专题1.4～1.5.线段的垂直平分线、角平分线 同步讲义（题型导航+知识梳理+巩固测试）-2025-2026学年北师大版数学八年级下学期.

专题1.4～1.5.线段的垂直平分线、角平分线 同步讲义 （新教材北师大版）题型导航 题型1.线段垂直平分线的性质 题型2.线段垂直平分线的判定 题型3.作垂线（尺规作图） 题型4.角平分线的性质定理 题型5.角平分线的判定定理 题型6.角平分线性质的实际应用 知识梳理理 【知识点一、线段垂直平分线的性质】 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 外心：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等． 几何语言：∵L垂直平分AB ∴PA=PB 【知识点二、线段垂直平分线的判定】 判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 如上图；∵PA=PB ∴点P在AB的垂直平分线上. 【知识点三、角平分线的性质】 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 内心：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等． 【知识点四、角平分线的判定】 判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上． 题型解读 题型1线段垂直平分线的性质 例1．如图，以兔子的三个洞口为顶点作，猎狗想捕捉洞里的兔子，它的最佳位置应到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在（　　） A．三条角平分线的交点处 B．三条边的垂直平分线的交点处 C．三角形三条高的交点处 D．三角形三条中线的交点处 【答案】B 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等作答即可． 【详解】解：线段垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等， 猎狗想到的三个洞口的距离都相等，则应蹲守在三条边的垂直平分线的交点处． 故选：B． 变式1．如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为___________． 【答案】 【分析】连接，根据等腰三角形性质求出，根据线段垂直平分线性质求出，根据等边对等角即可求出答案． 【详解】解：连接， ∵，平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 变式2．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，且，求的长． 【答案】 【分析】根据垂直平分线的性质得出，设，则，在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 题型2线段垂直平分线的判定 例2．下面是小彤设计的“作中边上的高”的尺规作图方法． ①如图，以点B为圆心，的长为半径作弧，以点C为圆心，的长为半径作弧，两弧在下方交于点E； ②连接交于点D． 所以线段是中边上的高． 上述方法通过判定垂直平分线段，得到线段是中边上的高．其中，判定垂直平分线段的依据是（    ） A．等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 B．经过线段中点并且垂直于这条线段的直线是这条线段的垂直平分线 C．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 D．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【答案】D 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，掌握垂直平分线的判定是关键．  根据与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上即可求解．   【详解】解：根据作图可得， 依据与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，得到点B、C在线段的垂直平分线上．   故选：D ． 变式1．如图，在中，是上一点，已知，则点在线段__________的垂直平分线上． 【答案】/ 【分析】根据已知得出，根据线段垂直平分线定理得出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴D在的垂直平分线上， 变式2．如图，在中，，点P为射线上一点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质即可证明； （2）可证明是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即； （2）证明：由（1）知， 又∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴． 题型3作垂线（尺规作图） 例3．如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查作图-基本作图、线段的垂直平分线、角平分线等知识点，读懂图形信息、灵活运用所学知识是解题的关键． 由作图可知平分，垂直平分线段，进而判断各选项即可． 【详解】解：由作图可知：平分，垂直平分线段， ∴，，， 无法判断． 故选：A． 变式1．如图，根据图中的作图痕迹，成立的结论为________（写出一条即可）． 【答案】 【分析】观察图中的作图痕迹，判断所作的是的垂直平分线，再依据垂直平分线的性质推导成立的结论． 【详解】解：根据图中的作图痕迹判断是的垂直平分线． 是的垂直平分线，点C在上， ； 变式2．如图，是等腰三角形，，点是上一点． (1)过点作的垂线交于点，交延长线于点．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） (2)在（1）的条件下，证明：是等腰三角形； 解： ①___________ 在中， 在中， ②___________ 而③___________ ④___________ 是等腰三角形． 【答案】(1)见详解； (2)①；②；③；④． 【分析】（1）按尺规作图方法过点作的垂线，再交延长线于点即可； （2）由等腰三角形的判定和性质，以及直角三角形的两个锐角互余证明即可． 【详解】（1）解：如图； （2）解：， ， ， ， 在中，，在中，， ， 而， ， ， 是等腰三角形． 题型4角平分线的性质定理 例4．如图，在中，，．以A点为圆心，任意长为半径画弧分别交、于M、N，再分别以M、N为圆心画弧，两弧交于P点，连延长交于D．下列说法：①是的平分线；②；③是等腰三角形；④；其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由三角形内角和定理可得，由作图可得，是的平分线，即可判断①；由角平分线的定义可得，再结合三角形内角和定理即可判断②；由等腰三角形的定义即可判断③；由直角三角形的性质即可判断④． 【详解】解：∵在中，，． ∴， 由作图可得，是的平分线，故①正确； ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，即是等腰三角形，故③正确； ∵在中，，， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共个． 变式1．如图，在中，，的平分线BD交AC于点D，，，则的面积是______． 【答案】6 【分析】熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等的性质是解题关键．过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：如图，过点作于， ∵，，是的平分线， ∴， ∴的面积． 变式2．如图，在中，，是的角平分线，，垂足为D． (1)已知，求的度数． (2)已知，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，即可得出结果； （2）由角平分线的性质定理可得，再由三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：在中，∵，， ∴， ∵平分， ∴； ∴； （2）解：∵是的角平分线且，． ∴， ∴． 题型5角平分线的判定定理 例5．如图，的内角与外角的平分线交于点，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分线的性质，由角平分线的性质得到是的外角的平分线是解题的关键． 由角平分线的性质可得点D到直线，的距离相等，即是的外角的平分线，进而列式得到，则，故． 【详解】解∵的平分线与的外角的平分线相交于点D， ∴点D到直线，的距离相等，点D到直线，的距离相等， ∴点D到直线，的距离相等， ∴是的外角的平分线， ∵ ， ， ． 故选：D． 变式1．如图，在中，于点C，于点D，，若，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】本题考查角平分线的判定定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，利用角平分线的判定定理证明是角平分线即可解决问题． 【详解】解：于点，于点，且， ， ， ， 故答案为：． 变式2．如图，在中，点在边的延长线上，连接，的平分线交于点，连接，过点作于点，若，． (1)求证：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查角平分线的性质与判定、直角三角形两锐角互余、三角形的面积，掌握角平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点作于点，于点根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、，即可得到，根据角平分线的判定定理即可解答； （2）根据结合已知条件可得的长，最后运用即可解答． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点，于点． 平分， ． ，， ， 平分， ， ， 平分． （2）解：，，，且， ， ， ， ， 故的面积为32． 题型6角平分线性质的实际应用 例6．某小区计划在绿化区域增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交于点，交于点，若要建一喷灌处，喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（    ）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质， 由角平分线的交点到角边的距离相等，两同旁内角平分线的交点满足条件；这样的点有2个，可得可供选择的修建点有2个． 【详解】解：作和的平分线相交于，过作于E，于F，于G，    ∴， 即和的平分线的交点到、、距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； 同理∶ 和的平分线的交点到、、距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； ∴满足这条件的点有2个； 故选：B． 变式1．如图，是的角平分线，，垂足为E．的面积为20，，则的长为____． 【答案】8 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟知角平分线的性质是解题的关键． 角平分线上的点到角两边的距离相等．过点D作，垂足为F，根据角平分线的性质得到，再利用面积求即可． 【详解】解：如图，过点D作，垂足为F， 是的角平分线，， ， ，， ， ． 故答案为：8． 变式2．如图，在中，，是的角平分线， ，．求点D到的距离． 【答案】点D到的距离为 【分析】本题考查角平分线性质，熟练掌握角平分线性质是解题的关键．过点D作于点E．得到，设，则，结合角平分线性质建立等式求解，即可解题． 【详解】解：如图，过点D作于点E． 是的角平分线， ． 由题意可设，则， ， 解得， ，即点D到的距离为． 过关测试 一、单选题 1．计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭O，使其到小路，的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（    ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理．角平分线上的点到角两边的距离相等，由此即可判断． 【详解】解：甲方案：O在的垂直平分线上，O到A、B的距离相等，O不一定到和的距离相等， 乙方案：平分，由角平分线的性质定理得到O到小路，的距离相等． ∴甲、乙两个方案，只有乙对． 故选：B． 2．观察下列作图痕迹，所作为的边上的中线是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据尺规作图的痕迹，逐个选项分析即可． 【详解】解：对于选项A：由作图痕迹可知，是边上的高线，故A错误； 对于选项B：由作图痕迹可知，点是的中点，即是边上的中线，故B正确； 对于选项C：由作图痕迹可知，是的角平分线，故C错误； 对于选项D：作图痕迹不满足基础作图要求，故D错误． 3．三条公路将三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，使，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A．三条高线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，灵活运用“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”这一性质是解题的关键．根据该性质得出满足的点是三边垂直平分线的交点． 【详解】三条高线的交点（垂心）：主要与高线相关； 三条角平分线的交点（内心）：是三角形内切圆的圆心，到三边的距离相等； 三条中线的交点（重心）：是三角形的重心，将每条中线分为的两段； 三边垂直平分线的交点（外心）：是三角形外接圆的圆心，到三个顶点的距离相等（即）， 要使，集贸市场应建在三边垂直平分线的交点处． 故选：． 4．如图，在中，，平分，若，则点到的距离为（   ） A．4 B． C． D．3 【答案】D 【分析】作，垂足为，根据角平分线的性质即可求解． 【详解】解：如图，作，垂足为， ，平分，， ， ， ， 则点到的距离为． 5．以下说法中错误的是（　　） A．如果直线是线段的垂直平分线，点在上，那么 B．如果点到线段两个端点的距离相等，那么点在线段的垂直平分线上 C．如果点是内一点，、分别在、上，且，那么射线是的平分线 D．如果是的平分线，是上一点，那么点到、的距离相等 【答案】C 【分析】根据垂直平分线和角平分线的性质与判定定理逐项判断即可；本题主要考查了垂直平分线和角平分线的性质与判定，熟练掌握垂直平分线和角平分线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵直线是线段的垂直平分线，点在上， ∴（垂直平分线的性质），故A正确； ∵点到线段两个端点的距离相等， ∴点在线段的垂直平分线上（垂直平分线的判定），故B正确； ∵点是内一点，、分别在、上，， 但和不一定是点到、的距离， ∴无法推出是角平分线，故C错误； ∵是的平分线，是上一点， ∴点到、的距离相等（角平分线的性质），故D正确； 故选：C． 6．如图，已知是等边三角形，，E是上的点，，与交于点F，则下列结论正确的有（   ） ①连接，则垂直平分线段；         ②是等边三角形； ③若，则；        ④若，则． A．①② B．①②④ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【分析】如图，连接，由是等边三角形得，从而得点、都在线段的垂直平分线上，即可判断①正确，由平行线的性质可得，，即可判断②正确，三角形的外角性质得，从而判断③错误，先找到，又由和都是等边三角形，，，得，，从而有，即可判断④正确． 【详解】解：如图，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴点、都在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分线段，故①正确； ∵， ∴，， ∴是等边三角形，故②正确； ∵，， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵垂直平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵和都是等边三角形，，， ∴，， ∴，故④正确； 综上，正确的结论有①②④． 二、解答题 7．如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站，要求加油站的位置到三条公路的距离都相等． (1)符合要求的位置有__________个； (2)请你找出所有加油站的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； (3)你的作图依据是__________． 【答案】(1)4 (2)见解析 (3)角平分线的判定定理 【分析】本题考查角平分线的性质，尺规作图-作角平分线等知识，掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）利用角平分线的性质即可得出结论； （2）利用角平分线的性质作出图形即可； （3）利用角平分线的判定解答即可． 【详解】（1）解：三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，三角形相邻两个外角（共三组）的平分线交点到三角形三边的距离相等， 故符合要求的位置有4个， 故答案为：4； （2）解：如图所示，、、、即为加油站的位置， （3）解：作图的依据是角平分线的判定定理， 故答案为：角平分线的判定定理． 8．如图，，点E为的中点，平分，过点E作，垂足为F，连接、． (1)求证：是的平分线． (2)求证：线段垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先利用证出，得到，再利用证出，得到，即可证明结论； （2）由（1）知，得到，再利用，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线； （2）证明：由（1）知， ∴， ∵， ∴线段垂直平分． 9．如图，在中，D是BC的中点，过D点作于点E，于点F，且． (1)求证：； (2)连接，求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】（1）证明，即可得证； （2）由（1）得，由全等三角形的性质可得，从而得出．证明是的平分线，再由等腰三角形的性质即可得证． 【详解】（1）证明：∵，， ∴和是直角三角形． ∵是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， ∴． ∵， ∴，即． ∵是的中点， ∴是的平分线， ∴垂直平分．（三线合一） 10．如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，，且，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3)6 【分析】（1）根据平角的定义解题即可； （2）过点E作于G，于H，结合角平分线的性质和判定定理证明； （3）根据求出，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：过点E作于G，于H， ∵，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4～1.5.线段的垂直平分线、角平分线 同步讲义 （新教材北师大版）题型导航 题型1.线段垂直平分线的性质 题型2.线段垂直平分线的判定 题型3.作垂线（尺规作图） 题型4.角平分线的性质定理 题型5.角平分线的判定定理 题型6.角平分线性质的实际应用 知识梳理理 【知识点一、线段垂直平分线的性质】 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 外心：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等． 几何语言：∵L垂直平分AB ∴PA=PB 【知识点二、线段垂直平分线的判定】 判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 如上图；∵PA=PB ∴点P在AB的垂直平分线上. 【知识点三、角平分线的性质】 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 内心：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等． 【知识点四、角平分线的判定】 判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上． 题型解读 题型1线段垂直平分线的性质 例1．如图，以兔子的三个洞口为顶点作，猎狗想捕捉洞里的兔子，它的最佳位置应到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在（　　） A．三条角平分线的交点处 B．三条边的垂直平分线的交点处 C．三角形三条高的交点处 D．三角形三条中线的交点处 变式1．如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为___________． 变式2．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，且，求的长． 题型2线段垂直平分线的判定 例2．下面是小彤设计的“作中边上的高”的尺规作图方法． ①如图，以点B为圆心，的长为半径作弧，以点C为圆心，的长为半径作弧，两弧在下方交于点E； ②连接交于点D． 所以线段是中边上的高． 上述方法通过判定垂直平分线段，得到线段是中边上的高．其中，判定垂直平分线段的依据是（    ） A．等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 B．经过线段中点并且垂直于这条线段的直线是这条线段的垂直平分线 C．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 D．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 变式1．如图，在中，是上一点，已知，则点在线段__________的垂直平分线上． 变式2．如图，在中，，点P为射线上一点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 题型3作垂线（尺规作图） 例3．如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，根据图中的作图痕迹，成立的结论为________（写出一条即可）． 变式2．如图，是等腰三角形，，点是上一点． (1)过点作的垂线交于点，交延长线于点．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） (2)在（1）的条件下，证明：是等腰三角形； 解： ①___________ 在中， 在中， ②___________ 而③___________ ④___________ 是等腰三角形． 题型4角平分线的性质定理 例4．如图，在中，，．以A点为圆心，任意长为半径画弧分别交、于M、N，再分别以M、N为圆心画弧，两弧交于P点，连延长交于D．下列说法：①是的平分线；②；③是等腰三角形；④；其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1．如图，在中，，的平分线BD交AC于点D，，，则的面积是______． 变式2．如图，在中，，是的角平分线，，垂足为D． (1)已知，求的度数． (2)已知，，求的面积． 题型5角平分线的判定定理 例5．如图，的内角与外角的平分线交于点，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，在中，于点C，于点D，，若，则的度数为______． 变式2．如图，在中，点在边的延长线上，连接，的平分线交于点，连接，过点作于点，若，． (1)求证：平分； (2)若，，，且，求的面积． 题型6角平分线性质的实际应用 例6．某小区计划在绿化区域增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交于点，交于点，若要建一喷灌处，喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（    ）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 变式1．如图，是的角平分线，，垂足为E．的面积为20，，则的长为____． 变式2．如图，在中，，是的角平分线， ，．求点D到的距离． 过关测试 一、单选题 1．计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭O，使其到小路，的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（    ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 2．观察下列作图痕迹，所作为的边上的中线是（    ）． A． B． C． D． 3．三条公路将三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，使，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A．三条高线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三边垂直平分线的交点 4．如图，在中，，平分，若，则点到的距离为（   ） A．4 B． C． D．3 5．以下说法中错误的是（　　） A．如果直线是线段的垂直平分线，点在上，那么 B．如果点到线段两个端点的距离相等，那么点在线段的垂直平分线上 C．如果点是内一点，、分别在、上，且，那么射线是的平分线 D．如果是的平分线，是上一点，那么点到、的距离相等 6．如图，已知是等边三角形，，E是上的点，，与交于点F，则下列结论正确的有（   ） ①连接，则垂直平分线段；         ②是等边三角形； ③若，则；        ④若，则． A．①② B．①②④ C．①②③ D．②③④ 二、解答题 7．如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站，要求加油站的位置到三条公路的距离都相等． (1)符合要求的位置有__________个； (2)请你找出所有加油站的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； (3)你的作图依据是__________． 8．如图，，点E为的中点，平分，过点E作，垂足为F，连接、． (1)求证：是的平分线． (2)求证：线段垂直平分． 9．如图，在中，D是BC的中点，过D点作于点E，于点F，且． (1)求证：； (2)连接，求证：垂直平分． 10．如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，，且，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $