精品解析：江西萍乡实验学校正心学院2025-2026学年高二下学期3月核心能力限时调研数学试题

萍实高中正心学院高二数学3月份核心能力限时调研 调研命题人：柳佳 训练时长：120分钟 分值：150 姓名：_______班级：_______学号：_______ 一、单选题 1. 的第9项是（ ） A. B. C. D. 以上均不对 2. 用数学归纳法证明：，在验证 成立时，左边所得的代数式是（ ） A. 1 B. C. D. 3. 现存入银行10000元定期存款，存期1年，年利率是，那么按照复利，5年后本利和是（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 4. 已知是递增的等差数列，，若成等比数列，则（　　） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 5. 已知是等差数列的前 项和，若，，则（ ） A. 40 B. 45 C. 50 D. 55 6. 《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则 A. 64 B. 96 C. 128 D. 160 7. 已知数列满足，则（ ） A. 1 B. 5 C. D. 8. 已知分别是等差数列与的前 项和，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列给出的命题中正确的有（ ） A. 数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同数列 B. 数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C. 数列1，1，2，3，5，8，13， ，34，55，…中，根据规律， 的值可以为21 D. 数列0，，4，，…的一个通项公式是 10. 在等差数列中，首项，公差，前 项和为，则下列命题中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则是中的最小项 11. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形.如下图的雪花曲线，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图2，如此继续下去，得图（3）...记为第 个图形的边长，记为第 个图形的周长，为的前 项和，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若为中的不同两项，且，则最小值是1 D. 若恒成立，则的最小值为 三、填空题 12. 已知数列的通项公式则______． 13. 在等比数列中，，若，则________． 14. 记为数列的前 项和，为数列的前 项积，若，且，则____，当取得最小值时， ___. 四、解答题 15. 已知等差数列的前 项和为，其中． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前10项的和． 16. 已知等比数列中，，． （1）求数列的通项公式; （2）令，求数列的前 项和． 17. 已知数列满足 （1）求的通项公式； （2）求数列落入区间的所有项的和. 18. 已知数列的前 项和为，正项等差数列满足 ，且成等比数列. （1）求和的通项公式； （2）证明：. 19. 在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”．如数列1，2第1次“和扩充”后得到数列1，3，2，第2次“和扩充”后得到数列1，4，3，5，2．设数列a，b，c经过第n次“和扩充”后所得数列的项数记为，所有项的和记为． （1）求； （2）若，求n的最小值； （3）是否存在实数 ，使得数列为等比数列？若存在，求出 满足的条件；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 萍实高中正心学院高二数学3月份核心能力限时调研 调研命题人：柳佳 训练时长：120分钟 分值：150 姓名：_______班级：_______学号：_______ 一、单选题 1. 的第9项是（ ） A. B. C. D. 以上均不对 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，代入计算即可求解. 【详解】由题意可知，故第9项为． 故选：B 2. 用数学归纳法证明：，在验证 成立时，左边所得的代数式是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合数学归纳法分析判断. 【详解】当 时，，所以左边为. 故选：C. 3. 现存入银行10000元定期存款，存期1年，年利率是，那么按照复利，5年后本利和是（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】C 【解析】 【分析】由复利公式计算求解即可. 【详解】由复利公式得． 故选：C 4. 已知是递增的等差数列，，若成等比数列，则（　　） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式，结合等比中项的性质、等差数列的单调性进行求解即可. 【详解】设该等差数列的公差为 ， 因为数列是递增的等差数列，所以 ， 因为成等比数列，， 所以，或（舍去）， 则， 故选：B. 5. 已知是等差数列的前 项和，若，，则（ ） A. 40 B. 45 C. 50 D. 55 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列和的性质，分析即得解. 【详解】由等差数列的性质得： ，，成等差数列， 所以， 解得. 故选：A 6. 《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则 A. 64 B. 96 C. 128 D. 160 【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列公差为 ，求得，得到，结合党旗长与宽之比都相等和，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，设公差为 ， 因为，，可得， 可得， 又由长与宽之比都相等，且，可得，所以. 故选：C. 7. 已知数列满足，则（ ） A. 1 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，推出数列的周期为3，由此求解即可. 【详解】因为， 所以，， ，， …… 所以数列为周期数列，周期为3， 又因为， 所以. 8. 已知分别是等差数列与的前 项和，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质可得：，将所求的式子化简，再利用等差数列前 项和即可求解. 【详解】因为数列是等差数列，所以， 所以， 又因为分别是等差数列与的前 项和，且， 所以, 故选： . 二、多选题 9. 下列给出的命题中正确的有（ ） A. 数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同数列 B. 数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C. 数列1，1，2，3，5，8，13， ，34，55，…中，根据规律， 的值可以为21 D. 数列0，，4，，…的一个通项公式是 【答案】BCD 【解析】 【分析】由数列的定义判断A；由求参数 判断B，通过观察及代入验证判断C、D. 【详解】A：数列1，2，3，4和数列1，3，4，2分别对应各自的，显然后三项各不相同，即不是相同数列，错； B：令，则且，可得，即对应第11项，对； C：根据数列中的数据，观察可知从第三项开始，后一项都是前两项的和，则，对； D：根据数列中的数据，观察并验证知，，，，满足前四项，对. 故选：BCD 10. 在等差数列中，首项，公差，前 项和为，则下列命题中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则是中的最小项 【答案】AC 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式和等差数列的性质逐个分析判断即可 【详解】对于A，因为，所以，得，所以A正确， 对于B，因为，所以，得，因为，所以，所以有可能大于零，也有可能小于零，所以与无法比较大小，所以B错误， 对于C，因为，所以，所以，所以，所以，所以C正确， 对于D，因为，可得，因为，所以，，所以是中的最大项，所以D错误， 故选：AC 11. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形.如下图的雪花曲线，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图2，如此继续下去，得图（3）...记为第 个图形的边长，记为第 个图形的周长，为的前 项和，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若为中的不同两项，且，则最小值是1 D. 若恒成立，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，从前后两个图之间的关系可求出，对于B，由题意可知，数列是1为首项，为公比的等比数列，从而可求出，对于C，由结合，可得，而，从而可求出 的值，则可求出的值，进而可求得最小值，对于D，由在上递增和在上递增，可求得结果. 【详解】解：对于A，由题意可知，下一个图形的边长是上一个图边长的，边数是上一个图形的4倍，则周长之间的关系为，所以数列是公比为，首项为3的等比数列，所以，所以A正确， 对于B，由题意可知，从第2个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形边长的，所以数列是1为首项，为公比的等比数列，所以，所以B错误， 对于C，由，，得，所以，所以，因为，所以当 时，，则，当时， ，则，当 时， ，则，当时， ，则，当时， ，则，所以最小值是1，所以C正确， 对于D，因为在上递增，所以，即， 令，则在上递增， 所以，即，即， 因为恒成立，所以的最小值为，所以D正确， 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：此题考查等比数列的通项公式和求和公式的应用，考查数列单调性的应用，解题的关键是正确理解题意，求出数列和的通项公式，考查计算能力，属于较难题 三、填空题 12. 已知数列的通项公式则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据数列的表达式分别可求出，，从而可求解. 【详解】由题可知，，， 所以. 故答案为： . 13. 在等比数列中，，若，则________． 【答案】128 【解析】 【分析】由等比数列下标和的性质求解即可. 【详解】，又，所以， ． 故答案为：128 14. 记为数列的前 项和，为数列的前 项积，若，且，则____，当取得最小值时， ___. 【答案】 ①. ②. 6 【解析】 【分析】先利用题给条件确定为公比为的等比数列，进而求得其通项公式；先求得的表达式，进而求得取得最小值时的n值. 【详解】由题意知，因为，所以， 故为公比为的等比数列， 由得，，解得， 所以， 则， 当取得最小值时，则为奇数，且取得最小值， 所以或（舍）. 故答案为：； 四、解答题 15. 已知等差数列的前 项和为，其中． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前10项的和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，列出关于等差数列公差的方程，即可求解； （2）根据前10项的正负，去绝对值，即可求和. 【小问1详解】 设等差数列的公差为 ， 由，则，公差， 所以等差数列首项，公差， ∴ 【小问2详解】 令，得， 则前2项为负数，从第3项起为正数， ∴ 16. 已知等比数列中，，． （1）求数列的通项公式; （2）令，求数列的前 项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用基本量代换，用通项公式代入列方程组解得； （2）由，判断为等差数列，套公式求和. 【小问1详解】 设等比数列的首项为，公比为，由题意得： 解得 所以. 【小问2详解】 ， 所以数列为等差数列，又, 所以． 17. 已知数列满足 （1）求的通项公式； （2）求数列落入区间的所有项的和. 【答案】（1） （2）2025 【解析】 【分析】（1）借助 可得，结合等比数列定义可得为等比数列，即可得的通项公式； （2）由的通项公式可得 的取值范围，由等比数列前 项和公式计算即可得所有项的和. 【小问1详解】 ，， 故是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，所以 ； 【小问2详解】 令，因为，所以， 则 可取 ， 所以，各项的和为： ， 所以数列落入区间的所有项的和为2025. 18. 已知数列的前 项和为，正项等差数列满足 ，且成等比数列. （1）求和的通项公式； （2）证明：. 【答案】（1）， （2） 由（1）得，则， 可知是以首项，公比为的等比数列， 则 ， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据与之间的关系分析可知是首项为，公比为的等比数列，即可得，根据等比中项结合等差数列通项公式运算求解，即可得； （2）分析可知是以首项，公比为的等比数列，结合等比数列求和公式分析证明. 【小问1详解】 由 得， 两式相减可得，即. 当 时， ，即 ， 则，解得， 且，可知是首项为，公比为的等比数列， 可得. 设等差数列的公差为 ， 因为成等比数列，则， 即，解得 或 （舍去）， 所以 . 【小问2详解】 略 19. 在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”．如数列1，2第1次“和扩充”后得到数列1，3，2，第2次“和扩充”后得到数列1，4，3，5，2．设数列a，b，c经过第n次“和扩充”后所得数列的项数记为，所有项的和记为． （1）求； （2）若，求n的最小值； （3）是否存在实数 ，使得数列为等比数列？若存在，求出 满足的条件；若不存在，说明理由． 【答案】（1）； （2）10 （3）存在；，且，或，且 【解析】 【分析】（1）根据题中“和扩充”的定义分析统计即得； （2）先判断为等比数列，求出其通项，再求解不等式即得； （3）根据等比数列的定义和性质进行求解即可． 【小问1详解】 原数列有3项，经第1次“和扩充”后的项数； 经第2次“和扩充”后的项数； 【小问2详解】 数列的每一次“和扩充”是在原数列的相邻两项中增加一项， 设数列经第n次“和扩充”后的项数为，则经第次“和扩充”后增加的项数为， 则，则， 由（1）得，则数列是首项为4，公比为2的等比数列， 则，即， 由可得，因，解得， 所以n的最小值为10； 【小问3详解】 设第 次“和扩充”后数列的各项为， 所以， 因为数列每一次“和扩充”是在原数列的相邻两项中增加这两项的和， 所以， 即， 所以，即有（*）， 因，则， 由（*）知，要使数列为等比数列，需使(Ⅰ) ，或(Ⅱ) ， 由(Ⅰ)解得，，且；由(Ⅱ)解得，，且. 故存在 满足的条件为，且，或，且. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查数列的新定义问题，属于难题. 解题的关键在于充分理解“和扩充”的含义，求出相应的数列递推式，构造等比数列，利用等比数列的定义、通项与求和公式等性质推理解题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $