专题03定义.命题.定理与平移期中复习讲义(10大题型+题型突破) 2025-2026学年人教版七年级数学下册

专题03定义.命题.定理与平移期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.识别命题，会拆分题设与结论，能改写为 “如果… 那么…” 形式 2.能判断命题真假，会用反例说明假命题，知道定理是真命题 3.了解证明需标注理论依据，会规范书写简单推理过程 4.认识平移现象，理解平移只改变图形位置，不改变形状、大小和方向 5.掌握平移性质：对应点连线平行（或共线）且相等，平移前后图形全等 1.能规范书写简单证明的 “∵…∴…（依据）” 格式，会为已知证明过程补全理论依据。 2.能在几何 / 代数背景下完成基础推理与论证。 3.能按要求画出平移后的图形，利用平移性质解决角度、面积或实际问题。 1.必拿分点： 命题识别、结构分析、真假判断（选择 / 填空）； 平移概念辨析、性质基础计算（选择 / 填空）。 2.提分关键： 用反例说明假命题、填写证明依据（解答题）； 平移作图、利用平移性质解决计算 / 实际问题。 3.衔接铺垫：为后续复杂几何证明与图形变换学习打基础。 题型1.命题的识别 题型2.命题的结构分析 题型3 定理与证明的规范 题型4.命题的真假判断与举反例 题型5 几何/代数推理与论证 题型6.证明过程的依据填写 题型7.平移现象与概念 题型8.利用平移的性质求解 题型9.利用平移解决实际问题 题型10.平移作图 解答题(5题) 知识点01:定义.命题与证明 1. 命题 定义：判断一件事情的陈述句（疑问句、感叹句、祈使句都不是命题） 结构：由题设（已知条件）和结论两部分组成，可改写为 “如果……，那么……” 的形式 例：“对顶角相等”→ 改写为 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” 真假命题： 真命题：经过推理验证成立的命题. 假命题：不成立的命题，可通过举反例（满足题设但不满足结论的例子）来证明 例：“相等的角是对顶角” 是假命题，反例：角平分线分成的两个角相等，但它们不是对顶角 2. 定理与证明 定理：经过证明的真命题，可作为后续推理的依据 证明规范：推理过程必须标注理论依据（定义、公理或已学定理） 格式：∵……（条件），∴……（结论）（依据：×××） 知识点02:平移 1. 平移的定义 图形沿某一直线方向移动一定距离，这样的图形运动叫做平移 核心特点：平移只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小和方向 2. 平移的核心性质 1.平移前后的两个图形全等（对应边相等、对应角相等） 2.对应点所连的线段平行（或共线）且相等（是求长度、作平移图的关键） 3.对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等 ∵ △A'B'C' 由 △ABC 平移得到，∴ △ABC ≌ △A'B'C'（平移前后图形全等） ∵ △A'B'C' 由 △ABC 平移得到，∴ AA' ∥ BB' ∥ CC' 且 AA' = BB' = CC'（平移性质：对应点连线平行且相等） ∵ △A'B'C' 由 △ABC 平移得到，∴ AB ∥ A'B' 且 AB = A'B'（平移性质：对应线段平行且相等） 3. 平移的应用 (1)利用平移性质求线段长度、图形面积 (2)解决实际问题（如最短路径、图案设计） (3)会按要求画出平移后的图形（确定平移方向、距离，找对应点） 1.必背：命题结构、反例、证明依据；平移性质 2.高频考法：命题结构分析、举反例、填证明依据；平移作图、性质计算 3.易错点：平移不改变图形方向，点到直线距离≠垂线段（是长度） 题型01:命题的识别 【典例】判断下列句子是不是命题（填“是”或“不是”） ①对顶角相等；（       ） ②画一个角等于已知角；（       ） ③两直线平行，同位角相等；（       ） ④a，b两条直线平行吗？（       ） 【跟踪专练1】下列四个选项中不是命题的是（   ） A．两点确定一条直线 B．过直线外一点作直线的平行线 C．正数大于负数 D．有公共顶点的两个角是对顶角 【跟踪专练2】判断下列句子是否是命题： （1）0是偶数；______； （2）两个锐角的和是钝角；______； （3）画两个相等的角；______； （4）同旁内角互补；______； （5）所有的质数都是奇数吗？______； （6）两条直线相交，只有一个交点．______， 【跟踪专练3】下列选项是命题的是（    ） A．作直线 B．今天的天气好吗？ C．连接、两点 D．同角的余角相等 题型02:命题的结构分析 【典例】命题“如果，那么”的条件是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】命题“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”的条件是：______，结论是：______． 【跟踪专练2】命题“同旁内角互补”的题设是______，结论是______，这是一个______命题（填“真”或“假”）． 【跟踪专练3】用三个不等式，，中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 题型03:定理与证明的规范 【典例】下列所学过的真命题中，是公理的是（   ） A．邻补角互补 B．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．两数相乘，同号得正 D．同角的余角相等 【跟踪专练1】实验、观察、归纳得到的结论______正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的______． 【跟踪专练2】下列命题可以称为定理的有（   ） ①与的平均数是；②能被整除的数也能被整除；③是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数，等式仍成立． A．个 B．个 C．个 D．个 【跟踪专练3】要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤： 试按照以上步骤证明：对顶角相等． 题型04:命题的真假判断与举反例 【典例】把“相等的角是对顶角”改写成“如果…那么…”的形式：__________，这个命题是 __命题（填“真”或“假”）． 【跟踪专练1】对于命题“如果，那么”，下面能说明它是假命题的反例是（   ） A．， B．， C． D．， 【跟踪专练2】证明“若，则．”是假命题，可举出反例：_________． 【跟踪专练3】下列语句中：①一条直线有且只有一条垂线；②不相等的两个角一定不是对顶角；③两条不相交的直线叫做平行线；④若两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等；其中错误的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型05:几何/代数推理与论证 【典例】老师为了表扬好人好事，于是找了小聪、小明、小丽、小红四人核实一件事．小聪说：“是小明做的．”小明说：“是小红做的．”小丽说：“不是我做的．”小红说：“小明说错了．”这四人中只有一人说了真话，这件好事是______做的． 【跟踪专练1】布袋里有100个球，其中有红球28个，绿球20个，黄球12个，蓝球20个，白球10个，黑球10个，从袋中任意摸出球来，若要一次摸出至少15个同色的球，则需要从袋中摸出球至少（    ） A．85 个 B．75个 C．15 个 D．16 个 【跟踪专练2】如图，在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，与分别交于点G，H，与交于点I．则_____． 【跟踪专练3】金乡县某中学七年级共有四个班，每班各选5名同学组成一个代表队，这四支代表队（分别用A，B，C，D表示）进行数学知识应用竞赛，前三名将参加金乡县数学知识竞赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为：甲：C得亚军；D得季军；乙：D得冠军；A得亚军；丙：C得冠军；B得亚军．已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠，亚，季，殿军分别为______． 题型06:证明过程的依据填写 【典例】有下列各项：①公理；②已学定理；③定义；④等量代换；⑤不等式的性质；⑥度量结果；⑦已知条件；⑧正确的观察结果；⑨猜测结果．其中可以作为推理依据的有________（填序号）． 【跟踪专练1】如图所示，，那么________，依据是__________． 【跟踪专练2】老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 【跟踪专练3】补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 题型07:平移现象与概念 【典例】脸谱是中国传统戏曲演员脸上的绘画，用于舞台演出时的化妆造型艺术，下列选项中，能由如图所示的脸谱平移得到的图形是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图是小明利用平移设计出的一张图案，根据图案我们可以得到 的度数为______________．       【跟踪专练2】在一矩形花园里有两条绿化带．如图所示的阴影部分，、、，、、、，且，这两块绿化带的面积分别为和，则与的大小关系是______．    【跟踪专练3】2025年第九届亚洲冬季运动会会徽“超越”，巧妙融合短道速滑运动员、哈尔滨市花丁香花、舞动的飘带造型进行同构设计，将中国文化与奥林匹克元素结合，传递新时代中国加快体育强国建设，不懈努力向更高、更快、更强的目标发起挑战，为亚洲冰雪运动作出新贡献的美好追求，下列选项中能通过下图平移得到的是（   ） A． B． C． D． 题型08:利用平移的性质求解 【典例】如图，沿着由点到点的方向平移得到，已知，，那么平移的距离是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【跟踪专练1】如图，是由通过平移得到，且点B、E、C、F在同一直线上．若，，则的长度是______． 【跟踪专练2】如图1的“方胜”由两个全等正方形交错叠合而成，是中国古代象征同心吉祥的一种装饰图案．如图2，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，如果平移距离为3，且，那么点A到点G的距离是_____； 【跟踪专练3】如图，锐角三角形ABC中，，将三角形ABC沿着射线BC方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（ ） A． B． C． D． 题型09:利用平移解决实际问题 【典例】如图，小明家的三个地暖散热片分别接入1，2，3三个分水器，分水器与散热片之间用管道相连，竖直管道之间的距离相等，且相邻管道对应平行排列，则三个散热片所用管道（    ） A．1长 B．2长 C．3长 D．一样长 【跟踪专练1】如图，在长方形中，，，则长方形内的四个小长方形的周长之和为_________． 【跟踪专练2】如图是五岛公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那么小童沿着小路的中间，从出口到出口所走的路线（图中虚线）长为________米． 【跟踪专练3】如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 题型10:平移作图 【典例】将如图图案剪成若干小块，再分别平移后能够得到①，②，③中的（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为、、，将向下平移2个单位长度后再向左平移6个单位长度得到，点A、、的对应点分别为点、、，连接、，则五边形的面积为________． 【跟踪专练2】如图，线段BC是由线段AD经过向右平移3格，再向上平移____格得到 【跟踪专练3】对于平面直角坐标系中的图形Q和图形Q上的任意点，给出如下定义： 将点平移到称为将点P进行“a（a是实数）型直角平移”，点称为将点P进行“a型直角平移”的对应点；将图形Q上的所有点进行“a型直角平移”称为将图形Q进行“a型直角平移”． 例如：将点平移到，则点称为将点P进行“1型直角平移”的对应点；将点平移到，则点称为将点P进行“型直角平移”的对应点． 已知点和点．    (1)将点进行“2型直角平移”后的对应点的坐标为 ； (2)将线段进行“型直角平移”后得到线段，点，，中，在线段上的点是 ； (3)若线段进行“a型直角平移”后与坐标轴有公共点，则a的取值是 ； (4)已知点，，点H是线段上的一个动点，将点A进行“a型直角平移”后得到的对应点为．画图、观察、归纳可得，当a的取值范围是 时，的最小值保持不变． 【解答题】 1．命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． (1)已知：如图，___________，；求证：___________． (2)证明： (3)命题“如果两条平行直线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的角平分线互相垂直”，此命题是___________命题（填“真”或“假”）． 2．一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理的过程叫做证明，对于命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”如何来证明？小明通过画图，写出已知，求证，并加以证明，具体如下： 已知：如图，在同一平面内直线，①_____． 求证：②_____． 证明：∵（已知），∴③_____（④_____）． ∵⑤_____（已知），∴⑥_____（⑦_____）， ∴⑧_____（等式的基本事实）， ∴⑨_____（⑩_____）． 请把小明的说明过程补充完整． 3．如图，有三个论断：①；②；③． (1)请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出所有的真命题． (2)在（1）中选择一个真命题，并证明其正确性． 4．将三角形沿边向右平移得到三角形，如图． (1)若，则______度； (2)若三角形的周长为10，，求四边形的周长． 5．在美丽乡村建设中，梁子湖区某村湾准备开发一块长为35m，宽为22m的长方形空地． (1)方案一：将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，如图所示图形的操作过程，将线段向右平移a个单位到，得到封闭图形，即阴影部分如图（1）；将折线向右平移a个单位到，得到封闭图形，即阴影部分如图（2）．    ①请你分别写出图（1）、图（2）中空白部分的面积______，_______； ②联想与探索，如图（3）在一个长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是a个单位），请你猜想空白部分草地面积______； (2)方案二：修建一个长是宽的1.8倍，面积为486的篮球场，若比赛用的篮球场要求长在25m到32m之间，宽在13m到20m之间．这个篮球场能用作比赛场地吗？并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03定义.命题.定理与平移期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.识别命题，会拆分题设与结论，能改写为 “如果… 那么…” 形式 2.能判断命题真假，会用反例说明假命题，知道定理是真命题 3.了解证明需标注理论依据，会规范书写简单推理过程 4.认识平移现象，理解平移只改变图形位置，不改变形状、大小和方向 5.掌握平移性质：对应点连线平行（或共线）且相等，平移前后图形全等 1.能规范书写简单证明的 “∵…∴…（依据）” 格式，会为已知证明过程补全理论依据。 2.能在几何 / 代数背景下完成基础推理与论证。 3.能按要求画出平移后的图形，利用平移性质解决角度、面积或实际问题。 1.必拿分点： 命题识别、结构分析、真假判断（选择 / 填空）； 平移概念辨析、性质基础计算（选择 / 填空）。 2.提分关键： 用反例说明假命题、填写证明依据（解答题）； 平移作图、利用平移性质解决计算 / 实际问题。 3.衔接铺垫：为后续复杂几何证明与图形变换学习打基础。 题型1.命题的识别 题型2.命题的结构分析 题型3 定理与证明的规范 题型4.命题的真假判断与举反例 题型5 几何/代数推理与论证 题型6.证明过程的依据填写 题型7.平移现象与概念 题型8.利用平移的性质求解 题型9.利用平移解决实际问题 题型10.平移作图 解答题(5题) 知识点01:定义.命题与证明 1. 命题 定义：判断一件事情的陈述句（疑问句、感叹句、祈使句都不是命题） 结构：由题设（已知条件）和结论两部分组成，可改写为 “如果……，那么……” 的形式 例：“对顶角相等”→ 改写为 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” 真假命题： 真命题：经过推理验证成立的命题. 假命题：不成立的命题，可通过举反例（满足题设但不满足结论的例子）来证明 例：“相等的角是对顶角” 是假命题，反例：角平分线分成的两个角相等，但它们不是对顶角 2. 定理与证明 定理：经过证明的真命题，可作为后续推理的依据 证明规范：推理过程必须标注理论依据（定义、公理或已学定理） 格式：∵……（条件），∴……（结论）（依据：×××） 知识点02:平移 1. 平移的定义 图形沿某一直线方向移动一定距离，这样的图形运动叫做平移 核心特点：平移只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小和方向 2. 平移的核心性质 1.平移前后的两个图形全等（对应边相等、对应角相等） 2.对应点所连的线段平行（或共线）且相等（是求长度、作平移图的关键） 3.对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等 ∵ △A'B'C' 由 △ABC 平移得到，∴ △ABC ≌ △A'B'C'（平移前后图形全等） ∵ △A'B'C' 由 △ABC 平移得到，∴ AA' ∥ BB' ∥ CC' 且 AA' = BB' = CC'（平移性质：对应点连线平行且相等） ∵ △A'B'C' 由 △ABC 平移得到，∴ AB ∥ A'B' 且 AB = A'B'（平移性质：对应线段平行且相等） 3. 平移的应用 (1)利用平移性质求线段长度、图形面积 (2)解决实际问题（如最短路径、图案设计） (3)会按要求画出平移后的图形（确定平移方向、距离，找对应点） 知识点03期中应试提醒 1.必背：命题结构、反例、证明依据；平移性质 2.高频考法：命题结构分析、举反例、填证明依据；平移作图、性质计算 3.易错点：平移不改变图形方向，点到直线距离≠垂线段（是长度） 题型01:命题的识别 【典例】判断下列句子是不是命题（填“是”或“不是”） ①对顶角相等；（       ） ②画一个角等于已知角；（       ） ③两直线平行，同位角相等；（       ） ④a，b两条直线平行吗？（       ） 【答案】是，不是，是，不是 【分析】本题考查命题的定义，根据命题的定义，命题是可以用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，分析每个句子是否符合这一定义即可． 【详解】解：①“对顶角相等”是陈述句，且可以判断真假（真），因此是命题； ②“画一个角等于已知角”是动作描述，不是陈述句，无法判断真假，因此不是命题； ③“两直线平行，同位角相等”是陈述句，且可以判断真假（真），因此是命题； ④“a，b两条直线平行吗？”是疑问句，不是陈述句，无法判断真假，因此不是命题； 故答案为：是，不是，是，不是． 【跟踪专练1】下列四个选项中不是命题的是（   ） A．两点确定一条直线 B．过直线外一点作直线的平行线 C．正数大于负数 D．有公共顶点的两个角是对顶角 【答案】B 【详解】解∶A．两点确定一条直线是可判断为真的陈述句，属于命题． B．过直线外一点作直线的平行线是操作指令，无法判断真假，不属于命题． C．正数大于负数是可判断为真的陈述句，属于命题． D．有公共顶点的两个角是对顶角是可判断为假的陈述句，属于命题． ∴不是命题的是B选项． 【点睛】命题为判断真假的陈述句． 【跟踪专练2】判断下列句子是否是命题： （1）0是偶数；______； （2）两个锐角的和是钝角；______； （3）画两个相等的角；______； （4）同旁内角互补；______； （5）所有的质数都是奇数吗？______； （6）两条直线相交，只有一个交点．______， 【答案】 是命题 是命题 不是命题 是命题 不是命题 是命题 【分析】根据命题的定义，即能够判断真假的陈述句叫做命题，依次对每个句子进行判断，看是否符合命题的特征．本题主要考查了命题的定义，熟练掌握命题是能够判断真假的陈述句这一概念是解题的关键． 【详解】解：（1）0是偶数；是命题； （2）两个锐角的和是钝角；是命题； （3）画两个相等的角；不是命题； （4）同旁内角互补；是命题； （5）所有的质数都是奇数吗？不是命题； （6）两条直线相交，只有一个交点，是命题； 故答案为：（1）是命题；（2）是命题；（3）不是命题；（4）是命题；（5）不是命题；（6）是命题． 【跟踪专练3】下列选项是命题的是（    ） A．作直线 B．今天的天气好吗？ C．连接、两点 D．同角的余角相等 【答案】D 【分析】根据命题的定义对各选项进行判断. 【详解】解：A、作线段为描述性语言，不是命题； B、今天的天气好吗？语句为疑问句，不是命题； C、连接、两点为描述性语言，不是命题； D、同角的余角相等，是命题， 故选：D. 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题.命题的“真”“假”是就命题的内容而言.任何一个命题非真即假.要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可. 题型02:命题的结构分析 【典例】命题“如果，那么”的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查命题的结构组成，在命题“如果P，那么Q”中，P是条件，Q是结论，据此即可解答． 【详解】解：∵命题是“如果，那么 ”， ∴ 条件部分是， 故选A． 【跟踪专练1】命题“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”的条件是：______，结论是：______． 【答案】 一个三角形的三个角都相等 这个三角形是等边三角形 【分析】本题考查了命题，根据命题的结构，命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，本题中，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由命题“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”可得， 条件是“一个三角形的三个角都相等”，结论是“这个三角形是等边三角形”， 故答案为：一个三角形的三个角都相等；这个三角形是等边三角形． 【跟踪专练2】命题“同旁内角互补”的题设是______，结论是______，这是一个______命题（填“真”或“假”）． 【答案】 两个角是同旁内角 这两个角互补 假 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题，许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式，有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 【详解】解：命题中，已知的事项是“两个角是同旁内角”， 由已知事项推出的事项是“这两个角互补”，所以“两个角是同旁内角”是命题的题设部分，“这两个角互补”是命题的结论部分，这是一个假命题， 故答案为：两个角是同旁内角，这两个角互补，假． 【跟踪专练3】用三个不等式，，中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】由题意得出3个命题，由不等式的性质再判断真假即可． 【详解】解：命题①，如果，，那么， ∵，∴， ∵， ∴，整理得， ∴该命题是假命题； 命题②，如果，，那么， ∵， ∴，整理得：， ∵， ∴， ∴， ∴该命题为真命题； 命题③，如果，，那么， ∵， ∴，整理得：， ∵， ∴， ∴， ∴该命题为真命题； 综上分析可知，组成真命题的个数为0，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了命题与定理、不等式的性质、命题的组成、真命题和假命题的定义；熟练掌握命题的组成和不等式的性质是解题的关键． 题型03:定理与证明的规范 【典例】下列所学过的真命题中，是公理的是（   ） A．邻补角互补 B．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．两数相乘，同号得正 D．同角的余角相等 【答案】B 【分析】本题考查了公理的概念以及对一些几何和代数真命题的理解，因为判断一个真命题是否为公理，核心就是看它是否是无需证明的基本事实，是后续推理的基础，掌握公理的定义是解题的关键． 公理是无需证明的基本事实，来源于长期实践总结，而非推导，作为证明其他命题的依据；可通过其他知识证明的命题、依赖具体运算或推导的规则都不是公理，以此为标准对选项逐个判断． 【详解】解：A、“邻补角互补” 是可以通过补角的定义等证明的定理，不符合题意； B、“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行” 是人们在长期实践中总结出的基本事实，无需证明，符合题意； C、“两数相乘，同号得正” 是代数中的运算规律，可通过有理数乘法的定义等推导，不符合题意； D、“同角的余角相等” 是可以通过余角的定义和等式的性质证明的定理，不符合题意． 故选：B． 【跟踪专练1】实验、观察、归纳得到的结论______正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的______． 【答案】 不一定， 证明 【解析】略 【跟踪专练2】下列命题可以称为定理的有（   ） ①与的平均数是；②能被整除的数也能被整除；③是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数，等式仍成立． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题主要考查的知识点有:定理的概念:定理是经过逻辑证明为真的陈述，是具有普遍意义、经过严格证明的结论．包括平均数的计算、能被和整除的数的特征、方程的根的验证、三角形内角和定理、等式的基本性质等相关数学概念和性质，通过对这些内容的考查，判断哪些命题符合定理的定义． 【详解】解：命题①平均数的计算是，所以“与的平均数是”是错误的，不是定理； 命题②能被整除的数不一定能被整除，例如能被整除，但不能被整除，所以该命题错误，不是定理； 命题③“将 代入方程，左边，右边，左边右 边，所以该命题是错误的，不是定理； 命题④“三角形的内角和是”，这是经过严格的几何证明(如通过平行线性质、拼图等方法证明)，具有普遍适用性的结论，是定理； 命题⑤“等式两边加上同一个数，等式仍成立”，这是等式的基本性质之一，是经过数学定义和推导确定的、具有普遍意义的结论，是定理； 综上，命题④和命题⑤是定理，共个． 故选：A． 【跟踪专练3】要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤： 试按照以上步骤证明：对顶角相等． 【答案】见解析 【分析】本题考查了证明几何命题，对顶角相等．根据证明几何命题的步骤画图，写出已知求值，再推理证明即可． 【详解】已知：如图，直线与相交于点， 求证：． 证明：∵直线与相交于点， ∴， ∴， ∴． 题型04:命题的真假判断与举反例 【典例】把“相等的角是对顶角”改写成“如果…那么…”的形式：__________，这个命题是 __命题（填“真”或“假”）． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；假 【分析】先拆分原命题得到条件和结论，将条件放在“如果”之后，结论放在“那么”之后，再结合对顶角的定义判断命题的真假． 【详解】解：原命题“相等的角是对顶角”中，条件是两个角相等，结论是这两个角是对顶角． 因此改写成“如果…那么…”的形式为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角． 相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行时的同位角相等，但同位角不是对顶角，存在反例， 因此这个命题是假命题． 【跟踪专练1】对于命题“如果，那么”，下面能说明它是假命题的反例是（   ） A．， B．， C． D．， 【答案】C 【分析】本题考查假命题的反例，反例需满足命题的条件，同时不满足命题的结论，据此分析各选项即可． 【详解】解：∵原命题的条件是，结论是 ∴反例要满足且 对于选项C，，，满足条件但不满足结论，是原命题的反例 选项A满足条件也满足结论，不是反例 选项B、D不满足命题的条件，不是反例 故选：C． 【跟踪专练2】证明“若，则．”是假命题，可举出反例：_________． 【答案】答案不唯一，例如当，但 【分析】可根据、的正负性来考虑即可，例如用、来进行判断即可． 【详解】反例：取，，有，但． 故答案为：，，，但． 【点睛】本题考查了命题与定理，举反例说明说明命题是假命题时，在选取反例时要注意遵循这一原则：反例的选取一定要满足所给命题的题设要求，而不能满足命题的结论． 【跟踪专练3】下列语句中：①一条直线有且只有一条垂线；②不相等的两个角一定不是对顶角；③两条不相交的直线叫做平行线；④若两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等；其中错误的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题为几何概念辨析题，需根据垂线，对顶角，平行线等初中几何基本概念，逐一判断每个语句的正误，统计错误个数得到答案． 【详解】解：逐一判断各语句： ①∵过直线上任意一点都可作该直线的垂线，一条直线上有无数个点 ∴一条直线有无数条垂线，①错误； ②∵对顶角一定相等， ∴不相等的两个角一定不是对顶角，②正确； ③∵平行线的定义要求前提是“在同一平面内”，该语句缺少前提条件， ∴③错误； ④∵若两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等或互补， ∴④错误； 综上，错误的语句共3个，故选C． 题型05:几何/代数推理与论证 【典例】老师为了表扬好人好事，于是找了小聪、小明、小丽、小红四人核实一件事．小聪说：“是小明做的．”小明说：“是小红做的．”小丽说：“不是我做的．”小红说：“小明说错了．”这四人中只有一人说了真话，这件好事是______做的． 【答案】小丽 【分析】本题主要考查了逻辑推理，采用假设法是解决此类问题常用的方法．运用假设法，假设其中一人为真话，然后进行推论，看是否矛盾即可． 【详解】假设小明说的真话，则好事是小明做的，那么小明说的假话，小丽说的真话，小红说的假话，矛盾． 假设小明说的真话，则好事是小红做的，那么小丽说的假话，小丽说的真话，小红说的假话，矛盾． 假设小丽说的真话，则好事不是小丽做的，若小红说的是假话，那么小明说的是真话，矛盾． 所以小丽说的是假话，则好事是小丽做的， 故答案为：小丽 【跟踪专练1】布袋里有100个球，其中有红球28个，绿球20个，黄球12个，蓝球20个，白球10个，黑球10个，从袋中任意摸出球来，若要一次摸出至少15个同色的球，则需要从袋中摸出球至少（    ） A．85 个 B．75个 C．15 个 D．16 个 【答案】B 【分析】此题考查的知识点是推理与论证，关键是考虑最差情况，即数量不足15个的黄球、白球、黑球全部摸出，再从数量超过15个的红球、绿球、蓝球中各摸出14个，此时再任意摸出1个球，即可保证有15个同色的球． 【详解】解：根据事件发生可能性大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．这里要考虑最差情况： 最坏情况考虑：摸出14个红球，14个绿球，12个黄球，14个蓝球，10个白球，10个黑球， 最后再摸出任意一个球，这时可以保证至少有15个颜色相同， 即最少要摸：个球， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，与分别交于点G，H，与交于点I．则_____． 【答案】 【分析】此题考查了面积与等积变换的知识．此题难度较大，注意掌握等高三角形面积的比等于其对应底的比性质的应用，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．首先连接，，由在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，可设，继而求得，以及的面积，则可求得的面积，然后由等高三角形面积的比等于其对应底的比，求得答案． 【详解】解：根据题意，， 如图所示，连接， 设， 在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点， ，，， ， 设点到的高为，点到的高为， ∴， ∴， ， ， 又， ，， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】金乡县某中学七年级共有四个班，每班各选5名同学组成一个代表队，这四支代表队（分别用A，B，C，D表示）进行数学知识应用竞赛，前三名将参加金乡县数学知识竞赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为：甲：C得亚军；D得季军；乙：D得冠军；A得亚军；丙：C得冠军；B得亚军．已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠，亚，季，殿军分别为______． 【答案】C，A，D，B 【分析】因为三人都猜对了一半，假设甲说的前半句正确，来看看后面的说法有没有矛盾，有矛盾就是错误的没矛盾就是正确的． 【详解】解：①假设甲说的：C是亚军正确，则他说D是季军错误， 于是乙说：D是殿军正确，则乙说的A得亚军就错误， 故丙说：B得亚军正确，与假设甲说的：C是亚军正确互相矛盾， 所以：甲说的：C是亚军错误； ②假设甲说的：C是亚军错误，则他说D是季军正确， 于是乙说：D是冠军错误，则乙说的A得亚军就正确， 故丙说：B得亚军错误，C是冠军正确； 没有矛盾， 故：冠，亚，季，殿军分别为：C，A，D，B． 故答案为：C，A，D，B． 【点睛】本题主要考查了推理能力，往往假设一个正确或错误，来推看看有没有矛盾． 题型06:证明过程的依据填写 【典例】有下列各项：①公理；②已学定理；③定义；④等量代换；⑤不等式的性质；⑥度量结果；⑦已知条件；⑧正确的观察结果；⑨猜测结果．其中可以作为推理依据的有________（填序号）． 【答案】①②③④⑤⑦ 【分析】本题考查了定理与证明，熟练掌握定理与证明的特性是解题的关键； 先明确推理依据的定义，在逐项分析所给各项是否符合推理依据的要求，最后统计符合条件的个数即可. 【详解】解：推理依据是指在数学推理过程中，无需证明即可直接使用的确定事实，包括公认的基本事实、学过的定义、性质、定理、公理以及题目中给出的已知条件等. ①公理：公理是经过人类长期反复实践检验，不需要再加证明的基本命题，是推理依据； ②已学定理：定理是经过证明的真命题，是推理依据； ③定义：定义是对事物本质特征的描述，是明确概念的依据，是推理依据； ④等量代换：等量代换是基本的逻辑规则，即如果两个量相等，那么它们可以互相替换，是推理依据； ⑤不等式的性质： 不等式的性质是经过证明的，如不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变等，是推理依据； ⑥度量结果：度量结果可能因测量工具、方法等因素存在误差，不是确定的已知事实，不能作为推理依据； ⑦已知条件：题目中给出的已知条件是推理的起点，是推理依据； ⑧正确的观察结果： 观察结果可能受主观或客观因素影响，不是绝对可靠的确定事实，不能作为推理依据； ⑨猜测结果：猜测结果没有经过证明，不具有确定性，不能作为推理依据； 故答案为：①②③④⑤⑦ ． 【跟踪专练1】如图所示，，那么________，依据是__________． 【答案】 ， 同角的余角相等 【分析】由∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°，即可得到∠AOC=∠BOD. 【详解】解：∵， ∴∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°， 根据同角的余角相等， ∴∠AOC=∠BOD； 故答案为，同角的余角相等. 【点睛】本题考查了同角的余角相等，解题的关键是熟练掌握定理. 【跟踪专练2】老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】阅读证明可以得到答案． 【详解】解：根据证明过程可知，证明的真命题是，且，则， 故选：A． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是能分清命题的题设与结论． 【跟踪专练3】补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，根据条件与结论因果关系直接填写即可得到答案； 【详解】解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（　同位角相等，两直线平行　）， ∴（　两直线平行，同位角相等　）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（　内错角相等，两直线平行　）． 题型07:平移现象与概念 【典例】脸谱是中国传统戏曲演员脸上的绘画，用于舞台演出时的化妆造型艺术，下列选项中，能由如图所示的脸谱平移得到的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平移的定义，在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，据此逐个分析，即可作答． 【详解】解：根据平移性质，选项D中的脸谱能由如图所示的脸谱平移得到，符合题意， 选项A、B、C中的脸谱不能由如图所示的脸谱平移得到，故选项A、B、C不符合题意， 故选：D． 【跟踪专练1】如图是小明利用平移设计出的一张图案，根据图案我们可以得到 的度数为______________．       【答案】/180度 【分析】本题考查了平移设计图案，平行线的性质，根据平行线的性质计算即可得解，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图： ， 由题意可得：，， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】在一矩形花园里有两条绿化带．如图所示的阴影部分，、、，、、、，且，这两块绿化带的面积分别为和，则与的大小关系是______．    【答案】 【分析】设矩形花园的宽，根据题意可知，两条绿化地的面积都相当于长为，宽为的长方形的面积． 【详解】解：设矩形花园的宽， 根据题意可知，两条绿化地的面积都相当于长为，宽为的长方形的面积， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了生活中的平移，根据平移确定绿化带的长和宽是解题的关键． 【跟踪专练3】2025年第九届亚洲冬季运动会会徽“超越”，巧妙融合短道速滑运动员、哈尔滨市花丁香花、舞动的飘带造型进行同构设计，将中国文化与奥林匹克元素结合，传递新时代中国加快体育强国建设，不懈努力向更高、更快、更强的目标发起挑战，为亚洲冰雪运动作出新贡献的美好追求，下列选项中能通过下图平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质判断即可，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：由平移性质可知，选项符合题意，选项不符合题意， 故选：C． 题型08:利用平移的性质求解 【典例】如图，沿着由点到点的方向平移得到，已知，，那么平移的距离是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了平移，熟练掌握平移的性质是解题关键．先根据平移的性质可得平移的距离为的长，再根据即可得． 【详解】解：， ， 即平移的距离为2， 故选：A． 【跟踪专练1】如图，是由通过平移得到，且点B、E、C、F在同一直线上．若，，则的长度是______． 【答案】4 【详解】解：是由通过平移得到， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【跟踪专练2】如图1的“方胜”由两个全等正方形交错叠合而成，是中国古代象征同心吉祥的一种装饰图案．如图2，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，如果平移距离为3，且，那么点A到点G的距离是_____； 【答案】12 【分析】由平移的性质得到，求出，再由求解即可． 【详解】解：∵将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，平移距离为3，且， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练3】如图，锐角三角形ABC中，，将三角形ABC沿着射线BC方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质和平行线的性质，熟练掌握平移前后对应线段互相平行以及两直线平行内错角相等是解题的关键． 根据的平移过程，分点E在BC上和点E在BC外两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系，列出方程求解即可． 【详解】解：第一种情况：如图，当点在BC上时，过点C作， 由平移得到， ， ，， ， ①当时， 设，则， ，， ， ， 解得：， ， ②当时， 设，则， ，， ， ， 解得：， ， 第二种情况：当点在外时，过点C作， 由平移得到， ， ，， ， ①当时， 设，则， ，， ， ， 解得：， ， ②当时，由图可知，，故不存在这种情况， 综上所述，或或， 故选： 题型09:利用平移解决实际问题 【典例】如图，小明家的三个地暖散热片分别接入1，2，3三个分水器，分水器与散热片之间用管道相连，竖直管道之间的距离相等，且相邻管道对应平行排列，则三个散热片所用管道（    ） A．1长 B．2长 C．3长 D．一样长 【答案】D 【分析】2，3两个分水器可以看作1分水器向右，向上平移得到，根据平移的性质，作答即可 ． 【详解】解：由题意，2，3两个分水器可以看作1分水器向右，向上平移得到， 故三个散热片所用管道一样长 ． 【跟踪专练1】如图，在长方形中，，，则长方形内的四个小长方形的周长之和为_________． 【答案】14 【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等． 把图中四个小长方形的边长进行平移，可得到图中四个小长方形的周长之和等于长方形的周长． 【详解】解：通过平移可知，图中四个小长方形的周长之和． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图是五岛公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那么小童沿着小路的中间，从出口到出口所走的路线（图中虚线）长为________米． 【答案】96 【分析】本题考查了利用平移解决实际问题，利用长方形的边长表示出图中虚线长是解题的关键．根据图形可得图中虚线长可以分为横向与纵向分析，横向距离等于，纵向距离等于，据此求解即可． 【详解】解：由图可得，图中虚线长的横向距离等于，纵向距离等于， 从出口到出口所走的路线长为（米）． 故答案为：96． 【跟踪专练3】如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案． 设小路宽为，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了，进而即可列出方程，求出答案． 【详解】解：利用平移，原图可转化为如图， 设小路宽为， 根据题意得：． 故选：A． 题型10:平移作图 【典例】将如图图案剪成若干小块，再分别平移后能够得到①，②，③中的（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据图形进行剪切拼接可得图形． 【详解】解：根据左边图形可剪成若干小块，再进行拼接平移后能够得到①，②，不能拼成③， 故选C． 【点睛】此题主要考查了图形的平移，通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为、、，将向下平移2个单位长度后再向左平移6个单位长度得到，点A、、的对应点分别为点、、，连接、，则五边形的面积为________． 【答案】30 【分析】本题考查了作图-平移变换及平面直角坐标系中多边形面积的求法，解决本题的关键是根据平移的性质准确画出图形． 根据平移的性质即可在图中画出，五边形，即可求出面积． 【详解】    如图所示， ， 故答案为：30． 【跟踪专练2】如图，线段BC是由线段AD经过向右平移3格，再向上平移____格得到 【答案】2 【分析】利用平移的性质，结合图形，得出答案． 【详解】解：线段BC是线段AD经过向右平移3格，再向上平移2格得到的. 故答案为2. 【点睛】本题考查的知识点是平移的性质，解题的关键是熟练的掌握平移的性质. 【跟踪专练3】对于平面直角坐标系中的图形Q和图形Q上的任意点，给出如下定义： 将点平移到称为将点P进行“a（a是实数）型直角平移”，点称为将点P进行“a型直角平移”的对应点；将图形Q上的所有点进行“a型直角平移”称为将图形Q进行“a型直角平移”． 例如：将点平移到，则点称为将点P进行“1型直角平移”的对应点；将点平移到，则点称为将点P进行“型直角平移”的对应点． 已知点和点．    (1)将点进行“2型直角平移”后的对应点的坐标为 ； (2)将线段进行“型直角平移”后得到线段，点，，中，在线段上的点是 ； (3)若线段进行“a型直角平移”后与坐标轴有公共点，则a的取值是 ； (4)已知点，，点H是线段上的一个动点，将点A进行“a型直角平移”后得到的对应点为．画图、观察、归纳可得，当a的取值范围是 时，的最小值保持不变． 【答案】(1) (2)， (3)或 (4) 【分析】本题考查平移变换、坐标与图形，（1）根据题目中的平移方式求解即可； （2）根据题目中的平移方式求得、，即可求解； （3）根据定义求出a的最大值、最小值即可求解； （4）观察图象得，当在线段上时，的最小值保持不变，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，将点进行“2型直角平移”后的对应点的坐标为，即， 故答案为：； （2）解：将点、进行“型直角平移”后得、， ∵点、、与点A、B的纵坐标相同，且， ∴在线段上的点是，， 故答案为：，； （3）解：结合图象可得，若线段进行“a型直角平移”后与坐标轴有公共点，则或， 故答案为：或； （4）解：观察图象得，当在线段上时，的最小值保持不变，最小值为，此时，， 故答案为：．      【解答题】 1．命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． (1)已知：如图，___________，；求证：___________． (2)证明： (3)命题“如果两条平行直线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的角平分线互相垂直”，此命题是___________命题（填“真”或“假”）． 【答案】(1)平分，平分； (2)见解析 (3)真 【分析】本题考查的是命题的真假判断、平行线的判定和性质，掌握正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题是解题的关键． （1）根据题意、结合图形写出已知和求证即可； （2）根据平行线的性质和判定证明即可； （3）写出已知和求证，然后证明即可． 【详解】（1）解：如图，分别交，于，，平分，平分，．求证：． 故答案为：分别交，于，，平分，平分；； （2）证明：平分 平分， ， ， ； （3）命题“如果两条平行直线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的角平分线互相垂直”，此命题是真命题， 已知：，被所截，平分，平分，求证：； 证明如下： 如图所示， ∵，被所截，平分，平分， ∴，，， ∴， ∴． 2．一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理的过程叫做证明，对于命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”如何来证明？小明通过画图，写出已知，求证，并加以证明，具体如下： 已知：如图，在同一平面内直线，①_____． 求证：②_____． 证明：∵（已知），∴③_____（④_____）． ∵⑤_____（已知），∴⑥_____（⑦_____）， ∴⑧_____（等式的基本事实）， ∴⑨_____（⑩_____）． 请把小明的说明过程补充完整． 【答案】①；②；③；④垂直的定义；⑤；⑥；⑦两直线平行，同位角相等；⑧；⑨；⑩垂直的定义 【分析】本题考查了平行线的性质以及垂直的定义，根据得到，再由，得到，即可证明． 【详解】已知：如图，在同一平面内直线，①． 求证：②． 证明：∵（已知）， ∴③（④垂直的定义）． ∵⑤（已知）， ∴⑥（⑦两直线平行，同位角相等）， ∴⑧（等式的基本事实）， ∴⑨（⑩垂直的定义）． 3．如图，有三个论断：①；②；③． (1)请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出所有的真命题． (2)在（1）中选择一个真命题，并证明其正确性． 【答案】(1)命题1：若，，则． 命题2：若，，则． 命题3：若，，则． (2)证明见解析 【分析】此题考查命题与定理问题，平行线的判定和性质、对顶角相等知识，分情况证明是解题的关键． 根据题意，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，分三种情况根据平行线的判定和性质及对顶角相等进行证明． 【详解】（1）解：命题1：若，，则． 命题2：若，，则． 命题3：若，，则． （2）解：第一种情况： 已知：，， 求证： 证明：如图， ∵，， ∴ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ 第二种情况： 已知：，， 求证： 证明：如图， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ 第三种情况： 已知：，， 求证： 证明：如图， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴． 4．将三角形沿边向右平移得到三角形，如图． (1)若，则______度； (2)若三角形的周长为10，，求四边形的周长． 【答案】(1)70 (2)14 【分析】（1）根据平移的性质解答即可； （2）由平移的性质可得，，再由三角形周长计算公式可推出，据此求解即可． 【详解】（1）解：三角形沿方向平移得到三角形，， ∴； （2）解：三角形沿方向平移得到三角形，， ，， 三角形的周长为10， ，即， 四边形的周长 ． 5．在美丽乡村建设中，梁子湖区某村湾准备开发一块长为35m，宽为22m的长方形空地． (1)方案一：将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，如图所示图形的操作过程，将线段向右平移a个单位到，得到封闭图形，即阴影部分如图（1）；将折线向右平移a个单位到，得到封闭图形，即阴影部分如图（2）．    ①请你分别写出图（1）、图（2）中空白部分的面积______，_______； ②联想与探索，如图（3）在一个长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是a个单位），请你猜想空白部分草地面积______； (2)方案二：修建一个长是宽的1.8倍，面积为486的篮球场，若比赛用的篮球场要求长在25m到32m之间，宽在13m到20m之间．这个篮球场能用作比赛场地吗？并说明理由． 【答案】(1)①，；② (2)能，理由见解析 【分析】本题考查了图形的平移，平方根的定义，无理数的估算等知识，难点在于对无理数的估算． （1）①先确定小路的面积，图（1）是平行四边形，可利用平行四边形的面积公式求解，图（2）可以转化为图（1），再求空白部分的面积即可；②图（3）也可以转化为图（1），按照图（1）的方法计算； （2）设宽，则长为m，根据面积公式即可得关于x的方程，由平方根的定义即可求得x，再对x的值进行估算，根据估算结果判定即可． 【详解】（1）①长方形空地的面积：， 图（1）中四边形是平行四边形，面积为：， ∴图（1）中空白部分的面积； 图（2）中连接，，如图所示，    根据平移的性质，， ∴封闭图形的面积和四边形的面积是相等的， 因此，图（2）中空白部分的面积， ②连接，，如图所示，    根据平移的性质可得，曲线围成的图形的面积和四边形的面积是相等的， 因此，空白部分草地面积 故答案为：①，；② （2）设宽m，则长为m 依题意有：， ∵， ∴， ∵， ∴， ×× 即：． 这个篮球场能用做比赛． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $