专题2.1～2.2.不等式及其性质、一元一次不等式 同步讲义（题型导航+知识梳理+巩固提升）-2025-2026学年北师大版数学八年级下学期

专题2.1～2.2.不等式及其性质、一元一次不等式 同步讲义 （北师大版）题型导航 题型1不等式定义 题型2不等式的解集 题型3不等式的性质 题型4一元一次不等式的定义 题型5求一元一次不等式的解集 题型6在数轴上表示不等式的解集 题型7求一元一次不等式的整数解 题型8求一元一次不等式解的最值 题型9解|x|≥a型的不等式 题型10列一元一次不等式 题型11用一元一次不等式解决实际问题 题型12用一元一次不等式解决几何问题 题型13巩固提升（8解答题） 知识梳理 知识点一、不等式的定义 （1） 不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式。 （2） 例如：-3<-1，a+4>-1+2,x+1≤0,2a≠3a等都是不等式． 知识点二、不等式的解集 1.定义：一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程叫做解不等式． 2.用数轴表示不等式解集 常见的不等号有5种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”． 知识点三、不等式的基本性质 性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号方向不变． 如果，那么 如果，那么 性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 如果，并且，那么（或） 如果，并且，那么（或） 性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 如果，并且，那么（或） 如果，并且，那么（或） 不等式的传递性：如果，，那么． 注意：（1）不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变； （2）在计算的时候符号方向容易忘记改变． 知识点四、一元一次不等式的概念 1.只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式． 2.一元一次不等式满足的条件： （1）左右两边都是整式（单项式或多项式）； （2）只含有一个未知数； （3）未知数的最高次数为1 知识点五、解一元一次不等式 1.一般步骤：（1）去分母：根据不等式的性质2和3，把不等式的两边同时乘以各分母的最小公倍数，得到整数系数的不等式． （2）去括号：根据去括号的法则，特别要注意括号外面是负号时，去掉括号和负号，括号里面的各项要改变符号． （3）移项：根据不等式性质1，一般把含有未知数的项移到不等式的左边，常数项移到不等式的右边． （4）合并同类项． （5）将未知数的系数化为1：根据不等式性质2或3，特别要注意系数化为1时，系数是负数，不等号要改变方向． （6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集． 2.在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左． 知识点六、一元一次不等式的应用解题步骤 1.核心思想：找不等关系 → 设未知数 → 列不等式 → 求解 → 检验实际意义 2.解题步骤： 设：设所求量为 x 找：题目中 **“至少、至多、不超过、不少于、不足”** 就是不等号 列：根据题意写不等式 解：正常解，注意除以负数要变号 验：人数、物品数必须是正整数 题型解读 题型1不等式的定义 1．下列表达式中是不等式的有（   ）个 ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查不等式的定义，解题思路是根据不等式的定义逐个判断式子，统计符合要求的个数即可，用不等号表示不等关系的式子叫做不等式． 【详解】解：根据不等式的定义逐个判断： ∵ ① 用不等号连接，是不等式； ② 用不等号连接，是不等式； ③ 用等号连接，是等式，不是不等式； ④ 是代数式，没有不等号连接，不是不等式； ⑤ 用等号连接，是等式，不是不等式； ⑥ 用不等号连接，是不等式； ∴ 符合不等式定义的共有3个. 2．某日的最高气温是，最低气温是，则当天气温t（）的变化范围是________． 【答案】 【分析】根据题意，将实际问题中的气温变化范围转化为不等式表示即可得到答案． 【详解】解：由题意得当天气温（℃）的变化范围是． 3．x减去y不大于，用不等式表示为___________． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式，关键是要抓住题目中的关键词，首先表示x减去y为，再表示“不大于”即为． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 题型2不等式的解集 1．若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解，逐个判断各选项即可． 【详解】解：A、中包含，符合题意； B、中不包含，不符合题意； C、中不包含，不符合题意； D、中不包含，不符合题意； 故选：A． 2．函数中，自变量x的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，求不等式的解集．根据二次根式的定义，被开方数必须大于或等于零，从而得到不等式，即可求解． 【详解】解：依题意， 解得： 故答案为：． 3．请写出满足下列条件的解： （1）的正整数解有_____． （2）的负整数解有_____． 【答案】 1，2 －3，－2，－1 【分析】本题考查了不等式的解集，解决本题的关键是熟记不等式的解集． （1）由不等式，结合正整数定义，找出所有满足条件的正整数； （2）由不等式 ，结合负整数定义，找出所有满足条件的负整数． 【详解】解：（1），且为正整数， 可取，， 故答案为：； （2），且为负整数， 可取，，． 故答案为：，，． 题型3不等式的性质 1．下列不等式的解法中，正确的是（    ） A．，两边同乘，得 B．，两边同乘，得 C．，两边同时除以，得 D．，两边同时除以，得 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质，进行求解即可． 【详解】解：A．，两边同乘，得，故A错误； B．，两边同乘，得，故B错误； C．，两边同时除以2，得，故C错误； D．，两边同时除以，得，故D正确． 2．有理数、、满足，请将它们从小到大排列______． 【答案】 【分析】利用不等式的基本性质对给定的连不等式变形，即可推导出三个有理数的大小关系． 【详解】解： ∴， ∵ ∴ ∴． 3．若要说明命题“若，则”是假命题，c的值可以是________． 【答案】 【分析】本题主要考查不等式的基本性质．假命题的概念．要说明原命题为假命题，只需找到满足但结论不成立的c，根据不等式的基本性质可得，任取符合条件的c即可． 【详解】解：∵命题“若，则”是假命题， ∴存在，使得， ∵c为分式的分母， ∴， ∴根据不等式的基本性质：不等式两边同时除以同一个负数，不等号的方向改变，可知当时，若，则，即原命题是假命题， ∴c的值可以是． 题型4一元一次不等式的定义 1．下列各式中是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的判断，根据一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式，判断各选项即可． 【详解】解：A、，只含未知数x，次数为1，且有不等号“”，故是一元一次不等式； B、，含有两个未知数x和y，故不是一元一次不等式； C、，没有不等号，故不是一元一次不等式； D、，未知数x的最高次数为2，故不是一元一次不等式； 故选：A． 2．当______时，不等式是一元一次不等式． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义，未知数的最高次数为，且未知数的系数不为，未知数只含有一个，据此列出关系式求解即可． 【详解】解：∵不等式是一元一次不等式， ， 解，得，即， 由得， ∴． 故答案为：． 3．若是关于的一元一次不等式，则____________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，解决本题的关键是熟练掌握一元一次不等式的定义． 根据一元一次不等式的定义，未知数的指数必须为，且系数不能为，由此建立方程和不等式求解． 【详解】解：由题意得： 且． 解得： 故答案为： 题型5求一元一次不等式的解集 1．若有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要使二次根式有意义，被开方数必须是非负数，据此列出不等式求解x的取值范围． 【详解】解：要使有意义， ∴，解得， ∴x的取值范围是． 2．当______时．的值为非负数． 【答案】 【分析】根据非负数的定义列出关于x的一元一次不等式，再按照一元一次不等式的解法求解，即可得到x的取值范围． 【详解】解：根据题意得：， 不等式两边同乘3，得， 移项得， 不等式两边同时除以6，得． 3．已知，满足，且，．若，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据得出，结合可得，根据得出，根据，利用不等式的性质即可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴． 题型6在数轴上表示不等式的解集 1．在数轴上表示不等式的解集正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出不等式的解集，然后在数轴上表示解集即可． 【详解】解：， ， ， ， 在数轴上表示时，向右且用实心点，即选项D符合题意． 2．已知某个关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式的解集为__________． 【答案】 【分析】如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点． 【详解】解：根据图示可知：该不等式的解集为． 3．若关于x的不等式的解集在数轴上表示如图，则______． 【答案】1 【分析】直接利用已知不等式的解集得出关于a的等式，进而得出答案． 此题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，正确得出关于a的等式是解题的关键． 【详解】解：，解集在数轴上为， ， 解得： 故答案为： 题型7求一元一次不等式的整数解 1．某村为了响应国家号召，提高人口数量，决定拿出50000元购买电视和电脑奖励本村家庭户，一台电脑3500元，一台彩电2500元，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有（   ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程，解不等式，正确计算是解题的关键．设购买电脑、彩电的数量为未知数，根据总花费列出二元一次方程，结合数量为非负整数的要求，找出所有符合条件的方案即可． 【详解】解：设购买电脑台，彩电台，均为非负整数， ∵ 总资金恰好用尽，总资金为元， ∴ ， 两边同除以化简得 ， 变形得 ， ∵ 是非负整数， ∴ 是整数， ∵ 和互质， ∴ 一定是的倍数， 又∵ ， ∴ ， 解得， ∴ 的可取值为，共个，对应分别为，均符合要求， 即,，， ∴ 购买方案共有种． 2．不等式的正整数解是________． 【答案】1，2 【分析】解一元一次不等式得到解集，再在解集中找出符合要求的正整数即可． 【详解】解：解不等式， 移项，得， 合并同类项，得， 解得， 因此满足不等式的正整数解为和． 3．如图，要使输出值大于，则输入的最小正整数是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，根据程序图分为奇数和偶数两种情况求出的最小值，通过比较找出最小的值． 【详解】解：当为偶数时， 可得：， 解得：， 是正整数， ； 当为奇数时， 可得：， 解得：， 为正整数， ， 输入的最小正整数是． 故答案为：． 题型8求一元一次不等式解的最值 1．若关于的不等式的正整数解恰有两个，则实数的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元一次不等式正整数解的应用，理解正整数解的个数与不等式中参数取值范围的关系是关键．先确定满足“正整数解恰有两个”时正整数解的具体值，再据此分析实数的取值范围，从而求出的最大值． 【详解】解：∵正整数解恰有两个，而最小的正整数是， ∴这两个正整数解为和， 要使正整数解是和，那么要大于（如果，则的正整数解只有 ）； 同时不能大于（如果，则的正整数解会有，可能还有，不满足恰有两个正整数解）， ∴， ∴的最大值为． 故选：D． 2．如果关于x的不等式的解的最大值是4，则m的值是_____． 【答案】20 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，通过解不等式得到x的取值范围，并利用解的最大值建立方程求解m． 【详解】解：解不等式，得． 由于不等式的解的最大值是4， 因此， 解得：． 故答案为：20． 3．某次“学宪法，讲宪法”知识竞赛中，共有20道题，规定答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分，在这次竞赛中小聪只有1道题没答，竞赛成绩超过80分，那么小聪至多答错了___________道题； 【答案】2 【分析】本题主要考查了运用一元一次不等式解积分问题，熟练掌握根据题中数量关系列出不等式是解题的关键，注意答错一题扣2分，要用减法． 设小聪答错了道题，则答对了道题，根据竞赛成绩超过80分列出不等式，求解的取值范围，并取最大整数解． 【详解】解：设小聪答错了道题，则答对了道题， 依题意，得：， 化简得：， 移项得：， 两边同除以，不等号方向改变，得：， ∵为非负整数， ∴的最大值为2． 故答案为：2． 题型9解|x|≥a型的不等式 1．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，利用“一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为非正数”这一性质列不等式求解x的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， 移项得 两边同时除以3，得． 故选：C． 2．有下列各数：①－3；②－2；③0；④5．其中能使不等式成立的为________（填序号）． 【答案】①④ 【分析】本题考查了绝对值不等式的解法，掌握绝对值不等式等价于或是解题的关键． 解绝对值不等式，得到或，然后逐一验证各数是否满足条件． 【详解】解：由，得或，即或 ． ①，满足； ②，不满足； ③且，不满足； ④，满足． 故答案为：①④． 3．若关于的不等式有解，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据绝对值的几何意义，可把视为数轴上表示数x的点到表示数-1(1个)，-2(2个)，-3(3个)，-4(4个)，-5(5个)的点的距离之和，得到当x位于第8个点时，取得最小值15，即可求出a的取值范围． 【详解】解：由绝对值的几何意义可得， 把视为数轴上表示数x的点到表示数-1(1个)，-2(2个)，-3(3个)，-4(4个)，-5(5个)的点的距离之和， ∴当x位于第8个点时，即当x=-4时， 的最小值为15， ∵， ∴当关于的不等式有解时， a的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】此题考查了绝对值的几何意义和不等式性质，解题的关键是根据题意求得的最小值． 题型10列一元一次不等式 1．“x与2的差的3倍是非负数”，用不等式可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据“非负数”的含义是大于等于0，即可根据题意列出不等式． 【详解】解：x与2的差可表示为， x与2的差的3倍可表示为， ∵该式子是非负数， ∴． 2．小聪用120元钱去购买笔记本和钢笔共20件，已知每本笔记本5元，每支钢笔7元，设小聪能买x支钢笔．则可列不等式为 ____________ ． 【答案】 【分析】设小聪购买x支钢笔，则可得到笔记本的购买数量为本，根据总价等于单价乘购买数量，结合总花费不超过120元，即可列出关于x的一元一次不等式． 【详解】解：设小聪购买x支钢笔，则购买了本笔记本， 根据题意得：． 3．某树在栽种时的树围为，在生长期内平均每年增加约，以为标准线，经过年后，如果这棵树的树围______，可列出不等式，则横线处应填（    ）． A．超过标准线 B．低于标准线 C．不超过标准线 D．不低于标准线 【答案】D 【分析】本题考查列不等式，需根据“≥”的含义结合标准线判断横线处的描述． 【详解】解：∵“≥”在实际情境中表示“不低于”（即大于或等于）， 又∵不等式为，其中是标准线， ∴横线处应填“不低于标准线”， ∴故选：． 题型11用一元一次不等式解决实际问题 1．某品牌的液晶电视机进价为5600元，由于商场搞活动，按定价的9折销售时，利润不能低于700元，则该电视机定价最少为（    ） A．5000元 B．6000元 C．7000元 D．8000元 【答案】C 【分析】根据“利润=售价-进价，利润不低于700元”列出不等式求解即可． 【详解】解：设该电视机定价为x元，根据题意得， 解得， ∴该电视机定价最少为7000元． 2．某学校准备在商场购买每个50元的甲足球和每个70元的乙足球共50个，并且购进乙足球数量不少于甲足球数量的，则最省钱的购买方案是（   ） A．甲25个，乙25个 B．甲26个，乙24个 C．甲27个，乙23个 D．甲28个，乙22个 【答案】C 【分析】设购进甲足球个（且x为整数），则购进乙足球个，总费用为元，根据限制条件列不等式得到；再确定总费用与甲数量的函数关系，最后利用一次函数性质得到最省钱的方案即可解答． 【详解】解：设购进甲足球个（且x为整数），则购进乙足球个，总费用为元． ∵购进乙足球数量不少于甲足球数量的， ∴，解得：． 由题意可得：总费用， ∵， ∴随的增大而减小，因此取最大值时，总费用最小， 又∵为正整数， ∴最大取，此时，即最省钱方案为购进甲个，乙个． 3．某种商品的进价为300元，出售时标价为500元，后由于商品滞销，但要保持利润率不低于，则至多可打______折． 【答案】6.6 【分析】设可打折，根据要保持利润率不低于，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：设可打折，由题意，得：，解得． 故至多可打6.6折． 题型12用一元一次不等式解决几何问题 1．等腰三角形的边长是整数，周长是10，则这样的等腰三角形的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】设等腰三角形的腰长为x，底边长为y，根据题意，得，结合三角形三边数量关系得，转化为不等式，求正整数解即可． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理，不等式的应用，整数解的计算，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为x，底边长为y， 根据题意，得， 由三角形三边数量关系得， 故， 故， 解得，又y是整数， 故， 又， 故， 故或， 都满足三角形三边关系定理， 故有2个等腰三角形． 故选：C． 2．在中，，若其周长为，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三边关系、等腰三角形的性质；设，由三角形的三边关系定理得出，再由边长为正数得出，即可得出结果．掌握三角形的三边关系定理是解题的关键． 【详解】解：设， ∵在中，，若其周长为， ∴， ∵，即， 解得：， 又∵， 解得：， ∴， 即． 故选：B． 3．“剪纸”是我国一项传统民间艺术，现有一张正方形纸片，用剪刀沿着一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，沿着一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿着一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分，…以此类推，为了得到7个十一边形和一些多边形纸片，则至少要剪_______ 刀． 【答案】 【分析】本题考查多边形内角和定理，一元一次不等式的应用和规律探究，解题关键是得到每剪一次所有多边形总内角和增加，其余多边形最小内角和至少为，据此列不等式求解． 【详解】解：根据题意，每剪一刀，所有多边形的内角和共增加． 设一共剪了刀，则共得到个多边形，所有多边形的内角和总和为． 已知共有7个十一边形，根据多边形内角和定理，7个十一边形的内角和总和为 根据题意得， 不等式两边同除以，得 整理得． 故至少要剪刀． 巩固提升 一、解答题 1．用不等式表示下列不等关系： (1)a的5倍加上b小于2； (2)m的与n的的和是非负数； (3)x的2倍减去x的不大于11． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出不等式，根据各数量之间的关系，正确列出不等式是解题的关键． （1）a的5倍加上b表示为，小于2表示为，进而可得出； （2）m的与n的的和表示为，非负数表示为，进而可得出； （3）x的2倍减去x的表示为，不大于11表示为，进而可列出． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：根据题意得：； （3）解：根据题意得：． 2．先认真阅读小明解不等式的过程，再解答问题． 解：去分母，得，① 去括号，得，② 移项，得，③ 合并同类项，得，④ 系数化为1，得．⑤ (1)以上求解过程中，去分母的依据是___________________． (2)第_____________（填序号）步出现错误，错误的原因是___________________． (3)该不等式的正确解集为_____________，请在数轴上表示该解集． 【答案】(1)不等式的性质2． (2)⑤，系数化为1时，不等式两边除以同一个负数，忘记改变不等号的方向． (3)，表示见解析． 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握不等式的解法是解决问题的关键：先去分母，再去括号、移项、合并同类项，最后系数化为1，即可求解． 【详解】（1）解：去分母的依据是不等式的性质； 故答案为：不等式的性质． （2）解：第⑤步系数化为时，不等式两边同时乘以时，忘记改变不等号方向， 故答案为：⑤，系数化为1时，不等式两边除以同一个负数，忘记改变不等号的方向． （3）解：不等式解集为， 在数轴上表示如下： 【点睛】本题考查解一元一次不等式，不等式的基本性质，在数轴上表示不等式的解集．不等式的解集在数轴上表示的方法：空心圆点向右画射线，实心圆点向右画射线，空心圆点向左画射线，实心圆点向左画射线．掌握解一元一次不等式的步骤，正确在数轴上表示出不等式的解集是解题的关键． 3．若关于的不等式的解集与不等式的解集相同，求的值． 【答案】 【分析】分别求出两不等式的解集，再根据两不等式的解集相同，可得关于a的方程，即可求解． 【详解】解：， 解得：， ， 解得：， ∵关于的不等式的解集与不等式的解集相同， ∴， 解得：． 4．求不等式的最小整数解． 【答案】不等式的最小整数解为 【分析】先求出不等式的解集，进而求出最小整数解即可． 【详解】解：， ， ， ， ； 故不等式的最小整数解为． 5．先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题．①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或．②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有大于且小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． (1)的解集为______； (2)解不等式； (3)解不等式． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了绝对值的意义，不等式组的解集，加减消元法解二元一次方程组等知识．理解题意是解题的关键． （1）根据题意求解集即可； （2）根据题意解不等式即可； （3）根据题意解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意知，的解集为， 故答案为：； （2）解：由题意得不等式可化为， 解得； （3）解：不等式可化为或， 解得或． 6．定义一种新运算：，例如：．根据上述定义， (1)若，求及其平方根． (2)的计算结果落在如图所示的范围内，求的最小整数值． 【答案】(1)， (2)4 【分析】（1）由新定义，按法则计算得到，再由平方根定义求解即可得到答案； （2）由新定义及数轴得到，再按法则计算得到，解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，解得，则； （2）解：由题意得， ∴，即，解得， ∴最小整数值为4． 【点睛】本题考查新定义运算，涉及解方程、平方根定义、解不等式及求不等式的整式解等知识，理解新定义运算，熟记平方根定义及解不等式的方法是解决问题的关键． 7．小明一家假期开自家小客车外出自驾游，发现某公路上对行驶汽车的速度有如图所示的规定，设此段公路上小明家驾驶的速度为v（千米/小时） 最高限速： （千米/小时） 小客车 120 大型客车 100 货车 90 最低限速（千米/小时） 60 (1)用不等关系写出此段公路v应满足的条件； (2)小明家11:20距离此段公路上A地 70千米，要在12:00点前驶过A地，匀速行驶状态求小明家车速应满足什么条件? 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，找准数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． （1）根据小客车最高限速与最低限速即可得出答案； （2）根据小明家距离此段公路上地70千米，要在点前驶过地，列出一元一次不等式，结合（1）的结论，即可得出答案． 【详解】（1）解：此段公路应满足的条件为：． （2）解：到共用时小时， 由题意得：， 解得：， 由（1）得：60千米小时千米小时， 千米小时千米小时， 答：小明家车速应满足105千米小时千米小时． 8．一副直角三角板如图1放置，，，，它们的斜边在同一直线上，为边上一点，三角板绕点按顺时针方向旋转． (1)当________时，；当________时，； (2)设交边于点，交直线于点，记为，为． ①如图2，当，求的值； ②当时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)①；②且 【分析】本题考查平行线的性质，两种三角板的角度，一元一次不等式的几何应用等知识，找出、与的关系是解题的关键． （1）先分别画出符合条件的情况，再根据平行线的性质分别求出即可； （2）①分别求出和，再做差即可； ②分当时、当时和当时三种情况分析，求出和，根据列出不等式并求解，最后综合三种情况即可得解． 【详解】（1）如下图所示， 要使得， 则， ∴当时，； 如下图所示， 要使得， 则， ∴， 又∵， ∴， 即当时，， 故答案为：，； （2）①∵，即， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②当时， 同理：∵， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 解得：， ∴， 当，，此时不合题意； 当时，的延长线与的延长线无交点，如下图所示： 同理可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上所述：的取值范围是且． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1～2.2.不等式及其性质、一元一次不等式 同步讲义 （北师大版）题型导航 题型1不等式定义 题型2不等式的解集 题型3不等式的性质 题型4一元一次不等式的定义 题型5求一元一次不等式的解集 题型6在数轴上表示不等式的解集 题型7求一元一次不等式的整数解 题型8求一元一次不等式解的最值 题型9解|x|≥a型的不等式 题型10列一元一次不等式 题型11用一元一次不等式解决实际问题 题型12用一元一次不等式解决几何问题 题型13巩固提升（8解答题） 知识梳理 知识点一、不等式的定义 （1） 不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式。 （2） 例如：-3<-1，a+4>-1+2,x+1≤0,2a≠3a等都是不等式． 知识点二、不等式的解集 1.定义：一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程叫做解不等式． 2.用数轴表示不等式解集 常见的不等号有5种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”． 知识点三、不等式的基本性质 性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号方向不变． 如果，那么 如果，那么 性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 如果，并且，那么（或） 如果，并且，那么（或） 性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 如果，并且，那么（或） 如果，并且，那么（或） 不等式的传递性：如果，，那么． 注意：（1）不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变； （2）在计算的时候符号方向容易忘记改变． 知识点四、一元一次不等式的概念 1.只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式． 2.一元一次不等式满足的条件： （1）左右两边都是整式（单项式或多项式）； （2）只含有一个未知数； （3）未知数的最高次数为1 知识点五、解一元一次不等式 1.一般步骤：（1）去分母：根据不等式的性质2和3，把不等式的两边同时乘以各分母的最小公倍数，得到整数系数的不等式． （2）去括号：根据去括号的法则，特别要注意括号外面是负号时，去掉括号和负号，括号里面的各项要改变符号． （3）移项：根据不等式性质1，一般把含有未知数的项移到不等式的左边，常数项移到不等式的右边． （4）合并同类项． （5）将未知数的系数化为1：根据不等式性质2或3，特别要注意系数化为1时，系数是负数，不等号要改变方向． （6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集． 2.在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左． 知识点六、一元一次不等式的应用解题步骤 1.核心思想：找不等关系 → 设未知数 → 列不等式 → 求解 → 检验实际意义 2.解题步骤： 设：设所求量为 x， 找：题目中 "至少、至多、不超过、不少于、不足”就是不等号， 列：根据题意写不等式， 解：正常解，注意除以负数要变号， 验：人数、物品数必须是正整数. 题型解读 题型1不等式的定义 1．下列表达式中是不等式的有（   ）个 ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．某日的最高气温是，最低气温是，则当天气温t（）的变化范围是________． 3．x减去y不大于，用不等式表示为___________． 题型2不等式的解集 1．若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（   ） A． B． C． D． 2．函数中，自变量x的取值范围是_______． 3．请写出满足下列条件的解： （1）的正整数解有_____． （2）的负整数解有_____． 题型3不等式的性质 1．下列不等式的解法中，正确的是（    ） A．，两边同乘，得 B．，两边同乘，得 C．，两边同时除以，得 D．，两边同时除以，得 2．有理数、、满足，请将它们从小到大排列______． 3．若要说明命题“若，则”是假命题，c的值可以是________． 题型4一元一次不等式的定义 1．下列各式中是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．当______时，不等式是一元一次不等式． 3．若是关于的一元一次不等式，则____________． 题型5求一元一次不等式的解集 1．若有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．当______时．的值为非负数． 3．已知，满足，且，．若，则的取值范围是______． 题型6在数轴上表示不等式的解集 1．在数轴上表示不等式的解集正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知某个关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式的解集为__________． 3．若关于x的不等式的解集在数轴上表示如图，则______． 题型7求一元一次不等式的整数解 1．某村为了响应国家号召，提高人口数量，决定拿出50000元购买电视和电脑奖励本村家庭户，一台电脑3500元，一台彩电2500元，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有（   ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 2．不等式的正整数解是________． 3．如图，要使输出值大于，则输入的最小正整数是_________． 题型8求一元一次不等式解的最值 1．若关于的不等式的正整数解恰有两个，则实数的最大值为（　　） A． B． C． D． 2．如果关于x的不等式的解的最大值是4，则m的值是_____． 3．某次“学宪法，讲宪法”知识竞赛中，共有20道题，规定答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分，在这次竞赛中小聪只有1道题没答，竞赛成绩超过80分，那么小聪至多答错了___________道题； 题型9解|x|≥a型的不等式 1．若，则（   ） A． B． C． D． 2．有下列各数：①－3；②－2；③0；④5．其中能使不等式成立的为________（填序号）． 3．若关于的不等式有解，则的取值范围是__________. 题型10列一元一次不等式 1．“x与2的差的3倍是非负数”，用不等式可表示为（   ） A． B． C． D． 2．小聪用120元钱去购买笔记本和钢笔共20件，已知每本笔记本5元，每支钢笔7元，设小聪能买x支钢笔．则可列不等式为 ____________ ． 3．某树在栽种时的树围为，在生长期内平均每年增加约，以为标准线，经过年后，如果这棵树的树围______，可列出不等式，则横线处应填（    ）． A．超过标准线 B．低于标准线 C．不超过标准线 D．不低于标准线 题型11用一元一次不等式解决实际问题 1．某品牌的液晶电视机进价为5600元，由于商场搞活动，按定价的9折销售时，利润不能低于700元，则该电视机定价最少为（    ） A．5000元 B．6000元 C．7000元 D．8000元 2．某学校准备在商场购买每个50元的甲足球和每个70元的乙足球共50个，并且购进乙足球数量不少于甲足球数量的，则最省钱的购买方案是（   ） A．甲25个，乙25个 B．甲26个，乙24个 C．甲27个，乙23个 D．甲28个，乙22个 3．某种商品的进价为300元，出售时标价为500元，后由于商品滞销，但要保持利润率不低于，则至多可打______折． 题型12用一元一次不等式解决几何问题 1．等腰三角形的边长是整数，周长是10，则这样的等腰三角形的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．在中，，若其周长为，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．“剪纸”是我国一项传统民间艺术，现有一张正方形纸片，用剪刀沿着一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，沿着一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿着一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分，…以此类推，为了得到7个十一边形和一些多边形纸片，则至少要剪_______ 刀． 巩固提升 一、解答题 1．用不等式表示下列不等关系： (1)a的5倍加上b小于2； (2)m的与n的的和是非负数； (3)x的2倍减去x的不大于11． 2．先认真阅读小明解不等式的过程，再解答问题． 解：去分母，得，① 去括号，得，② 移项，得，③ 合并同类项，得，④ 系数化为1，得．⑤ (1)以上求解过程中，去分母的依据是___________________． (2)第_____________（填序号）步出现错误，错误的原因是___________________． (3)该不等式的正确解集为_____________，请在数轴上表示该解集． 3．若关于的不等式的解集与不等式的解集相同，求的值． 4．求不等式的最小整数解． 5．先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题．①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或．②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有大于且小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． (1)的解集为______； (2)解不等式； (3)解不等式． 6．定义一种新运算：，例如：．根据上述定义， (1)若，求及其平方根． (2)的计算结果落在如图所示的范围内，求的最小整数值． 7．小明一家假期开自家小客车外出自驾游，发现某公路上对行驶汽车的速度有如图所示的规定，设此段公路上小明家驾驶的速度为v（千米/小时） 最高限速： （千米/小时） 小客车 120 大型客车 100 货车 90 最低限速（千米/小时） 60 (1)用不等关系写出此段公路v应满足的条件； (2)小明家11:20距离此段公路上A地 70千米，要在12:00点前驶过A地，匀速行驶状态求小明家车速应满足什么条件? 8．一副直角三角板如图1放置，，，，它们的斜边在同一直线上，为边上一点，三角板绕点按顺时针方向旋转． (1)当________时，；当________时，； (2)设交边于点，交直线于点，记为，为． ①如图2，当，求的值； ②当时，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $