6.4.3 第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

课后达标 检测 A 基础达标 1．已知两座灯塔和与海岸观察站的距离相等，灯塔在观察站南偏西 方向上，灯塔在观察站南偏东 方向上，则灯塔在灯塔的（ ） A. 北偏东 方向上 B. 北偏西 方向上 C. 南偏东 方向上 D. 南偏西 方向上 【答案】D 【解析】选D.作出图形，由条件及图可知，为等腰三角形，所以 ，又 ， 所以 ，所以 ， 因此灯塔A在灯塔B的南偏西 方向上.故选D. 2．现有两灯塔，与观测点，已知灯塔在观测点北偏东 方向上处，灯塔在观测点南偏东 方向上处，则灯塔与的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选C.由题意知. 3．如图，从无人机上测得正前方的峡谷的两岸，的俯角分别为 ， ，若无人机的高度为，则峡谷的宽度为（ ） A. 60 B. C. 30 D. 【答案】A 【解析】选A.由已知得 ， ,所以，，所以.故选A. 4．某条江的岸边有一炮台高,江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为 和 ，而且两条船与炮台底部连线成 角，则两条船相距（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选C.如图，过炮台顶部A作水平面的垂线，垂足为B，设A处观测小船C的俯角为 ， A处观测小船D的俯角为 ， 连接，，在 中， ,可得, 在 中， ，可得, 在 中，，， ，由余弦定理得. 所以,即两船相距.故选C. 5．[2024·贵州贵阳模拟]如图，在山脚处测得山顶的仰角为 ，沿倾斜角为 的斜坡向上走到，在处测得山顶的仰角为 ，则山高（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选A.由题意知， , , ,,在 中， , , 所以,所以, 所以，故选A. 6．[2024·山东临沂月考]（多选）如图，在海岸上有两个观测点，，在的正西方向，距离为,在某天10:00观察到某航船在处，此时测得 ，后该船行驶至处，此时测得 , , ,则（ ） A. 当天10:00时，该船位于观测点的北偏西 方向 B. 当天10：00时，该船距离观测点的距离为 C. 当船行驶至处时，该船距观测点的距离为 D. 该船在由行驶至的这内行驶了 【答案】ABD 【解析】选.对于A选项， ,因为C在D的正西方向，所以A在C的北偏西 方向，故A正确; 对于B选项，在 中， ， ，则 .由正弦定理，得,故B正确； 对于C选项，在 中， ， ，则 ，则，于是，故C不正确； 对于D选项，在 中，由余弦定理得,即，故D正确.故选. 7．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点，，望对岸的标记物，测得 , ,，则河的宽度是__. 【答案】60 【解析】过点 作，交 于点（图略）. ,, 又, 所以 , 所以,故，即河的宽度是. 8．如图，一艘船上午8：00在处测得灯塔在它的北偏东 方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8：30到达处，此时又测得灯塔在它的北偏东 方向，且与它相距，则此船的航行速度是__. 【答案】16 【解析】因为在 中， ,, 所以 , 由正弦定理，得, 即， 又因为从 到 处匀速航行的时间为，所以速度为. 9．如图，要测出山上一座天文台的高，从山脚处测得，天文台最高处的仰角为 ，天文台底部的仰角为 ，则天文台的高为________. 【答案】 【解析】由题图可得 ， ，故. 10．如图，为测量横截面为直角三角形的某模型的平面图△ABC,其中为直角，由于实际情况，它的边和角无法测量，以下为可测量数据： ；； .请根据以上数据求出的面积. 解：在 中，由正弦定理得 , 所以,故， 因为,, 所以, 故. B 能力提升 11．台风中心从地以的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向的处，则城市处于危险地区内的时长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选D.以 为圆心，为半径作圆，与 运动方向交于A，B两点，由题意知，，，，作，垂足为C，则C为 的中点， 因为， 所以， 所以，所以城市 处于危险地区内的时长为.故选D. 12．（多选）某大学校园内有一个“少年湖”，湖的两侧有一个健身房和一个图书馆，如图，若设健身房在处，图书馆在处，为测量,两地之间的距离，甲同学选定了与,不共线的处，构成，为了唯一确定，两地之间的距离，则下列测量数据的方案中，甲同学应选择（ ） A. 测量，， B. 测量，， C. 测量，， D. 测量，， 【答案】BD 【解析】选.对于A选项，测量A，C，B，知道三个角度值，三角形有无数多组解，不能唯一确定A，B两地之间的距离；对于B选项，测量A，B，，已知两角及一边，由正弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一确定A，B两地之间的距离；对于C选项，测量A，，，已知两边及其一边的对角，由正弦定理可知，三角形可能有2个解，不能唯一确定A，B两地之间的距离；对于D选项，测量C，，，已知两边及夹角，由余弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一确定A，B两地之间的距离.综上可得，选项B,D正确.故选. 13．如图，某直径为海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛与小岛相距为5海里，.则小岛与小岛之间的距离为________海里；小岛，，所形成的三角形海域的面积为__平方海里. 【答案】； 15 【解析】圆的内接四边形对角互补，,为锐角，,在 中，由正弦定理得，故.在 中，由余弦定理得,整理得,,（负根已舍去）. 所以（平方海里）. 14．如图，游客从景点下山至有两种路径：一种是从沿直线步行到，另一种是先从乘缆车到，然后从沿直线步行到.现有甲、乙两位游客从下山.甲沿匀速步行，速度为.在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到.已知缆车从到要，长为,若,.为使两位游客在处互相等待的时间不超过，求乙步行的速度的取值范围. 解：在 中，因为,, 所以. 由正弦定理， 得, 乙从 出发时，甲已经走了, 甲还需走 才能到达. 设乙步行的速度为, 由题意得, 解得. 所以为使两位游客在 处互相等待的时间不超过,乙步行的速度 的取值范围是， . C 素养拓展 15．圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据某地的地理位置设计的圭表的示意图，已知某地冬至正午时太阳高度角（即））大约为 ，夏至正午时太阳高度角（即）大约为 ，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为，则表高（即的长）为注：（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选D.设表高为， 则，， 而，得，， 故，得.故选D. 16．如图，已知两条公路，的交汇点处有一所学校，现拟在两条公路之间的区域内建一个工厂，在两公路旁，（异于点）处设两个销售点，且满足 ,,,设 .注： （1） 试用 表示，并写出 的取值范围； （2） 当 为多大时，工厂产生的噪声对学校的影响最小（即工厂与学校的距离最远）. 【答案】（1） 解：在 中，由正弦定理得,则. （2） 连接（图略）.在 中，由余弦定理得,当且仅当 ,即 ,取得最大值36，即 取得最大值6.所以当 时，工厂产生的噪声对学校的影响最小. 学科网（北京）股份有限公司 $