小升初提升宝典专题13规律探索（专项训练）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

小升初提升宝典专题13规律探索 一、选择题 1．有这样一组数：8、12、16、20…第n个数是（    ）。 A．n B．n＋4 C．4n D．4n＋4 2．如图，摆一个三角形要用3根小棒，摆2个三角形要用5根小棒，那么摆a个三角形要用（    ）根小棒。 A．3a B． C． D． 3．如图，第1个图形是一个水平摆放的小正方体木块，第2个图形和第3个图形是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律继续叠放下去，第7个图中，从正面看，看不到的木块应有（    ）。 A．91块 B．112块 C．120块 D．140块 4．填在如图各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据规律，的值是（    ）。 A．38 B．74 C．86 D．52 5．按规律填空：1，3，7，15，31，（    ），127。 A．47 B．62 C．63 D．72 二、填空题 6．用五根小棒摆一个等腰梯形，按规律依次摆下去。摆第6个需要________根小棒，摆第n个需要________根小棒。 7．找规律：1，1，2，3，5，8，13，( )……，前100个数中奇数有( )个。 8．新型材料石墨烯的原子结构类似六边形，小刚用磁力球和磁力棒制作原子结构的模型，第n个图形需要( )个磁力球，( )根磁力棒。 9．按如图所示的规律摆放三角形，第五堆三角形的个数为( )个；第( )堆三角形的个数为122个。 10．观察数列：，，，，，，，，……，，的规律，数列中第2008项是______。 11．观察图中图形的构图情况，按照此规律，第5幅图中的个数是________，第100幅图中的个数是________，第n幅图中的个数是________。 12．按规律填数：，，，( )，，( )。 13．斐波那契数列为：0，1，1，2，3，5，8…这个数列中第12个数应是( )。这个数列中的第100个数是( )数。（奇或偶） 14．同学们用围棋子按照如图的规律摆图形，第5幅图用( )枚棋子，第n幅图用( )枚棋子。 15．找规律填数：，，，，，，( )…如果按照这样的规律写下去，越来越接近( )。 三、判断题 16．有一列数：，，，，，，，，，，，，，，从左开始数，第111个分数是。( ) 17．〇☆☆☆△△〇☆☆☆△△〇☆☆☆△△……第111个图形是☆。( ) 18．像这样用小棒摆下去，第100个图案需要301根小棒。( ) 19．1＋3＋5…＋13＋15＋13＋11…＋3＋1＝113。( ) 20．按规律填空：1、3、7、15、31、（   ）．括号里应填51.( ) 四、解答题 21．找规律，并计算。 观察下列两组等式： 第一组：；；。 第二组：；；；。 回答下列问题： （1）我发现的规律：两个分数的（    ）相同，并且等于分母之（    ），则这两个分数的和就等于它们的积。 （2）根据这个规律计算： ①；     ②若，则正整数m等于（    ）。 22．（1）用一个长方形像图中那样任意圈出四个数字，你发现了什么规律？ （2）如果长方形中最上面一个数字用表示，最下面一个数字可以怎样表示？ （3）按这样的圈法，小丽圈出的四个数的和是200，你知道她圈的是哪四个数吗？算一算写出来。 23．现将自然数1至2004按图中的方式排成一个长方形阵列，用一个正方形框出9个数。 （1）图中的9个数的和是多少？ （2）能否使一个长方形框出的9个数的和为2007？若不可能，请说明理由；若可能，求出9个数中最大的数。 24．将一些小圆点按一定的规律摆放,所得到的图形依次为第1个图形、第2个图形、第3个图形、第4个图形.如下图所示,各个图形的小圆点个数依次是6个、10个、16个、24个…… 第1个图形    第2个图形    第3个图形      第4个图形 (1)第8个图形一共有多少个小圆点? (2)已知连续两个图形的小圆点的个数差是100个．这两个图形分别是第个______图形和第个______图形. 第4页，共5页 第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】第一个数是8，是4×1＋4，第二个数是12，即4×2＋4…，则观察选项，可得第n个数是多少。 【详解】第一个数：4×1＋4 第二个数：4×2＋4 第n个数：4×n＋4＝4n＋4 第n个数是（4n＋4）。 故答案为：D 2．D 【分析】根据图示，摆第1个三角形需3根小棒，此后每增加1个三角形，只新添2根小棒（因为会与前面图形共用一条边），所以当摆了a个三角形时所用小棒总数为[3＋2（a－1）]根， 【详解】由分析知： 3＋2（a－1） ＝3＋2a－2 ＝（1＋2a）根 即那么摆a个三角形要用（1＋2a）根小棒。 故答案为：D 3．B 【分析】这道题的核心分析思路是找规律计算“总木块数”和“正面看得到的木块数”，再求差值（看不到的木块数）。找总木块数的规律：第1个图形小正方体的个数是1，第2个图形小正方体的个数是个，第3个图形小正方体的个数是个，依此类推；找正面可见木块数的规律：从正面看，每个层看得到的木块数是“层数”（第1层1块，第2层2块，…，第层块），第个图的正面可见木块数是；据此解答。 【详解】第7个图形中木块的总数是： （块） 第7个图形中看得到的块数是： （块） 第7个图形中看不到的块数是： （块） 故答案为：B 【点睛】本题核心考查“图形规律探索，立体空间想象，数列运算”的综合能力，需通过观察图形推导数量规律，结合平方数、等差数列求和计算，同时想象立体结构区分可见和不可见木块。 4．C 【分析】观察左上角的数：依次是0，2，4，6，每次增加2。观察右上角的数：依次是4，6，8，每次增加2。观察左下角的数：依次是2，4，6，每次增加2。 右下角的数与其他三个数的关系，第一个正方形：0，4，2，8，4×2＋0＝8。第二个正方形：2，6，4，26，6×4＋2＝26。第三个正方形：4，8，6，52，8×6＋4＝52。右下角的数等于右上角的数乘左下角的数再加上左上角的数。据此计算第四个正方形的数字。 【详解】由分析可知，右上角的数每次增加2；左下角的数每次增加2；右下角的数等于右上角的数乘左下角的数再加上左上角的数。 8＋2＝10 6＋2＝8 10×8＋6 ＝80＋6 ＝86 所以的值是86。 故答案为：C 5．C 【分析】观察发现： 第1个数：1； 第2个数：3＝1×2＋1； 第3个数：7＝3×2＋1； 第4个数：15＝7×2＋1， 第5个数：31＝15×2＋1， 规律：每一个数都是前一个数的2倍加上1；由此求解。 【详解】31×2＋1 ＝62＋1 ＝63 所以括号中的数是63。 故答案为：C 6． 25 （4n＋1） 【分析】第一个图形需要（4＋1）根小棒，第二个图形需要（4×2＋1）根小棒，第三个图形需要（4×3＋1）根小棒，所以小棒总个数＝4×第几个图形＋1，据此解答。 【详解】4×6＋1 ＝24＋1 ＝25（根） 用五根小棒摆一个等腰梯形，按规律依次摆下去。摆第6个需要25根小棒，摆第n个需要（4n＋1）根小棒。 7． 21 67 【分析】观察该数列可知，其遵循斐波那契数列规律，即从第3项起，每一项都等于前两项之和：1＋1＝2、1＋2＝3、2＋3＝5、3＋5＝8、5＋8＝13，因此第一括号处应填入8＋13＝21；进一步分析数列奇偶性可发现明显周期规律，前7项的奇偶性依次为“奇、奇、偶”，且该周期循环往复，每个周期包含2个奇数。计算前100个数的周期分布：100÷3＝33（个完整周期）余1（个剩余项），33个完整周期包含33×2＝66个奇数，剩余1项对应周期首项“奇数”，因此前100个数中奇数总数为66＋1＝67，即第二括号处填入67。 【详解】根据斐波那契数列规律，从第3项起，每一项等于前两项之和，因此：8＋13＝21 观察数列奇偶性，周期为“奇、奇、偶”（3项为一个周期），每个周期含2个奇数。 计算周期数和余数：100÷3＝33（个周期）⋯⋯1（个余数） 奇数个数为：33×2＋1 ＝66＋1 ＝67 所以前100个数中奇数有67个。 【点睛】关键在于识别斐波那契数列的求和规律，并通过“奇、奇、偶”的周期分析来快速计算前100个数中的奇数个数。 8． 4n＋2 5n＋1 【分析】如图所示，制作一个六边形需要6个磁力球和6根磁力棒，每多一个六边形，多4个磁力球和5根磁力棒，据此解答。 【详解】根据分析，可以把第1个六边形需要的磁力球个数记为：2＋4，需要磁力棒的个数记为：1＋5 所以六边形的个数与磁力球个数的关系是：磁力球个数＝2＋4×六边形的个数，即磁力球个数＝4n＋2； 六边形的个数与磁力棒个数的关系是：磁力棒个数＝1＋5×六边形的个数，即磁力棒个数＝5n＋1； 所以，第n个图形需要（4n＋2）个磁力球，（5n＋1）根磁力棒。 9． 17 40 【分析】由题图可知第一个图有5个三角形，后面的每个图形均比前一个多3个三角形，则第n个图有[5＋3（n－1）]个三角形，代入5，可求得第五堆有几个三角形；令式子等于122，解得方程，即可确定第几堆三角形的个数为122个。 【详解】5＋3×（5－1） ＝5＋3×4 ＝5＋12 ＝17（个） 所以第五堆三角形的个数为17个。 5＋3（n－1）＝122 解：5＋3（n－1）－5＝122－5 3（n－1）＝117 3（n－1）÷3＝117÷3 n－1＝39 n－1＋1＝39＋1 n＝40 所以第40堆三角形的个数为122个。 【点睛】本题难点在于找到三角形增加的规律，通过观察前三个图，可知道每个图比上一个图多了3个三角形，列出式子，代入或解方程即可解得此题。 10． 【分析】首先根据题意，可得分母是2、4、6、8…的个数，分别是1、2、3、4…，若有m行，则共有个数。当时，一共有个数据；当时，一共有个数据。可得数列中第2008项的分母是63×2＝126，分子是，据此判断出数列中第2008项是多少。 【详解】数列改写如下： 第1行：， 第2行：，， 第3行：，，， 第4行：，，，， 故第行：，，，， 一共有个数据， 当时，一共有个数据， 当时，一共有个数据， 故分母，，分子为，故第2008项是。 【点睛】观察所给分数的分子和分母，可知可得分母是2、4、6、8...的个数分别是1、2、3、4... 若有m行，则共有个数。找到和2008相邻的两个数，m＝62和63，所以第2008项m＝63，这个分数的分母为63×2，分子为，即可写出第2008项的数。 11． 16 301 （1＋3n） 【分析】 观察发现，第1幅图的个数是1＋3； 第2幅图的个数是1＋3×2； 第3幅图的个数是1＋3×3； …… 依此类推，第n幅图的个数是1＋3×n＝1＋3n。 【详解】 第5幅图中的个数是1＋3×5 ＝1＋15 ＝16 第100幅图中的个数是1＋3×100 ＝1＋300 ＝301 第n幅图中的个数是1＋3×n ＝1＋3n 12． 【分析】所给分数的分子依次是1、2、3，呈现出依次加1的规律。所给分数的分母依次是2、3、4，也呈现出依次加1的规律。对于第四个数，分子应该是3＋1＝4，分母应该是4＋1＝5，所以这个数是。对于第六个数，分子应该是5＋1＝6，分母应该是6＋1＝7，所以这个数是。 【详解】由分析可知，分数的分子依次加1的规律，分母也是依次加1的规律。 第四个数： 分子：3＋1＝4 分母：4＋1＝5 所以这个数是。 第六个数： 分子：5＋1＝6 分母：6＋1＝7 所以这个数是。 即，，，，，。 13． 89 偶 【分析】根据题意可知，从这组数据的第三项开始，每一项都是前两项之和，所以用前两项相加即可求出后一项； 根据题意可知，这组数据是按照偶数、奇数、奇数、偶数……的规律排列的，每3个数为一组，求第100个数是奇数还是偶数，用100除以3，余数是几，就从第1个数数，没有余数，则就是最后一个数，据此解答。 【详解】第八个数5＋8＝13 第九个数8＋13＝21 第十个数13＋21＝34 第十一个数21＋34＝55 第十二个数34＋55＝89 100÷3＝33（组）……1（个） 所以这个数列中的第100个数是偶数。 斐波那契数列为：0，1，1，2，3，5，8…这个数列中第12个数应是89。这个数列中的第100个数是偶数。 14． 31 （6n＋1） 【分析】第1幅图有7枚棋子，第2幅图有13枚棋子，第3幅图有19枚棋子，由此可知，下一幅图比上一幅图多6枚棋子。 第1幅图有7枚棋子，可以写成：6×1＋1； 第2幅图有13枚棋子，可以写成：6×2＋1； 第3幅图有19枚棋子，可以写成：6×3＋1； …… 由此可知，第n幅图有（6n＋1）枚棋子，据此求出第5幅图有棋子的个数，据此解答。 【详解】根据分析可知，第n幅图有（6n＋1）枚棋子。 当n＝5时： 6×5＋1 ＝30＋1 ＝31（枚） 同学们用围棋子按照如图的规律摆图形，第5幅图用31枚棋子，第n幅图用（6n＋1）枚棋子。 15． 0 【分析】观察可知规律，分子不变，分母为、、、即依次为前一个数的分母乘2得后一个数的分母，这样写下去，分母越来越大，所以这个分数会越来越小，无限接近0。 【详解】 找规律填数：，，，，，，…如果按照这样的规律写下去，越来越接近0。 16．√ 【分析】这一列数中，分母是1的分数有1个，分子是1；分母是2的分数有3个，分子是1，2，1；分母是3的分数有5个，分子是1，2，3，2，1；分母是4的分数有7个；分子是1，2，3，4，3，2，1．分数的个数分别是1，3，5，7…，当分母是n时有2n－1个分数；由此求出从分母是1的分数到分母是11的分数一共有多少个；分子是自然数，先从1增加，到和分母相同时再减少到1；所以还有10个分母是11的分数，由此求解。 【详解】分母是11的分数一共有；2×11－1＝21（个） 从分母是1的分数到分母是11的分数一共：1＋3＋5＋7＋…＋21 ＝（1＋21）×11÷2 ＝22×11÷2 ＝121（个） 还有10个分母是11的分数 121－10＝111 有一列数：，，，，，，，，，，，，，，从左开始数，是第111个数。原题说法正确。 故答案为：√ 17．√ 【分析】根据图示可知，每6个图形一循环，计算第111个图形是第几组循环零几个图形，即可知道其形状，判断即可。 【详解】111÷6＝18（组）……3（个） 所有第111个图形是☆。原题说法正确。 故答案为：√。 【点睛】本题主要考查的是找图形规律，解题的关键是观察图形找到规律，再根据规律求解。 18．√ 【分析】规律：每多1个正方形就多3根小棒； 第1个图形里共有4根小棒，即3×1＋1； 第2个图形里共有7根小棒，即3×2＋1； 第3个图形里共有10根小棒，即3×3＋1； 第4个图形里共有13根小棒，即3×4＋1； …… 第n个图形里需要的小棒数为：3n＋1。 【详解】根据分析可知，第n个图形里需要的小棒数为：3n＋1，当n＝100时， 3n＋1 ＝3×100＋1 ＝300＋1 ＝301（根） 即第100个图形需要301根小棒。 故答案为：√ 19．√ 【分析】1＝12，1＋3＝22，1＋3＋5＝32，…据此可知，从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的平方，所以1＋3＋5…＋13＋15＝82，1＋3＋5…＋13＝72，据此解答。 【详解】1＋3＋5…＋13＋15＋13＋11…＋3＋1 ＝（1＋3＋5…＋13＋15）＋（13＋11…＋3＋1） ＝82＋72 ＝64＋49 ＝113 所以原题干说法正确。 故答案为：√ 20．× 【详解】本题是数列中的规律知识点的运用，规律蕴涵在相邻两数的差或倍数中．通过观察可以发现这组数据中后一项依次比前一项多2、4、8、16...，所以下一项应该多32，也就是括号里应该填63，故本题结论是错误的×． 21．（1）分子，和 （2）① ②19 【分析】（1）观察算式可知，若两个分数的分子相同，且分母之和等于分子，所以这两个分数的和等于它们的积； （2）①根据（1）中发现的规律进行计算即可； ②根据规律可知＝，然后根据发现的规律求出m的值即可。 【详解】（1）我发现的规律：两个分数的分子相同，并且等于分母之和，则这两个分数的和就等于它们的积。 （2）① ② ＝ ＝ 所以6＋m＝25 m＝19 【点睛】本题考查算式的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。 22．（1）每相邻两个之间相差10； （2）； （3）35、45、55、65。 【分析】（1）观察上下相邻的数之间的大小关系，得出规律； （2）长方形中一共有4个数，最上面和最下面之间相差30，据此列式； （3）设小丽圈出的第一个数字为，下面的数依次是a＋10、a＋20、a＋30，根据四个数相加等于200，列出方程，求出第一个数，再分别求出下面的数即可。 【详解】（1）我发现圈出的4个数，每相邻两个之间相差10。 （2）最下面一个数字可以用表示。 （3）解：设小丽圈出的第一个数字为。 4＋60＝200 4＝140 ，，。 答：她圈的是35、45、55、65。 【点睛】本题考查了数字的排列规律和列方程解决问题，关键是发现数表中的规律。 23．（1）216；（2）能；231 【分析】（1）设中间数为x，则 9 个数可表示为x－8、x－7、x－6、x－1、x、x＋1、x＋6、x＋7、x＋8，其和为9x。图中中间数是24，因此和为9×24＝216。 （2）依据是数阵的整除特性（9个数的和为9x，需为9的倍数）。 验证2007：2007÷9＝223，即中间数x＝223。 判断位置：223÷7＝31⋯⋯6，说明223在第32行第6列，符合数阵布局。 最大数：x＋8＝223＋8＝231。 【详解】（1）设中间的数为x，则另外8个数分别为x－8，x－7，x－6，x－1，x＋1，x＋6，x＋7，x＋8。 （x－8）＋（x－7）＋（x－6）＋（x－1）＋x＋（x＋1）＋（x＋6）＋（x＋7）＋（x＋8）＝24 9x＝24 x＝24 9×24＝216 答：图中的9个数的和是216。 （2）因为9个数的和需为9的倍数，2007÷9＝223，中间数223在第32行第6列，符合布局，最大数为223＋8＝231，故可能，最大数是231。 答：能使一个长方形框出的9个数的和为2007，9个数中最大的数是231。 【点睛】核心是抓住3×3方框的对称分布规律：9个数的和必为中间数的9倍，这是快速计算和判断的关键；判断某数能否成为方框和时，先验证其是否为9的倍数（对应中间数为整数），再通过“行数＝商＋1、列数＝余数”确认中间数未超出数阵范围，且最大数可直接用中间数＋8得出，高效简化解题流程。 24．(1)76个 (2)49，50 【详解】(1)观察图形可得 第1个图形中有个4+1×2=6小圆点 第2个图形中有4+2×3=10个小圆点 第3个图形中有4+3×4=16个小圆点 第4个图形中有4+4×5=24个小圆点 通过总结可得,第8个图形有4+8×9=76个小圆点: (2)第n个图形中,小圆点的个数为:4+n(n+1)=(n²+n+4)个． 第n-1个图形中,小圆点的个数为:4+(n-1)n=(n²-n+4)个． 它们的差是:2n=100,所以n=50 所以这两个图形分别是第50个和第49个图形． 答案第4页，共13页 答案第1页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $