提分小卷限时练01（长沙卷解答ABC三组，综合训练）（湖南专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 提分小卷：解答题 限时训练01(A组+B组+C组) A组.巩固提升 （考试时间：80分钟试卷满分：72分) 解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 五.6分)计第：(r-可-{4+-5-1+2s30. 18.(6分)先化简，再求值：(x-y)(x+y)-(x+y)2+2y(y-x),其中x=1,y=3. 19.(6分)如图，在ABC中，AD平分∠BAC,G是BC中点，连接DG,过点D作DE⊥AB于点E, DF⊥AC交AC的延长线于点F,且BE=CF. B D (1)求证：DG⊥BC; (2)若AB=5,AC=3,求BE的长. 20.(8分)百度推出了“文心一言”Ⅱ聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”Ⅱ聊天机器人（以 下简称乙款).有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分 数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级： A:60<x≤70，B:70<x≤80，C:80<x≤90，D:90<x≤100， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中满意"的数据：64,70,75,76,78,78,85,85,85,85,86,89,90,90,94,95,98， 98,99,100. 乙款评分数据中C组包含的所有数据：84,86,87,87,87,88,90,90.甲、乙款评分统计表： 乙款聊天机器人评分人数占比的统计图 设备 平均数 中位数 众数 10% 30% 甲 86 85.5 b m% B 乙 86 87 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中a= b= 1/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)在此次测验中，有280人对甲款进行评分、300人对乙款进行评分，请通过计算，估计其中对甲、乙两款 聊天机器人非常满意(90<x≤100)的用户总人数 (3)DeepSeek(简称丙款)推出后引发广泛讨论.现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选 择其中一款进行体验测评.请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率， 21.(8分)如图，在矩形ABCD中，分别以点小、C为圆心，大于4C的长为半径作弧，两弧相交于点 M、N作直线MN,交BC于点E,交AD于点F,交AC于点O,连接AE和CF. (1)证明四边形AECF为菱形； (2)若AB=4cm,AD=8cm,求菱形AECF的周长 22.(9分)截至2024年底，全国新能源汽车保有量达3140万辆.为保障新能源汽车出行，某停车场拟购 买A,B两种充电桩.已知A种充电桩的单价比B种充电桩的单价多1万元，投资24万元购买的A种充电 桩与投资16万元购买的B种充电桩数量一样。 (1)求购买每个A种，B种充电桩分别需投资多少万元： (2)若购买A,B两种充电桩共20个，要求购买的A种充电桩的数量不少于购买的B种充电桩数量的2倍， 问购买多少个A种充电桩时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 23.(9分)某校兴趣小组在老师的指导下，利用课余时间测量文昌塔的高度，形成了不完整的实践报告： 测量 文昌塔 对象 测量 运用三角形有关知识解决生活实际问题 目的 测量 无人机 工具 测量 1. 先将无人机从地面的点B处垂直上升70m至点C,测得塔的顶端A的俯角为 方案 30°； 2/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.再将无人机从点C处垂直上升10m到达点D处，然后沿水平方向飞行14m到 达点E,得塔的顶端点A的俯角为45°，如图中各点均在同一竖直平面内. E D. 测量 7 示意 图 请根据以上测量数据，求古塔AO的高度.（结果精确到1m；参考数据：√3=1.73） 23.(10分)我们不妨约定：若两个二次函数图象关于原点对称，我们称这两个函数互为“旗开得胜”函数 (1)已知二次函数y,=ax2+bx+c和二次函数y,=mx2+nx+1互为“旗开得胜”函数，填空： ①=-；②若n≠0，则2=-：③c+1=- b (2)若二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点及图象与x轴两个交点构成的三角形是等腰直角三角形，其“旗开得 胜”函数的顶点在反比例函数y=-1上，且互为“旗开得胜"函数的两个二次函数图象有且只有一个交点，求 二次函数y=ax2+bx+c的解析式： 3)已知二次函数y,=ax2+bx+c与2互为“旗开得胜”函数，片的顶点为E,与y轴交于点F,EF∥x轴， 直线y=a与y图象交于A、B两点，与y的图象交于C、D两点，若线段AB、CD、EF可构成以AB为 斜边的直角三角形，假设该直角三角形外接圆的半径为R,内切圆的半径为”，求R+r的值， 25.(10分)如图1，己知⊙0为等腰ABC的外接圆，AB=AC,点D是AC上的一个动点，连接 AD、BD、CD,并延长CD至G. G IG D 图1 图2 图3 (1)求证：AD是∠BDG的角平分线； (2)如图2，过点A作AP⊥BD,垂足为点P,AQ⊥CG,垂足为点0，若AP=3,BD+CD=8,求线段 3/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AC的长： (3)如图3，以AC为直角边作等腰RtAACE,连接CE,并满足动点D移到线段CE上，连接AO并延长交 BC于点F,连接BE交AF于点M,当⊙O的大小发生变化而其他条件不变时， ME 的值是否发生变化？ AF 若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由. B组.能力强化 (考试时间：80分钟试卷满分：72分) 解答题（本大题共9小题，满分2分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(6分)计算： 周+8+a-314-6x 风6分》先化简之：医：小然后从：1中适段-个合活的整数作为的长代入求价 x2-1 19.(6分)已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D.DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E 、F G E B (1)求证：BE=CF; (2)若AB=6,AC=3,求BE的长. 20.(8分)中国新能源产业异军突起，中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技 术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势.在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员 进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完 成的统计表、条形统计图和扇形统计图， 类型 人数 百分比 纯电 54% 混动 a% 氢燃料 心 b% 油车 5 c% 4/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 个人数 30 氢燃料 27 、油车 25 10% 20 15 混动 纯电 10 5 0 纯电混动氢燃料油车车型 请根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查活动随机抽取了三人；表中a=一，b= (2)请补全条形统计图； (3)计算扇形统计图中“混动"类所在扇形的圆心角的度数； (4)若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少 人？ 21.(8分)在四边形ABCD中，AB∥CD,∠1=∠2，AD=EC. B E (1)求证：△ABD≌△EDC; (2)若AB=2,BE=3,求CD的长. 22.（(9分)《长沙美食探险计划》你是长沙“烟火夜市”的小记者，需完成一篇关于特色小吃店的深度报道.店 主给了你一份挑战任务，只有破解数学谜题才能解锁独家数据！ 任务1（密码谜题)： 店主将臭豆腐和糖油粑粑的单价加密成了一道门锁密码.线索如下： 线索卡A:周一用“2份臭豆腐+3份糖油粑粑”解锁了“120元”宝箱； 线索卡B:周二用"5份臭豆腐+1份糖油粑粑”解锁了"170元"宝箱. 你的目标：通过线索卡A和B,破解两种小吃的单价密码. 任务2（经营策略）： 店主计划优化每日制作计划，需满足以下条件： 1.资源限制：由于人手问题，每天限供臭豆腐和糖油粑粑总量120份. 2.人气保障：店主想提升糖油粑粑销量，每天的糖油粑粑≥30份， 3.营收月标：当日总销售额≥3000元（已知单价来自任务1）. 挑战：在满足所有条件的情况下，店主想知道：最多能卖出多少份臭豆腐？此时需搭配多少份糖油粑粑？ 5/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 23.(9分)如图，在平行四边形ABCD中，∠BDC=90°，E是AD边上一点，延长BE交CD的延长线于点 F,连接AF. (1)若AE=DE,求证：四边形ABDF是矩形 (2)在(1)的条件下，AB=3,AD=5,求sim∠FBC的值. 24.(10分)如图1，在△ACD中，点B在线段AD上，以AB为直径作⊙0，且经过点C,过点C作 CE⊥AB,垂足为E,连接BC,∠ECB=∠DCB, D B 图1 图2 图3 (1)求证：CD是⊙0的切线， (2)如图2，F为AB下方⊙O上一点，且∠ACF=LDCE,连接FB.求证：AC=CF· (3)如图3，在线段CD上取一点M,使得AB=4CM,连接BM,过点B作BN⊥BM交AC于点N.若 AN=8,BM=1,求O0的半径 25.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(a,0)、B(b,0)两点，与y轴交于点C(0,3),其中a、 b分别是一元二次方程x2-3x-4=0的两个根(a>b).连接AC,点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P 作PD⊥x轴于点D,交AC于点E. E A 图1 图2 备用图 (1)求抛物线的解析式； 1 (2)如图1，作PF⊥PD于点P,使PF=二OA,以PE、PF为邻边作矩形PEGF.设矩形PEGF的面积为S, 求S的最大值，并求S取得最大值时点P的坐标； 6/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)如图2，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线PD上，若以点Q、A、C为顶点的三角形是锐角三 角形，请求出点Q纵坐标的取值范围， C组.高分突破 (考试时间：80分钟试卷满分：72分) 解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(6分)计算：（π-3.14)°-8+(sin30)+-2. 2(x+1)2x 18.(6分)解不等式组： 1-2x≤x+7,并将解集在数轴上表示出来 2 19.(6分)如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，点E是边BC延长线上一点， 连接AE、DE,过点C作CF⊥DE于点F,且DF=EF. F (1)求证：AD=CE, (2)若CD=5,AC=6,求△AEB的面积. 20.(8分近年来，随着全球人工智能大模型等的迅速发展，人工智能日渐成为新一轮科技革命和产业革命 的重要驱动力量.为了培养新时代青少年对科技的探究兴趣，某校开展了以“人工智能”为主题的知识讲座， 并开展了“人工智能”知识答题测试.现从该校九年级参加测试的学生中随机抽取部分学生的成绩（百分制， 单位：分)进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：80≤x<85、85≤x<90、 90≤x<95、95≤x≤100)，并绘制出如下两幅不完整的统计图.其中抽取的九年级学生测试成绩在 90≤x<95中的数据分别是90,92,93,91. 抽取的九年级学生测试成绩扇形统计图抽取的九年级学生测试成绩频数分布直方图 7/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 85≤x<90 10% 频数/人数 80sx<85 5 90sx<95 3 95≤≤100 2 a% 80859095100 成绩/分 根据以上信息，解答下列问题： (1)一共抽取了」 名九年级学生，扇形统计图中的α= ，并补全频数分布直方图： (2)若该校九年级共有700人参加了此次答题测试，估计九年级参加测试的学生成绩不低于90分的人数： (3)从九年级抽取的学生中，成绩为前四名的学生是2男2女，现从这四名学生中任选两名参加市级“人工智 能知识”的培训课程，求选中的两名学生恰好都是男生的概率. 21.(8分)如图，在口ABCD中，AE平分∠BAD,交BC于点E,BF平分∠ABC,交AD于点F,AE与 BF交于点P,连接EF,PD D (1)求证：四边形ABEF是菱形； (2)若AB=8,AD=12,∠ABC=60°，求DP的长. 22.(9分)2024年3月28日小米发布了自己的首款新能源汽车小米SU7,上市首日27分钟内大定突破5 万台，上市24小时大定88898台，为提高产能工厂决定招聘一些无经验的新工人和有过相关工作经验的熟 练工，经过调研发现2名熟练工和3名新工人每月可安装12辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可 安装13辆电动汽车， (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ (2)工厂计划招聘400名员工，计划一个月至少生产安装1000台汽车.工厂给安装电动汽车的每名熟练工每 月发6200元的工资，给每名新工人每月发5600元的工资，为按时完工工厂应招聘多少名新工人，同时工 8/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 厂每月支出的工资总额W(元)尽可能地少？ 23.(9分)某数学兴趣小组进行实践活动：测量某山的高度，他们设计了如下测量方案： 项目 测量某山的高度 测量 测距仪、测角仪 工具 示意 如图2是一段索道的示意图， B 图 D 图1 图2 点A为山的观景台，点B是索道停靠点。 测量 从山脚D处看A处的仰角为60，从A处看B处的俯角为21，点A与点D之间 数据 的距离AD=300m,点B到山脚的距离BC=40m, 根据表格中提供的信息，解答下列问题： (1)求观景台点A到山脚CD的距离；（结果精确到1m) (2)求AB的长（结果精确到1m). (参考数据：sin21°≈0.36，cos21°≈0.93，tan21°≈0.38，√5≈1.7) 24.(10分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4a≠0)经过点(-1,6)，与y轴交于点C,与 x轴交于A,B两点(A在B的左侧)，连接AC,BC,tan_CBA=4. D B 0 备用图 (1)求抛物线的表达式； (2)点G是x轴上方抛物线上的一点，x轴上是否存在一点H,使得以A,C,G,H为顶点的四边形是平 行四边形·若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由. (3)点P是射线CA上方抛物线上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E,交AC于点D.点M是线段DE上 一动点，MN⊥y轴，垂足为N,点F为线段BC的中点，连接AM,NF,当线段PD长度取得最大值时， 9/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 求AM+MN+NF的最小值 25.(10分)如图，四边形ABCD内接于⊙O,对角线AC,BD相交于点E, D A 0 图1 图2 (1)若∠DAC=LBAC=60°，AD=2,AB=4. ①判断△BCD的形状，并说明理由； ②求四边形ABCD的面积. (2)如图2，点E是BD中点，点F是线段EC上一点，且∠AFB=∠DBC,点G是弦BD上一点，且 .日41"7g"l二71u=d 10/10 提分小卷：解答题 限时训练01（A组+B组+C组） （考试时间：80分钟 试卷满分：72分） 解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：． 【答案】1 【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．先进行零指数幂，负整数指数幂，乘方，去绝对值和特殊角的三角函数值的运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 18．（6分）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了乘法公式，单项式乘多形式，熟练掌握公式和运算法则是解答本题的关键．先根据乘法公式，单项式乘多形式的运算法则计算，再合并同类项，然后把，代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 19．（6分）如图，在中，平分，是中点，连接，过点作于点，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）连接，根据角平分线性质定理得到，再证明，则，再由等腰三角形性质即可证明； （2）先证明，则，那么，再代入数据求解即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， 平分，于E，交的延长线于F， , 在和中， ， ∴， ， 是中点， ； （2）解：由(1)知： 在和 中， ， , ，，， ． 20．（8分）百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级： ：，：，：，：， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表： 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中_______， _______， _______． (2)在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数． (3)（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率． 【答案】(1)，， (2)估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人 (3)图见解析， 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体，列表法或树状图法求概率等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键． （1）根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值，用分别减去其他三个等级所占百分比可得的值，即可得出的值； （2）由甲、乙两款的非常满意的人数之和即可得出答案； （3）用树状图法求解即可． 【详解】（1）解：甲款评分数据中“满意”的数据中出现的次数最多， 众数． 乙款评分数据中、两组共有个数据， 乙款评分数据的中位数为第个和第个数据的平均数，而这两个数据分别为、，中位数． 乙款评分数据在组人数所占百分比为， 即． 故答案为：，，． （2）解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比， 对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为： （人）． 答：估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人． （3）解：画树状图为： 由树状图可知，共有种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为种，所以两人都选择同款聊天机器人的概率为． 21．（8分）如图，在矩形中，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点作直线，交于点，交于点，交于点，连接和． (1)证明四边形为菱形； (2)若，，求菱形的周长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了作图－基本作图，菱形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握相关知识的应用解题的关键． （）由作图可知直线是线段的垂直平分线，则，，证明，则有，，所以四边形是平行四边形，然后通过菱形的判定方法即可证明； （）设，根据菱形性质可得，然后利用勾股定理构建方程求解． 【详解】（1）证明：∵分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点作直线， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，即有， ∴， 在和中， ，​ ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （2）解：设， ∵四边形是矩形，   ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 在中，， 根据勾股定理得，， ∴， 解得， ∴， ∴菱形的周长为． 22．（9分）截至2024年底，全国新能源汽车保有量达3140万辆．为保障新能源汽车出行，某停车场拟购买A，B两种充电桩．已知A种充电桩的单价比B种充电桩的单价多1万元，投资24万元购买的A种充电桩与投资16万元购买的B种充电桩数量一样． (1)求购买每个A种，B种充电桩分别需投资多少万元； (2)若购买A，B两种充电桩共20个，要求购买的A种充电桩的数量不少于购买的B种充电桩数量的2倍，问购买多少个A种充电桩时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 【答案】(1)每个A种充电桩需投资3万元，每个B种充电桩需投资2万元 (2)购买14个A种充电桩时，可使投资总额最少为万元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）设购买每个A种充电桩需投资x万元，则购买每个B种充电桩需投资万元，根据投资24万元购买的A种充电桩与投资16万元购买的B种充电桩数量一样，列出分式方程，解方程并检验即可； （2）设购买m个A种充电桩，则购买个B种充电桩，设投资总额为w万元，先根据购买的A种充电桩的数量不少于购买的B种充电桩数量的2倍，列出不等式，求出m的范围，然后w关于m的关系式，根据一次函数的性质求出结果即可． 【详解】（1）解：设购买每个A种充电桩需投资x万元，则购买每个B种充电桩需投资万元， 根据题意得：，解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：购买每个A种充电桩需投资3万元，购买每个B种充电桩需投资2万元； （2）解：设购买m个A种充电桩，则购买个B种充电桩， 根据题意得：， 解得：， 为正整数， 的最小值为14， 设投资总额为w万元， 根据题意得：， ， 随m的增大而增大， 当时，w有最小值，最小值， 答：购买14个A种充电桩时，可使投资总额最少，投资总额最少为万元． 23．（9分）某校兴趣小组在老师的指导下，利用课余时间测量文昌塔的高度，形成了不完整的实践报告： 测量对象 文昌塔 测量目的 运用三角形有关知识解决生活实际问题 测量工具 无人机 测量方案 1．先将无人机从地面的点B处垂直上升至点C，测得塔的顶端A的俯角为； 2．再将无人机从点C处垂直上升到达点D处，然后沿水平方向飞行到达点E，得塔的顶端点A的俯角为，如图中各点均在同一竖直平面内． 测量示意图 请根据以上测量数据，求古塔AO的高度．（结果精确到；参考数据：） 【答案】文昌古塔的高度为37米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 延长交于点，则，过点作，垂足为，根据题意可得：，，，，，然后设米，则，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：延长交于点，则，过点作，垂足为， 根据题意可得：米，米，，米，， 设（米），则米 在中，因为， 所以（米），（米）； 在中，，即， 所以，，即（米）， 所以（米）， 答：文昌古塔的高度为37米． 23．（10分）我们不妨约定：若两个二次函数图象关于原点对称，我们称这两个函数互为“旗开得胜”函数． (1)已知二次函数和二次函数互为“旗开得胜”函数，填空： ① ；②若，则 ；③ ； (2)若二次函数图象的顶点及图象与轴两个交点构成的三角形是等腰直角三角形，其“旗开得胜”函数的顶点在反比例函数上，且互为“旗开得胜”函数的两个二次函数图象有且只有一个交点，求二次函数的解析式； (3)已知二次函数与互为“旗开得胜”函数，的顶点为 E，与轴交于点F，轴，直线与图象交于A、B两点，与的图象交于 C、D两点，若线段、、可构成以为斜边的直角三角形，假设该直角三角形外接圆的半径为，内切圆的半径为，求的值． 【答案】(1)；1；0 (2)或 (3) 【分析】（1）由题意得，两个二次函数图象关于原点对称，分析得出两个图象的开口方向、对称轴、与轴的交点之间的关系，即可求解； （2）二次函数的“旗开得胜”函数为，联立两个函数整理得到，根据两个二次函数图象有且只有一个交点，计算得到，根据二次函数的图象与性质得到顶点坐标为，其“旗开得胜”函数的顶点坐标为，代入到反比例函数可得，再根据等腰直角三角形的性质求出的值，进而求出的值，即可得到二次函数的解析式； （3）根据二次函数的性质求出、的坐标，由轴，得到，，联立二次函数与直线，利用一元二次方程根与系数的关系求出，同理可得，再利用勾股定理列出等式求出的值，得出直角三角形三边长，再利用直角三角形的外接圆和内切圆半径公式即可求解． 【详解】（1）解：关于原点对称的两个二次函数图象开口方向相反，两个图象的对称轴关于轴对称，两个图象与轴的交点关于原点对称， 二次函数和二次函数互为“旗开得胜”函数， 两个二次函数图象关于原点对称， ，，， 解得：，， ， ， 综上所述，，，． 故答案为：；1；0． （2）解：二次函数的“旗开得胜”函数为， 联立， 整理得：， 互为“旗开得胜”函数的两个二次函数图象有且只有一个交点， ， ， ， 二次函数为，其“旗开得胜”函数为， 令，则， 解得：，， 二次函数图象与轴两个交点间的距离为， 二次函数， 二次函数的顶点坐标为， 其“旗开得胜”函数的顶点坐标为， 其“旗开得胜”函数的顶点在反比例函数上， ， ， 二次函数图象的顶点及图象与轴两个交点构成的三角形是等腰直角三角形， 顶点到轴的距离等于图象与轴两个交点间的距离的一半， ， 解得：或， 当时，，无解，舍去； 当时，，解得，此时二次函数的解析式为或； 当，，解得，不符合题意，舍去； 综上所述，二次函数的解析式为或． （3）解：由题意得，， 令，则， ， ， ， 轴， ， ， ， 联立，则， 直线与图象交于A、B两点， ，， ， 同理可得，， 线段、、可构成以为斜边的直角三角形， ， ， 解得：， ，，， ，，， 该直角三角形外接圆的半径为，内切圆的半径为， ，， ． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合、关于原点对称的性质、待定系数法求函数解析式、二次函数与一元二次方程、三角形的外接圆与内切圆、二次根式的应用，熟练掌握相关知识点，运用数形结合的思想解决问题是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，对学生综合要求较高，适合有能力解决压轴题的学生． 25．（10分）如图1，已知为等腰的外接圆，，点是上的一个动点，连接，并延长至． (1)求证：是的角平分线； (2)如图2，过点作，垂足为点，，垂足为点，若，，求线段的长； (3)如图3，以为直角边作等腰，连接，并满足动点移到线段上，连接并延长交于点，连接交于点，当的大小发生变化而其他条件不变时， 的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)不变， 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意得到，推出，即可得到结论； （2）先证明，得到，再证明，得到，求出，根据勾股定理求出，得到； （3）的值不发生变化；过点作于，作于，延长交于点,连接，证明，推出为等腰直角三角形，得到． 【详解】（1）证明：， ， 四边形为的内接四边形， ， ， ， ， ， 是的角平分线 ； （2）解：， ， 在和中， ， ， 又， 在和中，， ， ， ， ， ∴在中，， ， ． （3）解：的值不发生变化， 如图：过点作于，作于，延长交于点,连接， 为的直径， , ,, , , 垂直平分, ， 为直角边的等腰， ， ， 在和中， ， ， 又， ， ,,, , 四边形是矩形， ， ， ， , ， ， 为等腰直角三角形， ∴， ∴． （考试时间：80分钟 试卷满分：72分） 解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算： 【答案】5 【分析】本题主要考查了实数的综合运算能力，根据，，直接求解即可得到答案． 【详解】解： ． 18．（6分）先化简然后从中选取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】；当时，原式 【分析】本题主要考查了分式的化简求值以及分式有意义的条件，熟练掌握分式的化简和分式的性质是解题的关键． 利用完全平方公式和平方差公式整理原式，约分化简，再根据分式有意义的条件，取代入求值即可． 【详解】解： ， ∵当和 时，会使分式分母，原式没有意义， 当时，会使原式的除式，原式无意义， ∴从中选取一个整数，只能选，则原式． 19．（6分）已知：的平分线与的垂直平分线相交于点D．，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了利用角平分线的性质和垂直平分线的性质证明三角形全等进行求解，准确计算是解题的关键． （1）连接，，根据角平分线的性质和垂直平分线的性质证明，即可得证； （2）根据已知条件证明，得到，设，则，根据代入计算即可得解． 【详解】（1）证明：连接，， 平分，，， ， 又垂直平分， ， 在和中，， ， ． （2）解：在和中， ， ， ， 设，则， ， ， ， ． 20．（8分）中国新能源产业异军突起，中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图． 类型 人数 百分比 纯电 混动 氢燃料 3 油车 5 请根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查活动随机抽取了______人；表中______，______； (2)请补全条形统计图； (3)计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数； (4)若此次汽车展览会的参展人员共有人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？ 【答案】(1)50，30，6 (2)见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据喜欢纯电的人数和所占的百分比即可求出调查人数，根据频数、总数和频率的关系求出和即可； （2）根据的值即可补全条形统计图； （3）用乘以喜欢混动的人数所占的百分比即可； （4）用总人数乘以样本中喜欢新能源车所占的百分比即可求解． 【详解】（1）解：本次调查活动随机抽取了（人， ， ，， ，； 故答案为：50，30，6； （2）解：补全条形统计图如图所示： （3）解：， 答：扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数为． （4）解：（人， 估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有人． 【点睛】本题考查统计表、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，理解统计图中各个数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法． 21．（8分）在四边形中，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质， （1）由平行线推出，即可根据证明； （2）根据全等三角形的性质解答． 【详解】（1）证明：， ． 在和中， ， ． （2）解：， ，， ． 22．（9分）《长沙美食探险计划》你是长沙“烟火夜市”的小记者，需完成一篇关于特色小吃店的深度报道．店主给了你一份挑战任务，只有破解数学谜题才能解锁独家数据！ 任务1（密码谜题）： 店主将臭豆腐和糖油粑粑的单价加密成了一道门锁密码．线索如下： 线索卡：周一用“2份臭豆腐份糖油粑粑”解锁了“120元”宝箱； 线索卡：周二用“5份臭豆腐份糖油粑粑”解锁了“170元”宝箱． 你的目标：通过线索卡和，破解两种小吃的单价密码． 任务2（经营策略）： 店主计划优化每日制作计划，需满足以下条件： 1．资源限制：由于人手问题，每天限供臭豆腐和糖油粑粑总量120份． 2．人气保障：店主想提升糖油粑粑销量，每天的糖油粑粑份． 3．营收目标：当日总销售额元（已知单价来自任务1）． 挑战：在满足所有条件的情况下，店主想知道：最多能卖出多少份臭豆腐？此时需搭配多少份糖油粑粑？ 【答案】任务1：每份“臭豆腐”的单价密码是元，每份“糖油粑粑”的单价密码是元；任务2：最多能卖出份臭豆腐，此时需搭配份糖油粑粑 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系． 任务1：设每份“臭豆腐”的单价密码是元，每份“糖油粑粑”的单价密码是元，根据题意列出二元一次方程组即可求解； 任务2：设每天限供“臭豆腐”的数量为份，则每天限供“糖油粑粑”的数量为份，再根据每天的糖油粑粑份，总销售额元，根据题意列出不等式组，得到的取值范围，即可求解． 【详解】解：任务1：设每份“臭豆腐”的单价密码是元，每份“糖油粑粑”的单价密码是元， 根据题意：， 解得：， 答：每份“臭豆腐”的单价密码是元，每份“糖油粑粑”的单价密码是元， 任务2：设每天限供“臭豆腐”的数量为份，则每天限供“糖油粑粑”的数量为份， 根据题意：， 解得：， 当时，糖油粑粑销量为（份）， 答：最多能卖出份臭豆腐，此时需搭配份糖油粑粑． 23．（9分）如图，在平行四边形中，，E是边上一点，延长交的延长线于点F，连接． (1)若，求证：四边形是矩形． (2)在（1）的条件下，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是平行四边形的性质、全等三角形判定与性质、矩形判定与性质及三角函数计算， （1）先证明，进而证明结论； （2）作于点H，根据平行四边形及矩形性质求出，得出，进而求出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，延长交的延长线于点F， ∴ ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：作于点H，则， ∵四边形是平行四边形，四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 24．（10分）如图1，在中，点在线段上，以为直径作，且经过点，过点作，垂足为，连接，． (1)求证：是的切线． (2)如图2，为下方上一点，且，连接．求证：． (3)如图3，在线段上取一点，使得，连接，过点作交于点．若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，如图所示，由圆的基本性质，结合等腰三角形性质、直径所对的圆周角是直角及垂直定义，由互余概念得到，进而在题中条件下得到，即可得证； （2）连接，，，如图所示，由（1）中，数形结合，表示出圆中相关角度关系，进而得到，由等腰三角形的判定与性质即可得证； （3）过点作，连接，如图所示，由三角形相似的判定得到、，求出相似比，设，则，表示出相关线段长度，在中，由勾股定理可得，列方程求解得，在中，由勾股定理可得，从而得到的半径． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴， ∴是的切线； （2）证明：连接，，，如图所示： 由（1）得， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点作于G，连接，如图所示： ， 为的直径， ， 由（1）知， ，， ， ， ， ， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 则， ， ， 设，则， ， ，则， ， 在中，由勾股定理可得，则， 即， ， 解得（线段长不能为负，舍去）或， ，， 在中，由勾股定理可得， ∵为的直径， ∴的半径为． 【点睛】本题考查圆综合，难度很大，涉及圆的基本性质、直径所对的圆周角是直角、互余定义、等腰三角形判定与性质、切线证明、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，熟记相关几何性质，熟练掌握圆综合问题的求解方法是解决问题的关键． 25．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中、分别是一元二次方程的两个根连接，点是抛物线第一象限上的一动点，过点作轴于点，交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，作于点，使，以、为邻边作矩形设矩形的面积为，求的最大值，并求取得最大值时点的坐标； (3)如图，当点运动到抛物线的顶点时，点在直线上，若以点、、为顶点的三角形是锐角三角形，请求出点纵坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)的最大值为，的坐标 (3)或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由矩形的面积，即可求解； （3）当为直角时，由直线的表达式知，，则，故设直线的表达式为，得到直线的表达式为，即可求解；当为直角、为直角时，同理可解． 本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系. 【详解】（1）解：，则或，即点、的坐标分别为：、， 则抛物线的表达式为：， 则，则， 则抛物线的表达式为：； （2）对于，令，即，解得或， 令，得， 故点坐标为，点的坐标为，则， 由点、的坐标得，直线的表达式为， 设点的坐标为，则点， 则矩形的面积， 即的最大值为，此时，的坐标； （3）由抛物线的表达式知，其对称轴为，故点的坐标为， 当为直角时，如图， 设交轴于点， 由直线的表达式知，，则， 故设直线的表达式为， 该直线过点，故， 则直线的表达式为， 当时，， 即； 当为直角时， 过点作直线交轴于点，交过点与轴的平行线于点， ，， ， ， 即：：，即：：， 解得； 当为直角时， 同理可得，； 综上，以点、、为顶点的三角形是锐角三角形，则不为直角三角形， 故点纵坐标的取值范围为或． （考试时间：80分钟 试卷满分：72分） 解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(6分)计算：． 【答案】 【分析】题目主要考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握是解题关键． 先计算零次幂、立方根、特殊角的三角函数值、化简绝对值，然后计算负整数指数幂，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 18．(6分)解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，在数轴上表示见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式组，涉及一元一次不等式的解法、用数轴表示不等式组解集的方法，熟练掌握一元一次不等式的解法及数轴表示是解决问题的关键；先分别解出不等式组的两个不等式，再根据不等式组解集的求法“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”求出解集，在数轴上表示即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①得 ； 解不等式②得 ； 故原不等式组的解集为． 在数轴上表示出不等式组的解集，如图所示： ． 19．(6分)如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，点E是边BC延长线上一点，连接AE、DE，过点C作CF⊥DE于点F，且DF＝EF． （1）求证：AD＝CE．     （2）若CD＝5，AC＝6，求△AEB的面积． 【答案】（1）见解析；（2）39 【分析】（1）首先根据CF⊥DE，DF＝EF得出CF为DE的中垂线，然后根据垂直平分线的性质得到CD＝CE，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD＝AD，即可证明AD＝CE； （2）由（1）得CD＝CE=AB=5，由勾股定理求出BC，然后结合三角形的面积公式进行计算． 【详解】（1）证明：∵DF＝EF   ∴点F为DE的中点 又∵CF⊥DE   ∴CF为DE的中垂线 ∴CD＝CE 又∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， CD是斜边AB上的中线 ∴CD＝=AD ∴AD＝CE （2）解：由（1）得CD＝CE==5 ∴AB=10   ∴在Rt△ABC中，BC==8 ∴EB=EC+BC=13 ∴ ． 【点睛】此题考查了垂直平分线的判定和性质，直角三角形性质，三角形面积公式等知识，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的判定和性质，直角三角形性质，三角形面积公式． 20．(8分)近年来，随着全球人工智能大模型等的迅速发展，人工智能日渐成为新一轮科技革命和产业革命的重要驱动力量．为了培养新时代青少年对科技的探究兴趣，某校开展了以“人工智能”为主题的知识讲座，并开展了“人工智能”知识答题测试．现从该校九年级参加测试的学生中随机抽取部分学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：、、、），并绘制出如下两幅不完整的统计图．其中抽取的九年级学生测试成绩在中的数据分别是，，，． 抽取的九年级学生测试成绩扇形统计图    抽取的九年级学生测试成绩频数分布直方图 根据以上信息，解答下列问题： (1)一共抽取了________名九年级学生，扇形统计图中的________，并补全频数分布直方图； (2)若该校九年级共有700人参加了此次答题测试，估计九年级参加测试的学生成绩不低于90分的人数； (3)从九年级抽取的学生中，成绩为前四名的学生是2男2女，现从这四名学生中任选两名参加市级“人工智能知识”的培训课程，求选中的两名学生恰好都是男生的概率． 【答案】(1)，，见解析 (2) (3) 【分析】本题考查频数直方图，扇形图，样本估计总体，树状图法求概率，从统计图中获取信息，是解题的关键： （1）根据的人数与占比求得总人数，用的人数除以总人数求出的值即可，根据；的人数补全直方图即可； （2）利用样本估计总体的思想，进行求解即可； （3）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：根据频数直方图可得的人数为1，根据扇形统计图可得占比为 ∴总人数为 ∵中的数据有个， ∴的人数为：人； ∴， ∴； 补全的频数分布直方图如图． （2）解：（人） 答：估计九年级参加测试的学生成绩不低于90分的人数为人 （3）解：名男生用，表示，名女生用，表示， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中选中的两名学生都是男生的结果数为， 选中的两名学生都是男生的概率． 21．(8分)如图，在中，平分，交于点E，平分，交于点F，与交于点P，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行四边形和角平分线的定义可得、，则，易证四边形是平行四边形，再结合即可证明结论； （2）根据菱形的性质可证明为等边三角形可得，即；如图：过点P作于M，则、，进而得到，最后根据勾股定理求解即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． 同理：． ∴． ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴，为等边三角形， ∵， ∴， ∴， 如图：过点P作于M， ， ∴，， ∵， ∴， ∴． 22．(9分)2024年3月28日小米发布了自己的首款新能源汽车小米，上市首日27分钟内大定突破5万台，上市24小时大定88898台，为提高产能工厂决定招聘一些无经验的新工人和有过相关工作经验的熟练工，经过调研发现2名熟练工和3名新工人每月可安装12辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装13辆电动汽车． (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ (2)工厂计划招聘400名员工，计划一个月至少生产安装1000台汽车．工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发6200元的工资，给每名新工人每月发5600元的工资，为按时完工工厂应招聘多少名新工人，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能地少？ 【答案】(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装3辆和2辆汽车 (2)200名 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式和一次函数的应用，找出数量关系列出方程组和函数解析式是解答本题的关键． （1）设每名熟练工和新工人每月分别可以安装x辆和y辆汽车，列出方程组求解即可； （2）设为按时完工工厂应招聘m名新工人，根据一个月至少生产安装1000台汽车求出m的取值范围，然后列出函数解析式，利用一次函数的增减性求解． 【详解】（1）解：设每名熟练工和新工人每月分别可以安装x辆和y辆汽车，            根据题意得：，            解得：                       答：每名熟练工和新工人每月分别可以安装3辆和2辆汽车． （2）设为按时完工工厂应招聘m名新工人， 根据题意得：， 解得 ． ． ∴当时，W取最小值，最小值为2360000． 答：为按时完工工厂应招聘200名新工人，此时工厂每月支出的工资总额最少． 23．(9分)某数学兴趣小组进行实践活动：测量某山的高度，他们设计了如下测量方案： 项目 测量某山的高度 测量工具 测距仪、测角仪 示意图 如图2是一段索道的示意图，点A为山的观景台，点B是索道停靠点． 测量数据 从山脚D处看A处的仰角为，从A处看B处的俯角为，点A与点D之间的距离，点B到山脚的距离． 根据表格中提供的信息，解答下列问题： (1)求观景台点到山脚的距离；（结果精确到） (2)求的长（结果精确到）． （参考数据：，，，） 【答案】(1)约为米； (2)约为米 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点作于点，由题意得，在中，根据的长，由，即可求出的长； （2）过点作于点，过点作，由题意得，在中，根据，由，即可求出的长． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，由题意得， ， 在中，， ， 答：观景台点到山脚的距离约为米； （2）过点作于点，过点作， 由题意得，，， ，， 在中，， ， 答：的长约为米． 24．(10分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于A，两点在的左侧，连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是轴上方抛物线上的一点，轴上是否存在一点，使得以A，，，为顶点的四边形是平行四边形若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接，,当线段长度取得最大值时，求的最小值． 【答案】(1)抛物线表达式为 (2)存在，的坐标为或或或 (3)的最小值为 【分析】（1）由解析式知，由，即，知，即，再把，代入中，即可解出、的值； （2）先求出，设，，当以A，，，为顶点的四边形是平行四边形时，分以下三类讨论：当、为对角线时，当、为对角线时，当、为对角线时．再分别根据平行四边形的对角线性质列方程即可求解每种情形下的点坐标； （3）由待定系数法可知直线的表达式为，设，，则，即最大值为时，，此时,再求出,构造平行四边形，则由平行四边形性质可得，则，当且仅当A、、共线时取等号．由勾股定理得，即的最小值为，进而的最小值为． 【详解】（1）解：由抛物线可知，， ，即， ，即， 把，代入中， 得，解得， ∴抛物线表达式为。 （2）解：存在，理由如下： 令，由韦达定理知， ∵， ，即． 设，，，， 则当以A，，，为顶点的四边形是平行四边形时，分以下三类讨论： 当、为对角线时，由平行四边形对角线性质可得 ，解得：（舍弃）或， ∴； 当、为对角线时，同理可得 ，解得：，则， ∴或； 当、为对角线时，同理可得 ，解得：（舍弃）或， ∴， 综上，的坐标为或或或。 （3）解：由待定系数法可知直线的表达式为， 设，，则， ∴最大值为时，，此时， 点为线段的中点， , 构造平行四边形，则由平行四边形性质可得， ，当且仅当A、、共线时取等号． 故，即的最小值为， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、待定系数法求解析式、解直角三角形、平行四边形的存在性问题、二次函数与线段最值、线段和最小值问题等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键． 25．(10分)如图，四边形内接于，对角线，相交于点． (1)若，，． ①判断的形状，并说明理由； ②求四边形的面积． (2)如图，点是中点，点是线段上一点，且，点是弦上一点，且，令，，，试用含，，的式子表示的值． 【答案】(1)①是等边三角形，理由见解析；②四边形的面积为； (2)． 【分析】 （1）①由圆周角定理可得，据此判断即可； ②延长至点，使，易证，可得是等边三角形，将面积转化可知，据此求解； （2）先证四边形是平行四边形，再证，，再证可得，证，，最后利用，且，可得，据此求解即可． 【详解】（1） 解：①是等边三角形，理由如下： 由圆周角定理得，， ， 是等边三角形； ②延长至点，使， ， 是等边三角形， ， 四边形内接于， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， 过点作，垂足为， ， ， ． （2） 解：， 由圆周角定理得， ， 是中点，即， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， ，， 由圆周角定理， ， ， ， ， ， ， 由圆周角定理， ， ， ， 即， 由圆周角定理， ， ， ， ，， ， ， ，， ，且， ， ， ，． 【点睛】本题考查的知识点是圆周角定理、等边三角形的判定和性质、圆内接四边形性质、全等三角形的判定与性质、三线合一定理、解直角三角形的应用、平行四边形的判定与性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $