第17章 一元二次方程及其应用 复习课一 2025-2026学年沪科版八年级数学下册

一元二次方程及其应用 复习课一 一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程的 实际应用 一元二次方程 一元二次方程及其解法 一元二次方程根的判别式 ►一 知识导航，网络建构 考点一 一元二次方程的概念 例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ） 不是整式方程 含两个未知数 化简整理成 x2-3x+2=0 少了限制条件 a≠0 解析 本题考查的是一元二次方程的概念，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． ►二 考点解析，知识通关 【变式】（2025·四川·一模） 关于x的方程是一元二次方程，则 解：由题意，得：且， 解得：或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意． 考点二 解一元二次方程 例2 解下列一元二次方程. (1)(用直接开平方法) 2x2－8＝0; (2)(用因式分解法) x2－2x＝0； (3)(用配方法)2x2－8x＝10； (4)(用公式法)2x2＋1＝3x. 一、直接开平方法 (适用于完全平方形式或缺一次项方程) 1.变形：将方程整理为， 2.开方：等式两边同时开平方，得, 注意：必须加“”，否则会漏根. 3.求解：移项计算，得到方程的两个根 4.特殊情况：若n<0，方程无实数根. 解方程 （1）变形: （2）开方：， 即。 知识 • 核心梳理 二、因式分解法 (适用于左边易分解、右边为0的方程) 1.移项：将方程所有项移到左边，使右边化为0，形式为 2.分解：把左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积. 常用分解方法：提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法。 3.转化：根据“若，则或”，转化为两个一元一次方程. 4.求解：分别解两个一元一次方程，得到原方程的两个根. 关键注意：严禁两边同除以含未知数的代数式（如x ），避免漏根. 解方程 分解： 转化： 或 求解： 知识 • 核心梳理 三、配方法 (适用于所有方程，多用于推导或指定解法的题目) 1.移项： 把常数项移到等号右边，得 2.化1： 若二次项系数，方程两边同时除以，使二次项系数为1 3.配方：在方程两边同时加上一次项系数一半的平方 4.变形：将左边化为完全平方形式，得 ， 5.开方求解： 按照直接开平方法的步骤计算，得到方程的解. 解方程：2 移项 化1： 配方： 。 变形： 开方求解 ， 即 知识 • 核心梳理 四、公式法 (通用解法，适用于所有一元二次方程) 1.化一般式： 将方程整理为的标准形式. 2.算判别式：计算的值. 3.代入公式： 当时，代入求根公式， 4.化简结果：计算并整理，得到方程的两个根. 解方程： 代入 解： 知识 • 核心梳理 真题 • 实战精炼 1.(2024 ·安徽· 15题8分) 解方程： 解：x2－2x＝3， x2－2x－3＝0， (x－3)(x＋1)＝0， 解得x1＝3，x2＝－1. 2.(2025 ·江苏·中考真题） 解方程： 解：（1）， 方程移项得：， 配方得：， 即， 开方得：， 解得： ，． 例3.(2025安徽5题4分)下列方程中，有两个不相等的实数根的是(　　 ) A.x2＋1＝0 B.x2－2x＋1＝0 C.x2＋x＋1＝0 D.x2＋x－1＝0 考点三 一元二次方程根的判别式 一元二次方程判别式与根的情况的关系 1.当：方程有两个不相等的实数根， 2.当时：方程有两个相等的实数根， 3.当：方程没有实数根. 1.使用判别式的方程必须是一元二次方程，即二次项系数， 若，方程退化为一元一次方程，不存在判别式; 2.使用之前一定要把方程化为一般形式，以便正确找出a，b，c的值. 【易错提醒】 知识 • 核心梳理 例3.(2025安徽5题4分)下列方程中，有两个不相等的实数根的是(　　 ) A.x2＋1＝0 B.x2－2x＋1＝0 C.x2＋x＋1＝0 D.x2＋x－1＝0 考点三 一元二次方程根的判别式 D 【典例】（2025·辽宁·一模）关于的一元二次方程的根的情况，下列判断正确的是（   ） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 解：∵ 方程 ， ∴ ， 又 ∵ ， ∴ ， 即， ∴方程有两个不相等的实数根． 【变式】（2025·河南·二模）二次函数的图象如图所示，则方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．可能只有一个实数根 A B 【典例】（2025·四川·一模） 若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D．无法确定 B 【变式】（2025·吉林·模拟预测） 已知关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ） A．且 B．且 C． D．   A 真题 • 实战精炼 (2022安徽12题5分)若一元二次方程2x2－4x＋m＝0有两个相等的实数根，则m＝___. 2 1.(2025合肥包河区二模)已知互不相等的实数a，b，c满足ab＋a2＝c2，ab＋b2＝c2，ab≠0，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的情况为 (　　 ) A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定根的存在情况 拓展提高 $