福建省三明第一中学2025-2026学年高三下学期3月月考数学试卷

三明一中2025-2026学年下学期高三月考 数学试卷 (考试时间：120分钟满分：150分) 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，仅有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合A={x2-3x-4≤0，B={x∈Z-122,则AnB= A.{-1,3,4} B.{-2,-1,3} C.{0,2,3,4} D.{-1,0,3,4} 2.设复数在复平面内的点关于实轴对称，云=1+i,则三= A.-i B.i C.-1 D.1 3.某次展览会有4个核心主题，已知每个主题下有2个案例，现需从8个案例中随机抽取 4个案例进行重点演示，则抽出的4个案例中，恰好包含某一个主题下的2个案例，而 外2个案例来自两个不同主题的抽取方案的种数为 A.120 B.96 C.48 D.24 4.已知向量a,6满足a=2,l=3,a-司=√7，则a与6的夹角为 A君 B月 π 3 D.Sn 6 5.若椭圆女」 6京+片=1@>b>0的长抽长是短轴长的2倍，右焦点是抛物线产=2px的焦 点，则巴= A. 2 B.√2 C.2 D.2W5 6.函数f(x)=sin(wx+p)(o>0)的图象关于点 （30对称，且直线y=1与函数图象的 相邻两交点间距离为气，则正实数P的最小值为 A. B. c骨 D. 2π 3 7.一个质点在随机外力的作用下，从数轴的原点出发，每隔1s等可能地沿数轴的正方向或 负方向移动一个单位，共移动7次，则质点最可能移动到的位置的坐标为 A.7或-5 B.5或-3 C.3或-3 D.1或-1 第1页共6页 8.已知函数f)=。，关于x的方程2f产()=3af-a有且仅有4个不同的实根， 1-x 则实数a的取值范围为 A.(e2,2e2) c.(e,e2) e 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个 选项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。 9.某自动流水线生产的一种新能源汽车零配件产品的质量X(单位：g)服从正态分布 N(4,o)且P(X<I4)-日P(X≤18)=g从该流水线上随机抽取4件产品，这4件 产品中质量X在区间[14,18]上的件数记为5，则 A.4=16 B.(4 cP5=-0得 D.E(5)=3 10.下列说法正确的是 A.样本相关系数”的绝对值越大，则线性相关性越强 B.1,2,4,5,6,12,18,20的75%分位数是12 C.随机变量X的方差D(X)=20,期望E(X)=6,则E(X2)=16 D.某班30个男生的数学平均分为90，方差为4,20个女生的数学平均分为85，方差 为6，则全班50个学生的数学成绩的方差为10.8 11.在平面直角坐标系x0y中，已知A(-2,0),B(2,0),动圆C:(x-1)2+(y-r=r2(>0), 过点A,B分别作斜率为k，k(飞k2≠0)的两条直线与动圆C相切，两切线交于第一象 限的点P(x,%),设点B到直线PA的距离为d，则下列说法中正确的是 A.PB>1 B.<3 C.k>5 D.d<23 第Ⅱ卷（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.（x2-2x°的展开式中，x的系数是 13.已知曲线y=e+1在x=0处的切线也是曲线y=血(x+1)+a的切线，则a= 14.已知不等式2x-mlnx+1≥2lnx+n(m,n∈R,且m≠-2)对任意正实数x恒成立，则 一5的最大值为 m+2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 在△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a(sinB+√3cosB)=√3c. (1)求∠A; ②若0sC=日，a=22,求△MBC的面积S. 16.(15分) 抽屉里有相同规格的3块充电电池和2块一次性干电池，当需要使用电池时即从抽屉随 机抽取一块，充电电池使用完后充满电放回原抽屉，干电池使用完后即作垃圾回收.当抽屉 只剩下充电电池时则停止电池的随机抽取， (1)求在第2次抽取的是干电池的条件下第1次抽取的也是干电池的概率； (2)若每次用完一块干电池就补充一块充电电池，直到2块干电池用完.记抽取第+1次 时恰好抽到最后一块干电池的概率为Pn,求P. 17.（15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，AB=2,∠ABC=60°，ACII平面 BGH,点G,H分别在棱PA,PC上，且GH⊥PD. (I)求证：PA=PC; (2)若PB=PD,PB与平面PAC所成的角为60°，点A关于平面PCD的对称点为M, 求点M到平面PAB的距离. 18.（17分) 已知椭圆c: 京+方=1a>b>0)的长轴长为4，直线y=k>0)与椭圆C交于A,B y2 两点（点4在第一象限）.当k=三时，A,B在x轴上的射影怡好是椭圆的两个焦点。 M B (1)求C的标准方程； (2)若AM⊥x轴于点M,连接BM并延长交C于点P,记直线AP的斜率为k。. (i)证明：k为定值； (i)设|AB=t|AP|,求t的最小值. 19.（17分) 已知函数f(x)=e'-ax-2,g(x)=xcosx-sinx. (I)当x∈[0，π]时，求函数g(x)的最小值； (2)当a>e时，证明：y=f(x)+2在(0，+o)上存在2个不同的零点x,x2,且x+x2>2; g)当xe受时，不等式)+g)+s血x之0恒成立，求实数a的取值范围。 三明一中2025-2026学年下学期高三月考 数学参考答案 一、单选题 A B C B A D D A 二、 多选题 ABD BD ABD 三、填空题 12、80 13、2 14、 -In2 14.【详解】原不等式等价于2x+1-n≥(m+2)nx. 若m<-2,则曲线g(x)=(m+2)山x必然有一部分位于直线y=2x+1-n的上方， 与原不等式恒成立相矛盾，所以m>-2(也可令x→0，g(x)→+0>1-n进行排除). 所.上述不等式等价于2x+1-”之血x, m+2'm+2 设函数f)=nx,直线1：y=2x+1-” m+2m+2 经过分析可知，f(x)单调递增且上凸，直线1经过点 5-n m+2 要想2x+1-之hx恒成立， m+2'm+2 需满足 2, 5-n 、m+2 在函数f()上方或2,5-） 在f(x)上且1与f(x)相切于此点， m+2 可得≥n2,由此即可得” ≤-n2, m+2 m+2 显然等号成立时， 5-n 2, 在f(x)=nx上， m+2 即直线1与f(x)相切于点 3 5-n m+2 又l:y= 2x+的斜率为2，=，故= m+2m+2 m+2 2m+21 解得m=2,此时m=5-4n2,所以”-5 的最大值为-n2. m+2 四、解答题 15.(1)由正弦定理知sinA(sinB+V3cosB)=V3sinC=V3(sin Acos B+cos Asin B).…2分 .∴sin Asin B=3 cos Asin B,B∈(0，π)，.sinB≠0，…4分 tanA=V5,A∈(0，x),A= …6分 3 (2)法-：由(1)知B+C=径，cosB+)=C-iinC=- 3 ∴.sin BsinC= 8分 8 bc a28×4 10分 sin BsinC sin24 3 bc=323 -×-=4, …12分 38 1 .=-×4× =√万.…13分 2 2 法二：由(1)知B+C=2 号，cos(B+9=BcoC--sin Bsin C=- …8分 3 ∴.sin BsinC= 9分 由正弦定理可得2R=a=b c424V6 11分 sin A sin B sin C√33 ..S=2R2sin Asin BsinC=............... 13分 16. (1)记第1,2次取出的是干电池的概率分别为P(A),P(B),…1分 32.21 21 P(B)= 号十号x4P4B)=号 5么’……5分 在第2次取出的是干电池的条件下第1次取出的也是干电池的概率为 21 5 P(AB)= P(AB) 54 …7分 P(B) 23,1 5 54 (2)方法一：依题意有抽屉里有3块充电电池，2块干电池， 用完第一块干电池后补充一块充电电池，电池总数为5块不变.…8分 记第(=1,2，…，)次恰好抽到第一块干电池，…9分 第n+1次恰好抽到第二块干电池的概率为P(n,),…10分 则-周号) …12分 R-2))){ …15分 方法二：“第n+1次抽取时恰好抽到最后1块干电池”可分为两类： 第1次抽到干电池与第1次抽到充电电池。… …8分 当第1次抽到充电电池时： 此时第n+1次抽取时恰好抽到最后1块干电池~的概率为2P, …9分 当第1次抽到干电池时，仅第1次与第n+1次抽到干电池： 此时第+1改取时好轴到最后1块干电的率为子)×兮引)”，“0分 24 255 …11分 2×1-2 R=5×525 neN,n≥2. 12分 2-+六八号-引8分 :{图)只号是以品为首项为公比的等比微列， …14分 - --. 当n=1时该式也成立、 放所求版率为2-引阁-得食)】。 nEN'. …15分 17.(1)证明：连AC,BD相交于点O,连PO, 底面ABCD为菱形，AC L BD且AO=OC.…2分 又AC/平面BGH,ACc平面PAC,平面PAC∩平面BGH=GH,.ACI1GH,3分 ∴.GH⊥BD,又GH⊥PD,而PDOBD=D, 第3页共7页 GH⊥平面PBD,… …5分 又AC/GH,AC⊥平面PBD,…6分 而POc平面PBD,∴AC⊥PO,AO=OC,△PAC为等腰三角形，即PA=PC.…7分 B (2)若PB=PD,则PO⊥BD,由(1)知PO⊥AC,.PO⊥平面ABCD, 以O为原点以OB,OC,OP分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系， 又AB=2,∠ABC=60°，则A(0,-1,0),B(N3,0,0),C(0,1,0),D(-5,0,0),…8分 ,PO⊥AC,AC LBD,BOI平面PAC,PB与平面PAC所成的角为60°， .∠BP0=60°，.P0=1,.P(0,0,1).…9分 .AC=(0,2,0),CD=(-3,-1,0),PC=(0,1,-1) 设平面PCD的法向量为m=(x,,名) 则{5-%=0取5=1，%=-5,3=-5，÷m=-5,-,…10分 为-31=0 设M(:2,2),MC=(（x2,1-y2,-2),则A,M到平面PCD的距离相等， a-c时_cm上-5+5%+52， …11分 万 k2-5y,-52+5=25. 又利丽·解得9号号 4V5512 …12分 …13 设平面PAB的法向量为i=(x,y⅓，23)，BA=CD=(-√3，-1,0)，AP=(0,1,1). 第4页共7页 3-为=0取5=1，为=5，马=5，∴n=,-,),…l4分 则 y+z3=0 113+5√3-123 则点M到平面PAB距离为d= 4W34W21 7 7N749 …15分 18.(1)由题意有2a=4,所以a=2.…1分 设椭圆焦距为2c,易知椭圆过点 2 c 所以c+c 422=1.…2分 又a2=b2+c2,所以c2=4-b2. 所以4二62+4-62=1，即62+462-2=0，解得b2二2.…3分☐ 所以a=2,b=c=2,故C的标准方程为女+上 =1.…4分 42 (2)(i)设A(x,)(>0,%>0),B(-x,y),P(x,),则Mx,0,由题意有k= 直战8即的斜率即mBM的斜率为是-克所以直线B驴的方程y+%一+)。 所以%+%=+，又4，P在椭圆上， 5+今=1.-0*-为 42 子+坚16+2m 。 …6分 42 :6=名弘=当+五」 、 x-x2(4+%) 26*) …8分 k0=-1… …10分 (i).∠ABP=∠AOM-∠BMO=∠AOM-∠PM, 而tan∠AOM=k,tan∠PMx= …12分 由（1)知k。=-1, .AP⊥AB,又k>0,… …13分 时骨益二器 2 2+k2…15分 2 第5页共7页