第六章 整式的运算（复习讲义）数学新教材北京版七年级下册

第六章 整式的运算（复习讲义） 1.理解整式、单项式、多项式相关概念，掌握整式加减、幂的运算、整式乘除的法则与公式； 2.能熟练进行整式混合运算，规范书写步骤，会运用公式简化计算，提升代数运算与化简能力； 3.养成严谨细致的运算习惯，体会转化、整体思想，能解决简单整式运算实际应用问题。 重点01 整式的加法与减法 注意 （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． （2）两个整式相加减时，“减数”一定要用括号“装”起来． （3）整式加减的最后结果的检查： · 要合并到不能再合并为止； · 一般按照某一字母的降幂或升幂排列； · 不能出现带分数． 重点02 同底数幂的乘法 【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． （m，n，…，p都是正整数）． （2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）． 重点03 幂的乘方与积的乘方 【拓展】 （1） 幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）． （2）幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）． 积的乘方 ． 语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 重点04 同底数幂的除法 【拓展】 （1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质， 例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）． （2）同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 重点05 零指数幂与负整数指数幂 零指数幂：a0=1 (a≠0) 负整数指数幂：当n 是正整数时，（，n是正整数） 重点06 科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 重点07 整式乘法 单项式乘法 要点提示： (1)先把各因式里的系数组成一组，积的系数等于各因式系数的积，在各系数相乘时，先确定积的符号，再计算绝对值： (2)相同字母相乘时，利用同底数暴的乘法法则“底数不变，指数相加”； (3)单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方，再乘法”的顺序进行： (4)单项式乘单项式，结果仍是单项式，对于暴的底数是多项式形式的，应将其作为一个整体来运算： (5)对于三个或三个以上的单项式相乘，法则仍然适用 单项式乘多项式 【注意】 (1)一般情况下，单项式与多项式相乘的结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，通常将这个多项式按某一字母的降幂（或升幂)进行排列。 (2)计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，根据去括号法则，积的符号由单项式的符号与多项式的项的符号共同决定 (3)对于混合运算，要注意运算顺序，同时要注意运算结果中若有同类项要合并同类项，从而得出最简结果 （4）利用单项式乘多项式的法则，将单项式与多项式中的每一项相乘，但应注意多项式中的常数项，不能漏乘， 多项式乘法 运用法则时应注意以下几点： (1)运用多项式乘多项式的法则时，必须做到不重不漏，相乘时要按一定的顺序进行.例如(m+n)· (a+b+c),可先用第一个多项式中的第一项“m”分别与第二个多项式的每一项相乘，再用第一个多项式的第二项“n”分别与第二个多项式的每一项相乘，然后把所得的积相加.即 （m+n )（a+b+c )=ma+mb+mc+na+nb+nc. (2)在相乘时防止漏项，检查有无漏项的方法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项前，积的项数应是这两个多项式项数的积，如(m+n)(a+b+c),积的项数应为2×3=6. (3)各项的系数：由单项式与单项式相乘来确定积中各项的系数. (4)各项的排列：合并同类项之后，积中各项的排列一般按某一字母的升（或降）幂排列. (5)注意确定积中每一项的符号，多项式中每一项都包含它前面的符号，“同号得正，异号得负” (6)多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项一定要合并同类项，化为最简结果 重点08 乘法公式 完全平方公式 应用完全平方公式时，要注意： ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式； ③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 完全平方公式的几何意义 如图，大正方形的面积可以表示为,也可以表示为S= 其几何意义：以a+b为边长的正方形的面积等于边长分别为a,b的小正方形及2个长、宽分别是b,a的小长方形的面积之和.从而验证了完全平方公式 平方差公式 平方差公式的解读： （1）在平方差公式中，字母α和b可以表示具体的数，也可以表示一个单项式，还可以表示一个多项式， 但字母之间的运算规律是不发生变化的，因此，只要符合公式的特征，就可以直接写出结果； （2）有些多项式乘法，公式特征不明显，所以看起来不符合公式，其实只要经过变形就能使用公式： （3）两数和乘这两数差的积等于这两数的平方差，此公式有时也可以逆用，会使运算简便 平方差公式的几何意义 如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形Ⅱ的面积，即若把小长方形V变换到小长方形V的位置，则此时阴影部分的面积又可以看成是=(a+b)(a-b).从而验证了平方差公式(a+b)(a-b)= 题型一 整式的加减运算 1．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 2．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 3．化简： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．化简： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接进行合并同类项，即可得到答案； （2）先去括号，然后进行合并同类项，即可得到答案； （3）先去括号，然后进行合并同类项，即可得到答案． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 题型二 整式加减的化简求值 5．先化简再求值：，其中，． 【答案】；16． 【分析】先去括号，再合并同类项即可化简，再将，代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 6．在学习了整式的加减后，老师给出一道课堂练习题： 选择的一个值．求的值． 甲说：“当时．原式．” 乙说：“当时，原式．”     丙说：“当为任何一个有理数时，原式．” 这三位同学的说法是否正确？请说明理由． 【答案】这三位同学的说法都正确，理由见解析 【详解】解：这三位同学的说法都正确，理由如下： ∵ ， ， ， ∴多项式的结果恒等于2026，与a的取值无关， ∴这三位同学的说法都正确． 7．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先去括号，然后合并同类项，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 8．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先化简，再把，代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 题型三 整式加减的应用 9．如图，某小区有一块长为米、宽为米的长方形空地，小区管理部门在空地的一角规划了一个长为米、宽为b米的小长方形花园． (1)请用含a，b的式子表示图中阴影部分的面积S．（用代数式表示并化简） (2)小区管理部门打算在剩余空地（图中阴影部分）铺上地砖，若，，预计每平方米地砖的价格是50元，求购买所需地砖的费用． 【答案】(1) (2)9400元 【分析】（1）计算解答即可； （2）求代数式的值，再计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 ； （2）解：当，时， （平方米）， 故购买所需地砖的费用为：（元）； 10．某快递公司对跨城大件包裹寄件，有如下两种收费方案． 方案一： 计价规则 包裹重量不超10kg 超过但不超过的部分 超过的部分 单价 8元/kg 6元/kg 5元/kg 方案二：若包裹重量超过时，运费按单价“6元/kg”对包裹总重量计费． (1)若按“方案一”计费，当包裹的重量为时，则需支付运费________元；当包裹的重量为时，则需支付运费________元（用含的代数式表示）； (2)如果包裹的重量大于，那么当包裹重量为多少时，两种方案的运费相同． 【答案】(1)110；； (2)当包裹重量为时，两种方案的运费相同 【分析】本题考查了列代数式和一元一次方程的应用，准确地理解不同区间的计价规则是解题的关键． （1）根据货物质量的不同区间，选择对应的计价规则计算运费； （2）若包裹重量超过时，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：若按“方案一”计费，当包裹的重量为时，则需支付运费 （元）； 当包裹的重量为时，则需支付运费 元； （2）解：若包裹重量超过时，按单价“6元”计费，即元， 根据题意，得， 解得， 当包裹重量为时，两种方案的运费相同． 11．把正整数1，2，3，4，……排成如下一个数表． (1)2026在第______行，第_____列； (2)第行第3列的数是_____（用含的代数式表示） (3)嘉嘉和淇淇玩数学游戏，嘉嘉对淇淇说：“你从数表中挑一个数，按如图所示的程序计算，只要你告诉我所得的数在第几行，我就知道你挑的数在第几行．”你认为嘉嘉说得有道理吗？请说明理由． 【答案】(1)254，2 (2) (3)有道理，理由见解析 【分析】（1）从图中可以得出规律，每一行共有8个数，每行最后的数是8的倍数，从而可进一步得出答案； （2）由题意可知第n行第8列是，然后可以进一步推出答案； （3）按照程序写出代数式，再化简即可得出答案. 【详解】（1）解：由图中可以得出规律，每一行共有8个数，每行最后的数是8的倍数， ∵， ∴2026在第254行，第2列； （2）解：第n行第3列的数是：； （3）解：根据计算程序，可得：， 所以当知道数y在第几行时，则x必在它的上一行， 所以嘉嘉说得有道理． 12．2026年3月14日是第七个国际数学日，为了传扬数学文化，我校开展了相关竞赛活动，小鸣帮助王老师提前在线上平台计划购买玩偶与徽章等文创品作为奖品．线上平台无促销活动时，玩偶和徽章的销售单价各是20元、15元．线上平台有促销活动时，活动信息如下： 方式一：购买50元会员卡后所有商品打8折；方式二：非会员所有商品打9折． (1)王老师计划在促销期间购买玩偶和徽章共30个，其中购买玩偶m个（），则按方式一和方式二购买分别需要多少元？（结果均用含m的代数式表示） (2)请你帮王老师算一算，在（1）的条件下，购买玩偶的数量在什么范围内时，选择方式一购买更划算？ 【答案】(1)方式一：元；方式二：元； (2) 【分析】（1）先求出总价，再根据方式一和方式二的促销方式计算即可； （2）根据方式一的费用比方式二的费用少列不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵购买玩偶和徽章共30个，其中购买玩偶m个（）， ∴购买徽章个， ∵玩偶和徽章的销售单价各是20元、15元， ∴总价为元， 方式一：元； 方式二：元； （2）解：∵选择方式一购买更划算， ∴， 解得：， ∵， ∴． 题型四 同底数幂的乘法 13．若，，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】将已知转化为，，再根据同底数幂的乘法求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 14．新定义：如果，则规定，例如：，所以．填空______；若，，，则x，y，z的关系式为______． 【答案】 4 【分析】第一空根据新定义计算得到结果，第二空先根据新定义写出对应幂的等式，再利用同底数幂的乘法法则推导，，的数量关系即可． 【详解】解：， ； ，，， ∴根据新定义可得，，， ∴， ∴， ． 15．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 16．若（且，m，n是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件可得：，可得，进一步可得答案； （2）由条件可得：，可得，进一步可得答案. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型五 科学记数法 17．北宋王安石的一首诗《梅花》中的诗句“墙角数枝梅，凌寒独自开．遥知不是雪，为有暗香来”若梅花的花粉直径约为0.000036米，则数据0.000036用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值即可解题. 【详解】解：. 18．2025年，我国发现一种新型病毒，其病毒颗粒呈多形性，其中球形病毒的最大直径为，这一直径用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 19．嫦娥五号返回器携带月球样品安全着陆，标志着中国航天事业向前又迈出了一大步．嫦娥五号返回器在接近大气层时，飞行大约需要 ．将数据用小数表示为_______． 【答案】 【详解】解：∵ ， ∴． 20．跨生物学学科  巨噬细胞是人体的清道夫，一直在为我们的身体做清洁工作，它是由单核细胞演变而来的，直径可达．将数据写成小数的形式为，这个小数小数点后0的个数为__________． 【答案】4 【分析】本题考查了科学记数法与小数的互化，掌握科学记数法转化为小数时，小数点向左移动位是解题的关键 将科学记数法 转换为小数形式，小数点向左移动5位，得到， 【详解】解：根据科学记数法法则，， 因此 小数中，小数点后有个， 故答案为：． 题型六 幂的乘方运算 21．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 22．如果，那么的值为______． 【答案】 【分析】由已知得，利用幂的乘方运算和同底数幂的乘法法则把原式转化为，进而代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 23．已知，则______． 【答案】100 【分析】根据题意可得，根据幂的乘方和同底数幂乘法的运算法则可把所求式子变形为，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 24．在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题： (1)若，求x的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂的乘方法则变形得出，对应相等可得，求解即可； （2）根据同底数幂的法则计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型七 积的乘方运算 25．若，则的值为（     ） A．5 B．10 C．15 D．25 【答案】D 【分析】本题考查积的乘方运算性质，利用积的乘方的逆运算将所求式子变形，代入已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：． 26．我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：如：．若，那么的结果是______ 【答案】 【分析】根据定义求解即可； 【详解】解：， 由， 得， 由， 故； 27．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式. 28．逆向运用幂的运算法则可以得到，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)计算的结果是________； (2)若，求的值； (3)已知，比较a，b，c的大小． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）将原式化为，进而计算即可； （2）将等式左边化为，根据列方程求解即可； （3）将化为，进而比较即可． 【详解】（1）解： （2）解： ∵， ∴， ∴ 得 （3）解： ∵ ∴ ∴． 题型八 同底数幂的除法 29．已知，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查同底数幂的除法以及幂的乘方的运算法则；将原式化为：即可得出答案． 【详解】解：． 30．若，则_____________ 【答案】 【分析】先根据已知等式求出的值，再将原式变形为同底数幂的形式，利用幂的乘方运算法则和同底数幂的除法运算法则化简后代入计算即可． 【详解】解：由得， 原式． 31．在研究幂的运算时，我们首先研究了指数为正整数的相关运算性质． (1)类似地，当指数是负整数时，幂的相关运算性质仍然成立． 计算：①；②． (2)类似地，当指数推广到分数时，幂的相关运算性质仍然成立． ①计算：； ②填空：． 【答案】(1)①；② (2)①；② 【详解】（1）解：① ② （2）解：①； ②， 故答案为：1． 32．小明在学习同底数幂的乘法时，根据算式：，做了如下推导：，因此得到． 类比探究： (1)求的值； (2)求证：； 拓展探究： (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)5 【分析】（1）仿照题干作答即可； （2）逆用同底数幂的乘法得到，又，可得，可知； （3）根据同底数幂的除法法则得到，，进而逆用幂的乘方法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）证明： （3）解：， ， 题型九 零指数幂和负整数指数幂 33．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查负整数指数幂、零指数幂与有理数乘方的运算，根据初中所学运算法则计算各选项即可判断. 【详解】对选项A：根据负整数指数幂法则，可得 ， A运算正确； 对选项B：根据零指数幂法则，任何非零数的次幂等于，可得 ， B运算错误； 对选项C：根据乘方运算法则，可得 ， C运算错误； 对选项D：根据运算优先级和零指数幂法则，可得 ， D运算错误； 34．若，，，则它们的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据乘方法则、负整数指数幂及零指数幂法则，分别计算出a、b、c的值，再比较大小即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 35．__________． 【答案】8 【分析】先根据负整数指数幂与零指数幂的运算法则分别计算两项，再做减法运算即可得到结果． 【详解】解: 根据负整数指数幂运算法则，可得， 根据零指数幂运算法则，，可得， 则原式 ． 36．计算： 【答案】 【分析】利用有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂以及求一个数的绝对值进行求解． 【详解】解：， ， ； 题型十 单项式乘法 37．计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 38．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单项式乘单项式运算法则，结合同底数幂的乘法法则计算即可得到结果． 【详解】解：． 39．化简：_________． 【答案】 【分析】先根据积的乘方运算法则化简乘方项，再根据单项式乘单项式的运算法则计算，即可得到结果． 【详解】解： ． 40．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式. 题型十一 多项式乘法 41．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 42．化简：． 【答案】 【详解】解： ． 43．计算：． 【答案】 【详解】解：． 44．计算：． 【答案】 【分析】根据多项式乘以多项式以及单项式乘以多项式的运算法则去括号，再合并同类项即可得出结果． 【详解】解： ． 题型十二 多项式乘法与图形面积 45．如图，有甲、乙两个长方形（为正整数），面积分别为． (1)请求出并比较与的大小； (2)满足条件的整数有且只有4个，则 ． 【答案】(1)，， (2)2 【分析】（1）根据矩形的面积公式计算出和，再求出差即可比较出大小； （2）根据题意得出关于m的不等式组，解之即可得到结论． 【详解】（1）解：， ， 为正整数， ； （2）解：由（1）得，， 有4个整数解 这4个整数为5，6，7，8， 为正整数， ． 46．如图是一个长为，宽为的长方形城市广场．为了丰富市民文化生活，政府计划在中间区域修建一个长方形的音乐喷泉池（图中阴影部分），音乐喷泉池的四周为市民活动区域，宽度分别为、（如图所示）． (1)求音乐喷泉池的占地面积；（用含a，b的式子表示） (2)音乐喷泉池建成后，需给市民活动区域铺上地砖．若市民活动区域每平方米铺设地砖的费用为100元，求市民活动区域铺设地砖的总费用．（用含a，b的式子表示） 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）根据题意列出算式，利用多项式乘多项式运算法则，进行计算即可； （2）先求出市民活动区域的面积，然后根据每平方米铺设地砖的费用为100元，求出结果即可． 【详解】（1）解：由题可得音乐喷泉池的占地面积为： ． 答：音乐喷泉池的占地面积为． （2）解：由题可得市民活动区域的面积为： ， ． 答：市民活动区域铺设地砖的总费用为元． 47．综合与实践 活动主题：借助图形直观感受数与形之间的关系 初步应用 (1)如图，一个大长方形被分割为4个大小不同的小长方形，通过用两种不同方法计算大长方形的面积，可推导出整式乘法的运算规律，请用图中标注的字母写出对应的等式： ． 拓展创新 (2)仿照（1）中面积法的思路，画出图形，并计算． 迁移应用 (3)若式子无论x为多少时恒成立，求m的值． 【答案】(1) (2)图见解析， (3) 【分析】（1）根据大长方形面积的不同计算方法可得等式； （2）画一个长为，宽为的长方形，然后用两种不同的计算方法进行列式，即可得出答案； （3）先计算，再根据题意得出，，先求出p，然后可得m的值． 【详解】（1）解：把大长方形当成一个整体计算面积为：， 把大长方形分成四个小长方形计算面积为：， 可得对应的等式为：； （2）解：如图： 把大长方形当成一个整体计算面积为：， 把大长方形分成四个小长方形计算面积为：， 所以； （3）解：， ∵式子无论x为多少时恒成立， ∴，， ∴， ∴． 48．我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是把看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含的项的系数为0． 具体解题过程：原式 因为代数式的值与的取值无关． 所以，解得． 【理解应用】 (1)若关于的代数式的值与的取值无关，则的值为___________． (2)已知，且的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 (3)7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长度变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 【答案】(1)2 (2)8 (3) 【分析】（1）根据题中所给方法进行求解即可； （2）由题意易得，然后可得，进而问题可求解； （3）设，由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：， 因为代数式的值与的取值无关． 所以，解得． （2）解：∵， ∴ ， ∵的值与的取值无关， ∴， 解得：， ∴； （3）解：设，由图可知： ， ∴， ∵的长度变化时，的值始终保持不变， ∴， ∴． 题型十三 已知多项式乘积不含某项求字母的值 49．若中不含项，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据多项式乘多项式的乘法法则解决此题． 【详解】解： ． ∵的展开式中不含项， ∴， ∴． 50．若多项式与多项式的乘积的展开式中不含项与x项，则______． 【答案】5 【分析】先计算，得出，再根据展开式中不含项与x项，求出，，然后求出结果即可． 【详解】解： ， ∵展开式中不含项与x项， ∴，， 解得：，， ∴． 51．若等式恒成立，无论为何值，的值始终为定值，则这个定值为_____． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式运算与整式恒成立的性质，先将等式左边按多项式乘多项式法则展开，对比等式两边对应项系数得到m、n关于s、t的表达式，代入整理，根据无论t为何值结果为定值，得到t的系数为0，求出s的值，即可计算得到定值 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵无论为何值，的值始终为定值， ∴ ∴ ∴ 52．若关于的多项式与的乘积展开式中不含项，且常数项为8， (1)求与的值； (2)化简，并求值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据多项式乘以多项式的运算法则求出的展开结果，令含项的系数为0，常数项为8，从而建立关于a、b的方程，解方程即可得到答案； （2）根据多项式乘以多项式的运算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代入求值即可． 【详解】（1）解： ， ∵关于的多项式与的乘积展开式中不含项，且常数项为8， ∴， ∴； （2）解： ， ∵， ∴原式． 题型十四 多项式乘法化简求值 53．先化简，再求值：，其中． 【答案】；8 【分析】利用多项式与多项式的乘法、单项式与多项式的乘法运算法则进行化简，将代入化简后的式子进行计算即可． 【详解】解： 当时，原式． 54．先化简，再求值：，其中． 【答案】 ； 【分析】先利用多项式乘以多项式及单项式乘以多项式法则将原式展开，合并后得到最简结果，再代入计算即可求出值．熟练掌握运算法则及公式是解题的关键． 【详解】解：原式 当，时， 原式． 55．先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【分析】先根据完全平方公式、多项式乘多项式及单项式乘多项式的运算法则将原式展开，合并同类项后，再整体代入已知条件计算即可． 【详解】解：原式 ， ， ， 原式 ． 56．先化简，再求值：的值，其中． 【答案】； 【分析】先根据多项式乘以多项式的运算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 题型十五 整式乘法混合运算 57．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握同底数幂乘法，幂的乘方，单项式乘多项式和多项式除以单项式的运算是解题的关键， （1）根据同底数幂乘法幂的乘方混合运算法则计算即可得到答案； （2）根据单项式乘多项式和多项式除以单项式的运算法则计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ． （2） ． 58．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 59．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 60．计算 (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可； （2）根据多项式除以单项式的法则进行求解即可； （3）运用平方差公式进行求解即可； （4）运用平方差公式和完全平方公式进行求解即可； （5）先计算有理数的乘方、零指数幂和负整数指数幂，再计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 题型十六 乘法公式 61．利用整式乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1)9801 (2)1 【分析】（1）利用完全平方公式进行简便计算即可； （2）利用平方差公式进行简便计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 62．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将写成，利用平方差公式计算； （2）将原式写成，分别运用平方差公式和完全平方公式计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 63．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，再合并同类项； （2）根据完全平方公式去括号，再合并同类项即可 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 64．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先利用完全平方公式、单项式乘多项式法则、平方差公式分别展开原式中的各项，再合并同类项进行化简，最后将给定的、的值代入化简后的式子计算结果． 【详解】解： ， 当，时，原式． 题型十七 乘法公式与几何图形 65．有两类正方形A，B，其边长分别为a，b．现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，求： (1)根据图1和图2，得到______， ______． (2)小明想要拼一个两边长分别为和的长方形（不重不漏），除用去若干个正方形A，B外，还需要以a，b为边的长方形______个． (3)三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，求阴影部分的面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据图①和图②，表示出阴影部分的面积，即可得出结果； （2）先利用多项式乘以多项式的运算法则计算得出两边长分别为和的长方形的面积，比较即可得出结果； （3）先求出，再结合完全平方公式的变形得出，表示出阴影部分的面积为，化简后整体代入计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由图①可得：， 由图②可得：， ∴； （2）解： ， ∴还需要以a，b为边的长方形个； （3）解：∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 66．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)用含a，b的代数式分别表示、 (2)若，，求的值； (3)若图1中的，图3中，则的值为 ．（用含x，y的代数式表示） 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的面积之间的关系，即可用含a、b的代数式分别表示、； （2）根据，再变形为：，将，代入进行计算即可； （3）由图1中的，图3中，可得，，再把的右边分解因式，最后代入即可． 【详解】（1）解：由图1可得， ； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴； （3）解：∵图1中的，图3中， ∴，， ∴． 67．如图，有A，B，C三种类型的卡片． (1)选取1张A型卡片，2张B型卡片，1张C型卡片，恰好拼成一个大正方形． ①请画出所拼大正方形的示意图； ②通过用不同方法表示大正方形的面积，可得到乘法公式为_________． (2)若用若干张A，B，C卡片（每种类型的卡片至少一张），恰好拼成一个大正方形，则使用的所有卡片的张数之和一定是一个完全平方数．请说明理由． 【答案】(1)①见详解；② (2)理由见详解 【分析】（1）结合三种卡片的数量以及每种卡片的面积即可求解； （2）先假设拼接后大正方形的边长，然后利用乘法公式确定大正方形的面积，再结合三种卡片的面积即可确定所需每种卡片的数量，继而求解． 【详解】（1）解：①所拼大正方形的示意图如图所示： ②． （2）解：设拼接后的大正方形的边长为，则大正方形的面积为 ． 因为1张A型卡片的面积为，1张B型卡片的面积为，1张C型卡片的面积为， 所以拼接后的大正方形包含了张A型卡片，张B型卡片，张C型卡片, 所以使用的所有卡片的张数之和为，即它是一个完全平方数． 68．如图1是一个长为．宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少？_______________ (2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法1：_________________________________ 方法2：_________________________________ (3)观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？ 代数式：，，_______________ (4)两个正方形、如图3摆放．边长分别为x，y，若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)； (3) (4) 【分析】（1）观察图2，阴影部分的边长就是长方形的长与宽的差，即； （2）本题可以直接求阴影部分正方形的边长，计算面积；也可以用正方形的面积减去四个小长方形的面积，得阴影部分的面积； （3）由（2）即可得出三个代数式之间的等量关系； （4）根据题意可得，则可得到，据此可得，再根据（3）可求出，据此结合三角形的面积公式可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，图2中的阴影部分的正方形的边长等于； （2）解：方法1：图2中的阴影部分是一个边长为的正方形，其面积为； 方法2：图2中的阴影部分的面积等于一个边长为的正方形面积减去4个长为m，宽为n的长方形面积，其面积为． （3）解：由（2）可得三个代数式之间的等量关系是：； （4）解：∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 题型十八 通过对完全平方公式变形求值 69．已知，则的值为（    ） A．24 B．23 C．22 D．20 【答案】A 【分析】设，则，，结合完全平方公式展开化简，即可计算得到结果． 【详解】解：设，则，， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴． 70．若，，则________． 【答案】 【分析】利用完全平方公式将所求代数式展开，再将已知条件整体代入计算即可． 【详解】解：， 将，，可得． 71．若有理数n满足，则代数式______． 【答案】/ 【分析】观察代数式特点，考虑用完全平方公式变形解决问题，令，，可得，，求出即可． 【详解】解：令，， 则，， ∴， ∴， ∴， 即． 72．数形结合： (1)知识背景：图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀剪下全等的四块小长方形，然后按图拼成一个正方形． ①图中，阴影部分的正方形的边长为 ． ②请用两种不同的方法表示图中阴影部分的面积． 方法一 ； 方法二 ． ③观察图，写出三个代数式，，之间的等量关系． (2)拓展应用： ①若，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1)①；②，；③ (2)①；②． 【分析】（1）①②根据图形作答即可；③根据②所得式子即可得到等量关系； （2）①结合（1）所得等量关系求解即可； ②令，，则，，再结合（1）所得等量关系求解即可． 【详解】（1）解：①图中，阴影部分的正方形的边长为； ②方法一，用正方形面积公式表示为， 方法二，用大正方形面积减四个小长方形面积表示为； ③由②可知，， 即； （2）解：①由（1）可知，， ， ，， ， ； ②令，， 则，， ， ， ， ． 题型十九 求完全平方式中的字母系数 73．已知是完全平方公式，则的值为（    ） A．4 B．4或 C．16 D． 【答案】B 【分析】利用完全平方式的结构特征求解即可． 【详解】解：∵是完全平方公式， ∴， 解得或． 74．如果是关于的完全平方式，则常数的值为（   ） A． B．1 C．1或 D．1或 【答案】D 【分析】根据题意可确定两平方项为，则一次项为，则，据此可得答案． 【详解】解：∵是关于的完全平方式， ∴一次项为， ∴， ∴或． 75．若代数式是一个完全平方式，则实数______． 【答案】7或 【详解】解：代数式是一个完全平方式， ， ∴， ∴， 当时，解得， 当时，解得， 综上，实数或． 76．若多项式是一个完全平方式，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式，根据完全平方式的特点解答即可求解，掌握完全平方式的特点是解题的关键． 【详解】解：， ∵多项式是一个完全平方式， ∴， 即的值为． 题型二十 多项式乘法中的规律性问题 77．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为（    ） A．45 B．55 C．2025 D．2026 【答案】A 【分析】根据图形中的规律即可求出的展开式中第三项的系数． 【详解】解：找规律发现的第三项系数为； 的第三项系数为； 的第三项系数为； ∴的第三项系数为， ∴第三项系数为． 78．观察下列各式： 观察上面的规律计算：（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】先根据给出的各式归纳出一般规律，再将所求式子对照规律，代入计算即可得到结果． 【详解】解：根据已知式子归纳规律可得，其中为正整数， 则中，最高次项为，对应规律得 ， 即， ∴把，代入规律得． 79．仔细观察，探究规律：，，，，则算式值的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】先根据已知等式总结规律，化简所求算式，再找出个位数字的循环规律，即可计算出结果的个位数字． 【详解】解：观察已知等式可得规律： ， 变形得 ， 令，，则： ， ∵的个位数字依次为，每次为一个循环， ， ∴的个位数字与的个位数字相同，为， ∴的个位数字为， 即所求算式的个位数字为． 80．阅读材料：教材为大家介绍了杨辉三角． 我国著名数学家华罗庚曾在所撰写的《数学是我国人民所擅长的学科》一文中谈到，我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．他说：“实际上我们祖国伟大人民在人类史上，有过无比的睿智的成就．”其中“杨辉三角”就是一例． 在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》（1261年）一书中，用三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在书中提到，在他之前北宋数学家贾宪（约11世纪上半叶）发明了上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．   杨辉三角两腰上的数都是，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第行的个数，，，恰好对应着展开式中的各项的系数；第行的个数，，，，恰好对应着展开式中各项的系数；等等． 利用上面的规律，完成以下问题： (1)的展开式为_________； (2)的展开式中共有_________项，从右往左第二项的系数是_________； (3)计算：． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）根据规律写出第行的个数对应展开式中各项的系数； （2）根据规律得到的展开式共有项，所有项的系数成对称关系，进而可解题； （3）先通过规律写出的展开式，然后令代入即可； 【详解】（1）解：根据杨辉三角第行的个数分别为，，，，， ∴， 故答案为：； （2）解：根据规律可知的展开式共有项， ∴的展开式中共有项， 又根据题意可总结出所有项的系数成对称关系， ∴从右往左第二项的系数与从左往右第二项的系数相等， 根据题干规律可发现每个展开式的系数从左往右第二项的系数都为， ∴的展开式从左往右第二项的系数为， ∴的展开式从右往左第二项的系数为； 故答案为：，； （3）解：通过规律可知： ， ∵ ， ∴， ∴ ． 题型二十一 乘法公式的新定义问题 81．对于任意有理数，现用“☆”定义一种运算：☆，根据这个定义，代数式☆可以化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式乘法，掌握平方差公式的结构特征是解题关键．根据已知新定义运算法则列式，再结合平方差公式计算即可． 【详解】解：☆ ， 故选：D． 82．现定义某种运算“”：对于任意两个数a和b，有，如，请按定义计算________． 【答案】/ 【分析】根据定义的运算，原式可化为，然后根据完全平方公式和平方差公式计算，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 83．爱思考的可可同学在学习“整式的乘法”时，给出“平衡多项式”的定义： 对于三个多项式（按顺序排列）：，，（其中，是非零常数），当是一个常数时，称这样的三个多项式是平衡多项式，的值是平衡因子． (1)根据“平衡多项式”的定义，试判断： ①，，______（是或不是）平衡多项式；②，，______（是或不是）平衡多项式； (2)已知，，是平衡多项式，求平衡因子． 【答案】(1)①是；②不是 (2)． 【分析】（1）①根据平衡多项式定义，计算即可判断； ②根据平衡多项式定义，计算即可判断； （2）根据平衡多项式定义计算即可． 【详解】（1）解：①∵ ， ∴由定义可知，，，是平衡多项式； ②∵ ， ∴由定义可知，不是平衡多项式； （2）解：∵，，是平衡多项式， ∴， 整理得， ∴， 因为结果是常数，所以含x的项系数为0： ∴， ∴， ∴， ∴平衡因子． 84．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，则8，16，24都是“和谐数”． (1)特例感知：40___________“和谐数”，2026___________“和谐数”．（填“是”或“不是”） (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形，其边长为99，求阴影部分的面积． 【答案】(1)是，不是 (2)“和谐数”能被8整除．理由见解析 (3)5000 【分析】本题考查了平方差公式的应用． （1）根据“和谐数”的定义判断即可； （2）根据“和谐数”的定义计算得到，即可作答； （3）结合（2）的计算即可． 【详解】（1）解：设， 解得，是整数， ∴40是“和谐数”； 设， 解得，不是整数， ∴2026不是“和谐数”； 故答案为：是，不是； （2）解：“和谐数”能被8整除．理由如下： ， 是正整数， 能被8整除， 能被8整除； （3）解： ， 阴影面积为5000． 题型二十二 多项式除法运算 85．小刚在做作业时，发现题目被墨迹遮住了一部分，，阴影部分即为墨迹，那么被墨迹遮住的内容是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据求解即可． 【详解】解：根据题意， ． 86．计算：________． 【答案】 【详解】解： ． 87．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先计算括号里多项式乘以多项式、完全平方公式、平方差公式，再由去括号法则化简，然后合并同类项化简括号内的运算，再由多项式除以单项式得到化简结果，然后由非负数和为零的条件求出，再将代入化简后的结果由有理数乘法及减法运算求解即可得到答案． 【详解】解： ， ，且， ， 解得， 当时，原式． 【点睛】本题考查整式的化简求值，涉及多项式乘以多项式、完全平方公式、平方差公式、去括号法则、合并同类项、多项式除以单项式、有理数乘法运算及有理数减法运算等知识，熟练掌握整式加减乘除等运算法则是解决问题的关键． 88．可依照计算如图： 因此． 阅读上述材料后仿照计算． 【答案】 【分析】本题考查除法运算，理解题干中提供的运算方法是解题关键 按照题干所提供的方法进行计算即可． 【详解】解：如图， 故． 基础巩固通关测 1．（25-26七年级下·北京通州·期中）下列运算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对于选项A ∵ 与 不是同类项，不能合并， ∴ A错误． 对于选项B ∵ 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，， ∴ B正确． 对于选项C ∵ 幂的乘方，底数不变，指数相乘，， ∴ C错误． 对于选项D ∵ 积的乘方等于各因式乘方的积， ， ∴ D错误． 2．（25-26七年级下·北京房山·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题只需分别计算系数乘积，同底数幂的乘积，再确定符号即可得到结果． 【详解】解： ． 3．（25-26八年级上·北京·期末）据央视新闻2025年4月19日报道，复旦大学科研团队成功开发出半导体电荷存储器“破晓（）”，其擦写速度可达400皮秒，是迄今最快的半导体电荷存储技术．已知一皮秒相当于一万亿分之一秒，即秒，400皮秒用科学记数法表示应为（   ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【答案】A 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，首先得到 400 皮秒秒，然后根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】解：一皮秒秒， 皮秒秒， 秒， 故选：A． 4．（25-26八年级上·北京朝阳·期末）已知，，．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③④ B．②③④ C．①③ D．②④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法运算，平方差公式．根据同底数幂乘除法法则，平方差公式，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即，故①正确； ∵，， ∴， ∴，即， ∴，故②错误； ∵，，， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∴， ∵，，即，， ∴，故④正确； ∴正确结论的序号是①③④． 故选：A 5．（25-26八年级上·北京门头沟·期末）已知，则的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，将4和8转化为2的幂，利用指数运算性质结合已知等式求解． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 6．（25-26七年级下·北京通州·期中）已知．那么的值是_______． 【答案】 【分析】先计算，再进一步求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴. 7．（25-26七年级下·北京通州·期中）通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．观察图形，请直接用一个等式表示图中阴影部分图形的面积：_______． 【答案】 【详解】解：由第一个图形知，阴影部分图形的面积为， 由第二个图形知，阴影部分图形的面积为， ∴． 8．（25-26八年级上·广东江门·月考）计算：__________． 【答案】 【分析】本题考查多项式除以单项式的运算，掌握好整式除法的运算法则是解题关键． 根据分配律将多项式的每一项分别除以单项式，再根据整式除法的法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为： ． 9．（24-25八年级上·吉林·期末）若是一个完全平方式，则______． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式．熟练掌握是解题的关键．根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 故答案为：． 10．（25-26七年级上·北京·期中）多项式的值与x，y的取值无关，则的值为 _____． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式的计算，理解值与x，y无关得到含x，y的项的系数为零是解题的关键． 先将多项式合并同类项，根据值与x，y无关，令含x，y的项的系数为零，列式求解，再代入计算即可求解． 【详解】解：多项式合并同类项得：， ∵多项式的值与x，y的取值无关， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 11．（25-26七年级下·北京昌平·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 12．（25-26九年级下·北京·期中）如果，求代数式的值． 【答案】 【分析】先利用完全平方公式和平方差公式化简代数式，再根据已知条件得到，最后整体代入化简后的式子求值． 【详解】解： ∵， ∴， ∴原式． 13．（25-26七年级下·北京延庆·期中）阅读下面材料： 材料一：比较和的大小 材料二：比较和的大小 解：因为，且，所以，即． 解：因为，且，所以，即． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较的大小； (2)比较的大小． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：，， 且， ， 即； （2）解：，，， 且， ， 即． 14．（25-26八年级上·吉林长春·周测）阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：_______（填写、或）． (2)比较与的大小（写出比较的具体过程）． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查积的乘方的逆运算、幂的大小的比较以及有理数的混合运算等知识，解答的关键是熟练掌握相关的运算法则． （1）根据“对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有”比较大小即可； （2）将与化为指数相同的幂，然后再根据“当同指数时，底数大的幂也大”即可进行比较大小； （3）首先将和化为指数相同的幂，将和也化为指数相同的幂，再根据积的乘方逆运算进行运算，然后进行减法运算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意，对于同指数，不同底数的两个幂和， 当时，则有， ∴． 故答案为：； （2）解：∵，， 又∵， ∴； （3）原式 ． 15．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）数学活动课上，老师准备了若干张如图①的三种纸片，其中A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用1张A种纸片，1张B种纸片和2张C种纸片拼成如图②的大正方形． (1)观察图②，请你写出下列三个代数式：之间的等量关系； (2)若要拼出一个面积为的正方形，则需要C种纸片________张； (3)根据（1）中的等量关系，解决问题：当时，求的值． 【答案】(1) (2)4 (3)6 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，解题的关键是运用数形结合思想得出完全平方公式并灵活运用． （1）用两种方法表示拼成的大正方形的面积，即可得出 ，，之间的等量关系； （2）计算的结果为，因此需要A号卡片4张，B号卡片1张，C号卡片4张，即可解答； （3）由（1）的等量关系，代入求值即可解答． 【详解】（1）解：大正方形的面积可以表示为：，或表示为：， 因此有； （2）解：， ∴要拼出一个面积为的正方形，则需要C种纸片4张； （3）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 能力提升进阶练 16．（25-26八年级上·北京·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查合并同类项，积的乘方，单项式除以单项式，平方差公式，完全平方公式，掌握知识点是解题的关键． 根据合并同类项，积的乘方，单项式除以单项式，平方差公式，完全平方公式，逐项分析判断即可． 【详解】解：A：∵ 与 不是同类项，∴ 不能合并，A错误，不符合题意； B：∵ ，又∵ ，∴ B正确，符合题意； C：∵ ，但右边为 ，∴ C错误，不符合题意； D：∵ ，但右边为 ，∴ D错误，不符合题意； 故选：B． 17．（25-26八年级上·北京·期中）有如图所示的A，B，C三种纸片若干张，棋盘要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，如选取A纸片9张，再取B纸片1张，还需要取C纸片（   ） A．12张 B．10张 C．6张 D．4张 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方式的应用，设还需要取k张C卡片，根据题意可得是一个完全平方式，据此求解即可． 【详解】解：设还需要取k张C纸片， ∵取纸片张，取纸片张， ∴面积和为， ∵要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，C纸片的面积为， ∴，是一个完全平方式， ∴， ∴（负值舍去） ∴还需张C纸片， 故选：C． 18．（25-26八年级上·北京·期中）在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、53个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，一元一次方程的应用，列出方程是解题得关键． 通过跟踪每次操作后各袋球数的变化，根据最终三袋球数相同列出方程，求解出和的值，再利用指数运算性质计算． 【详解】∵ 总球数为，且最终三袋球数相同， ∴ 每袋有 个球， 操作后： 甲袋：，； 丙袋：，； 乙袋：，符合， ∴ ． 故选：D． 19．（23-24八年级上·北京西城·期末）如果，那么代数式的值为（    ） A． B． C．6 D．13 【答案】D 【分析】本题考查了整式的化简求值，完全平方公式，单项式乘以多项式，利用整体代入的思想解决问题是关键．由已知可知，再将代数式变形为，即可计算求值． 【详解】解：， ， ， 故选：D． 20．（24-25七年级下·安徽马鞍山·期中）如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为．已知，且，则为（   ） A．24 B．22 C．26 D．31 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，根据正方形的性质，得到，设，得到，进而得到，进而得到，利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 故选：C． 21．（16-17八年级上·山东东营·期中）已知： ，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方及整体代入思想，关键是的转换； 由已知条件 ，可得： ，将转换成，即可求得结果. 【详解】解：由 ， 得 ， ∴ 故答案为：. 22．（25-26七年级上·北京昌平·期中）对于任意正整数a，b定义一种新运算：．比如，则，，那么的结果是______． 【答案】 【分析】本题考查数字类规律探究，根据新定义运算的规律得到，将2026转化为，即可求解． 【详解】解：由和， 可得． 因为，所以． 故答案为：． 23．（25-26八年级上·北京·期中）已知：如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，则阴影部分的面积为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方公式与图形面积的关系，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；由可得，则有，然后根据图形可求阴影部分的面积． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴； 阴影部分的面积为：； 故答案为：． 24．（25-26八年级上·北京·期中）如图，有正方形，现将放在的内部得图1，将并列放置后构造新的正方形得图2，若图1，图2中阴影部分的面积分别为． （1）正方形和的面积和是___________； （2）图2中新的正方形的边长是___________． 【答案】 【分析】本题考查代数式相关运算及几何图形关系，数形结合，由图形面积列式表示是解决问题的关键． （1）设正方形的边长为、正方形的边长为，由阴影部分面积为求出边长，从而得到，再由阴影部分面积为得到，最后由即可得到答案； （2）由（1）知，，，将代入得，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）设正方形的边长为、正方形的边长为， 图1中阴影部分的面积为， 其边长为， 则， ； 图2中阴影部分的面积为， ， 则； 正方形和的面积和是， 故答案为：； （2）由（1）知，，， 将代入得， ， 则， 即， 或， 解得或（舍去）， ， 图2中新的正方形的边长是， 故答案为：． 25．（24-25七年级下·安徽合肥·月考）多项式，，若的展开式中不含项，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出两个多项式的乘积，再根据乘积展开式中不含项，列出关于b的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解： ， ∵多项式与的乘积的展开式中不含项， ∴， ∴． 故答案为：． 26．（25-26七年级上·北京·期末）先化简，再求值：，其中， 【答案】， 【分析】将原式去括号，合并同类项后代入数值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当，时， 原式． 27．（25-26八年级上·河北衡水·期末）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则和幂的乘方法则． （1）利用幂的乘方的逆运算，整理得，然后计算即可； （2）利用同底数幂相乘的逆运算，整理得，然后计算即可； （3）根据（1）、（2）的计算结果进行判断即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）∵由（1）、（2）得，， ∴， ∴． 28．（2026七年级下·全国·专题练习）【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决此类问题时一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，，其中．求证：．证明：． ∵ ∴． ∴． 【新知应用】 （）比较大小：______． （）甲、乙两个长方形的长和宽如图所示（m为正整数），其面积分别为、．试比较、的大小关系． 【实际应用】 （）请用“作差法”解决下列问题： 某游泳馆在暑假期间对学生优惠开放，有两种方案可供选择，方案：每次按原价打八五折；方案：第一次按照原价，从第二次起每次打八折．请问游泳的同学选择哪种方案更合算？ 【答案】（）；（）（）当时， 方案合算；当时，此时两个方案的总价相同；当时， 方案合算； 【分析】（）作与的差，再根据差的正负性即可判断； （）分别用表示，然后计算的差的正负性，即可得到答案； （）根据题意分别写出表示两种方案的总价的代数式，然后作差，再分情况讨论即可； 【详解】解：（）根据材料得， ∴ 故填答案为：； （）由图知： ∴ ∵是正整数 ∴ ∴ ∴ （）设原价为a（），去的次数为x（x为正整数），总价分别为 根据题意可知：， ∵，为正整数， ∴当时，，故，此时方案合算； 当时，，故，此时两个方案的总价相同； 当时，，故，此时方案合算； 【点睛】本题是材料题，考查了对所给信息的获取能力，涉及了不等式的性质等相关知识，掌握所需知识，理解题意并根据题目所给方法做出结论是本题的解题关键． 29．（25-26七年级下·全国·单元测试）【阅读理解】 若满足，求的值． 解：设，，则，， 所以． 【解决问题】 （1）若满足，求的值； （2）若满足，求的值． 【答案】（1）120 （2）2021 【分析】本题考查了利用完全平方公式变形求值，熟记完全平方公式是解题关键． （1）设，，则，再利用完全平方公式变形求值即可得； （2）设，，则，再利用完全平方公式变形求值即可得． 【详解】解：（1）设，， 则， ， ∴． （2）设，， 则，， ∴． 30．（25-26八年级上·北京西城·期末）有这样一组按规律依次排列的正整数：，，，其中每个数都能表示为两个连续正奇数的平方差，我们称这样的数为“特征数”，记按上述顺序排列的第个“特征数”为（为正整数）． (1)将表示为两个连续正奇数的平方差：______－______； (2)求证：对于任意的正整数，一定能被8整除； (3)已知是第个“特征数”，判断是否为“特征数”，如果是，求出它是第几个“特征数”（用含的式子表示）；如果不是，说明理由． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)该数是第个“特征数” 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，平方差公式，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键． （1）根据“特征数”的定义及规律解答即可； （2）根据“特征数”的定义及规律得，利用平方差公式化简即可得出结论； （3）先利用平方差公式化简得，由（2）可知，代入得，再根据“特征数”的定义即可得解． 【详解】（1）解：将表示为两个连续正奇数的平方差：； 故答案为：，； （2）证明：由题意得，， 为正整数， 能被8整除， ∴对任意的正整数，一定能被8整除； （3）解：是， ∵， 又是第个“特征数”，由（2）可知， ， 为正整数， ∴该数是第个“特征数”． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 整式的运算（复习讲义） 1.理解整式、单项式、多项式相关概念，掌握整式加减、幂的运算、整式乘除的法则与公式； 2.能熟练进行整式混合运算，规范书写步骤，会运用公式简化计算，提升代数运算与化简能力； 3.养成严谨细致的运算习惯，体会转化、整体思想，能解决简单整式运算实际应用问题。 重点01 整式的加法与减法 注意 （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． （2）两个整式相加减时，“减数”一定要用括号“装”起来． （3）整式加减的最后结果的检查： · 要合并到不能再合并为止； · 一般按照某一字母的降幂或升幂排列； · 不能出现带分数． 重点02 同底数幂的乘法 【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． （m，n，…，p都是正整数）． （2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）． 重点03 幂的乘方与积的乘方 【拓展】 （1） 幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）． （2）幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）． 积的乘方 ． 语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 重点04 同底数幂的除法 【拓展】 （1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质， 例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）． （2）同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 重点05 零指数幂与负整数指数幂 零指数幂：a0=1 (a≠0) 负整数指数幂：当n 是正整数时，（，n是正整数） 重点06 科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 重点07 整式乘法 单项式乘法 要点提示： (1)先把各因式里的系数组成一组，积的系数等于各因式系数的积，在各系数相乘时，先确定积的符号，再计算绝对值： (2)相同字母相乘时，利用同底数暴的乘法法则“底数不变，指数相加”； (3)单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方，再乘法”的顺序进行： (4)单项式乘单项式，结果仍是单项式，对于暴的底数是多项式形式的，应将其作为一个整体来运算： (5)对于三个或三个以上的单项式相乘，法则仍然适用 单项式乘多项式 【注意】 (1)一般情况下，单项式与多项式相乘的结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，通常将这个多项式按某一字母的降幂（或升幂)进行排列。 (2)计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，根据去括号法则，积的符号由单项式的符号与多项式的项的符号共同决定 (3)对于混合运算，要注意运算顺序，同时要注意运算结果中若有同类项要合并同类项，从而得出最简结果 （4）利用单项式乘多项式的法则，将单项式与多项式中的每一项相乘，但应注意多项式中的常数项，不能漏乘， 多项式乘法 运用法则时应注意以下几点： (1)运用多项式乘多项式的法则时，必须做到不重不漏，相乘时要按一定的顺序进行.例如(m+n)· (a+b+c),可先用第一个多项式中的第一项“m”分别与第二个多项式的每一项相乘，再用第一个多项式的第二项“n”分别与第二个多项式的每一项相乘，然后把所得的积相加.即 （m+n )（a+b+c )=ma+mb+mc+na+nb+nc. (2)在相乘时防止漏项，检查有无漏项的方法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项前，积的项数应是这两个多项式项数的积，如(m+n)(a+b+c),积的项数应为2×3=6. (3)各项的系数：由单项式与单项式相乘来确定积中各项的系数. (4)各项的排列：合并同类项之后，积中各项的排列一般按某一字母的升（或降）幂排列. (5)注意确定积中每一项的符号，多项式中每一项都包含它前面的符号，“同号得正，异号得负” (6)多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项一定要合并同类项，化为最简结果 重点08 乘法公式 完全平方公式 应用完全平方公式时，要注意： ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式； ③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 完全平方公式的几何意义 如图，大正方形的面积可以表示为,也可以表示为S= 其几何意义：以a+b为边长的正方形的面积等于边长分别为a,b的小正方形及2个长、宽分别是b,a的小长方形的面积之和.从而验证了完全平方公式 平方差公式 平方差公式的解读： （1）在平方差公式中，字母α和b可以表示具体的数，也可以表示一个单项式，还可以表示一个多项式， 但字母之间的运算规律是不发生变化的，因此，只要符合公式的特征，就可以直接写出结果； （2）有些多项式乘法，公式特征不明显，所以看起来不符合公式，其实只要经过变形就能使用公式： （3）两数和乘这两数差的积等于这两数的平方差，此公式有时也可以逆用，会使运算简便 平方差公式的几何意义 如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形Ⅱ的面积，即若把小长方形V变换到小长方形V的位置，则此时阴影部分的面积又可以看成是=(a+b)(a-b).从而验证了平方差公式(a+b)(a-b)= 题型一 整式的加减运算 1．计算：． 2．计算：． 3．化简： (1)； (2)． 4．化简： (1)． (2)． (3)． 题型二 整式加减的化简求值 5．先化简再求值：，其中，． 6．在学习了整式的加减后，老师给出一道课堂练习题： 选择的一个值．求的值． 甲说：“当时．原式．” 乙说：“当时，原式．”     丙说：“当为任何一个有理数时，原式．” 这三位同学的说法是否正确？请说明理由． 7．先化简，再求值：，其中，． 8．先化简，再求值：，其中，． 题型三 整式加减的应用 9．如图，某小区有一块长为米、宽为米的长方形空地，小区管理部门在空地的一角规划了一个长为米、宽为b米的小长方形花园． (1)请用含a，b的式子表示图中阴影部分的面积S．（用代数式表示并化简） (2)小区管理部门打算在剩余空地（图中阴影部分）铺上地砖，若，，预计每平方米地砖的价格是50元，求购买所需地砖的费用． 10．某快递公司对跨城大件包裹寄件，有如下两种收费方案． 方案一： 计价规则 包裹重量不超10kg 超过但不超过的部分 超过的部分 单价 8元/kg 6元/kg 5元/kg 方案二：若包裹重量超过时，运费按单价“6元/kg”对包裹总重量计费． (1)若按“方案一”计费，当包裹的重量为时，则需支付运费________元；当包裹的重量为时，则需支付运费________元（用含的代数式表示）； (2)如果包裹的重量大于，那么当包裹重量为多少时，两种方案的运费相同． 11．把正整数1，2，3，4，……排成如下一个数表． (1)2026在第______行，第_____列； (2)第行第3列的数是_____（用含的代数式表示） (3)嘉嘉和淇淇玩数学游戏，嘉嘉对淇淇说：“你从数表中挑一个数，按如图所示的程序计算，只要你告诉我所得的数在第几行，我就知道你挑的数在第几行．”你认为嘉嘉说得有道理吗？请说明理由． 12．2026年3月14日是第七个国际数学日，为了传扬数学文化，我校开展了相关竞赛活动，小鸣帮助王老师提前在线上平台计划购买玩偶与徽章等文创品作为奖品．线上平台无促销活动时，玩偶和徽章的销售单价各是20元、15元．线上平台有促销活动时，活动信息如下： 方式一：购买50元会员卡后所有商品打8折；方式二：非会员所有商品打9折． (1)王老师计划在促销期间购买玩偶和徽章共30个，其中购买玩偶m个（），则按方式一和方式二购买分别需要多少元？（结果均用含m的代数式表示） (2)请你帮王老师算一算，在（1）的条件下，购买玩偶的数量在什么范围内时，选择方式一购买更划算？ 题型四 同底数幂的乘法 13．若，，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 14．新定义：如果，则规定，例如：，所以．填空______；若，，，则x，y，z的关系式为______． 15．计算： (1)； (2)； (3)． 16．若（且，m，n是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 题型五 科学记数法 17．北宋王安石的一首诗《梅花》中的诗句“墙角数枝梅，凌寒独自开．遥知不是雪，为有暗香来”若梅花的花粉直径约为0.000036米，则数据0.000036用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 18．2025年，我国发现一种新型病毒，其病毒颗粒呈多形性，其中球形病毒的最大直径为，这一直径用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 19．嫦娥五号返回器携带月球样品安全着陆，标志着中国航天事业向前又迈出了一大步．嫦娥五号返回器在接近大气层时，飞行大约需要 ．将数据用小数表示为_______． 20．跨生物学学科  巨噬细胞是人体的清道夫，一直在为我们的身体做清洁工作，它是由单核细胞演变而来的，直径可达．将数据写成小数的形式为，这个小数小数点后0的个数为__________． 题型六 幂的乘方运算 21．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 22．如果，那么的值为______． 23．已知，则______． 24．在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题： (1)若，求x的值； (2)若，求x的值． 题型七 积的乘方运算 25．若，则的值为（     ） A．5 B．10 C．15 D．25 26．我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：如：．若，那么的结果是______ 27．计算： (1)； (2)． 28．逆向运用幂的运算法则可以得到，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)计算的结果是________； (2)若，求的值； (3)已知，比较a，b，c的大小． 题型八 同底数幂的除法 29．已知，则_____． 30．若，则_____________ 31．在研究幂的运算时，我们首先研究了指数为正整数的相关运算性质． (1)类似地，当指数是负整数时，幂的相关运算性质仍然成立． 计算：①；②． (2)类似地，当指数推广到分数时，幂的相关运算性质仍然成立． ①计算：； ②填空：． 32．小明在学习同底数幂的乘法时，根据算式：，做了如下推导：，因此得到． 类比探究： (1)求的值； (2)求证：； 拓展探究： (3)若，求的值． 题型九 零指数幂和负整数指数幂 33．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 34．若，，，则它们的大小关系是（    ） A． B． C． D． 35．__________． 36．计算： 题型十 单项式乘法 37．计算：（   ） A． B． C． D． 38．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 39．化简：_________． 40．计算： (1)； (2)； (3)． 题型十一 多项式乘法 41．计算： (1)； (2)． 42．化简：． 43．计算：． 44．计算：． 题型十二 多项式乘法与图形面积 45．如图，有甲、乙两个长方形（为正整数），面积分别为． (1)请求出并比较与的大小； (2)满足条件的整数有且只有4个，则 ． 46．如图是一个长为，宽为的长方形城市广场．为了丰富市民文化生活，政府计划在中间区域修建一个长方形的音乐喷泉池（图中阴影部分），音乐喷泉池的四周为市民活动区域，宽度分别为、（如图所示）． (1)求音乐喷泉池的占地面积；（用含a，b的式子表示） (2)音乐喷泉池建成后，需给市民活动区域铺上地砖．若市民活动区域每平方米铺设地砖的费用为100元，求市民活动区域铺设地砖的总费用．（用含a，b的式子表示） 47．综合与实践 活动主题：借助图形直观感受数与形之间的关系 初步应用 (1)如图，一个大长方形被分割为4个大小不同的小长方形，通过用两种不同方法计算大长方形的面积，可推导出整式乘法的运算规律，请用图中标注的字母写出对应的等式： ． 拓展创新 (2)仿照（1）中面积法的思路，画出图形，并计算． 迁移应用 (3)若式子无论x为多少时恒成立，求m的值． 48．我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是把看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含的项的系数为0． 具体解题过程：原式 因为代数式的值与的取值无关． 所以，解得． 【理解应用】 (1)若关于的代数式的值与的取值无关，则的值为___________． (2)已知，且的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 (3)7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长度变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 题型十三 已知多项式乘积不含某项求字母的值 49．若中不含项，则（   ） A． B．2 C． D． 50．若多项式与多项式的乘积的展开式中不含项与x项，则______． 51．若等式恒成立，无论为何值，的值始终为定值，则这个定值为_____． 52．若关于的多项式与的乘积展开式中不含项，且常数项为8， (1)求与的值； (2)化简，并求值． 题型十四 多项式乘法化简求值 53．先化简，再求值：，其中． 54．先化简，再求值：，其中． 55．先化简，再求值：，其中． 56．先化简，再求值：的值，其中． 题型十五 整式乘法混合运算 57．计算： (1) (2) 58．计算：． 59．计算：． 60．计算 (1) (2) (3) (4) (5) 题型十六 乘法公式 61．利用整式乘法公式计算： (1)； (2)． 62．计算： (1)； (2)． 63．计算： (1)； (2)． 64．先化简，再求值：，其中，． 题型十七 乘法公式与几何图形 65．有两类正方形A，B，其边长分别为a，b．现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，求： (1)根据图1和图2，得到______， ______． (2)小明想要拼一个两边长分别为和的长方形（不重不漏），除用去若干个正方形A，B外，还需要以a，b为边的长方形______个． (3)三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，求阴影部分的面积． 66．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)用含a，b的代数式分别表示、 (2)若，，求的值； (3)若图1中的，图3中，则的值为 ．（用含x，y的代数式表示） 67．如图，有A，B，C三种类型的卡片． (1)选取1张A型卡片，2张B型卡片，1张C型卡片，恰好拼成一个大正方形． ①请画出所拼大正方形的示意图； ②通过用不同方法表示大正方形的面积，可得到乘法公式为_________． (2)若用若干张A，B，C卡片（每种类型的卡片至少一张），恰好拼成一个大正方形，则使用的所有卡片的张数之和一定是一个完全平方数．请说明理由． 68．如图1是一个长为．宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少？_______________ (2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法1：_________________________________ 方法2：_________________________________ (3)观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？ 代数式：，，_______________ (4)两个正方形、如图3摆放．边长分别为x，y，若，，求图中阴影部分的面积． 题型十八 通过对完全平方公式变形求值 69．已知，则的值为（    ） A．24 B．23 C．22 D．20 70．若，，则________． 71．若有理数n满足，则代数式______． 72．数形结合： (1)知识背景：图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀剪下全等的四块小长方形，然后按图拼成一个正方形． ①图中，阴影部分的正方形的边长为 ． ②请用两种不同的方法表示图中阴影部分的面积． 方法一 ； 方法二 ． ③观察图，写出三个代数式，，之间的等量关系． (2)拓展应用： ①若，，求的值； ②已知，求的值． 题型十九 求完全平方式中的字母系数 73．已知是完全平方公式，则的值为（    ） A．4 B．4或 C．16 D． 74．如果是关于的完全平方式，则常数的值为（   ） A． B．1 C．1或 D．1或 75．若代数式是一个完全平方式，则实数______． 76．若多项式是一个完全平方式，求的值． 题型二十 多项式乘法中的规律性问题 77．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为（    ） A．45 B．55 C．2025 D．2026 78．观察下列各式： 观察上面的规律计算：（   ） A． B． C． D．无法确定 79．仔细观察，探究规律：，，，，则算式值的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 80．阅读材料：教材为大家介绍了杨辉三角． 我国著名数学家华罗庚曾在所撰写的《数学是我国人民所擅长的学科》一文中谈到，我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．他说：“实际上我们祖国伟大人民在人类史上，有过无比的睿智的成就．”其中“杨辉三角”就是一例． 在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》（1261年）一书中，用三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在书中提到，在他之前北宋数学家贾宪（约11世纪上半叶）发明了上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．   杨辉三角两腰上的数都是，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第行的个数，，，恰好对应着展开式中的各项的系数；第行的个数，，，，恰好对应着展开式中各项的系数；等等． 利用上面的规律，完成以下问题： (1)的展开式为_________； (2)的展开式中共有_________项，从右往左第二项的系数是_________； (3)计算：． 题型二十一 乘法公式的新定义问题 81．对于任意有理数，现用“☆”定义一种运算：☆，根据这个定义，代数式☆可以化简为（   ） A． B． C． D． 82．现定义某种运算“”：对于任意两个数a和b，有，如，请按定义计算________． 83．爱思考的可可同学在学习“整式的乘法”时，给出“平衡多项式”的定义： 对于三个多项式（按顺序排列）：，，（其中，是非零常数），当是一个常数时，称这样的三个多项式是平衡多项式，的值是平衡因子． (1)根据“平衡多项式”的定义，试判断： ①，，______（是或不是）平衡多项式；②，，______（是或不是）平衡多项式； (2)已知，，是平衡多项式，求平衡因子． 84．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，则8，16，24都是“和谐数”． (1)特例感知：40___________“和谐数”，2026___________“和谐数”．（填“是”或“不是”） (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形，其边长为99，求阴影部分的面积． 题型二十二 多项式除法运算 85．小刚在做作业时，发现题目被墨迹遮住了一部分，，阴影部分即为墨迹，那么被墨迹遮住的内容是（    ） A． B． C． D． 86．计算：________． 87．先化简，再求值：，其中． 88．可依照计算如图： 因此． 阅读上述材料后仿照计算． 基础巩固通关测 1．（25-26七年级下·北京通州·期中）下列运算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·北京房山·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·北京·期末）据央视新闻2025年4月19日报道，复旦大学科研团队成功开发出半导体电荷存储器“破晓（）”，其擦写速度可达400皮秒，是迄今最快的半导体电荷存储技术．已知一皮秒相当于一万亿分之一秒，即秒，400皮秒用科学记数法表示应为（   ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 4．（25-26八年级上·北京朝阳·期末）已知，，．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③④ B．②③④ C．①③ D．②④ 5．（25-26八年级上·北京门头沟·期末）已知，则的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 6．（25-26七年级下·北京通州·期中）已知．那么的值是_______． 7．（25-26七年级下·北京通州·期中）通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．观察图形，请直接用一个等式表示图中阴影部分图形的面积：_______． 8．（25-26八年级上·广东江门·月考）计算：__________． 9．（24-25八年级上·吉林·期末）若是一个完全平方式，则______． 10．（25-26七年级上·北京·期中）多项式的值与x，y的取值无关，则的值为 _____． 11．（25-26七年级下·北京昌平·期中）计算：． 12．（25-26九年级下·北京·期中）如果，求代数式的值． 13．（25-26七年级下·北京延庆·期中）阅读下面材料： 材料一：比较和的大小 材料二：比较和的大小 解：因为，且，所以，即． 解：因为，且，所以，即． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较的大小； (2)比较的大小． 14．（25-26八年级上·吉林长春·周测）阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：_______（填写、或）． (2)比较与的大小（写出比较的具体过程）． (3)计算：． 15．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）数学活动课上，老师准备了若干张如图①的三种纸片，其中A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用1张A种纸片，1张B种纸片和2张C种纸片拼成如图②的大正方形． (1)观察图②，请你写出下列三个代数式：之间的等量关系； (2)若要拼出一个面积为的正方形，则需要C种纸片________张； (3)根据（1）中的等量关系，解决问题：当时，求的值． 能力提升进阶练 16．（25-26八年级上·北京·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 17．（25-26八年级上·北京·期中）有如图所示的A，B，C三种纸片若干张，棋盘要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，如选取A纸片9张，再取B纸片1张，还需要取C纸片（   ） A．12张 B．10张 C．6张 D．4张 18．（25-26八年级上·北京·期中）在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、53个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 19．（23-24八年级上·北京西城·期末）如果，那么代数式的值为（    ） A． B． C．6 D．13 20．（24-25七年级下·安徽马鞍山·期中）如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为．已知，且，则为（   ） A．24 B．22 C．26 D．31 21．（16-17八年级上·山东东营·期中）已知： ，则的值为______． 22．（25-26七年级上·北京昌平·期中）对于任意正整数a，b定义一种新运算：．比如，则，，那么的结果是______． 23．（25-26八年级上·北京·期中）已知：如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，则阴影部分的面积为_____． 24．（25-26八年级上·北京·期中）如图，有正方形，现将放在的内部得图1，将并列放置后构造新的正方形得图2，若图1，图2中阴影部分的面积分别为． （1）正方形和的面积和是___________； （2）图2中新的正方形的边长是___________． 25．（24-25七年级下·安徽合肥·月考）多项式，，若的展开式中不含项，则________． 26．（25-26七年级上·北京·期末）先化简，再求值：，其中， 27．（25-26八年级上·河北衡水·期末）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)直接写出，，之间的数量关系． 28．（2026七年级下·全国·专题练习）【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决此类问题时一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，，其中．求证：．证明：． ∵ ∴． ∴． 【新知应用】 （）比较大小：______． （）甲、乙两个长方形的长和宽如图所示（m为正整数），其面积分别为、．试比较、的大小关系． 【实际应用】 （）请用“作差法”解决下列问题： 某游泳馆在暑假期间对学生优惠开放，有两种方案可供选择，方案：每次按原价打八五折；方案：第一次按照原价，从第二次起每次打八折．请问游泳的同学选择哪种方案更合算？ 29．（25-26七年级下·全国·单元测试）【阅读理解】 若满足，求的值． 解：设，，则，， 所以． 【解决问题】 （1）若满足，求的值； （2）若满足，求的值． 30．（25-26八年级上·北京西城·期末）有这样一组按规律依次排列的正整数：，，，其中每个数都能表示为两个连续正奇数的平方差，我们称这样的数为“特征数”，记按上述顺序排列的第个“特征数”为（为正整数）． (1)将表示为两个连续正奇数的平方差：______－______； (2)求证：对于任意的正整数，一定能被8整除； (3)已知是第个“特征数”，判断是否为“特征数”，如果是，求出它是第几个“特征数”（用含的式子表示）；如果不是，说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $