专题04定义、命题、定理及平移期中复习讲义（重点知识梳理+10大核心题型）2025-2026学年人教版数学七年级下学期

专题04定义、命题、定理及平移期中复习讲义 期中复习◆重点 定义：牢记平行线、垂线、平移、命题的核心定义与关键条件，明确定义与性质的差异，规避易错点，能依据定义判断图形位置关系。 命题、定理：掌握命题的分类与判断方法，精准拆分题设与结论，区分公理与定理，熟练掌握简单命题的证明步骤及推理依据。 平移：熟记平移的核心性质与两大要素（方向、距离），掌握坐标平移规律，能运用平移知识解决图形周长、面积的相关计算。 核心题型◆归纳 题型1命题的判断 题型2命题的题设与结论 题型3命题真假的判断及举例 题型4命题的证明过程 题型5以几何、代数为背景的推理论证 题型6图形的平移 题型7利用平移的性质求解 题型8利用平移解决实际问题 题型9平移作图 题型10提升测试 重点知识◆梳理 知识点01核心定义 1.平行线：同一平面内不相交的两条直线。 2.垂线：两条直线相交且有一个角为直角，这两条直线互相垂直。 3.平移：平面内，将图形沿某一方向移动一定距离的图形运动。 ★关键：不改变图形形状、大小，仅改变位置； 4.命题：能判断一件事情的语句； 5.明确定义与性质的区别：定义指“是什么”，性质指“有什么特点”。 知识点02命题与定理（高频考点） 1. 命题：能区分命题与非命题、真命题与假命题，假命题准确举出反例； 2.能将命题改写为“如果…那么…”的形式，精准拆分题设（已知条件）与结论； 3.公理与定理：公理是无需证明的基本事实； 4.定理是需依据公理、定义证明的真命题； 5.命题证明需步骤清晰、每一步都有明确依据（公理、定理、定义）。 知识点03平移应用（重点题型） 1.核心性质：平移后，对应线段平行且相等、对应角相等，对应点连线平行且相等，平移前后图形全等；如下图. 2.关键要素：平移的核心是方向和距离， 3.实际应用：熟练掌握坐标平移规律（左减右加；上加下减）； 能运用平移的全等性，通过割补法解决不规则图形的周长、面积计算问题。 题型解析◆精准备考 题型1命题的判断 1.下列语言叙述是命题的是（    ） A．《飞驰人生3》是2026年春节档电影票房冠军 B．你喜欢陇南吗？ C．赶紧写作业！ D．画一条端点为A的射线 2．下列语句中，属于定义的是_______，是命题的是_______．（请填写序号） ①三角形的内角和等于；②无限不循环小数称为无理数；③你的作业做完了吗？④天空真蓝啊！⑤对顶角不相等；⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离． 3．下列句子中，哪些是命题？ （1）今天的天气真好；（2）这本书你看完了吗？（3）如果，那么；（4）奇数不能被2整除． 题型2命题的题设与结论 1．命题“两直线平行，同位角相等”的条件是（ ） A．两直线平行 B．同位角相等 C．两直线不平行 D．同位角不相等 2．把命题“同位角相等”改写成“如果…，那么…”的形式：____________________． 3．命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． (1)已知：如图，___________，；求证：___________． (2)证明： (3)命题“如果两条平行直线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的角平分线互相垂直”，此命题是___________命题（填“真”或“假”）． 题型3命题真假的判断及举例 1．下列命题中，是假命题的是（ ） A．所有的直角都是相等的 B．两个锐角的和是钝角 C．两直线平行，内错角相等 D．若，则 2．下列四个命题中，是真命题的是（   ） A．同旁内角相等，两直线平行 B．垂直于同一直线的两直线平行 C．同角（或等角）的补角相等 D．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 3．判断下列命题是真命题还是假命题．如果是假命题，请举出一个反例． (1)异号两数相加和为零． (2)若，则． 题型4命题的证明过程 1．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 2．如图所示，，那么________，依据是__________． 3．补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 题型5以几何、代数为背景的推理论证 1．当n是正整数时，一定是（   ）． A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 2．长沙市某中学啦啦操队，其参赛道具于花分别装在、、三个纸箱里，不知其数，现对三个纸箱的手花进行3次调整：第一次，箱不动，在、两箱中的一箱中取出5束手花放在另一箱；第二次，箱不动，在、两箱中的一箱取出7束放在另一箱；第三次，箱不动，在、两箱中的一箱取出9束放在另一箱．经过三次调整后，、、三个纸箱各有手花10束、10束、10束，则原来箱最多有（    ）束手花． A．5 B．8 C．12 D．14 3．求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且． 题型6图形的平移 1．如图所示的车标中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，下列“小旗子”的平移作图中错误的是（    ） A． B． C． D． 3．与在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)分别写出下列各点的坐标：___________，___________； (2)是由经过怎样的平移得到的？ (3)若点是内部一点，则内部的对应点的坐标为___________． 题型7利用平移的性质求解 1．如图，中，，，将三角形沿向右平移至，点E在上，若，则四边形的周长为（　　） A．21 B．23 C．25 D．27 2．如图，将三角形平移得到三角形，下列结论中，正确的有（   ） ①或与在同一条直线上 ②或与在同一条直线上 ③ ④ A．个 B．个 C．个 D．个 3．将三角形沿边向右平移得到三角形，如图． (1)若，则______度； (2)若三角形的周长为10，，求四边形的周长． 题型8利用平移解决实际问题 1．如图，一块长为，宽为的草地上有一条宽为的曲折的小路，则这块草地的绿地面积是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一块弯曲的小路，小路的左边线向右平移就是它的右边线，则这块草地的绿地面积为________． 3．某学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯（含台阶的最上层），已知这种地毯的价格为每平方米20元，升旗台的台阶宽为2米，其侧面如图所示，则该学校买地毯至少需要花多少元？ 题型9平移作图 1．如图，在正方形网格中有两个三角形，把其中一个三角形先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与另一个三角形拼成一个四边形，那么（    ）    A．有一个确定的值B．有两个不同的值C．有三个不同的值 D．有无数个不同的值 2．如图，在正方形网格中有两个直角三角形，顶点都在格点上，把先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与拼合成一个四边形，那么_______．    3．如图，在正方形网格中有一个（点A，B，C都在网格格点上），按要求完成下列各题． (1)将向右平移5格，向上平移2格，请在网格图中画出经平移后得到的（点A与对应）． (2)在（1）的基础上，连接，，则图中的面积为_____． 过关检测◆提升 一、单选题 1．下列生活现象中属于平移的是（    ）． A．坐在秋千上人的运动 B．升降式电梯的运动 C．时钟上的秒针在不停地转动 D．教室开门时门的运动 2．下列图案可以由其中一部分经过平移得到的是（   ） A．B． C． D． 3．如图，将三角形平移得到三角形，下列结论中，正确的有（　　）． ①或与在同一条直线上 ②或与在同一条直线上 ③ ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图是公园某一段步行区的示意图，可抽象成长方形，长，宽．为方便观赏，公园特意修建了如图所示的步行小路（图中非阴影部分），小路的宽均为，若沿着小路的正中间步行，从入口到出口步行的路线（图中虚线）的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．把下面的命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”形式：__________． 6．“垂线段最短”有下列说法：是命题；是假命题；是真命题；是定理，其中正确的说法是______． 7．用一组a，b的值说明命题“若，则”是错误的，这组值可以是：______，______． 8．如图，在中，．将沿向右平移，得到，与交于点D，连接，若，，则图中阴影部分的面积为____ ． 三、解答题 9．判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，举一个反例加以说明： (1)两个钝角的和大于平角； (2)两条直线被第三条直线所截，同位角相等． 10．补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 11．已知，和． (1)如图1，请直接写出与的关系； (2)如图2，写出与的关系，并说明理由； (3)结合（1），（2）的结论，请用自己的语言归纳得到一个真命题． 12．如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． 你选择的条件；________，结论：_____(填序号)． 13．如图，在方格纸中，的三个顶点和点M都在小方格的顶点上．按要求作图： (1)过点M作直线的平行线； (2)将平移至，使点M落在平移后的三角形内部（不含边界）． (3)请描述（2）中，到的平移过程． 14． 如图，将沿射线的方向平移2个单位到的位置，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F． (1)直接写出图中与相等的线段． (2)若，则等于 ． (3)若等于，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04定义、命题、定理及平移期中复习讲义 期中复习◆重点 定义：牢记平行线、垂线、平移、命题的核心定义与关键条件，明确定义与性质的差异，规避易错点，能依据定义判断图形位置关系。 命题、定理：掌握命题的分类与判断方法，精准拆分题设与结论，区分公理与定理，熟练掌握简单命题的证明步骤及推理依据。 平移：熟记平移的核心性质与两大要素（方向、距离），掌握坐标平移规律，能运用平移知识解决图形周长、面积的相关计算。 核心题型◆归纳 题型1命题的判断 题型2命题的题设与结论 题型3命题真假的判断及举例 题型4命题的证明过程 题型5以几何、代数为背景的推理论证 题型6图形的平移 题型7利用平移的性质求解 题型8利用平移解决实际问题 题型9平移作图 题型10提升测试 重点知识◆梳理 知识点01核心定义 1.平行线：同一平面内不相交的两条直线。 2.垂线：两条直线相交且有一个角为直角，这两条直线互相垂直。 3.平移：平面内，将图形沿某一方向移动一定距离的图形运动。 ★关键：不改变图形形状、大小，仅改变位置； 4.命题：能判断一件事情的语句； 5.明确定义与性质的区别：定义指“是什么”，性质指“有什么特点”。 知识点02命题与定理（高频考点） 1. 命题：能区分命题与非命题、真命题与假命题，假命题准确举出反例； 2.能将命题改写为“如果…那么…”的形式，精准拆分题设（已知条件）与结论； 3.公理与定理：公理是无需证明的基本事实； 4.定理是需依据公理、定义证明的真命题； 5.命题证明需步骤清晰、每一步都有明确依据（公理、定理、定义）。 知识点03平移应用（重点题型） 1.核心性质：平移后，对应线段平行且相等、对应角相等，对应点连线平行且相等，平移前后图形全等；如下图. 2. 关键要素：平移的核心是方向和距离， 3.实际应用：熟练掌握坐标平移规律（左减右加；上加下减）； 能运用平移的全等性，通过割补法解决不规则图形的周长、面积计算问题。 题型解析◆精准备考 题型1命题的判断 1.下列语言叙述是命题的是（    ） A．《飞驰人生3》是2026年春节档电影票房冠军 B．你喜欢陇南吗？ C．赶紧写作业！ D．画一条端点为A的射线 【答案】A 【分析】命题是一个判断的语句，是对事物的某些情况作出肯定或者否定的回答，必须是一个完整的句子．据此逐一判断即可． 【详解】解：A、《飞驰人生3》是2026年春节档电影票房冠军，对事件作出了判断，是命题，符合题意； B、“你喜欢陇南吗？”是疑问句，不是命题，不符合题意； C、“赶紧写作业！”是祈使句，不是命题，不符合题意； D、“画一条端点为A的射线”是指令，不是命题，不符合题意． 2．下列语句中，属于定义的是_______，是命题的是_______．（请填写序号） ①三角形的内角和等于；②无限不循环小数称为无理数；③你的作业做完了吗？④天空真蓝啊！⑤对顶角不相等；⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离． 【答案】 ②⑥/⑥② ①②⑤⑥ 【分析】此题考查了定义及命题，根据三角形内角和定理、无理数的定义和对顶角性质、两点间的距离进行判断即可解决． 【详解】解：①三角形的内角和等于，是命题，不是定义； ②无限不循环小数称为无理数，是定义，也是命题； ③你的作业做完了吗？既不是定义也不是命题； ④天空真蓝啊！既不是定义也不是命题； ⑤对顶角不相等；不是定义，是命题； ⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离，是定义，也是命题； 属于定义的是②⑥；是命题的是①②⑤⑥； 故答案为：②⑥；①②⑤⑥． 3．下列句子中，哪些是命题？ （1）今天的天气真好；（2）这本书你看完了吗？（3）如果，那么；（4）奇数不能被2整除． 【答案】（1）（2）不是命题，（3）（4）是命题 【分析】判断一件事情的语句，叫做命题，分析是否是命题，需要分别分析各选项是否是用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句． 【详解】解：（1）今天的天气真好，是陈述句，不是命题； （2）这本书你看完了吗？不是命题； （3）如果，那么是命题， （4）奇数不能被2整除，是命题． 综上：（1）（2）不是命题，（3）（4）是命题 题型2命题的题设与结论 1．命题“两直线平行，同位角相等”的条件是（ ） A．两直线平行 B．同位角相等 C．两直线不平行 D．同位角不相等 【答案】A 【分析】本题主要考查命题与定理的知识，难度适中，解题的关键是：先将原命题改写成：如果…，那么…的形式． 改写成“如果…那么…”的形式，如果后面的文字就是条件． 【详解】解：命题“两直线平行，同位角相等”改写为如果两直线平行，那么同位角相等， 所以条件是两直线平行， 故选：A． 2．把命题“同位角相等”改写成“如果…，那么…”的形式：____________________． 【答案】如果两个角是同位角，那么这两个角相等 【详解】解：把命题“同位角相等”改写成“如果…，那么…”的形式：如果两个角是同位角，那么这两个角相等． 3．命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． (1)已知：如图，___________，；求证：___________． (2)证明： (3)命题“如果两条平行直线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的角平分线互相垂直”，此命题是___________命题（填“真”或“假”）． 【答案】(1)平分，平分； (2)见解析 (3)真 【分析】本题考查的是命题的真假判断、平行线的判定和性质，掌握正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题是解题的关键． （1）根据题意、结合图形写出已知和求证即可； （2）根据平行线的性质和判定证明即可； （3）写出已知和求证，然后证明即可． 【详解】（1）解：如图，分别交，于，，平分，平分，．求证：． 故答案为：分别交，于，，平分，平分；； （2）证明：平分 平分， ， ， ； （3）命题“如果两条平行直线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的角平分线互相垂直”，此命题是真命题， 已知：，被所截，平分，平分，求证：； 证明如下： 如图所示， ∵，被所截，平分，平分， ∴，，， ∴， ∴． 题型3命题真假的判断及举例 1．下列命题中，是假命题的是（ ） A．所有的直角都是相等的 B．两个锐角的和是钝角 C．两直线平行，内错角相等 D．若，则 【答案】B 【分析】根据角的分类、角的和差计算、平行线的性质以及等式的性质分别判断即可． 【详解】解：A、所有的直角都是相等的，是真命题； B、两个锐角的和可能是直角、锐角、钝角，故原命题是假命题； C、两直线平行，内错角相等，是真命题； D、若，则，是真命题． 2．下列四个命题中，是真命题的是（   ） A．同旁内角相等，两直线平行 B．垂直于同一直线的两直线平行 C．同角（或等角）的补角相等 D．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理、补角和对顶角的定义，逐一判断每个选项的真假即可． 【详解】解：A、∵ 平行线的判定定理为同旁内角互补，两直线平行，∴ A是假命题； B、∵ 只有在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线才平行，命题未限定同一平面，∴ B是假命题； C、∵ 同角（或等角）的补角相等是经过证明的真命题，∴ C是真命题； D、∵ 相等的角不一定是对顶角，例如两个不同位置的相等角不是对顶角，∴ D是假命题． 3．判断下列命题是真命题还是假命题．如果是假命题，请举出一个反例． (1)异号两数相加和为零． (2)若，则． 【答案】(1)假命题．反例见解析 (2)假命题．反例见解析 【分析】本题主要考查了真命题和假命题的判断， 根据真假命题的定义解答，举出反例即可． 【详解】（1）解：异号两数相加和为零，为假命题．反例：； （2） 解：若，则，为假命题，，则． 题型4命题的证明过程 1．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 【答案】C 【分析】写出正确的推理过程，进行排序即可． 【详解】证明：因为，（已知）， 所以，（等式的性质）； 因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（等量代换）． ∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④． 故选C． 【点睛】本题考查推理过程．熟练掌握推理过程，是解题的关键． 2．如图所示，，那么________，依据是__________． 【答案】 ， 同角的余角相等 【分析】由∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°，即可得到∠AOC=∠BOD. 【详解】解：∵， ∴∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°， 根据同角的余角相等， ∴∠AOC=∠BOD； 故答案为，同角的余角相等. 【点睛】本题考查了同角的余角相等，解题的关键是熟练掌握定理. 3．补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，平行线的性质与判定，根据条件及结论逐个写明理由即可得到答案； 【详解】解：∵（已知）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （对顶角相等）， ． 题型5以几何、代数为背景的推理论证 1．当n是正整数时，一定是（   ）． A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是熟练掌握奇数与偶数的积为偶数．分n是偶数与奇数两种情况分析，同时结合奇数与偶数的积的特征即得结果． 【详解】当n是偶数时，是奇数，而偶数×奇数=偶数，偶数+奇数=奇数，则此时一定是奇数， 当n是奇数时，是偶数，而奇数×偶数=偶数，偶数+奇数=奇数，则此时一定是奇数， 故选A． 2．长沙市某中学啦啦操队，其参赛道具于花分别装在、、三个纸箱里，不知其数，现对三个纸箱的手花进行3次调整：第一次，箱不动，在、两箱中的一箱中取出5束手花放在另一箱；第二次，箱不动，在、两箱中的一箱取出7束放在另一箱；第三次，箱不动，在、两箱中的一箱取出9束放在另一箱．经过三次调整后，、、三个纸箱各有手花10束、10束、10束，则原来箱最多有（    ）束手花． A．5 B．8 C．12 D．14 【答案】C 【分析】由最后的结果向前推理，可得答案． 【详解】解：要使原来C箱最多，根据题意得： ∵第三次调整后，A箱有10束，B箱有10束，C箱有10束， ∴第二次调整后，A箱有10束，B箱有（束），C箱有（束）， ∴第一次调整后，A箱有（束），B箱有1束，C箱有（束）， ∴原来C箱有12束； 故选：C． 【点睛】此题考查了逆向思维解应用题，解题的关键是从最后的结果向前根据数量关系，求出上一步的结果，一步步的推，进而求解即可． 3．求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且． 【答案】满足条件的所有正整数n为 【分析】本题考查了整数问题的综合应用，正确得出当时，及时原式的取值是解题关键，首先得出，进而利用当时，及时求出原式的取值范围，进而求出答案． 【详解】解：由于是正整数，且满足， ， ， 当时，令， 则， 当时，其中， 令， 则， 综上所述，满足条件的所有正整数n为． 题型6图形的平移 1．如图所示的车标中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的定义进行判断． 【详解】解：A、观察图形可知，该图形不能看作由“基本图案”经过平移得到，故不符合题意； B、观察图形可知，该图形不能看作由“基本图案”经过平移得到，故不符合题意； C、观察图形可知，该图形能看作由“基本图案”经过平移得到，故符合题意； D、观察图形可知，该图形不能看作由“基本图案”经过平移得到，故不符合题意． 2．如图，下列“小旗子”的平移作图中错误的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移不改变图形的形状、大小和方向是解题的关键． 根据平移的性质，逐一判断各选项中小旗子的方向是否改变． 【详解】解：平移变换的核心特征是图形的形状、大小和方向保持不变， 在四个选项中，只有选项C中的“小旗子”方向发生了改变，因此它是错误的平移作图． 故选：C． 3．与在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)分别写出下列各点的坐标：___________，___________； (2)是由经过怎样的平移得到的？ (3)若点是内部一点，则内部的对应点的坐标为___________． 【答案】(1)； (2)先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到； (3) 【分析】本题主要考查坐标与图形的特点，掌握平面直角坐标系的特点，图形平移的性质是关键． （1）根据坐标与图形的特点即可求解； （2）根据图形平移的特点即可求解； （3）结合（2），根据平移规律得到点的坐标． 【详解】（1）解：由图可得：，； 故答案为：； （2）解：根据图可知：先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到； （3）解：先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到，点是内部一点， 内部的对应点的坐标为． 题型7利用平移的性质求解 1．如图，中，，，将三角形沿向右平移至，点E在上，若，则四边形的周长为（　　） A．21 B．23 C．25 D．27 【答案】C 【分析】由平移性质可得、、，根据求出的长，进而求出的长，从而得到四边形的周长． 【详解】解：由平移性质可得，、、， ， ， ， ， ， ， ， 四边形的周长为25． 2．如图，将三角形平移得到三角形，下列结论中，正确的有（   ） ①或与在同一条直线上 ②或与在同一条直线上 ③ ④ A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】平移不改变图形的形状和大小，经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等，据此逐一判断即可得到答案． 【详解】解：由平移的性质可得或与在同一条直线上，或与在同一条直线上，，故①②③正确， 根据现有条件无法证明，故④错误． 3．将三角形沿边向右平移得到三角形，如图． (1)若，则______度； (2)若三角形的周长为10，，求四边形的周长． 【答案】(1)70 (2)14 【分析】（1）根据平移的性质解答即可； （2）由平移的性质可得，，再由三角形周长计算公式可推出，据此求解即可． 【详解】（1）解：三角形沿方向平移得到三角形，， ∴； （2）解：三角形沿方向平移得到三角形，， ，， 三角形的周长为10， ，即， 四边形的周长 ． 题型8利用平移解决实际问题 1．如图，一块长为，宽为的草地上有一条宽为的曲折的小路，则这块草地的绿地面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查图形的平移，通过平移将两块不规则的形状合成一个基本图形是解决问题的关键．通过平移，两块绿地可以拼成一个新长方形，求出长和宽即可． 【详解】解：通过平移，两块绿地可以合成一个新长方形，新长方形的长为，宽为， 故绿地的面积为：， 故选：B． 2．如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一块弯曲的小路，小路的左边线向右平移就是它的右边线，则这块草地的绿地面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了生活中的平移现象，平移得到长方形，再利用长方形的面积公式得出是解题关键．根据小路的左边线向右平移就是它的右边线，可得路的宽度是，根据平移的性质，再根据长方形的面积公式，可得答案． 【详解】解：小路的左边线向右平移就是它的右边线， 将小路左半部分的草地向右平移，与小路的右半部分对接， 可以得到一个长为，宽为的长方形， 因此这块草地的绿地面积是， 故答案为：． 3．某学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯（含台阶的最上层），已知这种地毯的价格为每平方米20元，升旗台的台阶宽为2米，其侧面如图所示，则该学校买地毯至少需要花多少元？ 【答案】304元 【分析】此题考查了学生对线段平移的应用，掌握平移线段的性质是解题的关键． 利用线段平移的性质结合地毯面积的计算公式求解． 【详解】解：根据题意得：元， 即该学校买地毯至少需要花304元． 题型9平移作图 1．如图，在正方形网格中有两个三角形，把其中一个三角形先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与另一个三角形拼成一个四边形，那么（    ）    A．有一个确定的值B．有两个不同的值C．有三个不同的值 D．有无数个不同的值 【答案】B 【分析】根据两个全等的直角三角形可以组成一个长方形或一个平行四边形可得出答案． 【详解】解：（1）当两斜边重合时可组成一个长方形，此时，，；    （2）当两直角边重合时有两种情况： ①短边重合，此时，，； ②长边重合，此时，，．    综上可得或8． 故选：B． 【点睛】本题考查了平移的知识，有一定难度，关键是利用两个全等的直角三角形可以组成一个长方形或一个平行四边形进行解答． 2．如图，在正方形网格中有两个直角三角形，顶点都在格点上，把先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与拼合成一个四边形，那么_______．    【答案】4或5或6 【分析】分图1，图2，图3，三种情况进行求解即可． 【详解】解：当平移到如图1所示的位置时，则此时， ∴；    当平移到如图2所示的位置时，则此时， ∴；    当平移到如图3所示的位置时，则此时， ∴；    综上所述，的值为4或5或6， 故答案为：4或5或6． 【点睛】本题主要考查了图形的平移，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 3．如图，在正方形网格中有一个（点A，B，C都在网格格点上），按要求完成下列各题． (1)将向右平移5格，向上平移2格，请在网格图中画出经平移后得到的（点A与对应）． (2)在（1）的基础上，连接，，则图中的面积为_____． 【答案】(1)作图见详解 (2)6 【分析】（1）先找到的三个顶点A、B、C在网格中的位置，根据平移的性质，分别将每个顶点向右平移5格，即每个顶点的水平方向移动5个网格单位，再向上平移2格，即每个顶点的垂直方向移动2个网格单位后以此得到A的对应点，B的对应点，C的对应点，最后用线段依次连接、、，画出平移后的； （2）利用“割补法”构造出包含的矩形，再分析周围多余的小三角形后用矩形面积减去小三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：如图，连结，， ∴． 过关检测◆提升 一、单选题 1．下列生活现象中属于平移的是（    ）． A．坐在秋千上人的运动 B．升降式电梯的运动 C．时钟上的秒针在不停地转动 D．教室开门时门的运动 【答案】B 【分析】某一基本的平面图形沿着一定的方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移，据此一一分析，即可选出正确答案． 【详解】解：A、C、D均不属于平移；只有B属于平移． 2．下列图案可以由其中一部分经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 根据平移的性质，平移不改变图形的形状和大小对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、可由其中一部分图形经过平移得到，故本选项符合题意； B、不可由其中一部分图形经过平移得到，故本选项不符合题意； C、不可由其中一部分图形经过平移得到，故本选项不符合题意； D、不可由其中一部分图形经过平移得到，故本选项不符合题意． 故选：A． 3．如图，将三角形平移得到三角形，下列结论中，正确的有（　　）． ①或与在同一条直线上 ②或与在同一条直线上 ③ ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】平移前后对应点的连线所在的直线平行或者重合，对应点连成的线段相等，对应线段相等，逐个判断即可． 【详解】解：对于①和②：由平移的性质可得，对应点的连线所在的直线平行或者重合，故①②正确； 对于③：对应点连成的线段相等，故③正确； 对于④：由平移的性质可得，无法得到，故④错误； ∴正确的结论有个． 4．如图是公园某一段步行区的示意图，可抽象成长方形，长，宽．为方便观赏，公园特意修建了如图所示的步行小路（图中非阴影部分），小路的宽均为，若沿着小路的正中间步行，从入口到出口步行的路线（图中虚线）的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了生活中的平移现象，根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于，纵向距离等于，求出即可． 【详解】解：利用已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于，纵向距离等于， 所以从入口A到出口B步行的路线（图中虚线）的长为， 故选：C． 二、填空题 5．把下面的命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”形式：__________． 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【详解】解：把下面的命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”形式：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 6．“垂线段最短”有下列说法：是命题；是假命题；是真命题；是定理，其中正确的说法是______． 【答案】 【分析】此题主要考查了命题与定理，正确把握命题与定理的定义是解题关键．直接利用命题以及定理的定义分析得出即可． 【详解】解：由命题的定义可知：“垂线段最短”是命题，所以①正确， 由“垂线段最短”是定理，再结合所有的定理都是真命题可得②错误，③④正确． 故答案为：①③④． 7．用一组a，b的值说明命题“若，则”是错误的，这组值可以是：______，______． 【答案】 【分析】此题主要考查了命题与定理，解答此题的关键是要明确：任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 【详解】解：当，时，，， ∵，符合，但， ∴不成立，故命题错误． 故答案为：， 8．如图，在中，．将沿向右平移，得到，与交于点D，连接，若，，则图中阴影部分的面积为____ ． 【答案】18 【分析】利用平移的性质得到，，，从而可得，然后根据梯形的面积公式计算． 【详解】解：∵将沿向右平移，得到，与交于点D，连接，若，， ∴，，， ∵， ∴ ． 三、解答题 9．判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，举一个反例加以说明： (1)两个钝角的和大于平角； (2)两条直线被第三条直线所截，同位角相等． 【答案】(1)真命题； (2)假命题，反例见解析. 【分析】本题考查了判断命题的真假. （1）直接判断即可； （2）举出反例即可. 【详解】（1）解：两个钝角的和大于平角，是真命题； （2）解：两条直线被第三条直线所截，同位角相等，是假命题，反例如下： 如图，两条不平行直线被第三条直线所截，同位角不相等. 10．补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，根据条件与结论因果关系直接填写即可得到答案； 【详解】解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（　同位角相等，两直线平行　）， ∴（　两直线平行，同位角相等　）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（　内错角相等，两直线平行　）． 11．已知，和． (1)如图1，请直接写出与的关系； (2)如图2，写出与的关系，并说明理由； (3)结合（1），（2）的结论，请用自己的语言归纳得到一个真命题． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补 【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等即可证明； （2）根据平行线的性质得，，则； （3）根据（1）（2）的结论归纳得到一个真命题,即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 设交于， ∵， ∴，， ∴； （2）解：，理由如下： 设交于， ∵， ∴，， ∴． （3）解：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补 12．如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． 你选择的条件；________，结论：_____(填序号)． 【答案】①②③；④，证明见解析 【分析】本题考查了命题，平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂线的定义； 选择①②③为条件，④为结论组成一个命题．先由①得到，则根据平行线的性质得到，，再有②得到，所以，接着由③得到，然后根据平行线的性质得到，然后利用等量代换得到． 【详解】解：选择的条件：①②③，结论：④． 证明如下：， ， ，， 平分， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：①②③；④． 13．如图，在方格纸中，的三个顶点和点M都在小方格的顶点上．按要求作图： (1)过点M作直线的平行线； (2)将平移至，使点M落在平移后的三角形内部（不含边界）． (3)请描述（2）中，到的平移过程． 【答案】(1) (2) (3)先向右平移5个单位，再向下平移1个单位 【分析】本题考查了平行线的作图、图形的平移作图及平移过程的描述，涉及网格中几何图形的操作．解题的关键是利用网格特点确定直线方向和平移距离，结合图形位置关系完成作图和描述． （1）根据网格中直线的倾斜趋势，过点 M 作与 方向一致的直线即为平行线； （2）通过网格确定平移方向和距离，使平移后的包含点M在内部； （3）根据原三角形与平移后三角形的位置变化，描述平移的方向和格数． 【详解】（1）解：所作平行线l如图所示． （2）解：平移得到的如图所示． （3）解： 先向右平移 5 个单位,再向下平移一个单位，得到． 14． 如图，将沿射线的方向平移2个单位到的位置，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F． (1)直接写出图中与相等的线段． (2)若，则等于 ． (3)若等于，求的度数． 【答案】(1) (2)5 (3) 【分析】（1）根据平移的性质，找到的对应边即可； （2）根据平移的性质结合线段的和差关系进行求解即可； （3）根据平移的性质，得到，，利用平行线的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵平移，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F， ∴； （2）解：由平移可知：， ∴； （3）解：由平移可知：，， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $