精品解析：广东省中山市纪雅学校2025-2026学年九年级上学期开学考数学试卷

2025-2026学年广东省中山市纪雅学校九年级（上）开学数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数是二次函数，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 任意实数 3. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 6 4. 将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到新的物解析式为(　　) A. B. C. D. 5. 新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商1月至3月份统计，该品牌新能源汽车1月份销售1000辆，3月份销售1210辆．设月平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C D. 6. 若方程的两个实数根为、，则的值为（ ） A. 7 B. 3 C. －5 D. 9 7. 已知是二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 函数与图象可能是（ ） A B. C D. 9. 如果关于的一元二次方程有下列说法：①若，则；②若方程两根为-1和2，则；③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；④若，则方程有两个不相等的实根，其中结论正确的是有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，在直角坐标系中，点和点在轴上，点在轴负半轴上，，当线段最长时，点的坐标为（ ） A. (-2， 0) B. (-3， 0) C. (-4， 0) D. (-5， 0) 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 将一元二次方程化成一般式为______． 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则常数的值___. 13. 已知二次函数y=x2+bx+3的对称轴为x=2，则b=____． 14. 二次函数的图象如图所示，则函数值时的取值范围是_______． 15. 如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为直线x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、B（﹣1，0），则 以下结论： ①abc>0；②二次函数的最大值为a+b+c；③a﹣b+c＜0；④b2﹣4ac＜0；⑤2a+b=0；⑥a+b≥m（am+b）（m为实数）；其中正确的有_______________（填序号） 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解方程： （1）． （2）． 17. 已知二次函数图象的顶点坐标为，且经过点． （1）求该二次函数表达式； （2）直接写出y随x的增大而减小时x的取值范围． 18. 在2025年跳水世界杯女子十米台单人赛中，中国队包揽冠亚军．某商场为宣传体育精神，计划在如图所示的长，宽的矩形海报上分别展示全红婵和陈芋汐两位运动健儿的照片，每幅小矩形照片（铺灰部分）的面积均为，若海报外沿与照片之间及相邻照片之间的空白区域的宽度均相等，求空白区域的宽度． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个不相等的实数根； （2）若此方程的两个根都为整数，求整数a的值． 20. 浩然文具店新到一种计算器，进价为25元，营销时发现：当销售单价定为30元时，每天的销售量为150件，若销售单价每上涨1元，每天的销售量就会减少10件． (1)写出商店销售这种计算器，每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式； (2)求销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大值是多少？ 21. 如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发， （1）如果P、Q同时出发，几秒后，可使△PBQ面积为8平方厘米？ （2）线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． 22. 【综合与实践】数学来源于生活，同时数学也可以服务于生活． 【知识背景】如图，校园中有两面直角围墙，墙角内的P处有一古棵树与墙，的距离分别是和，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边），设． 【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将古棵树P围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）． 【解决问题】思路：把矩形的面积S与边长x（即的长）的函数解析式求出，并利用函数的性质来求面积的最大值即可． （1）请用含有x的代数式表示的长； （2）花园的面积能否为？若能，求出x的值，若不能，请说明理由； （3）求面积S与x的函数解析式，写出x的取值范围；并求当x为何值时，花园面积S最大？ 23. 综合与实践：根据以下素材，分析问题，探索解决问题． 如何设计建造花园？ 提出问题 某高端酒店准备打造一个面积为的长方形花园，现有墙长，篱笆长的（全部用于建造花园），设计公司为酒店提供了两种方案，请通过计算帮助酒店作出合理决策． 决策依据 长方形的宽与长的长度之比越接近黄金比越美观，黄金比约为0.6． 方案一 如图，选取境的一部分作为长方形的一边，其他三边用篱笆围成． 方案二 如图，将墙全部借用，并在墙的延长线上拓展，构成长方形，其中和都由篱笆构成． 问题解决 （1）求方某一中在墙上借用的的长度． （2）求方案二中的长． （3）根据计算结果，请为该酒店作出合理的决策 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年广东省中山市纪雅学校九年级（上）开学数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，依次对各选项进行判断即可． 【详解】A. 不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，故本选项错误； B. 二次项系数可能为0，不符合一元二次方程的定义，故本选项错误； C. 符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，故本选项正确； D. 是一元一次方程，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，一个方程是一元二次方程，要必须同时满足四点：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2；④二次项系数不为0． 2. 已知函数是二次函数，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 任意实数 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的定义即可解答． 【详解】解：由题意知，，解得：； 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的二次项系数不等于0是解题的关键． 3. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，将代入，即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴ 解得：， 故选：A． 4. 将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到新的物解析式为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线图象的平移规则：左加右减，上加下减，即可得到答案． 【详解】解：将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到新的物解析式为 故选：C． 5. 新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商1月至3月份统计，该品牌新能源汽车1月份销售1000辆，3月份销售1210辆．设月平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设某品牌新能源汽车销售量的月均增长率为x，根据1月份的销售量（增长率）3月份的销售量，列出方程即可． 【详解】解：设某品牌新能源汽车销售量的月均增长率为x，根据题意得： ， 故选：B． 6. 若方程的两个实数根为、，则的值为（ ） A. 7 B. 3 C. －5 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得出答案． 【详解】解：∵方程的两个实数根为、， ∴，， ∴ ， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知：若是一元二次方程的两个根，则，；是解本题的关键． 7. 已知是二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数解析式可知函数对称轴为，再根据抛物线的开口方向向上即可求得时，随增大而减小即可得答案． 【详解】解：∵1＞0， ∴抛物线的开口方向向上， ∵二次函数的对称轴为， ∴当时，随增大而减小， ∵， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数解析式的性质，根据解析式确定对称轴是解题的关键． 8. 函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象和二次函数图象的识别．首先分两种情况进行分析，当时，可以确定一次函数与二次函数的大致走向；同理当时也可以，再结合两函数图象交于点即可得出答案． 【详解】解：当时，直线过一、三象限，抛物线开口向上； 当时，直线过二、四象限，抛物线开口向下， 可得选项B、C、D不符合题意，选项A符合题意， 故选：A． 9. 如果关于的一元二次方程有下列说法：①若，则；②若方程两根为-1和2，则；③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；④若，则方程有两个不相等的实根，其中结论正确的是有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】①，即系数和为0，说明原方程有一根是1，，说明原方程为一元二次方程，一元二次方程有根，就有两个，△； ②已知方程两根的值，可利用两根关系的式子变形，得出结论； ③判断方程的根的情况，只要看根的判别式△的值的符号就可以了； ④把代入得到，根据判别式的意义可得到方程有两个不相等的实根． 【详解】解：①若，方程有一根为1，又，则，正确； ②由两根关系可知，，整理得：，正确； ③若方程有两个不相等的实根，则，可知，故方程必有两个不相等的实根，正确； ④由，，所以④正确． 故选． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个为，，则，．也考查了一元二次方程根的判别式． 10. 如图，在直角坐标系中，点和点在轴上，点在轴负半轴上，，当线段最长时，点坐标为（ ） A. (-2， 0) B. (-3， 0) C. (-4， 0) D. (-5， 0) 【答案】C 【解析】 【分析】根据A、B点的坐标，表示出AB的长，再根据二次函数的最值问题确定出AB的最小值；然后再根据三角形的面积可得OM的最长值，再根据点M在x轴负半轴解答． 【详解】解：∵点A（0，a2+a）和点B（0，-a-2）， ∴AB=a2+a-(-a-2)=a2+2a+2=(a+1)2+1， ∴AB的最小值为1，此时OM最长， S△ABM=AB·OM=×1·OM=2， 解得OM=4． 又∵点M在x轴负半轴， ∴点M的坐标为（-4，0）． 故选：C． 【点睛】本题考查配方法的应用，用二次函数解决实际问题，解题的关键是根据三角形的面积判断出AB最小时，OM最长． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 将一元二次方程化成一般式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且），移项时要注意符号的变化．本题通过移项得到一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解：由移项得到：， 故答案是：． 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则常数的值___. 【答案】3或﹣5. 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可知，即可求出常数的值 【详解】关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， ，即 ， 故答案为3或 【点睛】本题考查了一元二次方程(a≠0)根的判别式，当方程有两个不相等的实数根；当，方程没有实数根，当，方程有两个相等的实数根. 13. 已知二次函数y=x2+bx+3的对称轴为x=2，则b=____． 【答案】-4 【解析】 【详解】解：由对称轴公式得=2， 求得b=-4． 故答案为：-4． 14. 二次函数的图象如图所示，则函数值时的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据图像解答即可． 【详解】解：根据图像可知： 时的取值范围为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关键，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键． 15. 如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为直线x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、B（﹣1，0），则 以下结论： ①abc>0；②二次函数的最大值为a+b+c；③a﹣b+c＜0；④b2﹣4ac＜0；⑤2a+b=0；⑥a+b≥m（am+b）（m为实数）；其中正确的有_______________（填序号） 【答案】②⑤⑥ 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴交点以及过特殊点时，相应的系数a、b、c满足的关系进行综合判断即可． 【详解】解：∵二次函数开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为x=1， ∴，即， ∴， ∵二次函数与y轴交于正半轴， ∴， ∴， ∴①错误； ∵抛物线的对称轴为x=1，过（-1，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）， ∴当x=1时，y=a+b+c，即（1，a+b+c）为最高点， ∴二次函数最大值为a+b+c； ∴②正确； ∵当x=-1时，y=a-b+c=0， ∴③不正确； ∵抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2-4ac＞0， ∴④不正确； ∵抛物线的对称轴为x=1， ∴，即，， ∴⑤正确； ∵当x=1时，y=a+b+c，即（1，a+b+c）为最高点，二次函数的最大值为a+b+c， ∴， ∴，即， ∴⑥正确； 综上所述，正确的有：②⑤⑥． 故答案为：②⑤⑥． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，掌握抛物线的位置与相应的系数a、b、c满足的关系是正确判断的前提． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可； （2）把方程左边利用提公因式法分解因式，再解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得． 17. 已知二次函数图象的顶点坐标为，且经过点． （1）求该二次函数表达式； （2）直接写出y随x的增大而减小时x的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】主要考查的是二次函数的性质，求二次函数解析式． （1）把代入中求出a即可得到抛物线解析式； （2）根据抛物线的对称轴即可得到结论； 【小问1详解】 解：∵二次函数图象的顶点坐标为， ∴设二次函数表达式为， 把代入， 得， 解得， 所以二次函数表达式为； 【小问2详解】 ∵，抛物线的开口向下， 抛物线的对称轴为， ∴当y随x的增大而减小时x的取值范围． 18. 在2025年跳水世界杯女子十米台单人赛中，中国队包揽冠亚军．某商场为宣传体育精神，计划在如图所示的长，宽的矩形海报上分别展示全红婵和陈芋汐两位运动健儿的照片，每幅小矩形照片（铺灰部分）的面积均为，若海报外沿与照片之间及相邻照片之间的空白区域的宽度均相等，求空白区域的宽度． 【答案】空白区域的宽度为． 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设空白区域的宽度为，然后根据矩形面积可列出方程进行求解． 【详解】解：设空白区域的宽度为，由题意得： 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：空白区域的宽度为． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个不相等的实数根； （2）若此方程的两个根都为整数，求整数a的值． 【答案】(1) 方程有两个不相等的实数根;(2) . 【解析】 【详解】（1）先计算判别式的值达到△=4，然后根据判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根； （2）利用求根公式解方程，然后利用有理数的整除性确定a的值. 证明：（1）∵m>0，△=[-2（m-1）]2-4m（m-2）=4m2-8m+4-4m2+8m=4>0， ∴此方程总有两个不等实根； （2）， ， ． ∵ 方程的根均为整数， ∴ ． “点睛”本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△>0时，方程由两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程没有实数根. 20. 浩然文具店新到一种计算器，进价为25元，营销时发现：当销售单价定为30元时，每天的销售量为150件，若销售单价每上涨1元，每天的销售量就会减少10件． (1)写出商店销售这种计算器，每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式； (2)求销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大值是多少？ 【答案】 (1) w＝－10x²＋700x－11250；(2)当单价为35元时，最大利润为1000元． 【解析】 【分析】(1)因为销售单价为x元,所以上涨(x-30)元,根据产品涨价1元,销售量每天就减少10个,可得销售量是:150-10(x-30),销售利润=(售价-进价) ×销售量, 可得w＝(x－25)(－10x＋450)＝－10x2＋700x－11250, (2)根据二次函数图象性质求二次函数最大值即可求解. 【详解】解:(1)依题意得,销售量＝150－10(x－30)＝－10x＋450, 则w＝(x－25)(－10x＋450)＝－10x2＋700x－11250, (2)w＝－10x2＋700x－11250＝－10(x－35)2＋1000, ∵－10＜0, ∴函数图象开口向下,w有最大值,当x＝35时,w最大＝1000元,故当单价为35元时,每天的利润最大为1000元． 【点睛】本题主要考查二次函数解决最大利润问题,解决本题的关键是要熟练掌握销售问题中销售利润,价格,销售量之间的函数关系. 21. 如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发， （1）如果P、Q同时出发，几秒后，可使△PBQ的面积为8平方厘米？ （2）线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． 【答案】（1）2秒或4秒；（2）线段PQ不能否将△ABC分成面积相等的两部分. 【解析】 【分析】（1）设出运动所求的时间，可将BP和BQ的长表示出来，代入三角形面积公式，列出等式，可将时间求出； （2）将△PBQ的面积表示出来，根据△=b2-4ac来判断． 【详解】解：（1）设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，依题意有： （6-x）•2x=8， 解得x1=2，x2=4， 经检验，x1，x2均符合题意， 故经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2； （2）不能，理由如下： 设经过y秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分，依题意有： S△ABC =×6×8=24， （6﹣y）•2y=12， y2﹣6y+12=0， ∵△=b2﹣4ac=36﹣4×12=﹣12＜0， ∴此方程无实数根， ∴线段PQ不能否将△ABC分成面积相等的两部分. 22. 【综合与实践】数学来源于生活，同时数学也可以服务于生活． 【知识背景】如图，校园中有两面直角围墙，墙角内的P处有一古棵树与墙，的距离分别是和，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边），设． 【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将古棵树P围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）． 【解决问题】思路：把矩形的面积S与边长x（即的长）的函数解析式求出，并利用函数的性质来求面积的最大值即可． （1）请用含有x的代数式表示的长； （2）花园的面积能否为？若能，求出x的值，若不能，请说明理由； （3）求面积S与x的函数解析式，写出x的取值范围；并求当x为何值时，花园面积S最大？ 【答案】（1） （2）花园的面积可等于，此时x的值为12 （3），当时，花园面积S最大，最大值为195平方米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，准确理解题意，利用矩形的面积公式列方程或者写出函数关系式是解题的关键． （1）根据篱笆的长度，求解即可； （2）先根据花园的面积写出函数关系式，再利用二次函数求最值的方法求解，注意取值范围即可． （3）先根据花园的面积写出函数关系式，再利用二次函数求最值的方法求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴ 【小问2详解】 在点P与，距离分别是和， ，， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 所以花园的面积可等于，此时x的值为12； 【小问3详解】 解：在点P与，的距离分别是和， ， 面积S与x的函数解析式为： ，抛物线的开口向下，对称轴为 当时，S随x的增大而增大 当时，S取到最大值为：， 即当时，花园面积S最大，最大值为195平方米． 23. 综合与实践：根据以下素材，分析问题，探索解决问题． 如何设计建造花园？ 提出问题 某高端酒店准备打造一个面积为的长方形花园，现有墙长，篱笆长的（全部用于建造花园），设计公司为酒店提供了两种方案，请通过计算帮助酒店作出合理决策． 决策依据 长方形的宽与长的长度之比越接近黄金比越美观，黄金比约为0.6． 方案一 如图，选取境的一部分作为长方形的一边，其他三边用篱笆围成． 方案二 如图，将墙全部借用，并在墙的延长线上拓展，构成长方形，其中和都由篱笆构成． 问题解决 （1）求方某一中在墙上借用的的长度． （2）求方案二中的长． （3）根据计算结果，请为该酒店作出合理的决策 【答案】（1）20 （2） （3）选方案二 【解析】 【分析】（1）设的长度为，则，根据题意列得一元二次方程，解方程并确定符合题意的的值即可； （2）设的长度为，则，，根据题意列得一元二次方程，解方程并确定符合题意的的值即可； （3）结合（1）（2）中所求，分别求得，，的长度，然后分别计算，的值后判断哪一个更接近0.6即可． 本题考查一元二次方程的实际应用，结合已知条件设未知数后列得正确的方程是解题的关键． 【详解】解：（1）设的长度为，则， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 由题意可得的长度应小于的长度， 即， 则应舍去，只取， 即方案一中在墙上借用的的长度为； （2）设的长度为，则， 那么， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（舍去）， 即求方案二中的长为； （3）由（1）可得，， 则； 由（2）得：，， 则； 那么更接近 故该酒店应选择方案二． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $