山东商河弘德中学2025-2026学年高二下学期开学考试测试卷数学试题

保密★启用并使用完毕前 商河弘德中学高二下学期开学考试测试卷 数学试题 学科组长： 命题人： 考试时间：2026年3月 第I卷（选择题 共58分） 注意事项：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不涂在答题卡上，只答在本卷上无效。 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求 1．已知函数，则（    ） A． B．1 C． D．2 2.已知曲线在处的切线与直线垂直，则(    ) A. B. C. D. 3.若对一切正实数恒成立，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 4．已知函数在处取得极大值，则（   ） A．3或1 B．3 C．2 D．1 5.已知，若过点可以作曲线的三条切线，则(    ) A. B. C. D. 6.函数在区间的最小值、最大值分别为(    ) A. B. C. D. 7．若函数，则满足的的取值范围为 A． B． C． D． 8．设函数为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知函数，若函数在上存在最小值，则的可能取值为(    ) A. B. C. D. 10.已知函数，下列选项正确的是(    ) A. 是函数的零点 B. 函数仅有一个极小值 C. 若，且，则 D. 若关于的方程恰有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 11.已知直线与曲线相交于两点，曲线在点处的切线与在点处的切线相交于点，则(    ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知学生会中有人，若沒有人可以担任两种职务，那么从这人中选出名主席、名副主席的选法共有___________种． 13．已知函数，求过点且与曲线相切的方程__________. 14．若函数在区间上单调，则实数的取值范围是_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有且仅有一个零点，求的值. 16.已知函数． 若在处取得极值，求的值及函数的单调区间 请在下列两问中选择一问作答，如果选择多问作答，则按第一问计分． 若恒成立，求的取值范围． 若有两个零点，求的取值范围． 17.已知函数， 若，求的极值； 若在区间内有零点，求实数的取值范围． 18.已知函数． 当时，证明：有且仅有一个零点． 当时，恒成立，求的取值范围． 证明：． 19.已知函数，若方程有三个不同的实数根，，． 求的取值范围 若，，求实数的值 证明：． 数学试题答案 1．B 【分析】利用常用函数的求导公式及导数的运算法则计算即可. 【详解】易知， 将代入可得，解得. 故选：B. 2【答案】A  【解析】解：因为曲线  ，所以 ， 所以在点  处的切线斜率为  ， 直线  的斜率为 ， 又因为两直线垂直， 所以  ，解得 ． 故选：． 3【答案】C  解：因为， 所以， 令，显然在上单调递增， 所以， 则，即， 记，所以， 令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 则， 所以实数的取值范围是． 故选：． 4．B【详解】因为函数，所以， 又因为在处取得极大值，所以，所以或， 当时，，所以单调递减，单调递增， 所以在处取得极小值，不符合题意舍去； 当时，，所以单调递增，单调递减， 所以在处取得极大值，符合题意； 则. 故选：B. 5【答案】B  解：设切点为，，因为，即， 则，即， 则由题意知，关于的方程有三个不同的解． 设，， 则，， 所以在上单调递增，在和上单调递减， 所以即 所以． 故选：． 6【答案】D  【解析】解：， 所以在区间和上，即单调递增 在区间上，即单调递减， 又，，， 所以在区间上的最小值为，最大值为． 7．B 【分析】判断函数为定义域上的奇函数，且为增函数，再把化为，求出解集即可． 【详解】解：函数，定义域为， 且满足 ， ∴为上的奇函数； 又恒成立， ∴为上的单调增函数； 又， 得， ∴， 即， 解得或， 所以的取值范围是． 故选B． 8．C 【分析】先由函数奇偶性，求出，得到，进而得到，对其求导，计算曲线在点处的切线斜率，从而可求出切线方程. 【详解】因为函数为奇函数， 所以，故； 所以， 因此, 所以， 因此曲线在点处的切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为. 故选C 9【答案】AD  解：因为，故可得， 令，解得， 故在上单调递增； 令，解得，在上单调递减； 故在取得极小值． 又因为函数在上存在最小值， 故可得， 解得：． 故选： 10【答案】AC  【解析】解：对于，当时，，故A正确； 对于选项B，当时，，可得，当时，单调递减当时，单调递增， 所以当时，， 当时，，当时，单调递减：当时，单调递增： 图像如右图： 所以，函数的极小值为和，故B错误 对于，极值点偏移易证，故C正确． 对于选项D，关于的方程有两个不相等的实数根 关于的方程有两个不相等的实数根关于的方程有一个非零的实数根 函数与图像有一个公共点，且， 由图像易知，或，或， 从而的取值集合为，故D错误； 故选AC． 11【答案】ACD  【解析】解：对于，令，则， 故时，，单调递增时，，单调递减， 所以，且时， 因为直线与曲线相交于，两点， 所以与图象有个交点，如图： 所以，故A正确对于，，不妨设，可得，，在点，处的切线程分别为，， 则得， 即 因为， 所以，即是变化的，故B错误 对于，因为，所以， 因为为两切线的交点，所以， 即 ，所以， 所以 ， 所以，故C正确 对于，因为，，所以，又因为，，，，，， 所以， ， 所以，， 所以，， 得，即， 因为， 所以，所以，故D正确． 其中不等式的证明如下： 不妨令，由， 得，即，令， 则即证， 构造函数，， 所以在上单调递减， 所以， 所以不等式成立，即成立． 12【答案】 解：由题意，共有种选法 13．和 【详解】，设切点为，则切线方程为， 由该直线过点，则，整理得， 即为，解得或， 则切线方程为与， 即为与. 14．【详解】， 令， 时，时， 所以在单调递减，在上单调递增， 又函数在区间上单调， 所以或，解得或. 故答案为：. 15．【详解】（1）当时，，， 得， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）方法一：，， ， 令，，得， 故在内单调递增，又， 则当，，得，单调递减， 当，，得，单调递增， 从而在处取得极小值，同时也是最小值， 最小值为. 又当且时，，当时，， 由函数有且仅有一个零点，可得， 则a的值为9. 方法二：，， 令得， 令，， 则， 令，，得， 故在内单调递增，又， 则当，，得，单调递减， 当，，得，单调递增， 从而在处取得极小值，同时也是最小值， 最小值为. 又当且时，，当时，， 由函数有且仅有一个零点，可得， 则的值为9 16【答案】解：函数的定义域为，， 在处取得极值，则，， 此时，，令， 由于，故在上单调递增，且， 当时，，单调递减，当时，，单调递增． 选择若恒成立，即， 整理可得， 即， 设函数，则上式为， ，单调递增， ，即恒成立， 令，，， 当，，单调递增，当， ，单调递减， 故在取得极大值，， 故，解得． 故当时，恒成立． 选择若仅有两个零点，即有两个根， 整理可得， 即， 设函数，则上式为， ，单调递增， ，只需有两个根， 令，，， 当，，单调递增，当，，单调递减， 故在取得极大值，， 要想有两个根，只需． 解得，的取值范围是．  17【答案】解：由函数，则，． 当时，令得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，无极大值． 由，， 当时，，即恒成立， 所以在上单调递减，要使在内有零点， 则即所以 当时，令得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 此时，所以需， 所以 当时，，即恒成立，所以在上单调递增， 此时，所以恒成立，不符合条件． 综上可知，的取值范围为  18【答案】解：证明：当时，，则． 令，则在上恒成立，则在上单调递增， 则，故在上恒成立，在上单调递增． 因为，，所以根据零点存在定理可知，有且仅有一个零点． 解：当时，等价于． 令，则，令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以． 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 则，故的取值范围为 证明：由可知，当时，有，则， 所以，，， 故．  19【答案】解：， 当或时，，当时，， 在单调递增，在单调递减，单调递增， 的极大值为，的极小值为，且时，， 方程有三个不同的根，所以 设，则， 则的对称中心为，恰好是和的中点． 对，都有， 代入，得到，即，需要满足． 下证时，恒成立，即证， 即证，即， 即证， 设，， 当时，，当时，， 在递减，在递增，， ，从而成立， 所以当且仅当时，恒成立 由知先证，即证明：， 由于在单调递增，即证， 又，即证：， 设，， ， 设，，， ，，则在之间存在零点，设为， 且在递减，递增，，． 所以在上存在零点，在，，在，， 所以在上递减，在上递增，，， 所以时，，即有对恒成立． 成立下证：． ，，． 所以成立．  答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $