精品解析：山东德州市第五中学2025-2026学年度第二学期校本寒假作业验收九年级数学试题

2025－2026学年第二学期九年级数学校本寒假作业验收 一、选择题（每小题4分共40分） 1. “九达天衢”写成篆体，四个篆体字中可以看作轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的定义，正确理解轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后，两部分完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、“九”写成篆体后，整体形状不对称，找不到一条直线，使该字沿此直线对折后两部分完全重合，不是轴对称图形； 选项B、“达”写成篆体后，左右两侧形状不一致，找不到一条直线，使该字沿此直线对折后两部分完全重合，不轴对称图形； 选项C、“天”写成篆体后，能找到一条直线，使该字沿中间竖直方向对折后两部分完全重合，是轴对称图形； 选项D、“衢”写成篆体后，左右结构不对称，找不到一条直线，使该字沿此直线对折后两部分完全重合，不是轴对称图形； 故选：C． 2. 反比例函数y＝图象的每条曲线上y都随x增大而增大，则k的取值范围是(　　) A. k＞1 B. k＞0 C. k＜1 D. k＜0 【答案】A 【解析】 【分析】对于函数y=来说，当k＜0时，每一条曲线上，y随x的增大而增大；当k＞0时，每一条曲线上，y随x的增大而减小． 【详解】解：∵反比例函数y＝的图象上的每一条曲线上，y随x的增大而增大， ∴1－k＜0， ∴k＞1. 故选A. 【点睛】本题考查反比例函数的增减性的判定．在解题时，要注意整体思想的运用．易错易混点：学生对解析式y=中k的意义不理解，直接认为k＜0，造成错误． 3. 如果关于的一元二次方程没有实数根，那么的取值是( ) A. 且 B. < C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程没有实数根可得，结合二次项系数不等于0，即可得出答案. 【详解】由题意得，且， 解得 故选B. 【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数，熟练掌握时一元二次方程无实数根是解题的关键. 4. 小星购买了“二十四节气”邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的一张送给好朋友小红．小星将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），将邮票洗匀后，让小红从中随机抽取一张，则小红抽到的邮票恰好是“立夏”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求概率，直接利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，小红抽到的邮票恰好是“立夏”的概率是； 故选：C． 5. 把函数的图象向右平移2个单位，所得到的新函数的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是函数图象的平移，根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答． 【详解】解：二次函数的图象向右平移2个单位， 得：． 故选：B． 6. 如图，A，B，C，三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点A逆时针旋转得到，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD中求tanB． 【详解】过C点作，垂足为D 则根据旋转性质可知， 在中， 所以 故选B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法． 7. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的全面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆锥的计算，掌握弧长计算公式、圆锥的侧面积计算公式和圆的面积计算公式是解题的关键． 根据弧长公式及圆锥的侧面积公式求出圆锥的侧面积，再根据圆的面积公式求出圆锥的底面积，从而根据“圆锥的全面积=侧面积+底面面积”计算即可． 【详解】解：圆锥侧面展开图扇形的弧长为， ∴圆锥的侧面积为， 圆锥底面圆的半径为． ∴圆锥的底面积为． ∴圆锥的全面积是． 故选：C． 8. 若点都在反比例函数的图像上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将三点坐标分别代入函数解析式求出，然后进行比较即可． 【详解】将三点坐标分别代入函数解析式，得： ，解得； ，解得； ，解得； ∵-8<2<4， ∴， 故选： B． 【点睛】本题考查反比例函数，关键在于能熟练通过已知函数值求自变量． 9. 如图，等边三角形的边长为4，的半径为，为边上一动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】连接、，过点作于点，根据切线的性质可得，则，当，最小，则取最小值，求出的最小值即可得解． 【详解】解：如图，连接、，过点作于点， ∵是的切线， ∴， 在中，， ∴当，最小，则取最小值， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 10. 如图点A，C在反比例函的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为（ ） A. B. 1 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是：根据题意列出等量关系式．设，两点的坐标分别为 、 ，根据点与点的横坐标相同，点与点的横坐标相同，得到点B的坐标为，点D的坐标为，由，，得到，根据与的距离为5，把代入中，即可求解． 【详解】解：设，两点的坐标分别为 、 ， ∵轴， ∴点与点的横坐标相同，点与点的横坐标相同， ∴点B的坐标为，点D的坐标为， ∵，， ∴ ， 解得 ， ∵与的距离为5， ∴ ， 把代入中，得： ， 即， 解得：， 故选：D． 二、填空题（每小题4分共20分） 11. 在平面直角坐标系中，将点P（－9，－5）以原点O为旋转中心，顺时针旋转，得到点P1，则点P1的坐标是___________ 【答案】P′（-5，9）． 【解析】 【分析】如图，作PE⊥x轴于E，P′F⊥x轴于F．利用全等三角形的性质解决问题即可． 【详解】解：如图，作PE⊥x轴于E，P′F⊥x轴于F． ∵∠PEO=∠OFP′=∠POP′=90°， ∴∠POE+∠P′OF=90°，∠P′OF+∠P′=90°， ∴∠POE=∠P′， ∵OP=OP′， ∴△POE≌△OP′F（AAS）， ∴OF=PE=5，P′F=OE=9， ∴P′（-5，9）． 故选：A． 【点睛】本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 12. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，与位似，原点是位似中心，若，则_____． 【答案】6 【解析】 【分析】考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 利用位似性质得到，然后把代入计算即可． 【详解】解：∵与位似，原点O是位似中心， ∴，即， ∴． 故答案是：6． 13. 如图，菱形中，分别以点，为圆心，，长为半径画弧，分别交对角线于点，．若，，则图中阴影部分的面积为_________．（结果不取近似值） 【答案】 【解析】 【分析】连接BD交AC于点G，证明△ABD是等边三角形，可得BD＝2，然后根据菱形的性质及勾股定理求出AC，再由S阴影＝S菱形ABCD－S扇形ADE－S扇形CBF得出答案． 【详解】解：连接BD交AC于点G， ∵四边形是菱形， ∴AB＝AD＝2，AC⊥BD， ∵， ∴△ABD是等边三角形，∠DAC＝∠BCA＝30°， ∴BD＝2， ∴BG＝， ∴， ∴AC＝， ∴S阴影＝S菱形ABCD－S扇形ADE－S扇形CBF＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积公式等，在求阴影部分面积时，能够将求不规则图形的面积转化为求规则图形的面积是解题的关键． 14. 如图所示，矩形的边在轴上，在轴上，反比例函数的图象经过边上的点和边上的点，若恰好是的中点，其坐标为，连接、，则四边形的面积为__________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数系数k的几何意义，根据点D的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，再根据点D为线段的中点即可找出点B的坐标，根据k值几何意义得出求解即可． 【详解】解：∵D坐标为，点D在反比例函数的图象上， ∴， ∵D好是的中点， ∴点B的坐标为 ， ∵四边形为矩形，点D、E在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故答案为：20． 15. 取直线上一点，①过点作轴垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数规律探究；根据题意可以写出点、、、的坐标，从而可以发现各点的变化规律，从而可以写出点的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点的横坐标为1， ∴点的坐标为， ∴点的纵坐标为1， ∴点的坐标为， 同理点的横坐标为， ∴点的坐标为， 点的坐标为， ∴四个点一个循环， ∵余1， ∴点的坐标与点相同，是， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 三、解答题（共90分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 解：因式分解,得，即， ∴或， 解得，． 【小问2详解】 解：原式． 17. 甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为________． （2）小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了概率公式及列表法或画树状图的方法求概率，理解题意是解决本题的关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）通过画树状图，可得共有12种等可能结果，其中，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词一共有2种，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：一共有文、明、自、由，4张卡片，小明从中随机抽取一张卡片， ∴抽取卡片上的文字是“文”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词结果有2种， ∴（两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词）． 18. 暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． （1）求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； （2）求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用---坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点作于，根据正弦的定义求出； （2）过点作于，根据矩形的性质求出，进而求出，再根据正弦的定义计算即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作于， 在中，，m， 则m， 答：小明一家步行上升的垂直高度约为； 【小问2详解】 解：如图，过点作于， 则四边形为矩形， ， ， ， 在中，， 则， 答： 缆车的行驶路线的长约为． 19. 小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图像，并把矩形直尺放在上面，如图． 请根据图中信息，求： （1）反比例函数表达式； （2）点C坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数、锐角三角函数： （1）设反比例函数表达式为，将点A的坐标代入表达式求出k值即可； （2）设点C的坐标为，则，，根据平行线的性质得，进而根据求出m的值即可． 【小问1详解】 解：由图可知点A的坐标为， 设反比例函数表达式为， 将代入，得：，解得， 因此反比例函数表达式为； 【小问2详解】 解：如图，作轴于点E，轴于点D， 由图可得，， 设点C的坐标为，则，， ， 矩形直尺对边平行， ， ， ，即， 解得或， 点C第二象限， ，， 点C坐标为． 20. 如图， 在中，是直径，是弦，且于点 E，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理． （1）根据垂径定理得出，根据圆周角定理，即可得出答案； （2）设半径为r， 则，根据垂径定理得，即，然后求出结果即可． 【小问1详解】 证明：∵，是直径， ， ∴； 【小问2详解】 解：设半径为r， 则， ∵，是直径， ∴， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 即半径为5． 21. 某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价、日销售量、日销售利润的部分对应数据如下表所示．【注：日销售利润日销售量（销售单价成本单价）】 销售单价x（元） 日销售量y（件） 日销售利润w（元） （1）填空：该商品的成本单价是___________元，表中a的值是___________． （2）求该商品日销售利润的最大值． （3）由于某种原因，该商品进价降低了m元/件（）．该商店在今后的销售中，规定该商品的销售单价不低于元，日销售量与销售单价仍然满足上表中的函数关系．若日销售利润最大是元，求m的值． 【答案】（1）， （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）根据日销售利润日销售量（销售单价成本单价）即可求解； （2）根据二次函数的顶点式即可求解； （3）根据日销售利润日销售量（销售单价成本单价），把销售的最大利润代入即可求解． 【小问1详解】 解：设该产品的成本单价是n元， 根据题意得：， 解得：， ． 【小问2详解】 设日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足的一次函数关系为， 把，代入得：， 解得：， 一次函数解析式为， 根据题意，得， ， ， ，抛物线开口向下， 当时，w最大，最大值为． 【小问3详解】 设利润为元，根据题意可得： ， ， 销售单价不低于元，即， ， 对称轴为： ， ， ，且开口向下， 随x的增大而减小， 当时，取最大值为， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握销售问题的数量关系． 22. 如图，已知矩形，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，其中，，点以每秒1个单位的速度从点出发在射线上运动，连接，作交轴于点，连接交于点，设运动时间为秒． （1）若平分时，则______； （2）当时，求点的坐标； （3）在运动的过程中，是否存在以，，为顶点的三角形与相似．若存在，请求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2 （2）点E的坐标为 （3）t的值为或，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）证是等腰直角三角形，得，即可得出结论； （2）证，则，得，即可得出点E的坐标． （3）本题需先证出，求出，再分“当点P在点O上方时和当点P在点O下方时”两种情况讨论，求出t的值即可． 【小问1详解】 解：在矩形中，， 由题意可知：， 当平分时，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴点E的坐标为； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 当点P在点O上方时，，如图， 此时， 故只能是满足条件， ∴， ∵，， ∴， 解得：，(不合题意，舍去)， ∴； 当点P在点O下方时，，如图，此时，， ①若，则， ∴， 解得：，(不合题意，舍去)， ∴； ②若，则， ∴， 整理得：， ∴这种情况不成立； 综上所述，在运动的过程中，存在以P、O、E为顶点的三角形与相似，t的值为或． 23. 已知抛物线(，为常数)经过点． （1）若该抛物线与轴交于点； ①求抛物线的解析式； ②已知点，在抛物线上．若对于，恒有，求的取值范围； （2）若对于任意实数，都有．此时抛物线与直线交于、两点，求线段的最小值． 【答案】（1）①；②或 （2） 【解析】 【分析】（1）①用待定系数法求解即可； ②求出点的坐标，再根据二次函数的增减性得出点在点的左边，或点的右边，从而得到或，继而得解； （2）点代入抛物线解析式得到，结合恒成立得到恒成立，从而得到，解得，设，则是方程的两根，则，，此时验证即、两点一定存在，利用根与系数的关系和结合配方法得到，继而结合的取值范围得解． 【小问1详解】 解：①将点和代入抛物线解析式，得：， 解得， ∴解析式为； ②当时，， ∴ 要使得对于，恒有， 则点在点的左边，或点的右边， 即或， 解得或； 【小问2详解】 解：将点代入得：， ∴，抛物线解析式为 ∵恒成立，即恒成立， ∴恒成立， 即恒成立， ∴只需保证即可，解得， 设， 则是方程，即的两根， ∴，， ∵， ∴当时，、两点一定存在， ∴， ∵对称轴为直线，, ∴随着的增大而增大， ∴当时，，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第二学期九年级数学校本寒假作业验收 一、选择题（每小题4分共40分） 1. “九达天衢”写成篆体，四个篆体字中可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 反比例函数y＝图象每条曲线上y都随x增大而增大，则k的取值范围是(　　) A. k＞1 B. k＞0 C. k＜1 D. k＜0 3. 如果关于的一元二次方程没有实数根，那么的取值是( ) A. 且 B. < C. 且 D. 4. 小星购买了“二十四节气”邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的一张送给好朋友小红．小星将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），将邮票洗匀后，让小红从中随机抽取一张，则小红抽到的邮票恰好是“立夏”的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 把函数的图象向右平移2个单位，所得到的新函数的表达式是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，A，B，C，三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点A逆时针旋转得到，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的全面积是（ ） A. B. C. D. 8. 若点都在反比例函数的图像上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，等边三角形的边长为4，的半径为，为边上一动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 2 10. 如图点A，C在反比例函的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为（ ） A. B. 1 C. 5 D. 6 二、填空题（每小题4分共20分） 11. 在平面直角坐标系中，将点P（－9，－5）以原点O为旋转中心，顺时针旋转，得到点P1，则点P1的坐标是___________ 12. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，与位似，原点是位似中心，若，则_____． 13. 如图，菱形中，分别以点，为圆心，，长为半径画弧，分别交对角线于点，．若，，则图中阴影部分面积为_________．（结果不取近似值） 14. 如图所示，矩形的边在轴上，在轴上，反比例函数的图象经过边上的点和边上的点，若恰好是的中点，其坐标为，连接、，则四边形的面积为__________． 15. 取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是______． 三、解答题（共90分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为________． （2）小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率． 18. 暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． （1）求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； （2）求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 19. 小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图像，并把矩形直尺放在上面，如图． 请根据图中信息，求： （1）反比例函数表达式； （2）点C坐标． 20. 如图， 在中，直径，是弦，且于点 E，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 21. 某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价、日销售量、日销售利润的部分对应数据如下表所示．【注：日销售利润日销售量（销售单价成本单价）】 销售单价x（元） 日销售量y（件） 日销售利润w（元） （1）填空：该商品的成本单价是___________元，表中a的值是___________． （2）求该商品日销售利润的最大值． （3）由于某种原因，该商品进价降低了m元/件（）．该商店在今后的销售中，规定该商品的销售单价不低于元，日销售量与销售单价仍然满足上表中的函数关系．若日销售利润最大是元，求m的值． 22. 如图，已知矩形，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，其中，，点以每秒1个单位速度从点出发在射线上运动，连接，作交轴于点，连接交于点，设运动时间为秒． （1）若平分时，则______； （2）当时，求点的坐标； （3）在运动的过程中，是否存在以，，为顶点的三角形与相似．若存在，请求的值；若不存在，请说明理由． 23. 已知抛物线(，为常数)经过点． （1）若该抛物线与轴交于点； ①求抛物线的解析式； ②已知点，在抛物线上．若对于，恒有，求的取值范围； （2）若对于任意实数，都有．此时抛物线与直线交于、两点，求线段的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $