第九章 解三角形（复习讲义）数学人教B版必修第四册

该高中数学第九章解三角形复习讲义通过基础、进阶、拓展三级目标构建知识体系，利用表格系统梳理正弦定理、余弦定理等核心知识点，明确重点归纳与常见易错点，清晰呈现知识脉络及内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，从基础解三角形到综合拓展题型，如实际应用中航海定位问题转化模型，培养数学思维与应用意识。例题与变式结合，适配不同层次学生，助力教师实施精准教学，提升复习效率。

第九章 解三角形（复习讲义） 一、基础目标 1. 能复述正弦定理、余弦定理的文字表述和符号公式，明确定理适用的三角形范围（任意三角形），能准确区分两定理的核心用途． 2. 会推导正弦定理（利用三角形外接圆性质）和余弦定理（利用向量投影或勾股定理拓展），能清晰说出推导过程中的关键步骤，理解定理的几何意义． 3. 能复述三角形内角和定理及三角形面积的核心公式（含两边及夹角、三边、两边及对角三种常用形式），会直接代入已知数据计算三角形面积． 4. 能应用正弦定理、余弦定理解决“已知两角及一边”“已知两边及夹角”“已知三边”这三类基础解三角形问题，准确求出三角形的未知边、角（结果符合题意，保留合理精度）． 5. 能判断简单三角形的形状（等腰三角形、直角三角形），会通过边角互化（基础层面）分析边、角关系，如由推出，由推出为直角． 6. 能解决阶段考中常见的基础题型：直接利用定理求边长、角度，直接代入公式求三角形面积，判断基础三角形形状． 二、进阶目标 1. 理解并应用正弦定理解决“已知两边及其中一边的对角”问题，能准确判断此类问题的解的个数（一解、两解、无解），结合“大边对大角”“正弦函数有界性”进行推理验证． 2. 理解并应用余弦定理解决三角形中“边长的平方关系”“角度的取值范围”问题，能结合三角形三边关系（两边之和大于第三边、两边之差小于第三边）求解边长或角度的范围． 3. 能综合运用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，解决“已知面积求边长、角度”“已知边长、角度求面积”的综合题型，如已知，求面积及边． 4. 能熟练进行三角形的边角互化，既能将边的关系转化为角的三角函数关系，也能将角的三角函数关系转化为边的关系，解决复杂三角形形状判断问题（如等腰直角三角形、钝角三角形），规避判断遗漏（如“等腰或直角三角形”的准确判定）． 5. 能解决阶段考、高考中常见的中档题型：解的个数判断、边长/角度范围求解、面积与定理的综合应用、复杂三角形形状判断，能规范书写解题步骤（含推理依据、公式代入、结果验证）． 6. 理解三角形射影定理（等），能结合射影定理简化解三角形运算，辅助解决中档难度的边角互化问题． 三、拓展目标 1. 能综合运用解三角形知识与三角恒等变换（同角三角函数关系、两角和与差公式），解决复杂边角互化问题，如已知，结合定理求边的关系或角度． 2. 理解并应用解三角形知识解决实际应用问题，能将航海定位、建筑测量、高度/距离测量等实际情境，转化为解三角形模型，明确方位角、俯角、仰角的含义，准确提取已知条件，求解实际问题中的距离、高度、角度． 3. 能综合运用解三角形与平面向量知识（如向量数量积、中点向量公式），解决综合性问题，如已知向量，结合定理求边长、角度或面积． 4. 能探究三角形的中线、角平分线相关问题，会利用等面积法、邻角互补法结合正余弦定理求解中线、角平分线的长度． 5. 能解决三角形周长定值、面积最值问题，结合基本不等式、三角函数最值，分析边长、角度的取值与最值关系． 6. 能总结解三角形常见易错点（如解的个数判断失误、边角互化遗漏条件、角度范围忽略三角形内角限制），能规范书写高考解答题的完整步骤，确保推理严谨、结果准确． 知识点 重点归纳 常见易错点 正弦定理 核心公式：（R为外接圆半径）；适用任意三角形；可用于边角互化、求解未知边/角，重点掌握题型解的个数判断． 1. 忽略解的个数判断； 2. 误用公式（遗漏）； 3. 忽略三角形内角范围． 余弦定理 核心公式：（、同理推导）；可求解边长、角度、判断三角形形状，进阶可结合基本不等式求最值． 1. 公式记忆错误（符号混淆）； 2. 边角互化时漏条件； 3. 角度范围计算失误． 三角形内角和定理 核心内容：；是约束角度范围、验证解题结果的关键辅助工具，常与正余弦定理结合使用． 忽略内角取值范围（），导致结果不合理． 射影定理 核心公式：（同理推导、）；可简化边角互化运算，辅助解决复杂解三角形问题． 公式记忆混淆，误用射影定理代替正余弦定理． 三角形面积公式 核心公式：（两边及夹角），可结合正余弦定理推导三边、两边及对角形式；重点掌握面积与边/角互求． 1. 遗漏公式中的； 2. 误用非夹角边代入公式计算． 基础解三角形题型 包括已知两角一边、两边夹角、三边求未知边/角；重点是准确应用正余弦定理，规范解题步骤，确保运算无误． 1. 运算粗心出错； 2. 解题步骤不规范，遗漏关键推导过程． 三角形形状判断 通过边角互化分析边、角关系，判断等腰、直角、钝角三角形；重点是抓住特殊边（相等、满足勾股定理）、特殊角（90°、60°等）． 判断钝角三角形时，遗漏某一个角的余弦值判断． 综合拓展题型 包括解的个数判断、边长/角度/面积最值、实际应用、与向量/三角恒等变换结合；重点是综合运用全章知识，培养逻辑推理能力． 1. 最值求解时忽略定义域限制； 2. 实际应用中不会转化为解三角形问题． 题型一 正弦定理 【例1】在中，角，，的对边分别为，，.若，，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】在中，由，有，所以. 又，故，所以. 故选：A. 【变式1-1】在中，，则边的长为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】因，则， 由正弦定理，，则. 故选：B. 【变式1-2】在中，，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【详解】在中，根据正弦定理得，即， 所以，又，所以或， 当时， ，符合题意， 当时， ，符合题意； 所以的两个解均成立. 根据三角形内角和定理， 所以或. 故选：A 【变式1-3】（多选）根据下列情况，判断三角形解的情况，其中错误的是（   ） A．，，，有两解 B．，，，有一解 C．，，，无解 D．，，，有一解 【答案】ABC 【详解】对于A，由，得，则，即只有一解，A错误； 对于B，，且，则，而为锐角，因此有两解，B错误； 对于C，由，，，得，有解，C错误； 对于D，由，得，又，则是锐角，有一解，D正确. 故选：ABC 【例2】在中，内角的对边分别为．若，则的面积为（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】A 【详解】，， ， . 故选：A. 【变式1-1】已知的面积为，且，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】由的面积为，得，则， 解得，又，所以或. 故选：C 【变式1-2】（多选）已知的面积为且，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】，， 因为， 所以或． 故选：CD 题型二 余弦定理 【例1】在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得， 又，所以. 故选：A 【变式1-1】已知中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据余弦定理得. 故选：C 【变式1-2】在中，，则最大的内角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为三条边中最大，所以最大的内角为， 由余弦定理得， 由，所以. 故选：C 【例2】在中，，，，则（    ） A．1 B．3 C．1或3 D．2 【答案】B 【详解】在中利用余弦定理可得，， 则由题意得，即，得（负值舍去）. 故选：B 【变式1-1】在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【详解】由余弦定理得，所以. 故选：D 【变式1-2】设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A．2或4 B．3 C．5 D． 【答案】A 【详解】因为，，， 由余弦定理可得，即， 可得，解得或． 故选：A. 题型三 正弦定理与余弦定理的应用 【例1】记的内角的对边分别为，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由余弦定理，得： ， ， 所以 ， 再利用正弦定理：， 代入已知值：， 整理得：. 故选：A 【变式1-1】在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【详解】由，，，由余弦定理得， 又因为，所以， 所以. 故选：A 【变式1-2】在中，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，所以， 所以． 故选：D. 【变式1-3】中，，，的对边分别是，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，由正弦定理得. 故选：D 【例2】（多选）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则是钝角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若，则有两解 【答案】ACD 【详解】对于A，，所以，由正弦定理得，故A正确； 对于B，，故边最长，角最大. 设， 则. 所以角为锐角，故是锐角三角形，故B错误； 对于C，，则，则为等腰三角形，故C正确； 对于D，， 因为，故，结合可得， 根据正弦定理 由正弦函数的性质可知有两解， 所以有两解，故D正确. 故选：ACD. 【变式1-1】在中，角的对边分别为，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【详解】因为，由余弦定理得， 化简得， 若，即，此时为直角三角形； 若，则，此时为等腰三角形． 综上，为等腰三角形或直角三角形． 故选：D． 【变式1-2】在中，“”是“为直角三角形”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】先考查充分性： 由，可得， 整理得，由正弦定理得，故为直角三角形，充分性正确； 再考查必要性： 若为直角三角形，不妨令，代入，即必要性不成立. 故“”是“为直角三角形”的充分不必要条件. 【例3】海上某货轮在处看灯塔，在货轮的南偏东，距离为海里处；在处看灯塔，在货轮的南偏西，距离为海里处，货轮由处向正南航行到处时看灯塔在北偏东，则灯塔与处之间的距离为（   ） A．海里 B．40海里 C．海里 D．海里 【答案】C 【详解】如图所示，依题意． 在中，， 由正弦定理得，． 在中，由余弦定理可得 ， 所以， 故选：C 【变式1-1】如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案（的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c）：①测量A，B，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.则一定能确定A，B间距离的所有方案的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【详解】对于①，利用内角和定理先求出， 再利用正弦定理解出； 对于②，直接利用余弦定理即可解出； 对于③，先利用内角和定理求出， 再利用正弦定理解出，故A正确. 故选：A. 【变式1-2】如图所示，为测量一建筑物的高度，在地面上选取两点，从两点测得建筑物顶端的仰角分别为，，且，两点间的距离为60m，则该建筑物的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，，，， ， 由正弦定理，得， 所以建筑物的高度为． 故选：A． 题型四 三角形边长、周长、面积的最值或范围 【例1】设锐角的三边长为，若的三边满足等式：，则的取值范围为__________． 【答案】 因为是锐角三角形，，因此​，得，即 因为三个角都是锐角，所以，解得，所以 又​，，所以 因为，所以 【变式1-1】已知 的内角 的对边分别为，，点 D 满足 若 则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，由题可得,设 在中由余弦定理得 ， 在中由余弦定理可得 故 ，设 则 当且仅当 时取等号，此时 【变式1-2】在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则周长的最大值为（    ） A． B． C．9 D．15 【答案】A 【详解】因为，， 由正弦定理可得， 整理得，则有， 即，，， 当且仅当时，等号成立， 因为周长为， 故周长的最大值为． 【例2】已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若a+b＝2，则△ABC的面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由正弦定理知，＝＝， ∵， ∴sinB＝4（sinA﹣sinCcosB）， ∵sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC， ∴sinB＝4sinBcosC， 又sinB≠0， ∴cosC＝，sinC＝＝， ∵， ∴，当且仅当a＝b＝1时，等号成立， ∴△ABC的面积S＝absinC＝． 则△ABC的面积的最大值为 故选：D． 【变式1-1】在中，内角所对的边分别是，若，且外接圆的半径为2，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于，且外接圆的半径为2，所以． 由余弦定理得， ， 则 故选：D． 【变式1-2】设锐角的内角、、所对的边分别为、、，且，，则的面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，由正弦定理可得， 因为为锐角，则，所以，，即， 所以，，，，则，， ，由正弦定理，则有， 因为为锐角三角形，则，解得，所以，， 所以，. 故选：C. 基础巩固通关测 1．已知的内角的对边分别为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由正弦定理可得. 故选：A. 2．已知中，，，那么角等于（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【详解】在中，，， 由正弦定理得：， 则， 因为，所以，则， 故选：C 3．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则边（   ） A．5 B． C．4 D．3 【答案】D 【详解】，，， ， ，． 故选：D. 4．在中，，则（    ） A．3 B．5 C．4 D． 【答案】D 【详解】由，且， 所以，可得. 故选：D 5．已知在中，内角的对边分别为，且，则角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，， 则． 又，则． 故选：C． 6．已知的三边长分别为，则的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】记长为4的边的对角为,则由余弦定理可以知道, 所以, 设的外接圆半径为,则由正弦定理,得,所以, 所以外接圆的面积为. 故选：A. 7．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【详解】因为，由正弦定理可得， 则，即， 所以，即， 又因为，则，即, 所以是等腰三角形. 8．在中，已知是边上的中线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由余弦定理得：， 再由余弦定理得：， 则， 故选：B 9．如图所示，在河岸上测量河的宽度，测量下列四组数据，较适宜的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可求出，由，可利用正弦定理求出，故选D． 10．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a＋b－c)(a＋b＋c)＝3ab，且c＝4，则面积的最大值为（    ） A．8 B．4 C．2 D． 【答案】B 【详解】由已知等式得a2＋b2－c2＝ab，则cos C＝＝＝． 由C∈(0，π)，所以sin C＝． 又16＝c2＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝ab，则ab≤16， 当且仅当时，取得最大值. 所以＝absin C≤×16×＝4． 故Smax＝4． 故选：B． 11．位于P处的雷达接收到在其正东方向相距海里的B处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于P处雷达北偏东且与P处雷达相距30海里的M处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】题意如图，    当甲船沿航行时，航行的里数最少. 由题意，，在中，根据余弦定理可得： ， 所以. 即甲船至少需要航行的海里数为. 故选：B. 12．（多选）在中，内角，，所对的边分别为，，．若，，，则角可以等于（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】由正弦定理可得， 因为，所以， 所以或． 故选：CD． 13．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则______． 【答案】 【详解】因为，且，，所以， 由正弦定理可得，即， 即，解得， 故答案为：. 能力提升进阶练 1．如图，已知在圆的内接四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 连接，由题意四边形为圆的内接四边形可知, 则在三角形中由余弦定理得：， 在三角形中由余弦定理得：， 因为，所以，即，解得. 故选：C 2．在钝角中，内角的对边分别为，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 由正弦定理得， 又， 所以， 即， 因为为钝角三角形，则， 所以， 由正弦定理得，又，则， 又因为，由余弦定理得. 故选：A. 3．在中，三个内角所对的边分别为，为的面积，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，，由余弦定理：， 两式相加得：，其中， 因为，，又，所以，于是，所以， 故选：A. 4．某校兴趣小组想要测量宁德市海慧塔的高度，在塔附近选取了相距60米的，（，与该塔的塔底在同一水平面上）两个测量点，从点观测该塔塔顶的仰角为，从点观测该塔塔顶的仰角为，且，则这座塔的高度为（   ） A．15米 B．米 C．30米 D．米 【答案】C 【详解】解：设这座塔的高度为米， 因为从点观测该塔塔顶的仰角为，从点观测该塔塔顶的仰角为， 在中，，米；在中，，米， 在中，，米， 由余弦定理得：，即， 整理得，即，解得或（舍） 所以，这座塔的高度为米. 故选：C 5．在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形或等腰三角形 【答案】D 【详解】，， ， 化简得，， ，即， 或， ，或，即或， 是直角三角形或等腰三角形. 故选：D. 6．在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则锐角面积的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】且，, 根据正弦定理得，, 即， 整理得， ，，，解得，， ， ，, 的面积 为锐角三角形，，， ，， ， . 故选：C. 7.（多选）在中，下列关系中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由正弦定理，得， 又，，B正确；A错误；C错误； 由， 得，D正确． 故选：BD. 8．（多选）在中，三个内角所对的边分别为，若，，的面积为1，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由知，， 化简可得， 根据和差化积公式可得：， 则，即， 由知，， 所以，即，故C正确； 由，得：，所以，故B不正确； 在中，由，知，故A正确； 由知，， 又，则，又， 由正弦定理得，，故D不正确. 9．如图，在中，，点D在线段上， (1)若，，求的长； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，，，， 由正弦定理，得，所以. （2）在中，，而，， 则，又，因此， 在中，， 所以. 10．已知的内角的对边分别为，且满足. (1)求； (2)若，求锐角周长的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）由， 因为在中有，所以上式可化为， 又因为，所以，又因为，所以； （2）由正弦定理得：， 可得， 所以的周长为， 因为锐角，可知， 可得，则周长可化为：， ， 由，且， 所以，即， 故锐角周长的取值范围为. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第九章解三角形（复习讲义) 单元目标聚焦·明核心 一、基础目标 1.能复述正弦定理、余弦定理的文字表述和符号公式，明确定理适用的三角形范围（任意三角形），能准 确区分两定理的核心用途， 2.会推导正弦定理（利用三角形外接圆性质）和余弦定理（利用向量投影或勾股定理拓展），能清晰说出 推导过程中的关键步骤，理解定理的几何意义， 3.能复述三角形内角和定理及三角形面积的核心公式（含两边及夹角、三边、两边及对角三种常用形式）， 会直接代入已知数据计算三角形面积， 4.能应用正弦定理、余弦定理解决“己知两角及一边”“己知两边及夹角”“己知三边”这三类基础解三 角形问题，准确求出三角形的未知边、角（结果符合题意，保留合理精度）. 5.能判断简单三角形的形状（等腰三角形、直角三角形），会通过边角互化（基础层面）分析边、角关系， 如由a=b推出A=B,由a2+b2=c2推出C为直角. 6.能解决阶段考中常见的基础题型：直接利用定理求边长、角度，直接代入公式求三角形面积，判断基 础三角形形状。 二、进阶目标 1. 理解并应用正弦定理解决“已知两边及其中一边的对角”问题，能准确判断此类问题的解的个数（一 解、两解、无解)，结合“大边对大角”“正弦函数有界性”进行推理验证 2.理解并应用余弦定理解决三角形中“边长的平方关系”“角度的取值范围”问题，能结合三角形三边关 系（两边之和大于第三边、两边之差小于第三边）求解边长或角度的范围. 3. 能综合运用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，解决“己知面积求边长、角度”“己知边长、角度 求面积”的综合题型，如已知a、bA,求面积S及边c 4. 能熟练进行三角形的边角互化，既能将边的关系转化为角的三角函数关系，也能将角的三角函数关系 转化为边的关系，解决复杂三角形形状判断问题（如等腰直角三角形、钝角三角形），规避判断遗漏（如“等 1/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 腰或直角三角形”的准确判定). 5.能解决阶段考、高考中常见的中档题型：解的个数判断、边长/角度范围求解、面积与定理的综合应用、 复杂三角形形状判断，能规范书写解题步骤（含推理依据、公式代入、结果验证）. 6.理解三角形射影定理(a=bcosC+ccosB等)，能结合射影定理简化解三角形运算，辅助解决中档 难度的边角互化问题」 三、拓展目标 1.能综合运用解三角形知识与三角恒等变换（同角三角函数关系、两角和与差公式），解决复杂边角互化 问题，如已知sinA+sinB=2sinC,结合定理求边的关系或角度， 2.理解并应用解三角形知识解决实际应用问题，能将航海定位、建筑测量、高度/距离测量等实际情境， 转化为解三角形模型，明确方位角、俯角、仰角的含义，准确提取已知条件，求解实际问题中的距离、高 度、角度， 3. 能综合运用解三角形与平面向量知识（如向量数量积、中点向量公式），解决综合性问题，如己知向量 AAC,结合定理求边长、角度或面积. 4.能探究三角形的中线、角平分线相关问题，会利用等面积法、邻角互补法结合正余弦定理求解中线、 角平分线的长度. 5.能解决三角形周长定值、面积最值问题，结合基本不等式、三角函数最值，分析边长、角度的取值与 最值关系 6.能总结解三角形常见易错点（如解的个数判断失误、边角互化遗漏条件、角度范围忽略三角形内角限 制)，能规范书写高考解答题的完整步骤，确保推理严谨、结果准确. 2/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 知识图谱流理 因基础 解三角形的定义 a=bc 2bccosA b-a'+c'-2ac cos B. 公式 c'=d+h-2ab cos C. 余弦定理 已知三边求角 使用条件 已知两边一角求边 a b 解三角形 公式 sin sinB sinC =2R 已知两角一边求边角 正弦定理 使用条件 已知两边一角求角 边化角 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C 边角互化 sinA=a b 角化边 sin B= 2R'sinC=2R 1 1 三角形面积 -acsin B= 2absinc, 3/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 教材要点精析•夯重点 知识点 重点归纳 常见易错点 正弦定理 核心公式：品=品=品c=2R(R为外 1.忽略解的个数判断； 接圆半径)；适用任意三角形；可用于边角互 2. 误用公式（遗漏2R): 化、求解未知边/角，重点掌握SSA题型解的 3.忽略三角形内角范围. 个数判断 余弦定理 核心公式：a2=b2+c2-2 bccosA(b2、 1.公式记忆错误（符号混 c2同理推导)；可求解边长、角度、判断三角 淆)； 形形状，进阶可结合基本不等式求最值· 2.边角互化时漏条件； 3.角度范围计算失误. 三角形内角和定理 核心内容：A十B十C=π：是约束角度范围、 忽略内角取值范围 验证解题结果的关键辅助工具，常与正余弦 (0<A、B、C<π)，导致结 定理结合使用. 果不合理. 射影定理 核心公式：a=bcosC+ccosB(同理推导b 公式记忆混淆，误用射影定 、c)；可简化边角互化运算，辅助解决复杂 理代替正余弦定理. 解三角形问题， 三角形面积公式 核心公式：S=absinC(两边及夹角)，可 1.遗漏公式中的： 结合正余弦定理推导三边、两边及对角形式： 2.误用非夹角边代入公式 重点掌握面积与边/角互求 计算. 基础解三角形题型 包括已知两角一边、两边夹角、三边求未知 1. 运算粗心出错； 边/角；重点是准确应用正余弦定理，规范解 2.解题步骤不规范，遗漏关 题步骤，确保运算无误. 键推导过程， 三角形形状判断 通过边角互化分析边、角关系，判断等腰、 判断钝角三角形时，遗漏某 直角、钝角三角形；重点是抓住特殊边（相 一个角的余弦值判断. 等、满足勾股定理)、特殊角(90°、60°等) 4/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 综合拓展题型 包括解的个数判断、边长/角度/面积最值、 1.最值求解时忽略定义域 实际应用、与向量/三角恒等变换结合；重点 限制； 是综合运用全章知识，培养逻辑推理能力 2.实际应用中不会转化为 解三角形问题， 考点题型突破，拓思维 题型一正弦定理 【例1】在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c若a=3,b=2,sinA=,则B=（) A.晋 B.胃 C. D.晋或 【变式1-1】在△ABC中，B=45°，C=75AC=V2,则边BC的长为() A.5 B.5 c.6+@ 2 D.1 【变式1-2】在△ABC中，AB=2,AC=V2,B=30°，则A=() A.105°或15°B.135°或45° C.120°或30° D.105° 【变式1-3】（多选）根据下列情况，判断三角形解的情况，其中错误的是() A.a=8,b=16,A=30°，有两解B.b=18,c=20,B=60°，有一解 C.a=5,c=2,A=90°，无解D.a=30,b=25,A=150°，有一解 【例2】在△ABC中，内角AB,C的对边分别为a,b,c.若a=5,b=6,cosC=号，则△ABC的面 积为() A.9 B.12 C.15 D.18 【变式1-1】已知△ABC的面积为号，且b=2,c=3,则() A.A=30° B.A=60° C.A=30°或150°D.A=60°或120° 【变式1-2】（多选）已知△ABC的面积为y3且b=2,c=2,则A等于() A.30 B.1500 C.600 D.1200 5/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型二余弦定理 【例1】在△ABC中，BC=2,AC=1+N3,AB=V6,则A=() A.45o B.600 C.120 D.135 【变式1-1】己知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=3,b=5,c=7,则 cosC=() A. B.贵 C.- D.克 【变式1-2】在△ABC中，AB=3,BC=5,AC=7,则△ABC最大的内角为() A. B.买 C. D.罗 【例2】在△ABC中，BC=2,AC=V万，B=60,则AB=() A.1 B.3 C.1或3 D.2 【变式1-1】在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若b=3,c=2,cosA=,则a=() A.5 B.7 c.22 D.3 【变式1-2】设△ABC的内角AB,C的对边分别为a,b,c,若a=2,c=25,c0SA=与，则 b=() A.2或4 B.3 c.5 D.2V2 题型三正弦定理与余弦定理的应用 【例1】记△ABC的内角AB,C的对边分别为a,b,c,B=晋，c=V2,a=3,则sinA=() A.0 10 B. 10 5 D 【变式1-1】在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=4,b=5,c=7,则△ABC的 面积为() A.46 B.2V6 C.4 D.8 【变式1-2】在△ABC中，若A=60”,a=3,则4c=() A明 B. 239 3 C.28y5 3 D.2V5 6/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式1-3】△ABC中，A,B,C的对边分别是a,b,c,则acosB+bcosA等于() A.2cosC B.2sinC C.地 2 D.c 【例2】（多选）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,则下列说法正确的是() A.若A>B,则sinA>sinB B.若a:b:c=4:5:6,则△ABC是钝角三角形 C.若sinA=sinB,则△ABC为等腰三角形 D.若A=30°，b=4,a=3,则△ABC有两解 【变式1-1】在△ABC中，角AB,C的对边分别为a,b,c,若a-ccosB=b-ccosA,则△ABC的形 状是() A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 【变式1-2】在△ABC中，“c0s2A+cos2B-cos2C=1”是“△ABC为直角三角形”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【例3】海上某货轮在A处看灯塔B,在货轮的南偏东75°，距离为60√6海里处；在A处看灯塔C,在货 轮的南偏西30°，距离为40√3海里处，货轮由A处向正南航行到D处时看灯塔B在北偏东60°，则灯塔C与 D处之间的距离为() A.40√6海里B.40海里 C.40√5海里 D.605海里 【变式1-1】如图所示，为了测量某湖泊两侧A,B间的距离，李宁同学首先选定了与A,B不共线的一点C, 然后给出了三种测量方案(ABC的角A,B,C所对的边分别记为a,b,c):①测量A,B,b;②测量a, b,C;③测量A,B,α.则一定能确定A,B间距离的所有方案的个数为() C ------B A.3 B.2 C.1 D.0 【变式1-2】如图所示，为测量一建筑物的高度，在地面上选取AB两点，从AB两点测得建筑物顶端的仰 角分别为30°，45°，且A,B两点间的距离为60m,则该建筑物的高度为() 7112 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0000U 45 30° A.（30+30W3)m B.(30+153)m c.（15+30y3)m D.(15+15V5)m 题型四三角形边长、周长、面积的最值或范围 【例1】设锐角ABC的三边长为a,b,c,若ABC的三边满足等式：a2+b2-ab=c2,a=4,则c的取值范 围为 【变式1-1】已知△ABC的内角的对边分别为a,b,c,c=4,点D满足AD=3DB,若CD=√5，则a+b的 最大值为() A.4N2 B.4V5 C.3√6 D.2+3V2 【例2】已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,V3b=4(a-ccos B),若a+b=2,则△ABC 的面积的最大值为() A.3 B. c.3 D.13 8 4 8 【变式1-1】在4ABC中，内角4，B,C所对的边分别是abC,若4=，且ABC外接圆的半径为2，则 ABC面积的最大值是() A.√2-1 B.√2+1 C.2√2-2 D.22+2 【变式l-2】设锐角ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且c(1+cosA)=V3 asin C,b=2, 则ABC的面积的取值范围是() A.1,+0】 c. D.,25 分层阶梯训练·提能力 8/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 基础巩固通关测 1.已知△ABC的内角AB,C的对边分别为a,b,c,且a=2b,sinA=号，则sinB=() A.青 B. c. D. 2.已知△ABC中，a=V2,b=⑤，B=60,那么角A等于() A.45或135°B.30°或1509 C.45 D.30° 3.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,若b=3,c=2,cosA=专，则边a=() A.5 B.万 C.4 D.3 4.在△ABC中，c0s号=29，AC=5,AB=7,则BC=() A.3 B.5 C.4 D.42 5.己知在△ABC中，内角AB,C的对边分别为a,b,c,且4c+b2=c2+16,a=4,则角B为() A.晋 B. c.晋 D. 6.己知△ABC的三边长分别为2,3,4，则△ABC的外接圆的面积为() A.0 B.跨 C.15m D.8V15π 15 7.己知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c=2 bcos A,则ABC的形状为() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 8.在△ABC中，己知AC=5,AB=3,BC=7,AD是BC边上的中线，则AD=() A.9 B, c. D.号 9.如图所示，在河岸AC上测量河的宽度BC,测量下列四组数据，较适宜的是() B b A.a,C, B.b,C,a C.c,a,B D.b,a,y 10.在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(a+b-c)(a+b+c)=3ab,且c=4,则 9/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ABC面积的最大值为() A.8V5 B.4V3 C.25 D.5 11.位于P处的雷达接收到在其正东方向相距20√2海里的B处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻 通知位于P处雷达北偏东严且与P处雷达相距30海里的M处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海 里数为() A.155 B.10w5 C.10√ D.10W2 12.(多选)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=1,b=V5,A=30°，则角 B可以等于() A.30° B.150 C.600 D.1200 13.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=5,B=45°，C=105°，则b= 能力提升进阶练 1.如图，已知在圆0的内接四边形ABCD中，AB=2,BC=7,AD=CD=4,则AC=() B A.610 B.V10 C.6v30 D.V30 5 5 5 2.在钝角△ABC中，内角AB,C的对边分别为a,b,c,若a=2 acos C+ccosB,a=2,c=3,则 cosB=() A.- B.-司 C. D. 3.在△ABC中，三个内角AB,C所对的边分别为a,b,c,S为△ABC的面积，若 a2+2b2+c2=45S,sinC=( 10/12