提分小卷限时练01（解答ABC三组，综合训练）（广东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

提分小卷：解答题 限时训练01（A组+B组+C组） （考试时间：70分钟 试卷满分：120分） 解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1．（7分）解分式方程：． 解：方程两边同乘以，得，……第一步 去括号，得，……第二步 移项､合并同类项，得，……第三步 方程两边同除以2，得，……第四步 经检验是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为．……第五步 任务一：①上述解题过程中第一步的依据是____________________________________； ②上述解题过程是从第_______步开始出现错误的，错误的原因是__________________； 任务二：求出分式方程正确的解并有详细的过程． 2．（7分）如图，为⊙的直径，点是⊙上一点，与⊙相切于点，过点作，连接，． (1)求证：是的角平分线； (2)若，，求的长． 3．（7分）实心球是肇庆中考体育测试中的选考项目之一．实心球被投掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．已知在实心球投掷训练中，小明同学出手点到地面的竖直高度是．如图，当球运动到水平距离为时，达到的最大高度为，实心球落地点为，求小明该次投掷的距离． 4．（9分）如图，为锐角三角形． (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，连接；保留作图痕迹 (2)在（1）的条件下，若的周长为10，，则的周长为多少？ 5．（9分）为了弘扬和传承中华优秀传统文化，东北育才学校举办了一场名为“经典文化传承大赛”的初赛，比赛设定满分为10分，参赛学生的得分均为整数．以下是甲、乙两组（每组10人）学生在初赛中的成绩记录（单位：分）： 甲组：6，7，9，10，6，5，6，6，9，6． 乙组：10，7，6，9，6，7，7，6，7，5． 根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下的统计表： 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 7 6 2.6 乙组 7 2 (1)在以上成绩统计表中，=_______，=______，=______． (2)小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属于中游略偏上的水平．”根据上面的统计表，判断小明是哪个组的学生，并解释原因． (3)从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 6．（9分）为测量物体的高度，某数学兴趣小组开展了如下活动： 【制作仪器】 把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，当测量物体时，将该仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径所在直线刚好到达物体的最高点．    【测量高度】 小丽同学用此测角仪测量一棵树的高度，先在该树前平地上选择一点A，站立此处，测得树顶端D的仰角为，再测得点A离树底端B的距离为20米，并测得眼睛所在位置点C离点A的距离为1.5米，请根据这些数据，求出树的高度．（参考数据：，，）    7．（13分） 阅读与思考 下面的文段是小红同学的学习笔记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 没有直角尺也能作出直角 今天，在综合实践课上，老师和同学们讨论了一个数学问题：不用直角尺直接画直角，你还有其它方法作出直角吗？同学们给出了很多有趣的方法，现选择一些记录如下： 方法一：拿出一根细长的麻绳团，在这段麻绳上取12段相等的“绳段”，然后剪断，再把绳子的两端系在一起，形成一个环状，再通过多次折叠，每段端点用彩笔做好标记(如图①)； 如图②，把从B到C之间的5段绳子拉成直线，然后在A点处将段和段的绳子都拉紧，于是得到了直角； 方法二：在平面内过点A作直线，作射线，然后按照如图所示的尺规作图方法作出射线和射线， 于是得到了直角； 方法三：以点O为圆心画一个圆，在圆周上任取一点C (不与点A，B重合)，连接，，于是得到了直角； 方法四：画一条线段，分别以A，B为圆心，适当长为半径画圆，两圆相交于C，D，连接交于点E， 于是得到了直角． 任务： (1)填空：“方法一”依据的一个数学定理是 ； “方法二”中与互余的角有 ； “方法三”依据的一个数学定理是 ； (2)请根据证明方法四的作图方法， 证明． 8．（14分）定义：若一个函数图象上存在坐标轴距离相等的点，则称该点为这个函数图象的“等距点”例如，点和是函数图象的“等距点”． (1)判断函数的图象是否存在“等距点”？如果存在，求出“等距点”的坐标；如果不存在，说明理由； (2)设函数图象的“等距点”为、，函数图象的“等距点”为，若的面积为时，请直接写出满足条件的函数的表达式； (3)若函数图象只存在个“等距点”，试求出的取值范围． （考试时间：70分钟 试卷满分：120分） 解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1．（7分）已知方程，小张同学是这样解方程的： 解：         第一步（___________）               第二步（___________）                 第三步（___________） 显然不成立，故原方程无解． 你认为小张同学的解法对吗？如果不对，请指出错误在第几步，并说明理由；如果对，请在对应的括号中填写每一步的运算依据． 2．（7分）如图，是边上的点，，，，求证：． 3．（7分）如图，直线与轴交于点，与双曲线交于点，过点作轴的平行线与双曲线交于点． (1)求点和点的坐标； (2)过线段的中点作轴的平行线与双曲线交于点，与双曲线交于点，求的值． 4．（9分）如图，在中，相交于点O，E，F分别是的中点． 命题1：． 命题2：连接，若，则四边形是矩形． 命题3：连接，若，则四边形是菱形． 任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例． 5．（9分）当下，人工智能发展日新月异，其应用已成为提升工作效率的重要引擎．某公司计划从A、B两款人工智能产品中选择一款投入使用．该公司对A、B两款人工智能产品的语言交互能力、分析能力和学习能力进行了测试，每项能力均测试10次，取10次测试得分的平均数作为该项的成绩（单位：分）．各项数据统计如下： 语言交互能力得分统计表 产品 平均数 中位数 众数 A a 8 c B 7.3 b 6 分析能力和学习能力测试得分统计表 产品 分析能力 学习能力 A 7.5 8 B 8 9 请根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中的a，b，c的值分别是多少？（直接写出答案） (2)哪款产品的语言交互能力更强？请综合各项统计数据说明理由． (3)如果规定语言交互能力、分析能力、学习能力按的权重计算最终成绩，那么哪款产品的成绩最好？ 6．（9分）桔槔（）是古代的一种农用工具，也是一种原始的汲水工具，它的工作原理基于杠杆原理，通过一根竖立的支架加上一根杠杆，末端悬挂一个重物，前段悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提拉至所需处．这种工具可以省力地进行汲水，减轻劳动者的劳动强度． 如图（a），线段代表固定支架，点D、点C、点O分别代表重物、水桶和支点，线段，是无弹力且长度固定的麻绳，绳长，木质杠杆． (1)当水桶C的位置低于地面如图（b）所示，支架与绳子之间的距离是，且时，求这个桔槔支架的高度； (2)向上提水桶C上升到地面上方如图（c）所示，求此时重物D相对于（1）中的位置下降的高度． 7．（13分）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】（1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角． ①的度数为_________； ②连接，若的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，若的半径为6，求的最大值是多少？ 8．（14分）如图1，在正方形中，点E是上一动点（不与点B，C重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接． (1)猜想证明：求证：； (2)类比探究：如图2，若将正方形改为矩形，点E是所在直线上一动点（不与点B，C重合），其中，其他条件不变． ①当点F恰好落在矩形的对角线上时，求的长； ②直接写出点D到点距离的最小值． 解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1．（7分）阅读小明解不等式的过程： 解：不等号左右两边同乘以，得：    第一步 去括号，得：        第二步 移项，得：        第三步 合并同类项，得：        第四步 系数化为1，得：            第五步 请判断小明的解答过程是否正确．若不正确，请指出在哪一步首先出错，错误原因是什么？并写出正确的解答过程． 2．（7分）如图，是半圆的直径，点O为圆心，C是半圆上一点，连接． (1)尺规作图：在半圆上确定一点P，使得（不写作法，只保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，连接，，若，求的度数． 3．（7分）定义：如果一个正整数n能表示为两个正整数的平方差，那么称正整数n为“智慧数”，即：若正整数（a，b为正整数，且），则称正整数n为“智慧数”．例如：，是“智慧数”． 探究问题： 探究1：“智慧数”一定是什么数？ 假设n是“智慧数”，则至少存在一组正整数a、b，使（a，b为正整数，且）． 可分为情况1：a、b均为奇数，或均为偶数；情况2：a、b为一奇数、一偶数这两种情况讨论． 讨论结果为：“智慧数”是奇数或4的倍数． 探究2：所有奇数和4的倍数都一定是“智慧数”吗？ 我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论． 先列举几组数值较小，容易验证的“智慧数”（①～⑧），因为“智慧数”不是奇数就是4的倍数，所以我们把这些“智慧数”分成两类． 所以我们把这些“智慧数”分成两类， 表一 实际应用： （4）若一个直角三角形纸片三边的长度都是整数厘米，已知一条直角边长是，则这个直角三角形纸片的周长是 ． 4．（9分）随着人们环保意识的增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐．小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为．该汽车租赁公司有，，三种型号纯电动汽车，每天的租金分别为元/辆，元/辆，元/辆．为了选择合适的型号，小明对三种型号的汽车满电续航里程进行了调查分析，过程如下： 【整理数据】 (1)小明共调查了_________辆型纯电动汽车，并补全上述的条形统计图； (2)在型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为_________； (3)【分析数据】 型号 平均里程（） 中位数（） 众数（） 由上表填空：_________，_________； (4)【判断决策】 结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由． 5．（9分）综合与实践． 物理课上，小明和小亮用如图1所示的实验装置，研究物体从斜面上滑下过程中速度的变化． 以下为两人的对话： 小明：“经过测量，斜面木板的长为，木块高的长为．” 小亮：“我刚刚测量了一下，木块高的长没有错，而用测倾仪测得木板的倾斜角约为，我用计算器计算了一下，发现，可以推断出斜面木板的长的测量数据有误．” 小明：“我检查了一下，果然斜面木板的长测量出错了．” (1)请根据以上信息，求出斜面木板的长； (2)测得的长为，点B为的中点，小车从点A出发，用位置传感器进行实验，得到的图象如图2所示，由图象可知小车从A点运动到B点的时间为，小车在B点时的速度为，在C点时的速度为．根据以上数据，求段的平均速度比段的平均速度大约快了多少（结果保留小数点后两位）． 6．（9分）如图1，，是的两条弦，M是弧中点，于点D，点E为上一点，且，连接、、、． (1)求证：； (2)求证：； (3)【探究应用】如图2，已知等边内接于，，D为上一点，，连接，过点A作于点E，求的周长． 7．（13分）综合与探究 【定义】如图1，点把线段分成两条线段和，如果，那么称点为线段的分割点． (1)【理解】如图2，在等腰中，，，点是的分割点，求的长； (2)【应用】如图3，在等腰中，，，点是的分割点，点在的上方，，与相交于点，与相交于点，求证：； (3)【拓展】如图4，在等腰中，，，点，同时从点出发，分别以个单位秒和个单位秒的速度沿，方向运动，以为边向右作，直线与，分别交于点，，当点运动至的分割点时，直接写出的值． 8．（14分）如图，已知抛物线与x轴从左到右依次交于两点，与y轴交于点C，点B的坐标为，连接． (1)求此抛物线的解析式； (2)若P为此抛物线的对称轴上的一个动点，连接，设点P的纵坐标表示为m． 试探究： ①当m为何值时，的值最大？并求出这个最大值． ②在P点的运动过程中，能否与相等？若能，请求出P点的坐标；若不能，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 提分小卷：解答题 限时训练01（A组+B组+C组） （考试时间：70分钟 试卷满分：120分） 解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1．（7分）解分式方程：． 解：方程两边同乘以，得，……第一步 去括号，得，……第二步 移项､合并同类项，得，……第三步 方程两边同除以2，得，……第四步 经检验是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为．……第五步 任务一：①上述解题过程中第一步的依据是____________________________________； ②上述解题过程是从第_______步开始出现错误的，错误的原因是__________________； 任务二：求出分式方程正确的解并有详细的过程． 【答案】任务一：①等式的基本性质2；②二；完全平方式展开错误；任务二：，过程见解析 【分析】本题考查了解分式方程，等式的性质，分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 任务一：①利用等式的基本性质判断即可； ②观察解方程步骤，找出错误的步骤，分析其原因即可； 任务二：写出分式方程的正确的解即可． 【详解】解：任务一：①上述解题过程中第一步的依据是等式的基本性质； 故答案为：等式的基本性质； ②上述解题过程是从第二步开始出现错误的，错误的原因是完全平方式展开错误； 故答案为：二，完全平方式展开错误； 任务二：， ， ， ， ， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 2．（7分）如图，为⊙的直径，点是⊙上一点，与⊙相切于点，过点作，连接，． (1)求证：是的角平分线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆，相似三角形的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，切线定理，相似三角形的判定和性质，即可． （1）连接，根据切线定理，则，再根据，则，等量代换，则，再根据，即可； （2）根据，，则，推出，即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵与⊙相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即是的角平分线． （2）∵， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 3．（7分）实心球是肇庆中考体育测试中的选考项目之一．实心球被投掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．已知在实心球投掷训练中，小明同学出手点到地面的竖直高度是．如图，当球运动到水平距离为时，达到的最大高度为，实心球落地点为，求小明该次投掷的距离． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．以O点为原点，为x轴，为y轴，建立直角坐标系， 则抛物线的顶点坐标为，且过点，设抛物线的解析式为．利用待定系数法求出抛物线解析式，再令时，求出x的值，即可求出． 【详解】解：以O点为原点，为x轴，为y轴，建立直角坐标系如下： 则抛物线的顶点坐标为，且过点， 设抛物线的解析式为， 把点代入， 即， 解得， ∴抛物线的解析式为：， 当时，即， 解得，（舍去）， ∴． 4．（9分）如图，为锐角三角形． (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，连接；保留作图痕迹 (2)在（1）的条件下，若的周长为10，，则的周长为多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了复杂作图，掌握线段的垂直平分线是解题的关键． （1）根据题中步骤作图； （2）根据线段的垂直平分线的性质进行转化求解． 【详解】（1）解：如图： （2）解：由作图得：垂直平分， ， 的周长为10，即：， 的周长为：， 所以的周长为． 5．（9分）为了弘扬和传承中华优秀传统文化，东北育才学校举办了一场名为“经典文化传承大赛”的初赛，比赛设定满分为10分，参赛学生的得分均为整数．以下是甲、乙两组（每组10人）学生在初赛中的成绩记录（单位：分）： 甲组：6，7，9，10，6，5，6，6，9，6． 乙组：10，7，6，9，6，7，7，6，7，5． 根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下的统计表： 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 7 6 2.6 乙组 7 2 (1)在以上成绩统计表中，=_______，=______，=______． (2)小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属于中游略偏上的水平．”根据上面的统计表，判断小明是哪个组的学生，并解释原因． (3)从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 【答案】(1)6，7，7 (2)小明可能是甲组的学生，解释原因见解析 (3)选乙组参加决赛，理由见解析 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数及方差的意义，关键是熟练应用特征数做决策． （1）根据方差、中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案； （2）根据中位数的意义即可得出答案； （3）根据平均数与方差的意义即可得出答案． 【详解】（1）解：∵甲组数据重新排列为：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10． ∴中间两个数的平均数是，则中位数； ∵乙组数据重新排列为：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10． ∴， ∵乙组学生成绩中，数据7出现了四次，次数最多， ∴众数． 故答案为：6，7，7 （2）小明可能是甲组的学生，理由如下： ∵甲组的中位数是6分，而小明得了7分， ∴小明在小组中属中游略偏上． （3）选乙组参加决赛．理由如下： ∵甲、乙两组学生平均数相同， 而， ∴乙组的成绩比较稳定， 故选乙组参加决赛． 6．（9分）为测量物体的高度，某数学兴趣小组开展了如下活动： 【制作仪器】 把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，当测量物体时，将该仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径所在直线刚好到达物体的最高点．    【测量高度】 小丽同学用此测角仪测量一棵树的高度，先在该树前平地上选择一点A，站立此处，测得树顶端D的仰角为，再测得点A离树底端B的距离为20米，并测得眼睛所在位置点C离点A的距离为1.5米，请根据这些数据，求出树的高度．（参考数据：，，）    【答案】树的高度为16.5 米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是解题的关键． 由题意得，，，解求出，再由即可求解． 【详解】解：由题意得，，，， 在中，， ∴， ∴ 答：树的高度为16.5 米． 7．（13分） 阅读与思考 下面的文段是小红同学的学习笔记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 没有直角尺也能作出直角 今天，在综合实践课上，老师和同学们讨论了一个数学问题：不用直角尺直接画直角，你还有其它方法作出直角吗？同学们给出了很多有趣的方法，现选择一些记录如下： 方法一：拿出一根细长的麻绳团，在这段麻绳上取12段相等的“绳段”，然后剪断，再把绳子的两端系在一起，形成一个环状，再通过多次折叠，每段端点用彩笔做好标记(如图①)； 如图②，把从B到C之间的5段绳子拉成直线，然后在A点处将段和段的绳子都拉紧，于是得到了直角； 方法二：在平面内过点A作直线，作射线，然后按照如图所示的尺规作图方法作出射线和射线， 于是得到了直角； 方法三：以点O为圆心画一个圆，在圆周上任取一点C (不与点A，B重合)，连接，，于是得到了直角； 方法四：画一条线段，分别以A，B为圆心，适当长为半径画圆，两圆相交于C，D，连接交于点E， 于是得到了直角． 任务： (1)填空：“方法一”依据的一个数学定理是 ； “方法二”中与互余的角有 ； “方法三”依据的一个数学定理是 ； (2)请根据证明方法四的作图方法， 证明． 【答案】(1)勾股定理的逆定理，，直径所对的圆周角是直角 (2)见详解 【分析】（1）“方法一”根据勾股定理的逆定理即可解答；“方法二”根据尺规作图和余角定义解答即可；“方法三”根据圆周角定理解答即可； （2）证明是的垂直平分线，即可解答． 【详解】（1）解：在中，，则， 则是直角三角形， 故“方法一”依据的一个数学定理是勾股定理的逆定理； 根据作图可知平分，平分， ∴， 又∵， ∴， 故“方法二”中与互余的角有； ∵是的直径，点在上， ∴， 则是直角三角形， 故“方法三”依据的一个数学定理是直径所对的圆周角是直角； 故答案为：勾股定理的逆定理，，直径所对的圆周角是直角． （2）证明：根据题意可得， ∴是的垂直平分线， ∴， 即． 【点睛】该题考查了圆周角定理，勾股定理的逆定理，线段垂直平分线的性质和判定，尺规作图等知识点，解题的关键是理解题意． 8．（14分）定义：若一个函数图象上存在坐标轴距离相等的点，则称该点为这个函数图象的“等距点”例如，点和是函数图象的“等距点”． (1)判断函数的图象是否存在“等距点”？如果存在，求出“等距点”的坐标；如果不存在，说明理由； (2)设函数图象的“等距点”为、，函数图象的“等距点”为，若的面积为时，请直接写出满足条件的函数的表达式； (3)若函数图象只存在个“等距点”，试求出的取值范围． 【答案】(1)存在，或或； (2)； (3)． 【分析】本题考查新定义题型的理解，掌握一次函数，二次函数及反比例函数理解题意是解题关键． （1）根据题中“等距点”的定义列出方程求解即可； （2）先求出反比例函数及一次函数图象上的“等距点”，然后由三角形面积列出方程求解即可； （3）根据“等距点”列出一元二次方程，再由题意中恰好有2个“等距点”，利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：存在“等距点”， 令， 解得，， 函数的图象上有两个“等距点”或， 令， 解得，， 函数的图象上有两个“等距点”或， 综上所述，函数的图象上有三个“等距点”或或； （2）解：令， 解得，， 则，， ， 令， 解得：， 则点， ， ， ， 即， 解得：， 则； （3）解：令， 整理得：， △， 当时，△， 此时在一、三象限有2个“等距点”． 令， 整理得，， 则△， 则当时，△， 此时在二四象限有2个“等距点”． 函数图象恰存在2个“等距点”， ∴． （考试时间：70分钟 试卷满分：120分） 解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1．（7分）已知方程，小张同学是这样解方程的： 解：         第一步（___________）               第二步（___________）                 第三步（___________） 显然不成立，故原方程无解． 你认为小张同学的解法对吗？如果不对，请指出错误在第几步，并说明理由；如果对，请在对应的括号中填写每一步的运算依据． 【答案】见解析． 【分析】本题主要考查了解分式方程，根据小张解方程的步骤结合等式的性质，分式的运算法则进行求解即可． 【详解】解：小张的解答是正确， 依据第一步“等式的性质”或“等式左右两边同时加（减）同一个数，等式仍然成立．” 第二步“分式的运算”或“同分母的分式加减：分母不变，分子相加减．” 第三步“分式的化简”或“分子分母同时乘以（除以）一个不为零的数，分式大小不变．” 2．（7分）如图，是边上的点，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，得到，根据三角形的内角和为180度，推出，证明，即可得出结论． 【详解】证明：， ． 又， ． 在和中， ， ， ． 3．（7分）如图，直线与轴交于点，与双曲线交于点，过点作轴的平行线与双曲线交于点． (1)求点和点的坐标； (2)过线段的中点作轴的平行线与双曲线交于点，与双曲线交于点，求的值． 【答案】(1)点的坐标为；的坐标为 (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题． （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点； （2）先求出点的坐标，用含k的式子表示出，，，的坐标，进而得出和的长，再列式，最后约分即可． 【详解】（1）解：令，则． 解得：． 点的坐标为； 联立 得， 解得或（舍去，）， 经检验是此方程的解． ． 点的坐标为． （2）解：点为线段的中点， ，． 线段的中点的坐标为； 轴，轴， ，． 点在上， ，解得．即点的坐标为． 设，， ，，， ， ， 则点的坐标为， ，，， ， ， 则点的坐标为， ． 4．（9分）如图，在中，相交于点O，E，F分别是的中点． 命题1：． 命题2：连接，若，则四边形是矩形． 命题3：连接，若，则四边形是菱形． 任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例． 【答案】见解析 【分析】此题考查真命题，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和判定解答即可． 【详解】解：命题1、命题2、命题3都是真命题，具体证明如下： 命题1： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 命题2：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形 ∵， ∴， ∴四边形是矩形； 命题3：连接， ∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， 5．（9分）当下，人工智能发展日新月异，其应用已成为提升工作效率的重要引擎．某公司计划从A、B两款人工智能产品中选择一款投入使用．该公司对A、B两款人工智能产品的语言交互能力、分析能力和学习能力进行了测试，每项能力均测试10次，取10次测试得分的平均数作为该项的成绩（单位：分）．各项数据统计如下： 语言交互能力得分统计表 产品 平均数 中位数 众数 A a 8 c B 7.3 b 6 分析能力和学习能力测试得分统计表 产品 分析能力 学习能力 A 7.5 8 B 8 9 请根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中的a，b，c的值分别是多少？（直接写出答案） (2)哪款产品的语言交互能力更强？请综合各项统计数据说明理由． (3)如果规定语言交互能力、分析能力、学习能力按的权重计算最终成绩，那么哪款产品的成绩最好？ 【答案】(1)，， (2)A产品，理由见详解 (3)B产品的成绩最好 【分析】（1）根据平均数、中位数和众数的定义，结合统计图即可求得结果； （2）通过对比A、B产品的语言交互能力得分统计表中的平均数、众数和中位数，得分更高者说明能力更强，即可判断； （3）利用平均数，先分别计算A产品和B产品在语言交互能力、分析能力、学习能力的权重成绩，再对比二者的成绩，得分高者成绩最好． 【详解】（1）解：由统计图可知， A产品10次得分的平均数为（分）， B产品10次得分从小到大排序为：5、6、6、6、7、7、8、9、9、10， ∵10为偶数， ∴B产品10次得分的中位数为第5个和第6个数据的平均数，而第5和第6个数据均为7， ∴B产品10次得分的中位数为（分）， 在A产品中，出现次数最多的得分为7分，即众数为7分， ∴，，． （2）解：A产品， 理由：在语言交互能力得分统计表中，A产品的平均数、中位数和众数均高于B产品， 所以A产品语言交互能力更强． （3）解：A产品：（分）， B产品：（分）， ∵， ∴B产品的成绩最好． 6．（9分）桔槔（）是古代的一种农用工具，也是一种原始的汲水工具，它的工作原理基于杠杆原理，通过一根竖立的支架加上一根杠杆，末端悬挂一个重物，前段悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提拉至所需处．这种工具可以省力地进行汲水，减轻劳动者的劳动强度． 如图（a），线段代表固定支架，点D、点C、点O分别代表重物、水桶和支点，线段，是无弹力且长度固定的麻绳，绳长，木质杠杆． (1)当水桶C的位置低于地面如图（b）所示，支架与绳子之间的距离是，且时，求这个桔槔支架的高度； (2)向上提水桶C上升到地面上方如图（c）所示，求此时重物D相对于（1）中的位置下降的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）过点A作于点G，交于点N，，利用余弦函数的定义求出，，进而求出，根据矩形的判定和性质求出，即可求解． （2）过点O作于点，延长交延长线于点N，证明，根据相似三角形的性质求出，即可求解． 【详解】（1）解：过点A作于点G，交于点N，设与地平面相交于T， ，， ， ，， ， ， ， 又， ， 答：这个桔槔支架的高度为； （2）解∶ 过点O作于点，延长交延长线于点N， 由（1）知：，，， ， ， ， ，即， ， ， 答：重物D相对于（1）中的位置下降的高度为 7．（13分）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】（1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角． ①的度数为_________； ②连接，若的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，若的半径为6，求的最大值是多少？ 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】（1）①根据定义列式计算即可．②根据定义求角，根据直径对的圆周角是直角，运用含角的直角三角形的性质求解即可． （2）延长到点M，使得，连接，得到 是等边三角形，证明，则，进一步证明，当是直径时，取最大值，即可求出答案． 【详解】解：（1）①∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴， ∴， 解得， 故答案为：60． ②作圆的直径，连接， 则 ∵圆的半径为5， ∴， ∵， ∴. ∴． （2）如图，延长到点M，使得，连接， ∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵是的一条弦， ∴当是直径时，取最大值， 即的最大值是． 【点睛】本题考查了新定义问题，等边三角形的判定和性质，圆的内接四边形的性质，三角形全等的判定和性质，圆周角定理，含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 8．（14分）如图1，在正方形中，点E是上一动点（不与点B，C重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接． (1)猜想证明：求证：； (2)类比探究：如图2，若将正方形改为矩形，点E是所在直线上一动点（不与点B，C重合），其中，其他条件不变． ①当点F恰好落在矩形的对角线上时，求的长； ②直接写出点D到点距离的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)①18；② 【分析】（1）过点F作，交延长线于H，根据正方形的性质得出，再由全等三角形的判定确定，得出，结合图形及直角三角形的性质即可证明； （2）①分三种情况分析，当点E在线段上时，当点E在线段的延长线上时，当点E在线段的延长线上时，作出相应图形，然后利用全等三角形的性质得出，设，则，再由相似三角形的判定和性质求解即可； ②过点F作交延长线于H,交延长线于G,则，则四边形为矩形，根据全等三角形的判定和性质得出,,设，则,利用勾股定理确定，再由二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）证明：过点F作，交延长线于H，如图1， ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①当为矩形时， 当点E在线段上时，如图所示：旋转后点F无法在对角线上，不符合题意； 当点E在线段的延长线上时，过点F作，交延长线于H，如图所示： ， 同理得：， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴即， 解得：， ∴； 当点E在线段的延长线上时，如图所示： 同理得：， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴即， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上可得：； ②解：如图：过点F作交延长线于H,交延长线于G,则，则四边形为矩形， ∴， ∵, ∴, ∴, ∵， ∴, ∴, 设，则, ∴， ∴当时，有最小值8，则有最小值． 解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1．（7分）阅读小明解不等式的过程： 解：不等号左右两边同乘以，得：    第一步 去括号，得：        第二步 移项，得：        第三步 合并同类项，得：        第四步 系数化为1，得：            第五步 请判断小明的解答过程是否正确．若不正确，请指出在哪一步首先出错，错误原因是什么？并写出正确的解答过程． 【答案】小明的解答过程不正确，第一步首先出错，错误原因和正确解答过程见详解 【分析】先根据不等式的基本性质和去括号法则，逐步检查小明的解题过程找出错误，再按照解一元一次不等式的正确步骤，求出原不等式的解集． 【详解】解：小明的解答过程不正确，第一步首先出错， 错误原因：不等式两边同乘负数时，不等号方向未发生改变， 正确解答过程：不等号左右两边同乘以，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 2．（7分）如图，是半圆的直径，点O为圆心，C是半圆上一点，连接． (1)尺规作图：在半圆上确定一点P，使得（不写作法，只保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，连接，，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）连接，过点作交于点，点即为所求； （2）先求得，再利用圆周角定理求解即可. 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：∵，， ∴， ∵是半圆的直径， ∴， ∴． 3．（7分）定义：如果一个正整数n能表示为两个正整数的平方差，那么称正整数n为“智慧数”，即：若正整数（a，b为正整数，且），则称正整数n为“智慧数”．例如：，是“智慧数”． 探究问题： 探究1：“智慧数”一定是什么数？ 假设n是“智慧数”，则至少存在一组正整数a、b，使（a，b为正整数，且）． 可分为情况1：a、b均为奇数，或均为偶数；情况2：a、b为一奇数、一偶数这两种情况讨论． 讨论结果为：“智慧数”是奇数或4的倍数． 探究2：所有奇数和4的倍数都一定是“智慧数”吗？ 我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论． 先列举几组数值较小，容易验证的“智慧数”（①～⑧），因为“智慧数”不是奇数就是4的倍数，所以我们把这些“智慧数”分成两类． 所以我们把这些“智慧数”分成两类， 表一 实际应用： （4）若一个直角三角形纸片三边的长度都是整数厘米，已知一条直角边长是，则这个直角三角形纸片的周长是 ． 【答案】（1）6，5；（2）见解析；（3）7，5；（4）24或40． 【分析】本题主要考查了平方差公式及勾股定理，解题的关键是根据题意找出规律，从而得出答案，根据“智慧数”的定义和规律即可解答． （1）根据定义进行解答即可； （2）证明，即表示所有4的倍数（4除外），即可得到结论； （3）根据定义进行解答即可； （4）根据前面的讨论可知即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴11是“智慧数”， 故答案为：； （2）验证：设（，且k为整数） ∵， ∴是“智慧数”， 又∵， ∴，即表示所有4的倍数（4除外）， ∴所有4的倍数（4除外）都是“智慧数”； （3）解：∵， ∴24是“智慧数”， 故答案为：； （4）解：因为8是4的倍数， 所以由（2）及勾股定理可知：， 这个直角三角形纸片的周长是或； 故答案为：24或40． 4．（9分）随着人们环保意识的增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐．小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为．该汽车租赁公司有，，三种型号纯电动汽车，每天的租金分别为元/辆，元/辆，元/辆．为了选择合适的型号，小明对三种型号的汽车满电续航里程进行了调查分析，过程如下： 【整理数据】 (1)小明共调查了_________辆型纯电动汽车，并补全上述的条形统计图； (2)在型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为_________； (3)【分析数据】 型号 平均里程（） 中位数（） 众数（） 由上表填空：_________，_________； (4)【判断决策】 结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由． 【答案】(1)，补图见解析 (2) (3)， (4)选择型号的纯电动汽车 【分析】（1）用“”的数量除以其占比可得A型纯电动汽车的样本容量，再用样本容量分别减去其它续航里程的数量可得“”的数量，再补全条形统计图即可； （2）用乘续航里程为的占比即可； （3）分别根据中位数和众数的定义解答即可； （4）结合平均里程、中位数、众数以及每天的租金解答即可． 【详解】（1）解： 辆， （辆）， 补全条形统计图为： （2）解： （3）解：由题意得，． （4）解：小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为，故A型号的平均数、中位数和众数均低于，不符合要求； B、C型号符合要求，但B型号的租金比C型号的租金优惠，所以选择B型号的纯电动汽车较为合适． 5．（9分）综合与实践． 物理课上，小明和小亮用如图1所示的实验装置，研究物体从斜面上滑下过程中速度的变化． 以下为两人的对话： 小明：“经过测量，斜面木板的长为，木块高的长为．” 小亮：“我刚刚测量了一下，木块高的长没有错，而用测倾仪测得木板的倾斜角约为，我用计算器计算了一下，发现，可以推断出斜面木板的长的测量数据有误．” 小明：“我检查了一下，果然斜面木板的长测量出错了．” (1)请根据以上信息，求出斜面木板的长； (2)测得的长为，点B为的中点，小车从点A出发，用位置传感器进行实验，得到的图象如图2所示，由图象可知小车从A点运动到B点的时间为，小车在B点时的速度为，在C点时的速度为．根据以上数据，求段的平均速度比段的平均速度大约快了多少（结果保留小数点后两位）． 【答案】(1)斜面木板的长约为； (2)段的平均速度比段的平均速度大约快了． 【分析】本题考查动点问题的函数图象．用待定系数法求得v与t的函数解析式是解决本题的关键． （1）根据的长和的正弦值可得的长； （2）v与t是正比例函数关系，设，把代入可得k的值，即可求得v与t的函数关系式，进而分别取段的路程，段的路程除以相应的时间即可判断出速度，相减即为所求． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∵，， ∴． 答：斜面木板的长约为； （2）由题意得：， ∵点B为的中点， ∴， ∵小车从A点运动到B点的时间为， ∴， 设v与t的函数关系式为：， ∵过点， ∴， 解得：， ∴， 当时，， ∴， ∴． 答：段的平均速度比段的平均速度大约快了． 6．（9分）如图1，，是的两条弦，M是弧中点，于点D，点E为上一点，且，连接、、、． (1)求证：； (2)求证：； (3)【探究应用】如图2，已知等边内接于，，D为上一点，，连接，过点A作于点E，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由圆周角定理可得，再由M是弧中点得出，最后利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，即可得证； （3）在上截取，连接，证明得出，再证明得出，解直角三角形可得，即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 为的中点， ， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ， ， ， ； （3）解：如图2，在上截取，连接， 由题意可得：，， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， ， ， 则的周长是． 7．（13分）综合与探究 【定义】如图1，点把线段分成两条线段和，如果，那么称点为线段的分割点． (1)【理解】如图2，在等腰中，，，点是的分割点，求的长； (2)【应用】如图3，在等腰中，，，点是的分割点，点在的上方，，与相交于点，与相交于点，求证：； (3)【拓展】如图4，在等腰中，，，点，同时从点出发，分别以个单位秒和个单位秒的速度沿，方向运动，以为边向右作，直线与，分别交于点，，当点运动至的分割点时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）勾股定理求得，根据点是的分割点，即可求解； （2）根据得出，即可得出，进而证明，结合公共角，即可得证； （3）分两种情况讨论，当时，证明得出，进而证明，根据得出，勾股定理求得，进而求得；当时，证明，即可求解． 【详解】（1）解：∵在等腰中，，， ∴， ∵点是的分割点， ∴； （2）证明：∵点是的分割点， ∴， ∵在等腰中，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即， 又∵， ∴； （3）解：如图， 设， ∵当点运动至的分割点时， ∴， ∴， ∵点，同时从点出发，分别以个单位秒和个单位秒的速度沿，方向运动， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ， ∵， ∴， 又∵，， ∴， 在中，， ∴． 当时，如图5， 同理，可得， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 8．（14分）如图，已知抛物线与x轴从左到右依次交于两点，与y轴交于点C，点B的坐标为，连接． (1)求此抛物线的解析式； (2)若P为此抛物线的对称轴上的一个动点，连接，设点P的纵坐标表示为m． 试探究： ①当m为何值时，的值最大？并求出这个最大值． ②在P点的运动过程中，能否与相等？若能，请求出P点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)①当时，的值最大，最大值为；②能， 【分析】（1）把代入，根据待定系数法可求抛物线的解析式； （2）①由三角形的三边关系可知，，当P、A、C三点共线时，的值最大，为的长度，延长交直线于点P，则点P为所求的点． 求得，根据勾股定理可得的长．根据待定系数法可求直线的解析式，进一步得到点P的坐标，从而求解； ②设直线与x轴的交点为点D，作的外接圆与直线位于x轴下方的部分的交点为，关于x轴的对称点为，则均为所求的点．在中，由勾股定理得的长，可得．由对称性得． 【详解】（1）把代入， 得， 解得， ∴此抛物线的解析式为； （2）①由三角形的三边关系可知，， ∴当三点共线时，的值最大，且等于的长度， ∴如图，延长交直线于点P，则点P为所求的点． 解，得 ， ∴． 当时，， ∴， 则有， ， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点， ∵点P在直线上， ， ∴当时，的值最大，最大值为； ②设直线与x轴的交点为点D，如图，作的外接圆与直线的x轴下方部分交于点，关于x轴的对称点为，则均为所求的点．连接，， 都是所对的圆周角， ，且射线上的其他点P都不满足， ∵圆心E必在边的垂直平分线即直线上， ∴点E的横坐标为2， 又， ∴圆心E也在边的垂直平分线上， ∵，， ∴线段的中点坐标为， 设边的垂直平分线解析式为， ∴， ∴， ∴边的垂直平分线解析式是， ， 在中，， 由勾股定理得， ， ， ， 由对称性得， ∴符合题意的点P的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的解析式，三角形的三边关系，勾股定理，待定系数法求直线的解析式，外接圆的性质，关于x轴的对称点的特征，以及对称性．综合性较强，有一定的难度 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $