列方程解决两个未知数的实际问题（教学设计）-2025-2026学年数学五年级上册冀教版

列方程解决两个未知数的实际问题 教学设计 教学内容： （1）本节课的主要教学内容是用方程解决含有两个未知数的实际问题，核心是通过线段图建立数量关系，掌握 “设一个未知数表示另一个未知数” 的解题策略。 （2）本节课知识点包括：①对比单未知数与双未知数问题的差异（如例题 4 中 “花鸡比黑鸡多 16 只” 需用两个未知数表示）；②根据 “一共”“比… 多” 等关键词找等量关系（如 “黑鸡 + 花鸡 = 78 只”）；③用线段图辅助理解双未知数关系（如设黑鸡为 x 只，花鸡用 x+16 表示）；④规范解方程步骤（设→列→解→验），并通过 “迁移旧知” 完成知识拓展（如例 5 仿照例 4 自主解决）。 （3）通过学习，学生能提升代数思维，学会用线段图将抽象数量关系直观化，掌握 “双未知数问题” 的解题框架。同时，通过自主尝试（如例 5 仿写）和小组讨论（议一议环节），培养独立分析与知识迁移能力，能运用方程解决生活中 “两数之和与差”“两数之和与倍数” 等实际问题，初步建立数形结合的思维模式。 教学目标： （1）数学眼光：能从具体问题中观察并提取含有两个未知数的数量关系，会用线段图直观表示数量关系，初步建立数形结合的意识，发展用数学的眼光发现问题的能力。 （2）数学思维：能通过分析等量关系，运用代数思维设出一个未知数表示另一个未知数，列出并求解含有两个未知数的方程，发展逻辑推理和数学建模能力。 （3）数学语言：能用数学语言（方程、等量关系、线段图等）清晰表达含有两个未知数的问题的数量关系及解题过程，能解释方程解的实际意义，提升用数学语言交流的能力。 教学重难点： （1）教学重点：利用线段图直观表示两个未知数的数量关系，结合已知条件（和或差）准确列出含有两个未知数的方程，发展直观想象与数学建模素养。 （2）教学难点：用一个未知数表示另一个未知数（如设黑鸡数量为/，花鸡数量表示为/），并通过线段图验证等量关系的合理性，提升逻辑推理与数学运算能力。 教学方法： 问题引导法、画图辅助法、小组讨论法、范例教学法、直观演示法、讲练结合法、练习巩固法、动手操作法 教学过程： 一、复习引入 （1）温故知新，激活思维 教师活动：同学们，还记得我们上周学习的用方程解决 “相遇问题” 吗？当时我们通过 “路程 = 速度和 × 时间” 这个等量关系，设出一个未知数就能列出方程。现在老师这里有一道新题目，大家试试看能不能用同样的思路解决：一辆汽车和一辆摩托车同时从相距 900 千米的甲、乙两地出发，8 小时后相遇。汽车每小时行 65 千米，摩托车每小时行多少千米？（学生独立思考，尝试列方程解答，教师巡视观察学生的解题步骤） 学生活动：完成后，一位同学上台板演：“设摩托车每小时行 x 千米，根据‘路程 = 速度和 × 时间’，列方程：(65 + x)×8 = 900。” 教师活动：引导全班核对：“先两边同时除以 8，得到 65 + x = 112.5，再减去 65，x = 47.5。所以摩托车速度是 47.5 千米 / 小时。”（板书方程：(65 + x)×8 = 900） （2）对比思考，引出新知 教师活动：刚才这道题我们只设了一个未知数，因为相遇问题中 “速度和” 是两个速度相加，而这里的未知量只有摩托车速度。但如果题目中有两个独立的未知量，比如 “奶奶养了花鸡和黑鸡，一共 78 只，花鸡比黑鸡多 16 只”，我们该怎么设未知数呢？（停顿，引导学生观察题目中的 “两个未知量”：花鸡只数和黑鸡只数） 学生活动：学生 A 提问：“可以设两个未知数吗？” 教师活动：“直接设两个未知数当然可以，但用方程解决时，我们通常用一个未知数表示另一个，这样计算更简单。今天我们就来学习‘列方程解决含有两个未知量的实际问题’。”（板书课题：列方程解决含有两个未知量的实际问题） 二、探究新知 （1）教学例 4：奶奶养花鸡和黑鸡各多少只？ ① 读题分析，找准未知量 教师活动：请大家默读题目：“奶奶养花鸡和黑鸡共 78 只，花鸡比黑鸡多 16 只。养花鸡和黑鸡各多少只？”（学生读题后） 教师活动：提问：“这道题和刚才的相遇问题相比，有什么不同？” 学生活动：学生 B 回答：“相遇问题只有汽车和摩托车两个量，但这里是花鸡和黑鸡，两个未知量！” 教师活动：“非常好！两个未知量时，我们需要先确定哪个量作为‘基准量’来设未知数。通常设较小的量为 x，这里黑鸡数量少，花鸡多，所以我们设黑鸡有 x 只，那么花鸡的数量怎么表示呢？” 学生活动：学生 C 回答：“花鸡比黑鸡多 16 只，所以花鸡就是 (x + 16) 只！” ② 画线段图，梳理数量关系 教师活动：“为了更直观地看出它们的关系，我们可以画线段图。先画一条线段表示黑鸡的数量 x（标上‘黑鸡：x 只’），花鸡比黑鸡多 16 只，所以花鸡的线段要比黑鸡长 16 只的部分（标上‘花鸡：x + 16 只’），两条线段合起来的总长度是 78 只。”（教师在黑板上示范画线段图，学生在练习本上同步绘制） 教师活动：巡视指导：“画完后请观察：黑鸡线段和花鸡线段的总长度是 78 只，那么它们的数量关系可以怎么表示？” 学生活动：学生 D 回答：“黑鸡的只数加上花鸡的只数等于总只数，也就是 x + (x + 16) = 78。” ③ 列方程，解方程并检验 教师活动：“根据这个等量关系，我们可以列出方程：x + x + 16 = 78。请大家独立解方程，注意合并同类项的方法。”（学生解方程，教师巡视，发现学生可能出现的问题：如漏写 “2x” 或计算错误） 学生活动：学生上台板演：“解：合并同类项得 2x + 16 = 78，两边同时减去 16，得 2x = 62，再两边除以 2，x = 31。” 教师活动：追问：“x=31 是黑鸡的数量，那花鸡是多少只？怎么求？” 学生活动：学生 E 回答：“花鸡是 x + 16 = 31 + 16 = 47（只）。” 教师活动：引导检验：“我们需要验证两个条件：①黑鸡和花鸡一共 78 只吗？31 + 47 = 78，正确；②花鸡比黑鸡多 16 只吗？47 - 31 = 16，正确。所以黑鸡 31 只，花鸡 47 只。”（板书完整解答过程） （2）教学例 5：汽车销售公司第四季度销量 ① 迁移方法，自主尝试 教师活动：“我们用方程解决了‘两个未知量’的差的问题，现在再来看看另一种关系：倍数关系。题目是：‘某汽车销售公司去年第四季度售出小汽车和面包车共 68 辆，售出的小汽车数量是面包车数量的 3 倍。求各销售多少辆？’”（学生读题后） 教师活动：提问：“这道题和例 4 有什么相同点？不同点？” 学生活动：学生 F 回答：“相同点是都是两个未知量，不同点是这里是‘倍数关系’（小汽车是面包车的 3 倍），而例 4 是‘差的关系’（花鸡比黑鸡多 16 只）。” 教师活动：“非常好！我们可以用同样的思路：设一个未知数表示另一个。面包车数量少，还是多？” 学生活动：学生 G 回答：“面包车数量少，设面包车为 x 辆，那么小汽车就是 3x 辆！” ② 画线段图，找等量关系 教师活动：“请大家画线段图分析：面包车用一条线段表示 x 辆，小汽车是面包车的 3 倍，所以用三条和面包车一样长的线段表示，两条线段总长度是 68 辆。”（学生画图，教师巡视） 教师活动：引导：“从线段图中，面包车和小汽车的总数量是 68 辆，所以等量关系是？” 学生活动：学生 H 回答：“面包车数量 + 小汽车数量 = 68 辆，即 x + 3x = 68。” ③ 独立解答，巩固步骤 教师活动：“现在请大家独立列方程并解答，注意检验。”（学生完成后，教师请学生汇报） 学生活动：学生 I 汇报：“解：设面包车销售 x 辆，小汽车销售 3x 辆。x + 3x = 68，4x = 68，x = 17。小汽车：3×17 = 51（辆）。检验：17 + 51 = 68，51÷17 = 3，符合条件。” 教师活动：补充：“这两种类型的题目（差和倍数），关键都是用一个未知数表示另一个，再根据‘和’的关系列方程。” （3）总结方法，提炼步骤 教师活动：“通过例 4 和例 5，我们来总结一下解决‘两个未知量’问题的步骤： 设未知数：设较小的量（或‘1 倍量’）为 x，用 x 表示另一个量（如例 4：黑鸡 x，花鸡 x+16；例 5：面包车 x，小汽车 3x）； 画线段图：用线段表示两个量的关系（差或倍数），帮助直观找到等量关系； 列方程：根据‘和’‘差’‘倍数’等关系列出方程； 解方程并检验：求出 x 后，再求另一个量，最后验证是否符合题意。”（学生小组讨论，互相补充步骤） 三、巩固练习 （1）光明小学小组人数问题 教师活动：“学校数学小组和音乐小组共有多少人？题目：‘光明小学数学小组的人数是音乐小组人数的 1.4 倍，如果从数学小组调 4 人到音乐小组，两个小组人数相等。求两小组各多少人？’”（学生尝试用线段图分析，教师巡视） 学生活动：学生 J 汇报：“设音乐小组有 x 人，数学小组就是 1.4x 人。因为调 4 人后人数相等，所以数学小组比音乐小组多 8 人（4×2），即 1.4x - x = 8，0.4x = 8，x = 20。数学小组：1.4×20 = 28 人。检验：28 - 20 = 8，调 4 人后数学小组 24 人，音乐小组 24 人，正确！” （2）直角三角形锐角问题 教师活动：“直角三角形的两个锐角和是 90 度，题目：‘直角三角形较大锐角是较小锐角的 2 倍，求两锐角各多少度？’” 学生活动：学生 K 回答：“设较小锐角为 x 度，较大锐角为 2x 度。x + 2x = 90，3x = 90，x = 30，较大锐角 60 度。检验：30 + 60 = 90，正确！” （3）菜地白菜萝卜问题 教师活动：“‘菜地有白菜和萝卜共 332 棵，萝卜比白菜多 24 棵。求白菜和萝卜各多少棵？’” 学生活动：学生 L 回答：“设白菜 x 棵，萝卜 x + 24 棵。x + x + 24 = 332，2x = 308，x = 154，萝卜 154 + 24 = 178 棵。检验：154 + 178 = 332，178 - 154 = 24，正确！” （4）工程队挖水渠问题 教师活动：“‘甲乙两队合挖一条水渠 48 千米，甲队比乙队少挖 6 千米，求两队各挖多少千米？’” 学生活动：学生 M 回答：“设乙队挖 x 千米，甲队 x - 6 千米。x + (x - 6) = 48，2x = 54，x = 27，甲队 27 - 6 = 21 千米。检验：21 + 27 = 48，27 - 21 = 6，正确！” 四、课堂小结 教师活动：“通过今天的学习，我们解决了哪些问题？谁能说说关键步骤？” 学生活动：学生 N 回答：“关键是设一个未知数，用它表示另一个量，再根据线段图找到等量关系列方程。” 学生活动：学生 O 补充：“画线段图很重要，能清楚看出‘谁比谁多’‘谁是谁的几倍’。” 教师活动：“总结得非常好！无论是‘差’的关系还是‘倍数’的关系，核心都是‘用一个未知数表示另一个’，再通过‘和’的关系列方程。记住：遇到两个未知量时，先确定‘基准量’，再用线段图梳理关系，就能轻松解决问题！” 课后作业： （1）果园里有苹果树和梨树共 240 棵，苹果树比梨树多 40 棵。苹果树和梨树各有多少棵？（用方程解，需画出线段图辅助分析） （2）学校图书馆买来故事书和科技书共 320 本，故事书的本数是科技书的 3 倍。故事书和科技书各有多少本？（用方程解，需找到等量关系并列式） 学科网（北京）股份有限公司 $