精品解析： 吉林省吉林市第九中学2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年吉林省吉林九中八年级（下）期末数学试卷 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 二次根式有意义时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，即可得不等式，解不等式可求x的取值范围． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得． 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算以及二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的乘除运算法则分别化简，进而判断得出答案． 【详解】解：A．，故此选项不合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项不合题意； D．，正确，故此选项符合题意； 故选：D． 3. 已知钓鱼杆的长为10米，露在水上的鱼线长为，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线长度为8米，则的长为（　　） A. 4米 B. 3米 C. 2米 D. 1米 【答案】C 【解析】 【分析】先根据勾股求出，再根据勾股定理求出，最后根据即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方． 4. 如图所示把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，如果得到的四边形是正方形，那么剪口与折痕所夹的角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，折痕为与，，根据正方形的性质：正方形的对角线平分对角，可得，．所以剪口与折痕所成的角的度数应为． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，． ∴剪口与折痕所成的角的度数应为． 故选：B． 【点睛】本题通过折叠变换考查正方形的有关知识，及学生的逻辑思维能力．解答此类题最好动手操作，易得出答案． 5. 若一次函数的图象经过第一、二、三象限，则、的取值范围为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】当时，若，则图象经过一、二、三象限；若，则图象经过一、三、四象限；当时，若，则图象经过一、二、四象限；若，则图象经过二、三、四象限． 【详解】一次函数的图象经过第一、二、三象限， ，． 6. 第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决定与乌龟再比一次，并且自信地对乌龟说：这次我让你先跑一段距离我再去追．这次兔子认真比赛，终于夺冠．则下列函数图象可以体现这次比赛过程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据乌龟比兔子早出发，而晚到终点逐一判断即可得． 【详解】解：由于乌龟比兔子早出发，而晚到终点； 故C选项正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查函数图象，解题的关键是弄清函数图象中横、纵轴所表示的意义及实际问题中自变量与因变量之间的关系． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分. 7. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式乘法计算，熟知二次根式乘法计算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 8. 如图，在一块长、宽的矩形空地上修建同样宽的两条道路，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为．则道路的宽为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设道路的宽度为，则两条路的面积为，根据栽种花草的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：设道路的宽度为， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， ∴道路的宽度为． 故答案为：2． 9. 若关于 x 的一元二次方程 没有实数根，则 m 的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：∵关于 x 的一元二次方程 没有实数根， ∴， ∴， 故答案为：。 10. 已知二次函数的图象上有三点，，则的大小关系为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．根据函数顶点式的特点，确定其对称轴为，图象开口向上；利用二次函数的对称性和增减性即可判断． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴距离对称轴越近，函数值越小， 而， ∴， 故答案为：． 11. 如图，抛物线与轴分别交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，在其对称轴上有一动点，连接，，当最小时，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得点关于函数对称轴的对称点为点，连接交函数对称轴于点则点为所求点；则，即的最小值为的长度；据此即可求解． 【详解】解：由题意，点关于函数对称轴的对称点为点，连接交函数对称轴于点，此时，故最小值为， 理由：由点的对称性知，， 又两点之间，线段最短， ∴． 令， 或， 又令，则， 点、、的坐标分别为、、， ，． ∴． ∴的最小值为． 三、解答题：本题共11小题，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 12. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用公式法解方程即可． 【详解】解： ，，， ， ， ，． 13. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先分别化简每个二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 14. 如图，在中，点B，E分别在AC，DF上，分别交于点M，N． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知，连接，若平分，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）的长为6． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质、角平分线的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由平行线四边形的性质可以得出，，再利用线段和差证明，即可得出结论；（2）由（1）得：，，再由平分，得到，再得到，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：由（1）可知，，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴的长为6． 15. 2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”的销售十分火爆，出现了“一墩难求”的现象．据统计，某特许零售店2021年11月的销量为3万件，2022年1月的销量为3.63万件． （1）求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率； （2）假设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，则2022年2月“冰墩墩”的销量有没有超过4万件？请利用计算说明． 【答案】（1）该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为； （2）2022年2月“冰墩墩”的销量没有超过4万件． 【解析】 【分析】（1）设月平均增长率为x，找出等量关系：两个月内销量由3万增加到3.63万，列方程求解即可； （2）利用增长率求出2月“冰墩墩”的销量即可． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为x， 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为10%． 【小问2详解】 解：假设保持相同的月平均增长率，那么2022年2月“冰墩墩”的销量为： （万件）， ∵3.993＜4， ∴2022年2月“冰墩墩”的销量没有超过4万件． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用：增长率，解题的关键是找出等量关系列出方程求出增长率． 16. 如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点，用无刻度的直尺分别按下列要求画图． （1）在图①中，画一个菱形，且邻边不垂直； （2）在图 ②中，画一个平行四边形，使，且面积为6． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了无刻度作图，掌握菱形和平行四边形的性质是解题关键． （1）根据菱形性质得到和互相平分，，则四边形是菱形； （2）令成为正方形的一条对角线，且到的距离2即可． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：平行四边形如图所示： 17. 已知二次函数（）经过点． （1）求二次函数解析式； （2）当时，求y的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求把解析式化为顶点式得到开口方向，对称轴和顶点坐标，则可推出离对称轴越远函数值越大，进而可确定函数在时有最小值，在时，函数有最大值，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数（）经过点， ∴， 解得， ∴二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵二次函数解析式为，且， ∴函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴离对称轴越远函数值越大， 在中，当时，， ∵，， ∴当时，函数在时有最小值，在时，函数有最大值， ∴当时，y的取值范围为． 18. 我国传统的计重工具一秤的应用，方便了人们的生活，如图①，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量，称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数．表中为若干次称重时所记录的一些数据． x（厘米） 1 2 4 7 11 12 y（斤） 0.75 1.00 1.50 2.75 3.25 3.50 （1）在表x，y的数据中，发现有一对数据记录错误．在图②中，通过描点的方法，观察判断哪一对数据是错误的？ （2）①求出y与x之间的函数解析式； ②秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是多少？ 【答案】（1）图见解析，这组数据是错误的； （2）①；②斤 【解析】 【分析】（1）根据数据描点即可判断； （2）①选择正确数据列二元一次方程组即可求出函数表达式；②将数据代数函数解析式及可求解； 【小问1详解】 如图，这组数据出错； 【小问2详解】 ①设y与x之间的函数解析式为：， 将代入中得，， 解得：， ∴． ②将代入得， ∴， ∴秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是斤． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，根据数据正确求出函数解析式是解题的关键． 19. 已知：如图1，在平面直角坐标系中，直线：与坐标轴分别相交于点A、B与：相交于点C． (1)求点C的坐标； (2)若平行于y轴的直线交于直线于点E，交直线于点D，交x轴于点M，且，求a的值； 【答案】(1) C坐标为；(2) 2或6. 【解析】 【分析】（1）联立两直线解析式得到方程组，求出方程组的解即可确定出的坐标； （2）将代入两直线方程求出对应的值，确定出与的纵坐标，即与的长，由求出的长，根据，求出的长，将代入两直线方程，求出与对应的横坐标，相减的绝对值等于的长列出关于的方程，求出方程的解即可求出的值. 【详解】解：(1)联立两直线解析式得：， 解得：， 则点C坐标为； (2)由题意： 解得或6． 【点睛】此题属于一次函数综合题，主要考查了两直线的交点问题，以及一次函数图象上点的坐标特征.解题时注意：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解. 20. 某中学门前有一个边长为米的正方形花坛，花坛内部要用红、黄、紫三种颜色的花草种植成如图所示的图案，图案中，准备在形如的四个全等三角形内种植红色花草，在形如的四个全等三角形内种植黄色花草，在正方形内种植紫色花草，每种花草的价格如表： 品种 红色花草 黄色花草 紫色花草 价格（元米） 解答下列问题： （1）若米，则 ______米， ______米， ______米； （2）若买花草所需的费用为元，试求的长． 【答案】（1），，； （2）米． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用，全等三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由正方形性质可得米，然后通过全等三角形性质可得米，则米，通过勾股定理得米，由题意可知，所以，又四边形为正方形，则米，设米，由勾股定理得，即，然后求出的值即可； （）设的长为米，由题意得，然后解方程并检验即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴米， 由题意可知，， ∴米， ∴（米）， 在中，由勾股定理得：（米）， 由题意可知，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴米， 设米， 在中，由勾股定理得：， 即，整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：设的长为米， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：的长为米． 21. 综合与实践 问题情境： 如图1，在正方形中，点是对角线上一点，将直角三角形的直角顶点放在点处，使直角边经过点，另一条直角边与交于点 问题解决： （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，交于点，当时，连接．求证：四边形是菱形； （3）如图3，当与的延长线交于点时，若正方形边长4，，请直接写出的长 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，可得，再由四边形内角和定理，可得，从而得到，即可求证； （2）由（1）可得，从而得到，，再由，可得，从而得到，可证得四边形是平行四边形，即可求证； （3）过点P作于点G，设交于点H，证明，可得，再由三角形内角和定理，可得，从而得到，进而得到，由，可得，是等腰直角三角形，从而得到，，在中，根据勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：由（1）得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问3详解】 解：如图，过点P作于点G，设交于点H， ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，利用分类思想讨论解答是解题的关键． 22. 如图，的两直角边、分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，为坐标原点，、两点的坐标分别为，，抛物线经过点，且顶点在直线上． （1）求抛物线对应的函数关系式； （2）若是由沿轴向右平移得到的，当四边形是菱形时，试判断点和点是否在该抛物线上，并说明理由； （3）若点是所在直线下方抛物线上的一个动点过点作平行于轴交于点．设点的横坐标为，的长度为．求与之间的函数关系式，并求的最大值． 【答案】（1）； （2）点和点在该抛物线上，理由见解析； （3），最大值． 【解析】 【分析】本题主要考查了求函数解析式，二次函数的最值，菱形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （）利用待定系数法求解析式即可； （）利用菱形的性质，可以得到点的坐标，然后再进行判断即可； （）利用待定系数求出的解析式，设出的坐标，纵坐标作差，就可以得到与的函数关系式，它们的关系是二次函数，然后通过二次函数的性质求出最大值． 【小问1详解】 解：∵顶点在直线上， ∴， 解得：， ∵抛物线经过点， ∴， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：点和点在该抛物线上，理由如下： ∵，， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，， 将点代入中，， ∴点在抛物线上， 将点代入中，， ∴点在抛物线上； 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵，则， ∴， ∴当时，有最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年吉林省吉林九中八年级（下）期末数学试卷 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 二次根式有意义时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知钓鱼杆的长为10米，露在水上的鱼线长为，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线长度为8米，则的长为（　　） A. 4米 B. 3米 C. 2米 D. 1米 4. 如图所示把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，如果得到的四边形是正方形，那么剪口与折痕所夹的角的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 若一次函数的图象经过第一、二、三象限，则、的取值范围为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决定与乌龟再比一次，并且自信地对乌龟说：这次我让你先跑一段距离我再去追．这次兔子认真比赛，终于夺冠．则下列函数图象可以体现这次比赛过程的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分. 7. 计算：________． 8. 如图，在一块长、宽的矩形空地上修建同样宽的两条道路，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为．则道路的宽为______． 9. 若关于 x 的一元二次方程 没有实数根，则 m 的取值范围是___________． 10. 已知二次函数的图象上有三点，，则的大小关系为_______． 11. 如图，抛物线与轴分别交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，在其对称轴上有一动点，连接，，当最小时，则______． 三、解答题：本题共11小题，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 12. 解方程：． 13. 计算：． 14. 如图，在中，点B，E分别在AC，DF上，分别交于点M，N． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知，连接，若平分，求的长． 15. 2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”的销售十分火爆，出现了“一墩难求”的现象．据统计，某特许零售店2021年11月的销量为3万件，2022年1月的销量为3.63万件． （1）求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率； （2）假设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，则2022年2月“冰墩墩”的销量有没有超过4万件？请利用计算说明． 16. 如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点，用无刻度的直尺分别按下列要求画图． （1）在图①中，画一个菱形，且邻边不垂直； （2）在图 ②中，画一个平行四边形，使，且面积为6． 17. 已知二次函数（）经过点． （1）求二次函数解析式； （2）当时，求y的取值范围． 18. 我国传统的计重工具一秤的应用，方便了人们的生活，如图①，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量，称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数．表中为若干次称重时所记录的一些数据． x（厘米） 1 2 4 7 11 12 y（斤） 0.75 1.00 1.50 2.75 3.25 3.50 （1）在表x，y的数据中，发现有一对数据记录错误．在图②中，通过描点的方法，观察判断哪一对数据是错误的？ （2）①求出y与x之间的函数解析式； ②秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是多少？ 19. 已知：如图1，在平面直角坐标系中，直线：与坐标轴分别相交于点A、B与：相交于点C． (1)求点C的坐标； (2)若平行于y轴的直线交于直线于点E，交直线于点D，交x轴于点M，且，求a的值； 20. 某中学门前有一个边长为米的正方形花坛，花坛内部要用红、黄、紫三种颜色的花草种植成如图所示的图案，图案中，准备在形如的四个全等三角形内种植红色花草，在形如的四个全等三角形内种植黄色花草，在正方形内种植紫色花草，每种花草的价格如表： 品种 红色花草 黄色花草 紫色花草 价格（元米） 解答下列问题： （1）若米，则 ______米， ______米， ______米； （2）若买花草所需的费用为元，试求的长． 21. 综合与实践 问题情境： 如图1，在正方形中，点是对角线上一点，将直角三角形的直角顶点放在点处，使直角边经过点，另一条直角边与交于点 问题解决： （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，交于点，当时，连接．求证：四边形是菱形； （3）如图3，当与的延长线交于点时，若正方形边长4，，请直接写出的长 22. 如图，的两直角边、分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，为坐标原点，、两点的坐标分别为，，抛物线经过点，且顶点在直线上． （1）求抛物线对应的函数关系式； （2）若是由沿轴向右平移得到的，当四边形是菱形时，试判断点和点是否在该抛物线上，并说明理由； （3）若点是所在直线下方抛物线上的一个动点过点作平行于轴交于点．设点的横坐标为，的长度为．求与之间的函数关系式，并求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $