精品解析：宁夏银川、石嘴山、吴忠等市2026届高三一模数学试题

2026年高三年级教学质量检测 数学 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 5．本试卷共6页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为集合， 所以. 2. 已知复数满足，则在复平面内z对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】由得： . 所以复数在复平面内对应的点为，在第一象限. 3. 记为等差数列的前n项和，若，则（ ） A. 10 B. 25 C. 35 D. 50 【答案】B 【解析】 【详解】因为数列为等差数列，所以，解得， 所以. 4. 已知平面向量，若，则（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【详解】由平面向量，且，则，解得：, 所以,则 5. 某人统计了他月份的手机通话明细清单，发现该月共通话次．按每次通话时间长短进行分组（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，则（ ） A. 该月通话时间不低于分钟的次数为次 B. 估计该月通话时间的众数为分钟 C. 估计该月通话时间的第百分位数为分钟 D. 估计该月通话时间的平均数大于中位数 【答案】D 【解析】 【分析】利用频率直方图计算出众数、第百分位数、平均数和中位数，逐项判断即可. 【详解】对于A选项，由图可知，该月通话时间不低于分钟的次数为次，A错； 对于B选项，由图可知，估计该月通话时间的众数为分钟，B错； 对于C选项，前两个矩形的面积之和为， 前三个矩形的面积之和为， 设样本的第百分位数为，则， 由百分位数的定义可得，解得，C错； 对于D选项，该月通话时间的平均数， 设中位数为，因为，所以， 由中位数的定义可得，解得，且， 所以估计该月通话时间的平均数大于中位数，D对. 6. 如果点在函数的图象上，都有点在函数的图象上，则（ ） A. 17 B. 5 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的解析式，代入可得. 【详解】设点在函数的图象上，则点在函数的图象上， 所以，即，所以. 7. 已知实数x，y满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为实数 ，满足， 对于A：取，此时，命题不成立，故A错误； 对于B：由，所以， 当且仅当，即，时取等号，故B正确； 对于C：，所以不存在，使成立，故C错误； 对于D：由可得，所以， 故不存在，使得，故D错误． 8. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 ，故A错误，B正确； ，故CD错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 是减函数 B. 当时， C. 若，则与两点间的距离为 D. 若是函数图象上一点，则M到直线的距离的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求导，根据导数可判断A；根据函数的单调性可判断B；根据两点间距离公式计算可判断C，根据点到直线的距离公式结合正弦函数性质计算可判断D. 【详解】对于A，，因为，当且仅当时等号成立， 所以恒成立且等号仅在时成立， 所以函数是减函数，故A正确； 对于B，由A可知，函数是减函数， 所以当时，，故B正确； 对于C，， 若，则， 所以， 则， 所以与两点间的距离为，故C错误； 对于D，是函数图象上一点，则， 由点到直线的距离公式可得M到直线为， 因为，故，所以，故D正确. 10. 一个竖直放置的底面半径为r，高为h的透明圆柱形无盖水杯（水杯壁厚度忽略不计），杯中盛有水，水面高为，则（ ） A. 若，将水杯倾斜，水未溢出，则水面的形状是椭圆 B. 若另有一圆柱的侧面积与水杯的侧面积相等，则该圆柱的体积与水杯的容积相等 C. 往水杯内放置一个半径为的球，水未溢出且球与水面和杯底均相切，则 D. 将水杯倾斜放置使水面的形状呈椭圆，若椭圆中心位于水杯上下底面中心连线的处，则竖直放置时水面的形状的中心也在水杯上下底面中心连线的处 【答案】AD 【解析】 【分析】把问题转化成水平面截圆柱的截面问题判断A；根据圆柱的侧面积公式和体积公式判断B；利用体积相等列式求解判断C；根据体积不变和椭圆与圆的对称性可判断D. 【详解】对于A：当圆柱水杯倾斜放置且水未溢出时，圆柱轴线倾斜， 水平面与圆柱侧面相交形成椭圆，水面呈椭圆面，正确； 对于B：设另一个圆柱的底面半径为R，高为t，由题意，即， 则该圆柱的体积与水杯的容积之比为：， 显然只有当时，该圆柱的体积与水杯的容积相等，错误； 对于C：由题意，即，解得，错误； 对于D：作出水杯的轴截面，如图所示： 其中是水杯竖直放置时水面直线，是水杯倾斜放置时水面形成椭圆的长轴线， 由于水的体积不变，椭圆与圆的对称性可知，不管水杯如何放置， 与都过点O，且， 则竖直放置时水面的形状的中心也在水杯上下底面中心连线的处，正确. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为与，点P，Q在C的右支上，l为C的一条渐近线，则（ ） A. 若，则C的离心率 B. 若垂直于x轴，M为线段的中点，则 C. 若垂直于x轴，平行于l，则 D. 过点P与双曲线C的两条渐近线分别平行的直线与两条渐近线围成的四边形的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据渐近线斜率求得，代入离心率公式求解判断A；先求得点P的坐标，进而得点M的坐标，代入距离公式化简判断B；先表示点Q的坐标，然后代入双曲线化简求得即可判断C；将平行四边形的面积转化为三角形的面积求解判断D. 【详解】对于A：因为直线为双曲线的一条渐近线， 所以，则，由，则， 所以离心率，正确； 对于B：对双曲线，令，得， 根据双曲线的对称性，不妨取点P在第一象限，所以，， 所以，错误； 对于C：由B可知，，如图： 记，因为平行于l，由对称性，取渐近线，所以， 则，令，则， 将点Q的坐标代入得，化简得， 即，解得，所以，正确； 对于D：双曲线方程的渐近线为：，， 设，是过P点平行的直线，交y轴，与交于， 则 ，， 因为三角形DOE的面积，于是所求面积， 因为与同号，所以，正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据余弦定理及正弦定理求解即可. 【详解】， 由余弦定理可得：， ，， 由，及正弦定理可知，， . 13. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】， 因为， 所以， 因为， 所以. 14. 设抛物线的焦点为F，过点的直线l与C交于A，B两点，若点A的纵坐标为，直线BF与C的另一个交点为Q，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】求出，得到直线的方程：，与抛物线方程联立求解可得，求出直线的方程为：，与抛物线联立方程求出的坐标，利用两点间距离公式即可求解. 【详解】由题可得，， 直线的斜率： 直线的方程：， 联立:，化简得：， 解得：或， 所以， 则，所以直线的方程为：， 联立:，化简得：，解得：或， 所以，则 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某工厂有甲、乙两条生产线加工同一型号的产品，甲生产线加工的优品率为5%，乙生产线加工的优品率为6%，加工出来的产品混放在一起．已知甲、乙生产线加工的产品数分别占总数的51%，49%． （1）任取一件产品，如果取到的产品是优品，计算它是甲生产线加工的概率； （2）现对甲生产线升级改造，从改造前与改造后甲生产线加工的产品中分别随机抽取100件进行检验，数据如下： 优品 非优品 合计 改造前 5 95 100 改造后 15 85 100 合计 20 180 200 根据小概率值的独立性检验，能否认为生产线改造与优品有关联？ 附： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） （2）有关联，理由如下： 由列联表得，总样本量， 代入卡方公式： 因为， 所以有把握认为生产线改造与优品有关联 【解析】 【分析】（1）结合题意根据全概率公式和贝叶斯公式计算求解（2）根据表格数据计算卡方，与临界值比较即可判断. 【小问1详解】 设事件：任取一件产品为甲生产线加工，事件 ：任取一件产品为优品. 由题意得：，，，. 根据全概率公式，可得总优品概率： 根据贝叶斯公式，可得所求条件概率： 【小问2详解】 略 16. 已知数列满足． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）令，求数列的前n项和． 【答案】（1）证明：因为. 又， 所以是以2为首项，以2为公比的等比数列. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义，结合数列的递推公式即可证明. （2）利用（1）的结论，结合累加法可求数列的通项公式. （3）利用“裂项相消法”求和. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得：， 所以，，，…，. 以上各式相加得：. 所以. 【小问3详解】 ， 所以， 所以. 17. 如图，在三棱锥中，底面ABC，=2，D为的中点，，垂足为E，F是线段上的点． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 【答案】（1）证明：因为 底面， 底面，所以， 又，是中点，故， 由于，平面，因此平面 ， 因为平面，所以， 又因为，，平面，所以平面 ， 又因为平面 ，所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理先证明平面 ，得，结合题设再证平面 ，再由面面垂直的判定定理即可得证； （2）利用空间向量法来求出平面夹角余弦值的表达式，转化为函数求最大值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以 为坐标原点，所在直线为轴，过 作平面的垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. ， 则，，，，， 即，，设， 则， 因为，所以， 即， 因为在上，所以可设，， 则， 由图可知平面的法向量为， 设平面 的法向量， 则，令，可得， 设平面与平面夹角为， 则， 令，则， 设， 当时，即，， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值的最大值为. 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若有三个零点，且 （i）求a的取值范围； （ii）当成等差数列时，求a的值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解切线方程， （2）（i）由题意得有三个零点，进而构造函数，利用导数研究函数的单调性，进而可求a的取值范围；（ii）根据零点的意义，结合等差数列的性质计算可求得a的值． 【小问1详解】 由，得，所以， 又， 所以曲线在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 （i）因为，所以不是函数的零点， 当时，由，得， 由有三个零点，则与有三个不同的交点， 由，得， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 又时，；当时，； ，当时，， 因为有三个零点，则，所以， 所以a的取值范围为； （ii）由（i）知， 且，，， 又成等差数列，故可设， 所以，，， 所以，，所以，， 所以，所以，所以， 解得（舍去）或，所以， 代入，得，解得， 所以. 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为4，离心率，过的两条互相垂直的直线分别与y轴交于P，Q两点，且Q在y轴正半轴上，设直线的斜率为k（），以PQ为直径的圆与E在第一象限的交点为M． （1）求椭圆E的方程； （2）证明：直线QM与椭圆E有唯一的公共点； （3）直线与椭圆E交于A，B两点，当时，求的面积． 【答案】（1） （2）证明：由，设直线，得， 因为，所以斜率为​，即方程为，得， 则以为直径的圆的圆心坐标为，半径为， 所以该圆的方程为：， 整理得：， 联立椭圆方程，消去解得：， 整理得：， 解得或，， 所以第一象限交点的纵坐标为，横坐标， 即，因为，所以斜率， 由直线过，则可得直线方程为：， 联立椭圆方程，消可得： 整理得， 由判别式可得：， 因此直线与椭圆仅有一个交点，得证； （3） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆参数的性质即可求解； （2）利用方程组思想，结合判别式为0来证明直线与椭圆相切； （3）利用方程思想求解坐标，弦长，点到直线的距离，即可求解面积. 【小问1详解】 由题意可得：焦距，得，离心率，解得， 又由， 因此椭圆的方程为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，，向量，， 则， 又因为点，所以有 平方整理得，解得正根， 因为，所以，得，， 则直线方程为，联立椭圆方程， 消得：， 解得或， 则交点，，可得弦长， 点到直线的距离， 因此面积：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高三年级教学质量检测 数学 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 5．本试卷共6页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则在复平面内z对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 记为等差数列的前n项和，若，则（ ） A. 10 B. 25 C. 35 D. 50 4. 已知平面向量，若，则（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 5. 某人统计了他月份的手机通话明细清单，发现该月共通话次．按每次通话时间长短进行分组（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，则（ ） A. 该月通话时间不低于分钟的次数为次 B. 估计该月通话时间的众数为分钟 C. 估计该月通话时间的第百分位数为分钟 D. 估计该月通话时间的平均数大于中位数 6. 如果点在函数的图象上，都有点在函数的图象上，则（ ） A. 17 B. 5 C. 3 D. 2 7. 已知实数x，y满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 是减函数 B. 当时， C. 若，则与两点间的距离为 D. 若是函数图象上一点，则M到直线的距离的最大值为 10. 一个竖直放置的底面半径为r，高为h的透明圆柱形无盖水杯（水杯壁厚度忽略不计），杯中盛有水，水面高为，则（ ） A. 若，将水杯倾斜，水未溢出，则水面的形状是椭圆 B. 若另有一圆柱的侧面积与水杯的侧面积相等，则该圆柱的体积与水杯的容积相等 C. 往水杯内放置一个半径为的球，水未溢出且球与水面和杯底均相切，则 D. 将水杯倾斜放置使水面的形状呈椭圆，若椭圆中心位于水杯上下底面中心连线的处，则竖直放置时水面的形状的中心也在水杯上下底面中心连线的处 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为与，点P，Q在C的右支上，l为C的一条渐近线，则（ ） A. 若，则C的离心率 B. 若垂直于x轴，M为线段的中点，则 C. 若垂直于x轴，平行于l，则 D. 过点P与双曲线C的两条渐近线分别平行的直线与两条渐近线围成的四边形的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则__________． 13. 已知，则__________． 14. 设抛物线的焦点为F，过点的直线l与C交于A，B两点，若点A的纵坐标为，直线BF与C的另一个交点为Q，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某工厂有甲、乙两条生产线加工同一型号的产品，甲生产线加工的优品率为5%，乙生产线加工的优品率为6%，加工出来的产品混放在一起．已知甲、乙生产线加工的产品数分别占总数的51%，49%． （1）任取一件产品，如果取到的产品是优品，计算它是甲生产线加工的概率； （2）现对甲生产线升级改造，从改造前与改造后甲生产线加工的产品中分别随机抽取100件进行检验，数据如下： 优品 非优品 合计 改造前 5 95 100 改造后 15 85 100 合计 20 180 200 根据小概率值的独立性检验，能否认为生产线改造与优品有关联？ 附： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 已知数列满足． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）令，求数列的前n项和． 17. 如图，在三棱锥中，底面ABC，=2，D为的中点，，垂足为E，F是线段上的点． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若有三个零点，且 （i）求a的取值范围； （ii）当成等差数列时，求a的值． 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为4，离心率，过的两条互相垂直的直线分别与y轴交于P，Q两点，且Q在y轴正半轴上，设直线的斜率为k（），以PQ为直径的圆与E在第一象限的交点为M． （1）求椭圆E的方程； （2）证明：直线QM与椭圆E有唯一的公共点； （3）直线与椭圆E交于A，B两点，当时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $