17.4 一元二次方程的根与系数的关系-【木牍中考】2025-2026学年八年级下册数学同步教学优质课件(沪科版·新教材)

该初中数学课件聚焦“一元二次方程的根与系数的关系”，通过复习一般形式及求根公式导入，以“根与系数还有何关系”设问搭建支架，引导学生从已知公式推导两根之和与积的关系，衔接前后知识脉络。 其亮点在于推导过程注重推理能力培养，例题习题涵盖基础计算、参数求解、代数式变形等层次，结合韦达数学史渗透文化，小结系统梳理变形公式。这能帮助学生发展运算与应用意识，教师可直接用于教学提升效率。

17.4 一元二次方程的根与系数的关系 ※ 建议使用WPS2019以上版本打开 木牍中考-教学设计中心 制作 数 学 HK 8年级下册 学习目标及重难点 1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（难点） 2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（重点） 前 言 复习回顾 1.一元二次方程的一般形式是什么？ 2.一元二次方程的求根公式是什么？ 通过前面的学习，我们知道，一元二次方程的根完全由它的系数确定，求根公式是根与系数关系的一种形式，除此之外，一元二次方程根与系数之间还有什么形式的关系呢？ 导入新课 探索1：一元二次方程的根与系数的关系 思考： 我们知道，一元二次方程的两根为： , 观察 表达式的特点，你有什么发现？ 讲授新课 思考：我们知道，一元二次方程的两根为： , 观察 表达式的特点，你有什么发现？ 讲授新课 思考：我们知道，一元二次方程的两根为： , 观察 表达式的特点，你有什么发现？ 讲授新课 如果 的两个根为，那么 一元二次方程的根与系数的关系： 这个关系通常称为韦达定理. 讲授新课 韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一.他是第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步.韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）. 韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”. 韦达（1540－1603） 讲授新课 如果 的两个根为，那么 一元二次方程的根与系数的关系： 这个关系通常称为韦达定理. 注意： 利用韦达定理的前提条件是方程要有实数根，即 讲授新课 如果 的两个根为，那么 这个关系通常称为韦达定理. 当一元二次方程的二次项系数为 1时，它的一般形式为 . 设它的两个根为 ，这时有： . 讲授新课 例1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： (1) (2) 解：(1) 方程有两个实数根 设方程的两个实数根是，那么 讲授新课 例1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： (1) (2) 解：(2) 方程有两个实数根 设方程的两个实数根是，那么 讲授新课 例2: 已知关于 的方程 有两个根，其中一个根是 ，求它的另一个根及 的值. 解: 设方程的另一个根是 ，则 解方程组，得 所以方程的另一个根为 ，的值为7. 本题还有其他解法吗？ 讲授新课 解：把 带入原方程得： 即 所以 原方程可化为 解得 所以方程的另一个根为 ，的值为7. 例2: 已知关于 的方程 有两个根，其中一个根是 ，求它的另一个根及 的值. 讲授新课 例3：方程 的两个根记作，不解方程，求下列各式的值. (1) (2) (3) 解：由韦达定理，得 ,. (1) 讲授新课 例3：方程 的两个根记作，不解方程，求下列各式的值. (1) (2) (3) 解：由韦达定理，得 ,. (2) 讲授新课 例3：方程 的两个根记作，不解方程，求下列各式的值. (1) (2) (3) 解：由韦达定理，得 ,. (3) 讲授新课 例4：方程 的两个根记作，求 的值. 解：由韦达定理，得 ,. 讲授新课 思考：一般地，若 的两个根为你能用 表示 吗？ = 讲授新课 与两根和、两根积相关的常用变形公式: (1) (2) (3) (4) (5) (6) 讲授新课 1.若关于的一元二次方程的两个根为，则这个 方程可能是（　C　） A. B. C. D. C 习题1 习题解析 2.已知 和 是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为( ). B A.3 B.1 C. D. 习题2 习题解析 3.若 是方程 的一个根，则该方程的另 一个根为___， 的值为___. 0 0 习题3 习题解析 4.设 是方程 的两个根，利用根系数之间的关系,求下列各式的值. (1) (2) 解：由韦达定理，得 ,. (1) 习题4 习题解析 4.设 是方程 的两个根，利用根系数之间的关系,求下列各式的值. (1) (2) 解：由韦达定理，得 ,. (2) 习题4 习题解析 5.已知关于的一元二次方程有两个实数根.（1）求的取值范围； （2）如果方程的两个实数根为，且 ＋ ＝7，求的值. 解：（1）根据题意，得 ， 即， . 习题5 习题解析 5.已知关于的一元二次方程有两个实数根.（1）求的取值范围； （2）如果方程的两个实数根为，且 ＋ ＝7，求的值. 解：（2）由根与系数的关系，得 即 解得（舍去），. 的值为. 习题5 习题解析 根与系数的关系 （韦达定理） 内容 应用 如果一元二次方程 的两个根分别是那么 =－， = 与两根和、两根积相关的常用变形公式: (1) (2) (3) (4) (5) (6) 课堂小结 课时A计划对应章节. 课后作业 $