第11讲 不等式及其性质（3知识点+5大题型+过关测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材北师大版

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第11讲不等式及其性质 风内容导航 一一预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 01析教材学知识 ☑知识点1：不等式的概念 般地，用“<”、“>”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式.用“≠”表示不等关 系的式子也是不等式. 特别说明： ()不等号“<”或“>”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大 (2)五种不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪 “≠” 读作“不等于” 个大，哪个小 “<” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “>” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “≤” 读作“小于或等于即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥” 读作“大于或等于即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 (3)有些不等式中不含未知数，如3<4，-1>-2；有些不等式中含有未知数，如2x>5中，x表示未知数， 对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我 们说不等式成立，否则，不等式不成立， ☑知识点2：不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变. 用式子表示：如果a>b,那么a士c>b±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 1/6 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 用式于表示：如果a>b,c>0,那么ac>ic(或>). CC 不等式的基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 用式子表示：如果a>h,c<0,那么ac<bc(或<b)。 特别说明：不等式的基本性质的掌握注意以下几点： (1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系， 又有区别，注意总结、比较、体会. (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘（或除以）同一个数时， 必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变， ☑知识点3：不等式的解与解集 1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解， 2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集. 注意： 不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围 是一个集合，是一个范围.其含义： 不等式的解集 ①解集中的每一个数值都能使不等式成立； ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中 02 练题型强知识 【题型1不等式的定义】 例1.(24-25八年级上·浙江绍兴期中)以下表达式：①4x+3y≥0；②a>3;③x2+y;④a2+b2=c2 ;⑤x≠5.其中不等式有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 例2.下列式子中，是不等式的有() ①x=1;②3x+4y>0;③-2<0；④2x-3≥0；⑤y>1;⑥m+n A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 变式1.在下列数学表达式中：①-3<0：②a+b>0:③x=2:④x≠5：⑤x+2≤y+3.不等式的个数是() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 变式2.式子：①3<5；②4x+5>0;③x=3;④x2+x;⑤；⑥x+2≥x+1.其中是不等式的有(). A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【题型2列不等式】 2/6 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 例3.a的平方减去2的差不大于a与b的乘积，用不等式表示为」 例4.x与5的差不小于x的3倍”用不等式表示为」 变式1.列不等式表示下列数量关系：c的一半与d的差不小于-3： 变式2.用不等式表示“x的平方与a的平方之差不是正数"为 【题型3不等式的基本性质】 例5.(24-25八年级上湖南怀化期末)下列命题中，正确的是() A.若a>b,c>b,则a>c B.若a>b,则=2-a>-2-b C.若a>b,则-5a+1>-5b+1 D.若a>b,则-3a<-3b 例6.已知m<n,那么下列各式中，不一定成立的是() A.3m<3n B.3-m>3-n C.m-3<n-3 D.m2<mn 变式1.(24-25八年级上浙江阶段练习)己知x≤y,下列式子中成立的是() A.x+2≤y-2 C.x-2≤y+2 D.-2x≤-2y 变式2.(24-25八年级上浙江温州期中)下列命题中，正确的是() A.若a>b,c>b,则a>c B.若a>b,则2-a>2-b C.若a>b,则-5a+1<-5b+1 D.若a>b,则-3a>-3b 【题型4不等式的解与解集】 例7.下列说法中正确的是( A.x=1是不等式2x<3的一个解 B.x=1是不等式2x<3的解集 C.x=1是不等式2x<3的唯一解 D.x=1不是不等式2x<3的解 例8.下列说法中，正确的是() A,x=1是不等式3x>5的解 B.x=2是不等式3x>5的唯一解 C.x=2是不等式3x>5的解集 D.x=2是不等式3x>5的一个解 变式1.下列说法正确的是() A.不等式x<0的解是x=0 B.不等式x<0的解是x=-1 C.x=0是不等式x<0的一个解 D.x=-1是不等式x<0的一个解 变式2.下列说法正确的有() ①-4不是不等式-2x<8的解； ②不等式-2x>8的解集是x<-4; ③不等式x<-4的负数解有无限多个： ④不等式x>-4的负数解有无限多个. 3/6 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【题型5利用不等式的基本性质解不等式并在数轴上表示】 例9.将下列不等式化成x>a或x<a的形式，并将解集在数轴上表示出来： (1)x+3<-1; (2)3x>27; 创2， 例10.将下列不等式化为“x>a”或“x<a"的形式. (1)x+6>9; 4 (2)-2x 3 (3)3x<2x-8. 变式1.利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集. (1)4x-9<-5 (2)-2x2x+6; 6)4r-2x≥2 6 4-1、2 -> 63 变式2.根据不等式的基本性质，请将下列不等式化为“x>a”或“x<a"的形式. (1)x-4>3; (2）2x-3<x-2: 6)2x+1>-3: (4)-2x-4<4x+4. 03串知识识框架 4/6 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 一般地，用”<"、“>"、“≤"或≥"表示大小关系的式子 叫做不等式.用”+"表示不等关系的式子也是不等式. 知识点1：不等式的概念 不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个 数（或式子），不等号的方向不变· 不等式的基本性质2：不等式两边都乘（或除以）同 一个正数，不等号的方向不变。 不等式及其性质 知识点2：不等式的基本性质 不等式的基本性质3：不等式两边乘（或除以同一 个负数，不等号的方向改变， 不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫 做不等式的解 知识点3：不等式的解与解集 不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式， 它的所有解组成这个不等式的解集. 04过关测稳提升 一、单选题 1.（24-25七年级下·全国·课后作业)x=1不是下列哪个不等式的解（) A.2x+1>4 B.2x-1>0 C.2x+3≥5 D.-2x+1<1 2.(24-25八年级下广东清远期末)在下列数学式子：①-2<0，②2x-5>0,③b=2,④x2-x,⑤ 3x+2y≥0中，是不等式的有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3.(2025八年级上全国.专题练习)下列说法不一定成立的是() A.若ac2>bc2,则a>b B.若a>b,则ac2>bc2 C.若a+c>b+c,则a>b D.若a>b,则a+c>b+c 4.(24-25七年级下·安微六安期末)x与y之和的平方不大于5，用不等式表示为（) A.x2+y2≤5B.x2+y2≥5 C.(x+y2≤5 D.（x+y)≥5 5.(25-26七年级上浙江绍兴期中)如果关于x的不等式(a+1)x<a+1的解集为x<1,那么a的取值范围 是() A.a<0 B.a>0 C.a>-1 D.a<-1 6.(24-25七年级下.全国·课后作业)下列说法中，正确的是(). A.方程4+x=8和不等式4+x>8的解是一样的 B.x=2不是不等式4x>5的解 C.x=4是不等式4x>15的一个解 D.x=1是不等式x-2<6的解集 二、填空题 7.(25-26八年级上·四川巴中·期中)若√x-5有意义，则x的取值范围是 8.(25-26八年级上浙江金华期中)若x≤y,则2-2x 2-2y(选择用适当的不等号填空) 9.(25-26八年级上·浙江宁波期中)“a与1的差小于b的2025倍”用不等式表示为一 5/6 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 10.(24-25七年级下，全国·课后作业)有下列式子：①a(b+c=ab+ac;②4>0；③x≠5；④2a>b+1; ⑤x-2y+y;⑥2x-3>6.其中是不等式的有 个 11.(24-25七年级下·全国课后作业)有下列说法：①若a>b,则ac3>bc3;②若a+b>2b+1,则a>b; ③若a>b,且c=d,则ac>bd;④若ac2>bc2,则a>b.其中正确的是 (填序号). 12.(24-25七年级下·江苏徐州月考)若不等式x≤2的解都是不等式x≤n的解，则的取值范围是 三、解答题 13.(25-26七年级下，全国课后作业)用不等式表示下列数量关系： (1)x的2倍与3的和小于15. (2y的一半与1的差是负数， (3)3x与1的和不小于6. 14.(25-26七年级上·上海月考)当x>y时，比较-3x+5与-3y+5的大小，并说明理由.请将下面的解题 过程补充完整，括号内填写该步骤用到的不等式性质 (1)x>y,-3<0, ∴.-3x-3y( -3x+5-3y+5( (2)若(a-3)x<(a-3)y,则a的取值范围为 ·(直接写出答案) 15.(25-26七年级下·全国·课后作业)把下列不等式化为“x>a”或“x<a”的形式： (1)x-5<9; (2)6x<4x-2; 3)2x>x+4; 3 (4)-4x<x+5; ⑤+1>x: 网24 16.(24-25八年级下·江西景德镇·期中)关于x的两个不等式+1<7-2x与-1+x<a. (1)若两个不等式解集相同，求a的值； (2)若不等式x+1<7-2x的解都是-1+x<a的解，求a的取值范围. 6/6 第11讲 不等式及其性质 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：不等式的概念 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 特别说明： (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2)五种不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 “≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 (3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 知识点2：不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 特别说明： 不等式的基本性质的掌握注意以下几点： (1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变． 知识点3：不等式的解与解集 1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 注意： 不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集 是一个集合，是一个范围．其含义： ①解集中的每一个数值都能使不等式成立； ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中 【题型1 不等式的定义】 例1．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）以下表达式：；；；；．其中不等式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】不等式的定义 【分析】本题主要考查了不等式的定义，根据不等式的定义进行判断即可，熟知用不等号连接的式子是不等式是解本题的关键． 【详解】解：是不等式； 是不等式； 是整式； 是等式； 是不等式； 综上：是不等式，共个， 故选：． 例2．下列式子中，是不等式的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】不等式的定义 【分析】本题考查的是不等式的定义：用不等号连接的式子都叫做不等式．根据不等式的定义对各式子进行解答即可． 【详解】解：①，不含有不等号，不是不等式，不符合题意； ②，是不等式，符合题意； ③，是不等式，符合题意； ④，是不等式，符合题意； ⑤，是不等式，符合题意； ⑥不含有不等号，不是不等式，不符合题意． 故选：C． 变式1．在下列数学表达式中∶⑤．不等式的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】不等式的定义 【分析】由不等号，，，，连接的式子叫不等式．本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：不等式有：①；②；④；⑤； ∴共有4个． 故选：C． 变式2．式子：①；②；③ ；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（　　）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】不等式的定义 【分析】本题考查不等式的定义，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫作不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：． 【详解】解：①；②；⑤；⑥是不等式， ∴共个不等式． 故选：． 【题型2 列不等式】 例3．a的平方减去2的差不大于a与b的乘积，用不等式表示为 ． 【答案】 【知识点】不等式的定义 【分析】根据题意，选择正确的不等号，列出不等式即可，本题考查了不等式的应用，熟练掌握不等式的应用是解题的关键． 【详解】根据题意，得， 故答案为：． 例4．“x与5的差不小于x的3倍”用不等式表示为 ． 【答案】/ 【知识点】不等式的定义 【分析】本题考查了把文字语言转化为数学语言，理解好题意是解题关键． 根据x与5的差不小于x的3倍，可知x与5的差大于等于x的3倍，从而可以用相应的不等式表示出来. 【详解】解：“x与5的差不小于x的3倍”用不等式表示为， 故答案为：. 变式1．列不等式表示下列数量关系：c的一半与d的差不小于： ． 【答案】 【知识点】不等式的定义 【分析】本题考查了列不等式．读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．c的一半即，与d的差即，不小于用连接，然后可得不等式．． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 变式2．用不等式表示“x的平方与a的平方之差不是正数”为 ． 【答案】 【知识点】不等式的定义 【分析】本题考查了列不等式，根据“x与a的平方差不是正数”，即“x与a的平方差小于等于0”即可． 【详解】解：x与a的平方差不是正数可表示为： 故答案为： 【题型3 不等式的基本性质】 例5．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）下列命题中，正确的是 （    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键；根据不等式的性质：（1）不等式两边都加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． （2）不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． （3）不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A、和均大于，但不一定大于，故选项错误； B、不等式两边同时乘以负数，不等号方向应改变，加减法不改变不等号的符号，故选项错误； C、不等式两边乘以负数，不等号方向改变，加减法不改变不等号的符号，故选项错误； D、不等式两边同时乘以负数，不等号方向应改变，故选项正确； 故选：D 例6．已知，那么下列各式中，不一定成立的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】根据不等式性质2，可判断A，根据不等式性质3与不相似性质1可判断B，根据不等式性质1可判断C，根据m的符号分类讨论可判断D． 【详解】解：A. ∵，∴，故该选项正确，不符合题意； B. ∵，∴，∴，故该选项正确，不符合题意； C. ∵，∴，故该选项正确，不符合题意； D. 当，∴， 当，，∴， 当，，∴， 故选项D不一定成立， 故选：D． 变式1．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）已知，下列式子中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向．根据不等式的基本性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、由，可得，原不等式不成立，不符合题意； B、由，可得，原不等式不成立，不符合题意； C、由，可得一定成立，符合题意； D、由，可得，原不等式不成立，不符合题意； 故选：C． 变式2．（24-25八年级上·浙江温州·期中）下列命题中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键； 根据不等式的性质：（1）不等式两边都加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． （2）不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． （3）不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A、和均大于，但不一定大于，故选项错误 B、不等式两边同时乘以负数，不等号方向应改变，加减法不改变不等号的符号，故选项错误； C、不等式两边乘以负数，不等号方向改变，加减法不改变不等号的符号，故选项正确； D、不等式两边同时乘以负数，不等号方向应改变，故选项错误； 故选：C 【题型4 不等式的解与解集】 例7．下列说法中正确的是（　　） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．是不等式的唯一解 D．不是不等式的解 【答案】A 【知识点】不等式的解集 【分析】本题考查了一元一次不等式得解和解集，熟练掌握定义是解题的关键； 根据解集和解得定义去判定即可． 【详解】， ， A、符合条件，是不等式的一个解，故选项符合题意； B、解集是一个范围，而是一个固定值，故选项不符合题意； C、解集是一个范围，所以不是不等式的唯一解，故选项不符合题意； D、符合条件，是不等式的一个解，故选项不符合题意； 故选：A． 例8．下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 【答案】D 【知识点】不等式的定义、不等式的解集 【分析】本题考查了不等式，解集，唯一解，一个解的定义的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 所有满足不等式的数的全体称为这个不等式的解集，(是不等式解集中的一个数)我们仅可以说它是满足这个不等式的一个解，所有解的全体称为解集，解集中的一个数称为不等式的一个解，当不等式的解有且只有一个时，则称它为这个不等式的唯一解，根据解集，唯一解，一个解的定义，以此判断四个选项即可选出正确答案． 【详解】解：解不等式， 可得． A.由于，故不是不等式的解，故选项错误； B.由于，故是不等式的一个解，但不是唯一解，故选项错误； C.由于，故不是不等式的一个解，但不是解集，故选项错误； D.由于，故不是不等式的一个解，故选项正确； 故选D． 变式1．下列说法正确的是（　　） A．不等式的解是 B．不等式的解是 C．是不等式的一个解 D．是不等式的一个解 【答案】D 【知识点】不等式的解集 【分析】本题考查不等式的解和解集的定义．根据不等式的解集的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、不是不等式的解，故本选项不符合题意； B、不等式的解是所有小于0的数，故本选项不符合题意； C、不满足，故本选项不符合题意； D、是不等式的一个解，故本选项符合题意． 故选：D． 变式2．下列说法正确的有（　　） ①不是不等式的解； ②不等式的解集是； ③不等式的负数解有无限多个； ④不等式的负数解有无限多个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】此题主要考查了不等式的解的定义，以及不等式的解集的定义，关键是熟练掌握两个定义．根据不等式的解的定义：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；不等式的解集的定义：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集，进行分析即可得到答案． 【详解】①不等式的解集为：， ∴不是不等式的解，正确； ②不等式的解集是，正确； ③不等式的负数解有无限多个，正确； ④不等式的负数解有无限多个，正确． 综上分析可知，此题正确的说法有4个． 故选：D． 【题型5 利用不等式的基本性质解不等式并在数轴上表示】 例9．将下列不等式化成或的形式，并将解集在数轴上表示出来： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3)，见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【详解】（1）解： 两边都减3，得， 在数轴上表示解集为： （2）解：， 两边都除以3，得， 在数轴上表示解集为： （3）解：， 两边都乘，得， 在数轴上表示解集为： 例10．将下列不等式化为“”或“”的形式． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的基本性质： （1）不等式两边同时减去6，即可求解； （2）不等式两边同时除以，即可求解； （3）不等式两边同时减去，即可求解； 熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】（1）解：不等式两边同时减去6， 得：， 解得：． （2）不等式两边同时除以， 得：， 解得：． （3）不等式两边同时减去， 得：， 解得：． 变式1．利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集． (1) (2)； (3) (4) 【答案】(1)，见详解 (2)，见详解 (3)，见详解 (4)，见详解 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式以及在数轴上表示解集． （1）按照解一元一次不等式的步骤解不等式，然后在数轴上表示出解集即可． （2）按照解一元一次不等式的步骤解不等式，然后在数轴上表示出解集即可． （3）按照解一元一次不等式的步骤解不等式，然后在数轴上表示出解集即可． （4）按照解一元一次不等式的步骤解不等式，然后在数轴上表示出解集即可． 【详解】（1）解： 不等式两边同时加9，得，即， 不等式两边同时除以4，得， 在数轴上的表示如下： （2） 不等式两边同时减x，得， 不等式两边同时除以，得， 在数轴上的表示如下图所示． （3） 不等式可变为， 不等式两边同时除以，得， 在数轴上的表示如下图所示． （4） 不等式两边同时乘以6，得， 不等式两边同时加1，得， 在数轴上的表示如下图所示． 变式2．根据不等式的基本性质，请将下列不等式化为“”或“”的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）根据不等式的性质变形即可． （2）根据不等式的性质变形即可． （3）根据不等式的性质变形即可． （4）根据不等式的性质变形即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ （2）∵， ∴， ∴ （3）∵ ∴ ∴， ∴ （4）∵ ∴， ∴， ∴． 一、单选题 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）不是下列哪个不等式的解（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解，使不等式成立的未知数的值就是不等式的解． 把代入不等式，使不等式成立就是不等式的解，反之，则不是不等式的解． 【详解】解：A．当时，∵，∴不是不等式的解，故本选项符合题意； B．当时，∵，∴是不等式的解，故本选项不符合题意； C．当时，∵，∴是不等式的解，故本选项不符合题意； D．当时，∵ ，∴是不等式的解，故本选项不符合题意． 故选：A． 2．（24-25八年级下·广东清远·期末）在下列数学式子：①，②，③，④，⑤中，是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的定义， 根据不等式的定义，用不等号（如）连接的式子属于不等式，逐一判断每个式子是否符合条件． 【详解】解：① 使用了“<”，是不等式； ② 使用了“>”，是不等式； ③ 是等式，不是不等式； ④ 是代数式，不含不等号，不是不等式； ⑤ 使用了“≥”，是不等式． 故选：B． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）下列说法不一定成立的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质“性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，熟练掌握不等式的性质是解题关键．根据不等式的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴（不等式两边除以同一个正数，不等号的方向不变），则此项一定成立，不符合题意； B、当时，，则， 当时，， ∴若，则（不等式两边乘以同一个正数，不等号的方向不变）， 综上，此项不一定成立，符合题意； C、若，则（不等式两边减去同一个数（或式子），不等号的方向不变），则此项一定成立，不符合题意； D、若，则（不等式两边加上同一个数（或式子），不等号的方向不变），则此项一定成立，不符合题意； 故选：B． 4．（24-25七年级下·安徽六安·期末）与之和的平方不大于5，用不等式表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出不等式，与之和可表示为：；与之和的平方可表示为；不大于可表示为：，由此可得出不等式． 【详解】解：根据题意得：与之和的平方不大于5，用不等式表示为， 故选：C． 5．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查不等式的基本性质，注意系数正负对不等号方向的影响．根据不等式解集的形式，可知除系数时不等号方向不变，因此系数必须为正数，即可求解． 【详解】解：∵不等式的解集为， ∴除以后不等号方向不变， ∴， ∴， 故选：C． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（   ）． A．方程和不等式的解是一样的 B．不是不等式的解 C．是不等式的一个解 D．是不等式的解集 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的解，熟练掌握不等式的解是解题的关键；因此此题可根据不等式的解进行排除选项． 【详解】解：A、方程和不等式的解是不一样的，故原说法错误； B、是不等式的解，故原说法错误； C、是不等式的一个解，故原说法正确； D、不是不等式的解集，故原说法错误； 故选C． 二、填空题 7．（25-26八年级上·四川巴中·期中）若有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零即可解答． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·浙江金华·期中）若，则 (选择用适当的不等号填空) 【答案】 【分析】本题考查了不等式的基本性质．根据不等式的基本性质，由，两边同乘负数时不等号方向改变，再同加一个数不等号方向不变，从而得到与的关系． 【详解】解：， 不等式两边同乘(负数)，不等号方向改变，得， 再不等式两边同加，不等号方向不变，得． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）“a与1的差小于b的2025倍”用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了由实际问题列出不等式，关键是要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． “a与1的差”表示为，“小于”用<表示，“b的2025倍”表示为． 【详解】解：由题意得，． 故答案为：． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了不等式，用符号“”（或“”），“”（或“”），“”连接的式子叫做不等式．根据不等式的定义逐个分析即可． 【详解】解：①是等式，②是不等式，③是不等式，④是不等式，⑤是代数式，不是不等式，⑥是不等式， 故不等式有4个， 故答案为：4． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列说法：①若，则；②若，则；③若，且，则；④若，则．其中正确的是 （填序号）． 【答案】②④ 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 根据不等式的性质逐项判断即可得出答案． 【详解】解：若，当时，，∴①说法错误； 若，根据不等式的性质1，得，则，∴②说法正确； 若，当时，根据不等式的性质3，得，∴③说法错误； 若，可知，故，根据不等式的性质2，得，∴④说法正确． 故答案为：②④． 12．（24-25七年级下·江苏徐州·月考）若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】考核知识点：不等式组的解集．理解不等式组的解集意义是关键． 根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则说明n不能小于2．即． 【详解】根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则n的取值范围是． 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式表示下列数量关系： (1)x的2倍与3的和小于15． (2)y的一半与1的差是负数． (3)与1的和不小于6． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查将实际数量关系转化为数学不等式的能力，核心在于准确理解关键词语（如“倍”“和”“差”“小于”“不小于”等），并正确运用代数表达式进行建模． （1）“x的2倍”表示为，“与3的和”表示再加上3，即，“小于15”意味着该表达式的值比15小，用不等号“”连接，即可列出不等式； （2）“y的一半”表示为，“与1的差”表示减去1，即，“是负数”表示该表达式小于0，即可列出不等式； （3）“与1的和”表示为，“不小于6”意味着该不等式大于或等于6，用不等号“”连接，即可列出不等式． 【详解】（1）解：由题意，得． （2）解：由题意，得． （3）解：由题意，得． 14．（25-26七年级上·上海·月考）当时，比较与的大小，并说明理由．请将下面的解题过程补充完整，括号内填写该步骤用到的不等式性质． (1)∵，， ∴_____（__________） ∴_____（_________）． (2)若，则a的取值范围为_______．（直接写出答案） 【答案】(1)，不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变；，不等式的两边都加上同一个数，不等号的方向不变 (2) 【分析】本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的性质是解答的关键． （1）根据不等式的性质求解即可． （2）由得到，可得，进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴（不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变） ∴（不等式的两边都加上同一个数，不等号的方向不变）． （2）解：∵且， ∴， 解得：． 15．（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列不等式化为“”或“”的形式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了不等式的性质，准确的计算是解决本题的关键． （1）根据不等式的性质进行作答即可； （2）根据不等式的性质进行作答即可； （3）根据不等式的性质进行作答即可； （4）根据不等式的性质进行作答即可； （5）根据不等式的性质进行作答即可； （6）根据不等式的性质进行作答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 16．（24-25八年级下·江西景德镇·期中）关于x的两个不等式x+1<7−2x与−1+x<a． (1)若两个不等式解集相同，求a的值； (2)若不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求a的取值范围． 【答案】(1)a=1； (2)a≥1． 【分析】（1）求出第二个不等式的解集，表示出第一个不等式的解集，由解集相同求出a的值即可； （2）根据不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求出a的范围即可． 【详解】（1）解：由x+1<7−2x得：x＜2， 由−1+x<a得：x＜a+1， 由两个不等式的解集相同，得到a+1=2， 解得：a=1； （2）解：由不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解， 得到2≤a+1， 解得：a≥1． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $