7.2.4诱导公式课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

该高中数学课件聚焦三角函数诱导公式，通过“已知sin26°=m求sin386°等角的三角函数值”的情境问题导入，衔接初中锐角三角函数知识，以单位圆对称性为支架，构建从具体到抽象的知识脉络。 其亮点在于通过单位圆对称性探究公式推导，培养数学思维（推理能力），口诀“奇变偶不变，符号看象限”体现数学语言简洁性，例题涵盖给角求值、证明等题型，结合三角形内角问题提升数学眼光（抽象能力、几何直观），帮助学生理解公式本质，教师可依托此资料实施探究教学，提高效率。

第七章 三角函数 7.2.4诱导公式（不同角的三角函数值之间的关系） 《人教B版2019高中数学必修第三册》 知识点 1. 口诀（最重要）： 奇变偶不变，符号看象限 2. 常用诱导公式 3.常考题型 ·给角（值）求值： 常见：已知 sinα，求 sin(π+α),cos(2π​−α) 等。 ·应用诱导公式证明 ·直接化简求值：给一个复杂角，用诱导公式化成锐角三角函数再计算。 ·三角形内角相关化简：利用 A+B+C=π， =​​ − ​ 化简。 ·与同角基本关系综合：sin2α+cos2α=1, tanα=​ 联用。 奇变偶不变：看角里的常数是的奇数倍还是偶数倍 偶数倍（π,2π 等）：函数名不变 奇数倍（​, 等）：正弦↔余弦，正切余切互换 符号看象限：把原角看作锐角，判断原函数在该象限的符号，结果就带这个符号。（角符号都看原函数的） 探究新知 在初中，我们已经知道一些锐角的三角函数值及它们之间的一些关系， 例如， sin30∘=cos60∘=，sin45∘=cos45∘= 这里我们将研究任意角的三角函数值之间的一些特殊关系. 诱导公式:不同角的三角函数值之间的关系 情景与问题 如果已知sin26∘=m，你能用m表示出sin386°，sin(-26°),sin154°,sin206°,cos 64°吗？你还能用m表示出更多角的三角函数值吗？ 情境中的问题，与本小节所要学习的诱导公式有关. 对于任意一个角α来说，α与α+k·2π(k∈Z)的终边有什么关系？由此你能得到它们的正弦、余弦、正切之间的关系吗？ 我们知道，一个角的三角函数值由它终边上不同于坐标原点的点决定，由此可知，终边相同的角，同名三角函数值相等（“同名”指同是正弦、余弦或正切，下同）.不难看出，α与α+k·2π(k∈Z)的终边相同，所以当k为整数时，有 sin(α+k·2π)=sinα, cos(α+k·2π)=cosα, tan(α+k·2π)=tanα. 1.角α与α+k·2π（k∈Z)的三角函数值之间的关系 利用上述公式，我们可以把绝对值大于2π的任意角的三角函数值问题转化为0∼2π角的同名三角函数值问题. 例如，sin386∘=sin(26∘+360∘)=sin26∘ 例1 求下列各值． (1）sin; （2）cos; （3）tan405∘ 解 (1)sin=sin(+6π)=sin=1. (2)cos=cos(+6π)=cos= (3)tan405∘=tan(45∘+360∘)=tan(45∘)= 探究新知 利用上述公式，我们可以把绝对值大于2π的任意角的三角函数值问题转化为0∼2π角的同名三角函数值问题. 例如，sin386∘=sin(26∘+360∘)=sin26∘ 例1 求下列各值． (1）sin; （2）cos; （3）tan405∘ 解 (1)sin=sin(+6π)=sin=1. (2)cos=cos(+6π)=cos= (3)tan405∘=tan(45∘+360∘)=tan(45∘)= 2.角的旋转对称 如图7-2-9所示，假设角α的终边是OA，射线OB和OC关于OA对称，∠AOB=θ，那么射线OB是角α+θ的终边，射线OC是角α-θ的终边.由此我们可知，角α+θ的终边和角α-θ的终边关于角α的终边所在的直线对称. 图7-2-9 一般地，角α的终边和角β的终边关于角的终边所在的直线对称. 例如，α和-α的终边关于角=0的终边关于角的终边所在的直线（即x轴）对称；α和π-α的终边关于角=的终边所在的直线（即y轴）对称；α和-α的终边关于角=的终边所在的直线（即直线y=x) 对称. 我们已经知道，角α和角α+k·2π的三角函数值的关系，下面根据α和-α、π-α、-α的对称性，得出这三类角与α的三角函数值之间的关系. 3.角α与-α的三角函数值之间的关系 对于任意一个角α来说，α和-α的终边有什么关系？由此你能得到他们的正弦、余弦、正切之间的关系吗？ sin(−α)=−sinα, cos(−α)=cosα, tan(−α)=−tanα. 如图7-2-10所示，设α和-α的终边与单位圆分别交于P和P’，则 P(cosα,sinα), P’(cos（-α）,sin（-α）) 又由α和-α的终边关于角0的终边（即x轴的正半轴）所在的直线对称可知，P和P’关于x 轴对称，因此 图7-2-10 记忆时可以把角α放在第一象限，则−α在第四象限，根据坐标对称性来确定α和-α的三角函数值之间的关系. 探究新知 求下列各值． （1）sin(−)； （2）cos(−)； （3）tan(−)； （4）sin(−). 例2 （1）sin(−)=−sin()=- （2）cos(−)=cos()= （3）tan(−)=−tan()=- （4）sin(−)=−sin()=−sin(+2)=−sin()=- 解 4.角α与±α的三角函数值之间的关系 sin(−α)=sinα, cos(−α)=−cosα, tan(−α)=−tanα. 对于任意一个角α来说，α和−α的终边有什么关系？由此你能得到他们的正弦、余弦、正切之间的关系吗？ 如图7-2-11所示，设α和π-α的终边与单位圆分别交于P和P’，则 P(cosα,sinα), P’(cos（−α）,sin（−α）) 又由α和−α的终边关于角的终边所在的直线对称可知，P和P’关于y轴对称，因此可从α和π-α的三角函数线之间的关系看出. 图7-2-11 这是因为sin(π+α)=sin[π-(-α)]=sin(-α)=-sinα. 另外， 由前面的公式， 我们可证明： sin(+α)=-sinα, cos(+α)=−cosα, tan(+α)=tanα. 探究新知 例3 求下列各值． （1）sin()； （2）cos()； （3）tan(). 解 （1）sin()=sin()=sin()=； （2）cos()=cos()=cos()=-； （3）tan()=tan(+2)=tan()=tan()=-tan()=. 探究新知 例4 求下列各值． （1）sin()； （2）cos(-)； （3）tan(). 化简 例5 (1)sin()=sin()=-sin()=-； (2)cos(-)=cos()=cos()=-cos()=-； (3)tan()=tan()=tan()=. 解 解 = 5.角α与α的三角函数值之间的关系 在初中，我们已经知道两个锐角之和为90°时正弦和余弦之间的关系． 如图7-2-12所示，因为a与β中，与一个角相邻的直角边是另一个角相对的 直角边，所以 sinα=cosβ, cosα=sinβ. 那么，这一关系式对任意角是否也成立呢？你能通过考察α与α的终边之间的关系来得出一般结论吗？ 如图7-2-13所示，设α和α的终边与单位圆分别交于P和P’，则 P(cosα,sinα), P’(cos（α）,sin（α）) 又由α和α的终边关于角的终边所在的直线对称可知，P和P’关于y=x轴对称，因此 5.角α与α的三角函数值之间的关系 如图7-2-13所示，设α和α的终边与单位圆分别交于P和P’，则 P(cosα,sinα), P’(cos（α）,sin（α）) 又由α和α的终边关于角的终边所在的直线对称可知，P和P’关于y=x轴对称(结论也可从α和α的三角函数线之间的关系看出)，因此 sin（α）=cosα cos（α）=sinα 由以上所学内容，我们还可以得到： sin（α）=cosα cos（α）=-sinα sin（α）=-cosα cos（α）=sinα 因为：cos（α）=cos[（α）] =sin（α）=-sinα sin（α）=-cosα cos（α）=-sinα 探究新知 例6 求下列各值． （1）sin120°； （2）cos135°； （3）cos（）. 解 （1）sin120°=sin（90°+30°）=cos30°=. （2）cos135°=cos（90°+45°）=-sin45°=. （3）cos（）=cos（）=cos（+）=cos =cos（+）=-sin. 探究新知 例7 计算sin(−36∘)+cos54∘+sin108∘+cos162∘的值． 解 原式=-sin(36∘)+cos（90∘-36∘）+sin（90∘+18∘）+cos（180∘-18∘） =-sin(36∘)+sin(36∘)+cos(18∘)-cos(18∘) =0 例8 解 =1. 微提醒：诱导公式的根本目的，是把任意角，都转化成 0～ 范围内的锐角（特殊角）来计算。 总结：公式①～⑧都称为诱导公式.利用诱导公式可以求三角函数式的值或化简三角函数式，诱导公式本身还反映了我们后面要学习的三角函数的性质. sin(α+k·2π)=sinα, cos(α+k·2π)=cosα, tan(α+k·2π)=tanα. ⑦ ① sin(−α)=−sinα, cos(−α)=cosα, tan(−α)=−tanα. ② sin(−α)=sinα, cos(−α)=−cosα, tan(−α)=−tanα. sin(+α)=-sinα, cos(+α)=−cosα, tan(+α)=tanα. ③ ④ sin（α）=cosα cos（α）=sinα sin（α）=cosα cos（α）=-sinα sin（α）=-cosα cos（α）=-sinα ⑤ ⑥ ⑧ sin（α）=-cosα cos（α）=sinα 奇变偶不变： 看角里的常数是的奇数倍还是偶数倍 偶数倍（π,2π 等）：函数名不变 奇数倍（​, 等）：正弦↔余弦，正切余切互换 符号看象限： 把原角看作锐角，判断原函数在该象限的符号，结果就带这个符号。（计算角所在象限、最终三角函数的符号都用原函数的，最终都是α的三角函数） 练习B ① 求下列各值. (1)sin (2)cos (3)tan (4)sin(- ) (5)cos(-) (6)tan(- 解 (1)sin =sin(22×2++-sin=- (2)cos=cos(137×2+)=-cos=- (3)tan=tan(1022+)=tan (4)sin(-)=-sin()=-sin(2)=- (5)cos(-)=cos()=cos(+)= (6)tan(-tan(=-tan()=- 练习B ② 证明： (1)cos(α- )=sinα （2)sin(α- )=-cosα 左式=cos[-(-α)] =cos(-α) =sinα=右式 ∴原等式成立 左式=sin[-(-α)] =-sin(-α) =-cos=右式 ∴原等式成立 练习B ③ 化简. (1); =- (2)sin2(−α)−tan(360∘−α)−sin(180∘−α)cos(360∘−α)tan(180∘+α); =+-= (3) 练习B ④ 计算下列各式的值. (1)sin555∘+cos(−435∘) (2)sin67∘+cos157∘+sin115∘−cos(−25∘). (1)sin555∘+cos(−435∘) =sin(360∘+180∘+15∘)+cos(360∘+75∘) =-sin(15∘)+cos(90∘-15∘) =-sin(15∘)+sin(15∘) =0 (2)sin67∘+cos157∘+sin115∘−cos(−25∘) =sin67∘+cos(180∘-23∘)+sin(90∘+25∘)−cos25∘ =cos23∘-cos23∘+cos25∘−cos25∘ =0 练习B ⑤ 化简tan1∘tan2∘⋯tan45∘tan46∘⋯tan88∘tan89∘. (提示:tan89∘====.) 原式=tan1∘tan2∘⋯tan45∘⋯ =tan45∘ =1 巩固提升练习 1．利用公式求下列三角函数值： (1)) (2)sin21∘+sin22∘+sin23∘+⋯sin288∘+sin289∘+sin290∘ 解析： (1) 原式=) =sin(π+​)cos(π−​​)[−tan(π+​​)] =−sin​·(−cos​​​)·(−tan​) =−​​×(-)×(−​)=− 解析： (2)因为in21∘+sin289∘=sin21∘+cos21∘=1 sin22∘+sin288∘=sin22∘+cos22∘=1， … sin2x∘+sin2(90∘−x∘)=sin2x∘+cos2x∘=1  (1≤x≤44,x∈N)， 所以原式=44+sin245∘+sin290∘= 2．求值 (1) 已知tan(​−α)=​​，则tan(​+α)= ； (2) 已知sin(​+α)=​，则cos(α−​)= ； (3) 已知cos(​−α)=m (∣m∣≤1)，求sin(​−α)的值。 m 3．应用诱导公式化简 已知 f(α)=​. (1) 化简 f(α)； (2) 若α是第三象限角，且cos(α−​)=​，求f(α)的值； (3) 若α=−​，求f(α)的值。 解析: (1) f(α)=​=. (2) 因为cos(α−​)=​=-sinα，又α是第三象限角，∴cosα= 所以，f(α)== (3) 当α=−​，f(α)==-cos(−)=-cos(−)=-cos(−)=- 巩固提升练习 4．应用诱导公式证明(与同角基本关系综合) （1）=-tan (2)= 巩固提升练习 =-tan=右边，所以等式成立 边，所以等式成立 5.三角形中的诱导公式问题： （多选）在△ABC中，下列关系式恒成立的是（    ） 巩固提升练习 A. B. C. D. 【分析】根据三角形中A+B+C= A.tan(A+B）=tan(-C)=-tanC，故A错误 B.cos(2A+2B)=cos(-2C)=cos2C,故B正确 C.sin(-,故C正确,D错误 BC $