（单元测试培优卷）2025-2026学年八年级数学下册浙教版

第4章 平行四边形 单元培优 一．选择题（共10小题） 1．（2026•都安县开学）一个八边形的内角和等于（　　） A．800° B．960° C．1080° D．1440° 2．（2026•太和县一模）下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025秋•南皮县期末）用反证法证明命题：“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b，”的第一步应假设（　　） A．a＜b B．a≤b C．∠A＜∠B D．∠A≤∠B 4．（2025春•响水县校级月考）下列说法中，①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形：②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；③对角线互相平分的四边形是平行四边形；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形．正确的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．（2026•碑林区校级模拟）如图，DE是△ABC的中位线，CD是△ABC的高线，若AB＝6，CD＝4，则DE的长度为（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 6．（2025秋•周村区期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD＝34，AB＝10，则△OCD的周长是（　　） A．44 B．27 C．34 D．17 7．（2025秋•赛罕区校级期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．OA＝OC，OB＝OD B．AB＝CD，AD＝BC C．AD∥BC，AB∥CD D．AB∥CD，AD＝BC 8．（2024秋•衡阳期末）连结多边形任意两个不相邻顶点的线段叫多边形的对角线．如图，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，六边形有9条对角线，七边形有14条对角线，…，则十三边形的对角线条数为（　　） A．54 B．60 C．65 D．72 9．（2025秋•龙口市期末）如图，F是▱ABCD的边CD上的点，Q是BF中点，连接CQ并延长交AB于点E，连接AF与DE相交于点P，若，，则阴影部分的面积为（　　）cm2 A．24 B．17 C．18 D．10 10．（2024秋•河口区期末）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中： ①AB⊥AC； ②△DBF≌△ABC； ③四边形AEFD是平行四边形； ④∠DFE＝110°； ⑤S四边形AEFD＝5． 正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二．填空题（共6小题） 11．（2025秋•莱州市期末）一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，那么这个多边形是　 　 边形． 12．（2025•长沙模拟）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，连接BE，DE．若∠AED＝∠BEC，DE＝4，则BE的长为 　 　 ． 13．（2026•青秀区一模）如图，将△AOB绕点O逆时针旋转得到△COD，∠OAB＝75°，若CD恰好经过点A，且OC⊥OB，OA＝4，则AB＝　 　 ． 14．（2025秋•栖霞市期末）点A（4，2）、B（7，4）、C（x，0）、D（0，y），以A、B、C、D四个点为顶点构成平行四边形，写出所有满足条件的点D的坐标 　 　 ． 15．（2025春•南岗区校级期中）如图，▱ABCD中，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交BA，BC于点E，F，分别以点E和点F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点O，作射线BO交AD于点G，交CD的延长线于点H，若AB＝3，BC＝5，则DH的长为　 　 ． 16．（2026春•沙坪坝区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，延长BA至点E，使得AE＝AB，连接DE，延长CB至点F，使得BF＝2BC，点G为线段BF的中点，连接EF，AG，若°，AG＝4，DE＝3，则线段AB的长为　 　 ． 三．解答题（共8小题） 17．（2025春•崇义县校级月考）（1）在△ABC中，若∠A﹣∠B＝16°，∠C＝54°，求∠B的度数． （2）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，求这个多边形的边数． 18．（2025秋•奉贤区期末）在4×4的方格中，选择6个小方格涂上阴影，请仔细观察图1中的六个图案的对称性，按要求回答． （1）在6个图案中，具有中心对称性的图案是　 　 （填写序号）． （2）请在图2中，将1个小方格涂上阴影，使整个4×4的方格也具有中心对称性． 19．（2024秋•东营期末）如图，在▱ABCD中，AC和BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点．求证：BE＝DF． 20．（2025秋•栖霞市期末）如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB，CE交于点F，DF＝FB，AF∥DC． （1）求证：四边形AFCD为平行四边形； （2）若∠EFB＝90°，BF＝3，EF＝1，求BC的长． 21．（2025春•潜山市期末）【观察思考】如图，一组正多边形，观察每个正多边形中α的变化情况． 【规律发现】 （1）将表格补充完整． 正多边形的边数n 3 4 5 6 α的度数 60° 45° 　 　 30° （2）观察上面表格中α的变化规律，角α与边数n的关系为 　 　 ． 【规律应用】 （3）根据规律，当α＝18°时，求该正多边形的内角和． 22．（2025春•巴宜区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E、F． （1）求∠EAF的度数； （2）如果BC＝6，求线段AF的长． 23．（2025秋•仓山区校级期末）如图1是我们生活中的一种遮阳伞，如图2是它的骨架示意图，点B在伞柄（AB）上下滑动时，骨架可以伸缩，关闭遮阳伞后，A，E，H三点重合（即AF＝EF，EG＝HG），点B与点M重合，四边形CDEF和四边形DGMN都是平行四边形，AC＝14cm，EF＝10cm． （1）求CF的长度； （2）若BC＝AC，∠BAC＝60°，BC＝AC，∠BAC＝60°，DG＝22cm，求E，H两点之间的距离． 24．（2024秋•新泰市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点A沿逆时针方向旋转得到△ADE，BD与CE交于点F． （1）若∠BCF＝25°，求∠EDF的度数； （2）若AB＝1，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是平行四边形时，求∠BAE的度数及EC的长． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 平行四边形 单元培优 一．选择题（共10小题） 1．（2026•都安县开学）一个八边形的内角和等于（　　） A．800° B．960° C．1080° D．1440° 【答案】C 【分析】直接根据多边形内角和公式（n﹣2）•180°（n为多边形边数）计算即可． 【解答】解：∵多边形内角和＝（n﹣2）•180°（n为多边形边数）， ∴八边形内角和为（8﹣2）×180°＝6×180°＝1080°． 故选：C． 2．（2026•太和县一模）下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解． 【解答】解：选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 故选：B． 3．（2025秋•南皮县期末）用反证法证明命题：“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b，”的第一步应假设（　　） A．a＜b B．a≤b C．∠A＜∠B D．∠A≤∠B 【答案】B 【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【解答】解：反证法证明命题：“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b”， 第一步应假设a≤b， 故选：B． 4．（2025春•响水县校级月考）下列说法中，①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形：②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；③对角线互相平分的四边形是平行四边形；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形．正确的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定定理，对每个说法逐一判断，统计正确的个数即可． 【解答】解：①∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，符合题意； ②∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不是平行四边形，不符合题意； ③∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，符合题意； ④∵四边形内角和为360°，两组对角分别相等，则邻角和为180°，可推出两组对边分别平行， ∴两组对角分别相等的四边形是平行四边形，符合题意， 故选：B． 5．（2026•碑林区校级模拟）如图，DE是△ABC的中位线，CD是△ABC的高线，若AB＝6，CD＝4，则DE的长度为（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出AC，再结合直角三角形中，斜边的中线等于斜边一半即可求解． 【解答】解：∵DE是△ABC的中位线， ∴， ∵CD是△ABC的高线， ∴∠ADC＝90°， 由勾股定理可得，， ∵E为AC的中点， ∴． 故选：C． 6．（2025秋•周村区期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD＝34，AB＝10，则△OCD的周长是（　　） A．44 B．27 C．34 D．17 【答案】B 【分析】由平行四边形的性质可得AO＝CO，BO＝DO，AB＝CD＝10，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO，AB＝CD＝10， ∵AC+BD＝34， ∴CO+DO＝17， ∴△OCD的周长＝OC+OD+CD＝27， 故选：B． 7．（2025秋•赛罕区校级期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．OA＝OC，OB＝OD B．AB＝CD，AD＝BC C．AD∥BC，AB∥CD D．AB∥CD，AD＝BC 【答案】D 【分析】由平行四边形的判定定理对边对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意； B、∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意； C、∵AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意； D、由AB∥CD，AD＝CB，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意． 故选：D． 8．（2024秋•衡阳期末）连结多边形任意两个不相邻顶点的线段叫多边形的对角线．如图，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，六边形有9条对角线，七边形有14条对角线，…，则十三边形的对角线条数为（　　） A．54 B．60 C．65 D．72 【答案】C 【分析】从四边形、五边形、六边形等对角线的条数进行分析，总结规律即可得到n边形的对角线条数． 【解答】解：四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，六边形有9条对角线，七边形有14条对角线， 四边形的对角线条数（条）， 五边形的对角线条数（条）， 六边形的对角线条数（条）， …， ∴n边形的对角线条数（条）， ∴十三边形的对角线条数（条）． 故选：C． 9．（2025秋•龙口市期末）如图，F是▱ABCD的边CD上的点，Q是BF中点，连接CQ并延长交AB于点E，连接AF与DE相交于点P，若，，则阴影部分的面积为（　　）cm2 A．24 B．17 C．18 D．10 【答案】C 【分析】连接EF，证明四边形EBCF是平行四边形，求出，再得出即可求出阴影部分的面积． 【解答】解：连接EF， ∵F是▱ABCD的边CD上的点， ∴BE∥CF， ∴∠EBF＝∠CFB，∠BEC＝∠FCE， ∵BQ＝FQ， ∴△EBQ≌△CFQ， ∴EQ＝CQ， ∴四边形EBCF是平行四边形， ∴， ∵S△AED＝S△AEF， ∴， ∴， 故选：C． 10．（2024秋•河口区期末）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中： ①AB⊥AC； ②△DBF≌△ABC； ③四边形AEFD是平行四边形； ④∠DFE＝110°； ⑤S四边形AEFD＝5． 正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】由AB＝3，AC＝4，BC＝5，得AB2+AC2＝BC2＝25，则∠BAC＝90°，所以AB⊥AC，可判断①正确；由等边三角形的性质得DB＝AB＝AD，BF＝BC＝FC，AC＝EC＝AE，∠ABD＝∠CBF＝∠BCF＝∠ACE＝60°，推导出∠DBF＝∠ABC，∠ECF＝∠ACB，即可根据“SAS”证明△DBF≌△ABC，可判断②正确；再证明△EFC≌△ABC，由DF＝AE，EF＝AD，证明四边形AEFD是平行四边形，可判断③正确；由∠BAC＝90°，∠BAD＝∠CAE＝60°，求得∠DFE＝∠DAE＝150°≠110°，可判断④错误；作AH⊥DF于点H，可求得∠ADH＝30°，AD＝AB＝3，DF＝AC＝4，则AHAD，所以S四边形AEFD＝DF•AH＝6≠5，可判断⑤错误，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵AB＝3，AC＝4，BC＝5， ∴AB2+AC2＝32+42＝25，BC2＝52＝25， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°， ∴AB⊥AC， 故①正确； ∵△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形， ∴DB＝AB＝AD，BF＝BC＝FC，AC＝EC＝AE，∠ABD＝∠CBF＝∠BCF＝∠ACE＝60°， ∴∠DBF＝∠ABC＝60°﹣∠ABF，∠ECF＝∠ACB＝60°﹣∠ACF， 在△DBF和△ABC中， ， ∴△DBF≌△ABC（SAS）， 故②正确； ∴DF＝AC＝AE， 在△EFC和△ABC中， ， ∴△EFC≌△ABC（SAS）， ∴EF＝AB＝AD， ∵DF＝AE，EF＝AD， ∴四边形AEFD是平行四边形， 故③正确； ∵∠BAC＝90°，∠BAD＝∠CAE＝60°， ∴∠DFE＝∠DAE＝360°﹣90°﹣60°﹣60°＝150°≠110°， 故④错误； 作AH⊥DF于点H，则∠AHD＝90°， ∵DF∥AE， ∴∠ADH＝180°﹣∠DAE＝180°﹣150°＝30°， ∵AD＝AB＝3，DF＝AC＝4， ∴AHAD， ∴S四边形AEFD＝DF•AH＝46≠5， 故⑤错误， 故选：B． 二．填空题（共6小题） 11．（2025秋•莱州市期末）一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，那么这个多边形是　九　 边形． 【答案】九 【分析】多边形的内角和比外角和的3倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是1260度．n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数． 【解答】解：根据题意，得：（n﹣2）•180＝360×3+180， 解得：n＝9． 则这是个九边形， 故答案为：九． 12．（2025•长沙模拟）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，连接BE，DE．若∠AED＝∠BEC，DE＝4，则BE的长为 　8　 ． 【答案】8． 【分析】由三角形中位线定理得DE∥BC，BC＝2DE＝8，得出∠C＝∠AED＝∠BEC，得出BE＝BC＝8． 【解答】解：由题意可得：DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，BC＝2DE＝8， ∴∠AED＝∠C， ∵∠AED＝∠BEC， ∴∠C＝∠BEC， ∴BE＝BC＝8， 故答案为：8． 13．（2026•青秀区一模）如图，将△AOB绕点O逆时针旋转得到△COD，∠OAB＝75°，若CD恰好经过点A，且OC⊥OB，OA＝4，则AB＝　　 ． 【答案】． 【分析】由旋转的性质得出OA＝OC，∠C＝∠OAB＝75°，从而得到∠OAC＝∠C＝75°，再求出∠AOC＝30°，结合OC⊥AB求出∠AOB＝60°，由三角形内角和定理求得∠B度数，作AF⊥OB于点F，在Rt△AOF和Rt△ABF中，利用直角三角形的性质结合勾股定理即可求解． 【解答】解：由旋转的性质得：OA＝OC、∠C＝∠OAB＝75°、∠AOB＝∠COD， ∴∠OAC＝∠C＝75°， ∴∠AOC＝180°﹣75°﹣75°＝30°， ∵OC⊥AB， ∴∠COB＝90°， ∴∠AOB＝∠COB﹣∠AOC＝90°﹣30°＝60°， ∴∠B＝180°﹣∠OAB﹣∠AOB＝180°﹣75°﹣60°＝45°， 如图，作AF⊥OB于点F， 在Rt△AOF中，∠AOF＝60°，OA＝4， ∴∠OAF＝90°﹣60°＝30°， ∴， ∴， 在Rt△ABF中，∠B＝45°， ∴△ABF是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（2025秋•栖霞市期末）点A（4，2）、B（7，4）、C（x，0）、D（0，y），以A、B、C、D四个点为顶点构成平行四边形，写出所有满足条件的点D的坐标 　（0，6）或（0，﹣2）或（0，2）　 ． 【答案】（0，6）或（0，﹣2）或（0，2）． 【分析】因为平行四边形有三种可能的情况：AB为对角线、AC为对角线、AD为对角线，所以需要分情况讨论来求解． 【解答】解：点A（4，2）、B（7，4）、C（x，0）、D（0，y），以A、B、C、D四个点为顶点构成平行四边形，分三种情况讨论： ①当AB为对角线时， AB的中点坐标为即， CD的中点坐标为， 依题意得：， 解得：y＝6， ∴点D（0，6）； ②当AC为对角线时， AC的中点坐标为，即， BD的中点坐标为，即， 依题意得：， 解得：y＝﹣2， ∴点D（0，﹣2）； ③当AD为对角线时，依题意得： AD的中点坐标为，即， BC的中点坐标为，即， 依题意得：， 解得：y＝2， ∴点D（0，2）； 综上所述，所有满足条件的点D的坐标为（0，6）或（0，﹣2）或（0，2）． 故答案为：（0，6）或（0，﹣2）或（0，2）． 15．（2025春•南岗区校级期中）如图，▱ABCD中，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交BA，BC于点E，F，分别以点E和点F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点O，作射线BO交AD于点G，交CD的延长线于点H，若AB＝3，BC＝5，则DH的长为　2　 ． 【答案】2． 【分析】根据题意的作图可得BH平分∠ABC，则∠ABH＝∠CBH，由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC＝5，证明∠ABG＝∠AGB得AB＝AG＝3，再证明∠HGD＝∠GHD即可求解． 【解答】解：根据题意的作图可得BH平分∠ABC， ∴∠ABH＝∠CBH， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝5，AD∥BC，AB∥CD， ∴∠CBH＝∠AGB， ∴∠ABG＝∠AGB， ∴AB＝AG＝3， ∴DG＝5﹣3＝2． ∵AB∥CD， ∴∠ABH＝∠CHB， ∵∠AGB＝∠HGD，∠ABG＝∠AGB， ∴∠HGD＝∠GHD， ∴DH＝GD＝2． 故答案为：2． 16．（2026春•沙坪坝区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，延长BA至点E，使得AE＝AB，连接DE，延长CB至点F，使得BF＝2BC，点G为线段BF的中点，连接EF，AG，若°，AG＝4，DE＝3，则线段AB的长为　　 ． 【答案】． 【分析】利用平行四边形的性质和°得出∠ABC＝2∠F，证明四边形ACDE是平行四边形，证明四边形ABCD是菱形，利用勾股定理求出CG，进而利用三角形中位线定理即可求解． 【解答】解：连接AC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∵AE＝AB， ∴AE＝CD，AE∥CD， ∴四边形ACDE是平行四边形， ∴AC＝DE＝3， ∵°， ∴∠C+2∠F＝180°， ∵AD∥BC， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， ∵∠BAD＝∠C， ∴∠ABC＝2∠F， ∵BF＝2BC，G为BF的中点， ∴AG为三角形BEF的中位线， ∴AG∥EF，∠AGB＝∠F， 又∵∠ABC＝∠AGB+∠GAB， ∴∠AGB＝∠GAB＝∠F， ∴BG＝AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AC平分∠BCD和∠BAD， ∴∠GAB+∠CAB°， 即∠GAC＝90°， ∵AG＝4，AC＝3， ∴CG， ∴AB， 故答案为：． 三．解答题（共8小题） 17．（2025春•崇义县校级月考）（1）在△ABC中，若∠A﹣∠B＝16°，∠C＝54°，求∠B的度数． （2）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，求这个多边形的边数． 【分析】（1）根据三角形的内角和定理，可得∠A+∠B+∠C＝180°，结合∠C＝54°，即可得出∠A+∠B＝180°﹣54°＝126°，再根据已知∠A﹣∠B＝16°，将两个式子相减，即可得出∠B的度数； （2）设这个多边形的边数为n，由题意可得：（n﹣2）×180°＝360°×3，进而得出答案． 【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠C＝54°， ∴∠A+∠B＝180°﹣∠C ＝180°﹣54° ＝126°①， ∵∠A﹣∠B＝16°②， ①﹣②，得2∠B＝110°， ∴∠B＝55°； （2）设这个多边形的边数为n， 由题意可得：（n﹣2）×180°＝360°×3， 解得：n＝8，即这个多边形的边数是8． 18．（2025秋•奉贤区期末）在4×4的方格中，选择6个小方格涂上阴影，请仔细观察图1中的六个图案的对称性，按要求回答． （1）在6个图案中，具有中心对称性的图案是　②④⑥　 （填写序号）． （2）请在图2中，将1个小方格涂上阴影，使整个4×4的方格也具有中心对称性． 【分析】（1）根据中心对称图形的定义判断即可； （2）根据中心对称图形的定义设计图案即可． 【解答】解：（1）由中心对称图形的定义可知，具有中心对称性的图案是②④⑥； 故答案为：②④⑥； （2）如图所示： 19．（2024秋•东营期末）如图，在▱ABCD中，AC和BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点．求证：BE＝DF． 【分析】连接DE，FB，证明四边形DEBF是平行四边形即可． 【解答】证明：连接DE，FB， 在▱ABCD中，AC和BD相交于点O， ∴OD＝OB，OA＝OC， ∵点E是OA的中点，点F是OC的中点， ∴，， ∴OE＝OF， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴BE＝DF． 20．（2025秋•栖霞市期末）如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB，CE交于点F，DF＝FB，AF∥DC． （1）求证：四边形AFCD为平行四边形； （2）若∠EFB＝90°，BF＝3，EF＝1，求BC的长． 【分析】（1）因为DF＝FB，所以F是DB的中点，而E是AB的中点，根据三角形中位线定理得EF∥AD，即CF∥AD，因为AF∥CD，所以四边形AFCD是平行四边形； （2）由F是DB的中点，E是AB的中点，EF＝1，根据三角形中位线定理AD＝2EF＝2，由平行四边形的性质昨CF＝AD＝2，而∠CFB＝∠EFB＝90°，BF＝3，根据勾股定理得BC． 【解答】（1）证明：∵DB，CE交于点F，DF＝FB， ∴F是DB的中点， ∵E是AB的中点， ∴EF∥AD， ∴CF∥AD， ∵AF∥CD， ∴四边形AFCD是平行四边形． （2）解：∵F是DB的中点，E是AB的中点，EF＝1， ∴AD＝2EF＝2， ∵四边形AFCD是平行四边形， ∴CF＝AD＝2， ∵∠CFB＝∠EFB＝90°，BF＝3， ∴BC， ∴BC的长是． 21．（2025春•潜山市期末）【观察思考】如图，一组正多边形，观察每个正多边形中α的变化情况． 【规律发现】 （1）将表格补充完整． 正多边形的边数n 3 4 5 6 α的度数 60° 45° 　36°　 30° （2）观察上面表格中α的变化规律，角α与边数n的关系为 　　 ． 【规律应用】 （3）根据规律，当α＝18°时，求该正多边形的内角和． 【分析】（1）先根据五边形的内角公式求出每一个内角的度数，再根据正边形的性质每条边都相等，得到等腰三角形，求出α的度数． （2）根据（1）中的数据总结规律． （3）引用（2）中总结的公式求出n＝10，然后利用多边形内角和公式求解即可． 【解答】解：（1）正五边形的内角， ∴； 故答案为：36°； （2）观察（1）中结论，n＝3时，； n＝4时，； n＝5时，， n＝6时，， 总结规律，则有； 故答案为：； （3）当α＝18°时，， ∴解得n＝10， ∴该正多边形的内角和为（10﹣2）×180°＝1440°． 22．（2025春•巴宜区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E、F． （1）求∠EAF的度数； （2）如果BC＝6，求线段AF的长． 【分析】（1）利用平行四边形的邻角互补的知识先求出∠C的度数，然后利用四边形的内角和定理即可求出∠EAF的度数； （2）求出∠D的度数，然后在直角三角形中利用特殊直角三角形边的关系及勾股定理的知识求出AF的长． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠B+∠C＝180°， ∵∠B＝60°， ∴∠C＝120°， ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEC＝∠AFC＝90°， 在四边形AECF中，∠EAF+∠AEC+∠C+∠AFC＝360°， ∴∠EAF＝60°； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝6，由∠B＝60°，得∠D＝60°， 在Rt△ABF中，∠AFD＝90°，BC＝6， ∴， 由勾股定理得， 即：． 23．（2025秋•仓山区校级期末）如图1是我们生活中的一种遮阳伞，如图2是它的骨架示意图，点B在伞柄（AB）上下滑动时，骨架可以伸缩，关闭遮阳伞后，A，E，H三点重合（即AF＝EF，EG＝HG），点B与点M重合，四边形CDEF和四边形DGMN都是平行四边形，AC＝14cm，EF＝10cm． （1）求CF的长度； （2）若BC＝AC，∠BAC＝60°，BC＝AC，∠BAC＝60°，DG＝22cm，求E，H两点之间的距离． 【分析】（1）根据题意求出AF的长，再根据CF＝AC﹣AF，即可解答； （2）根据平行四边的性质得出CF＝DE＝4cm，则EG＝GH＝DE+DG＝26cm，连接EH，过点G作GP⊥EH于点P，易得∠ACB＝60°，根据平行四边形的性质得出∠ACB＝∠EDC＝∠EGM＝60°，则∠EGH＝120°，进而得出∠GEP＝∠GHP＝30°，则，EH＝2EP，根据勾股定理可得：，即可解答． 【解答】解：（1）∵AF＝EF，EF＝10cm，AC＝14cm， ∴AF＝10cm， ∴CF＝AC﹣AF＝14﹣10＝4（cm）； （2）∵四边形CDEF是平行四边形， ∴CF＝DE＝4cm， ∵BC＝AC，∠BAC＝60°，DG＝22cm， ∴EG＝GH＝DE+DG＝26cm， 如图2，BC＝AC，∠BAC＝60°，连接EH，过点G作GP⊥EH于点P， ∴△ABC为等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∵四边形CDEF和四边形DGMN都是平行四边形， ∴AC∥DE，DN∥MG， ∴∠ACB＝∠EDC＝∠EGM＝60°， ∴∠EGH＝180°﹣∠EGM＝120°， ∵EG＝HG， ∴， ∵GP⊥EH， ∴，EH＝2EP， 在直角三角形EGP中，由勾股定理得：， ∴． 24．（2024秋•新泰市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点A沿逆时针方向旋转得到△ADE，BD与CE交于点F． （1）若∠BCF＝25°，求∠EDF的度数； （2）若AB＝1，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是平行四边形时，求∠BAE的度数及EC的长． 【分析】（1）连接BE．根据旋转的性质先证明△AEC≌△ADB（SAS）则EC＝BD，进而证明△DEB≌△CBE（SSS），得出∠EDF＝∠ECB＝25°； （2）根据四边形ADFC是平行四边形，结合已知条件得出∠ABD＝∠BAC＝45°，进而得∠DAB＝90°．由勾股定理，可求得．根据△AEC≌△ADB，即可求解． 【解答】解：（1）连接BE． ∵将△ABC绕点A沿顺时针旋转得到△ADE， ∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE， ∴∠DAB＝∠EAC， 又∵AB＝AC，AD＝AB，AC＝AE， ∴AD＝AE， 在△AEC和△ADB中， ， ∴△AEC≌△ADB（SAS）， ∴EC＝BD． 在△DEB和△CBE中， ， ∴△DEB≌△CBE（SSS）． ∴∠EDF＝∠ECB＝25°； （2）由旋转性质得∠DAE＝BAC＝45°，AB＝AC＝AD＝AE＝1， ∵四边形ADFC是平行四边形， ∴AC∥DF． ∴∠ABD＝∠BAC＝45°， ∵AD＝AB＝1， ∴∠ADB＝∠ABD＝45°． ∴∠DAB＝90°． ∵∠BAC＝∠DAE＝45°， ∴∠BAE＝45° 由勾股定理，可求得， ∵△AEC≌△ADB， ∴． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $