提分小卷限时练01（9解答ABC三组，综合训练）（安徽专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

提分小卷：解答题 限时训练01（A组+B组+C组） （考试时间：60分钟 试卷满分：90分） 解答题:(本大题共9题，第 15-18 每题8分，第 19-20 每题 10 分，第 21-22 题12 分第 23 题 14 分，共 90 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 1．解方程：． 2．如图是边长为的正方形网格，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺，按要求画出下列图形． (1)的周长为______； (2)如图，点、分别是与竖格线和横格线的交点，画出点关于过点竖格线的对称点； (3)请在图中画出的角平分线． 3．春节临近，苹苹果业给顾客提供，两种水果礼盒．种礼盒每盒利润30元，每天能卖120盒；种礼盒每盒利润20元，每天能卖160盒．若种礼盒价格提高1元，则每天少卖出3盒；种礼盒价格提高1元，则每天少卖出4盒．（注：两种水果礼盒的成本不变） (1)若每份礼盒价格提高了元，销售，两种礼盒每天的利润分别为元、元，请求出、与之间的函数关系式； (2)物价部门规定这两种礼盒提高的价格之和为8元，那么种礼盒的价格提高多少元时，这两种水果礼盒每天售出的利润之和最大？ 4．小明同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，如图，他在点C处测得大树顶端A的仰角为，再从点C出发沿斜坡走米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为，若斜坡的坡度（点E，C，B在同一水平线上）    (1)求小明同学从C到D的过程中上升的高度__________米；水平移动的距离__________米； (2)求大树AB的高度（结果保留根号）． 5．某校举办数学竞赛，要求每班选派名学生参赛，赛前对两个班级（一班和二班）进行了模拟测试，对测试成绩（百分制）进行了整理和分析部分信息如下： a．一班测试成绩的频数分布表如下： 分数 频数 b．二班测试成绩如下：，，，，，，，，，，，，，，，，，，， c．两班测试成绩的平均数、众数、中位数如下： 平均数 众数 中位数 一班 二班 根据以上信息，回答下列问题： (1)的值为______，______（填“”“”或“”） (2)根据以上数据，你认为该校一班、二班学生在模拟测试中，哪个班级学生的成绩更好？请说明理由；（写出两条理由即可） (3)为选拔最佳选手，对成绩高于分的甲、乙、丙三人加测次，四位评委给的分数如下规定：平均分较高者排名靠前；若平均分相同，则方差较小者排名靠前． 评委 评委 评委 评委 方差 甲 乙 丙 若在甲、乙、丙三位选手中丙的排名居中，则这三位选手中排名第一的是______，表中（为整数）的值为______． 6．如图，在中，，是上一点，以为直径的切于点，交于点，连接，． (1)求证：； (2)连接交于点，连接，若，求的度数． 7．数学兴趣小组设计了一个数列生成游戏：对于给定的一列有序数字，每次构造时在数列的末尾添加前一项的两倍与固定常数之和，形成新的一列有序数字例如，初始数列为，，第次构造后得到，，（即，，），第次构造后得到，，，（即，，，），依此类推第次构造后的这列数字的和用表示． (1)观察前几次构造的结果，完成下列问题： 构造次数 构造后的数列 的值 的值 ， ，， ，，， ，，，， ，，，，， ①第次构造后的的值为______；（直接填数字） ②根据上表规律，第次构造后的值是_____；（用含的代数式表示） (2)数学兴趣小组指导老师引导同学们推出了当时的结果，下面是部分分析过程： ，，，， 把上面这个式子的左边和右边分别相加，得， ．（其中表示，，，，这列数中的第个数） 那么如何计算的结果呢？ 不妨令（其中），则，两式左边和右边分别相减得，即， 阅读完上述过程，请直接写出当时______，的结果为______．（用含的代数式表示） 8．如图，将直角以点为中心逆时针旋转到处，的对应点为点，点的对应点为点，连使得，作交的延长线于点，连接，分别交于点点，点． (1)若，求的度数； (2)求证：为的中点； (3)若，求直角的面积． 9．已知二次函数图象的顶点是，且经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)一次函数的图象经过点，与二次函数的图象交于A，B两点点在点的左侧），过点，分别作轴于点，轴于点． ①若点横坐标为2，求的长，并直接写出不等式的解； ②分别用，，，表示，，的面积，则的值是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请说明理由． （考试时间：60分钟 试卷满分：90分） 解答题:(本大题共9题，第 15-18 每题8分，第 19-20 每题 10 分，第 21-22 题12 分第 23 题 14 分，共 90 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 10．计算 11．2025年4月23日是第30个“世界读书日”．为用于摆放书籍，某校计划购买甲、乙两种型号的书架共30个．已知每个甲型书架比每个乙型书架低100元，购买2个甲型书架和3个乙型书架共需1300元．求甲、乙两种型号书架的单价． 12．如图，已知点是坐标原点，两点的坐标分别为，． (1)以点为位似中心在轴左侧将放大到倍（即新图与原图的相似比为），画出，并写出两点的对应点，的坐标； (2)将绕点逆时针旋转得到，画出图形． 13．祖冲之发明的水碓（duì）是一种舂米机具（如图1），在我国古代科学家宋应星的著作《天工开物》中有详细记载，其原理是以水流推动轮轴旋转进而拨动碓杆上下舂米．图2是碓杆与支柱的示意图，支柱高4尺且垂直于水平地面，碓杆长16尺，．当点A最低时，，此时点B位于最高点；当点A位于最高点时，，此时点B位于最低点． (1)求点A位于最低点时与地面的垂直距离； (2)求最低点与地面的垂直距离．（参考数据：，，） 14．某校以中国传统节日端午节为契机，组织全体学生参加包粽子劳动体验活动，随机调查了部分学生，对他们每个人平均包一个粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表． 等级 时长（单位：分种） 人数 所占百分比 A B C D 根据图表信息，解答下列问题： (1)本次调查的学生总人数为___，表中x的值为___； (2)该校共有500名学生，请你估计等级为B的学生人数； (3)本次调查中，等级为A的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 15．如图，内接于是的直径，连接，点是延长线上一点，是的切线，连接并延长交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 16．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论      ______ 按上表规律，完成下列问题： （）（    ）（    ）； （）______； (2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容． 17．如图，是正方形的对角线上一点，过点作交于点，连接，以，为邻边作，连接，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若于点，求的值． 18．已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点和分别在抛物线和上（与原点都不重合）． ①若，且，比较与的大小； ②当时，若是一个与无关的定值，求与的值． （考试时间：60分钟 试卷满分：90分） 解答题:(本大题共9题，第 15-18 每题8分，第 19-20 每题 10 分，第 21-22 题12 分第 23 题 14 分，共 90 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 19．先化简，再求值：，其中． 20．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)将向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，请画出； (2)如图，O为格点，以点O为中心，在网格中画出的中心对称图形． 21．如图，某市近郊有一块长为，宽为的长方形荒地，政府准备在此建一个运动场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个长方形区域将铺设塑胶地面作为运动场地． (1)设通道的宽为，则_____；（用含x的代AI数式表示） (2)若塑胶运动场地总占地面积为，则通道的宽为多少米． 22.随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，点O，C在同一水平线上，无人机从点O竖直上升到点A，在点A测得点C的俯角为，A，C两点的距离为． (1)求无人机从点O到点A的上升高度；（结果精确到） (2)若无人机从点A处继续竖直上升到达点B处，求B，C两点之间的距离．（结果精确到）（点O，A，B，C在同一平面内，参考数据：，） 23．技术已渗透至社会各领域，某校综合实践小组开展了对两种软件“模型”和“模型”进行使用满意度调查，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（分数用x表示，单位：分，满分100分，分为四个等级：：，：，：，：），下面给出了部分信息： 抽取的对“模型”的评分数据中等级的数据：89，89，88，87，86，86，84； 抽取的对“模型”的评分数据：100，99，98，98，97，97，97，95，89，88，87，87，86，86，85，84，78，72，69，68． 抽取的对“模型”、“模型”的评分统计表 品牌 平均数 中位数 众数 等级所占百分比 模型 88 98 模型 88 抽取的对“模型”评分的扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中________，________，________； (2)根据以上数据，你认为哪个软件更受用户的喜爱？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)此次测验中，有300人对“模型”进行评分，260人对“模型”进行评分，估计此次测验中对“模型”、“模型”两种软件评分为等级的共有多少人？ 24．如图，是的直径，是的一条弦，连接 (1)求证： (2)连接,过点作交的延长线于点，延长交于点，若为的中点，求证：直线为的切线． 25．综合与实践 【项目主题】 某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地． 【项目准备】 （1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺． （2）密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为． （3）密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”． 观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3所示的拼接单元，则增加1个正六边形和2个正三角形，长度增加，从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为． 自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼接单元，则增加① 个正六边形和② 个正三角形，长度增加③ cm，从而y个这样的拼接单元拼成一行的长度为④ cm． 【项目分析】 （1）项目条件：场地为长、宽的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元． （2）基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用． （3）方式确定： （i）考虑成本因素，采用图1方式进行密铺； （ii）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按图1所示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束； （iii）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止． （4）方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案． 方案一：第一行沿着长度为6 m的墙自左向右拼接（如图5）． 根据规律，令，解得，所以每行可以先拼块拼接单元，即共用去个正六边形和个正三角形组件，由知，所拼长度为，剩余恰好还可以摆放一个正六边形组件（如图5所示的阴影正六边形）．最终需用个正六边形和个正三角形组件，由知，方案一每行的成本为元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行，则，解得，故需铺行．由知，方案一所需的总成本为元． 方案二：第一行沿着长度为的墙自左向右拼接． 类似于方案一的成本计算，令 方案二每行的成本为⑤ 元，总成本为⑥ 元． 【项目实施】 根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动（略）． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①________；②________；③________；④________；⑤________；⑥________． 26．如图1，在 中，，（），是线段上的动点（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．过点作交的延长线于点． (1)若 ，求 的大小(用含的代数式表示)； (2)求证∶ ； (3)如图2，，，三点共线时，若，，求的长． 27．已知抛物线的顶点始终在直线上，且与直线的另一个交点为点，抛物线与轴的交点为点． (1)用含的代数式表示，并求出的最小值； (2)已知点在第一象限，过点作轴于点，过点作于点，连接，，． ①的长是否为定值？请说明理由； ②若的面积是的面积的2倍，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 提分小卷：解答题 限时训练01（A组+B组+C组） （考试时间：60分钟 试卷满分：90分） 解答题:(本大题共9题，第 15-18 每题8分，第 19-20 每题 10 分，第 21-22 题12 分第 23 题 14 分，共 90 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 1．解方程：． 【答案】 【详解】解：， ， ， ． 2．如图是边长为的正方形网格，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺，按要求画出下列图形． (1)的周长为______； (2)如图，点、分别是与竖格线和横格线的交点，画出点关于过点竖格线的对称点； (3)请在图中画出的角平分线． 【详解】（1）解：由题意，，， 的周长， 故答案为：； （2）如图，点即为所求； （3）如图，线段即为所求． 【点睛】本题考查作图应用与设计作图，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 3．春节临近，苹苹果业给顾客提供，两种水果礼盒．种礼盒每盒利润30元，每天能卖120盒；种礼盒每盒利润20元，每天能卖160盒．若种礼盒价格提高1元，则每天少卖出3盒；种礼盒价格提高1元，则每天少卖出4盒．（注：两种水果礼盒的成本不变） (1)若每份礼盒价格提高了元，销售，两种礼盒每天的利润分别为元、元，请求出、与之间的函数关系式； (2)物价部门规定这两种礼盒提高的价格之和为8元，那么种礼盒的价格提高多少元时，这两种水果礼盒每天售出的利润之和最大？ 【详解】（1）解：， ． （2）解：设种礼盒的价格提高元，种礼盒的价格提高元，由题意得， ， 当时，的值最大． 答：当种礼盒的价格提高1元时，这两种水果礼盒每天售出的利润之和最大． 4．小明同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，如图，他在点C处测得大树顶端A的仰角为，再从点C出发沿斜坡走米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为，若斜坡的坡度（点E，C，B在同一水平线上）    (1)求小明同学从C到D的过程中上升的高度__________米；水平移动的距离__________米； (2)求大树AB的高度（结果保留根号）． 【详解】（1）如图所示，过点D作， 根据题意得，， ∴设，则 ∵ ∴ 解得 ∴， ∴小明同学从C到D的过程中上升的高度1米；水平移动的距离3米； （2）过点D作于点G，如图．    设米． ， 四边形DHBG为矩形， 米，米． ， 米， 米． ， ， ，解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 米． 答：大树AB的高度是米． 5．某校举办数学竞赛，要求每班选派名学生参赛，赛前对两个班级（一班和二班）进行了模拟测试，对测试成绩（百分制）进行了整理和分析部分信息如下： a．一班测试成绩的频数分布表如下： 分数 频数 b．二班测试成绩如下：，，，，，，，，，，，，，，，，，，， c．两班测试成绩的平均数、众数、中位数如下： 平均数 众数 中位数 一班 二班 根据以上信息，回答下列问题： (1)的值为______，______（填“”“”或“”） (2)根据以上数据，你认为该校一班、二班学生在模拟测试中，哪个班级学生的成绩更好？请说明理由；（写出两条理由即可） (3)为选拔最佳选手，对成绩高于分的甲、乙、丙三人加测次，四位评委给的分数如下规定：平均分较高者排名靠前；若平均分相同，则方差较小者排名靠前． 评委 评委 评委 评委 方差 甲 乙 丙 若在甲、乙、丙三位选手中丙的排名居中，则这三位选手中排名第一的是______，表中（为整数）的值为______． 【详解】（1）解：由题意得，二班成绩中出现的次数最多，故众数， 由两班都是人，则中位数是从小到大排列后的第、个， 则一班成绩的中位数位于“”， 二班成绩按从小到大排列为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 则二班成绩的中位数为， ； 故答案为：，； （2）解：二班学生的成绩更好，理由如下： 二班学生成绩的平均数大于一班学生成绩的平均数，二班学生成绩的中位数大于一班学生成绩的中位数； （3）解：甲的平均数为， 乙的平均数为， 丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中， 这三位选手中排名第一的是甲，丙的平均数大于或等于乙的平均数，小于或等于甲的平均数， 乙的方差为， 四位评委给丙的打分为，，，， 丙的方差大于乙的方差， ∵平均分较高者排名靠前；若平均分相同，则方差较小者排名靠前，丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中， ∴丙的平均数不能等于乙的平均数， 丙的平均数大于乙的平均数，小于或等于甲的平均数， ∴， ∴， 为整数， ∴k（k为整数）的值为． 故答案为：甲，． 6．如图，在中，，是上一点，以为直径的切于点，交于点，连接，． (1)求证：； (2)连接交于点，连接，若，求的度数． 【详解】（1）证明：连接，则， ， 切于点， ， ， ∴， ， ， ∴， ； （2）解：， ， ，， ， ， ， ∴，而， ∴， ， ， 是等边三角形， ， ， 的度数是． 7．数学兴趣小组设计了一个数列生成游戏：对于给定的一列有序数字，每次构造时在数列的末尾添加前一项的两倍与固定常数之和，形成新的一列有序数字例如，初始数列为，，第次构造后得到，，（即，，），第次构造后得到，，，（即，，，），依此类推第次构造后的这列数字的和用表示． (1)观察前几次构造的结果，完成下列问题： 构造次数 构造后的数列 的值 的值 ， ，， ，，， ，，，， ，，，，， ①第次构造后的的值为______；（直接填数字） ②根据上表规律，第次构造后的值是_____；（用含的代数式表示） (2)数学兴趣小组指导老师引导同学们推出了当时的结果，下面是部分分析过程： ，，，， 把上面这个式子的左边和右边分别相加，得， ．（其中表示，，，，这列数中的第个数） 那么如何计算的结果呢？ 不妨令（其中），则，两式左边和右边分别相减得，即， 阅读完上述过程，请直接写出当时______，的结果为______．（用含的代数式表示） 【详解】（1）解：①∵根据表格，第五次构造的数列为，，，，，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②∵，，，，， ∴，，，，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵表示，，，，这列数中的第个数， ∴表示，，，，这列数中的第个数， ∴， 令（其中）， 则， 两式相减，得， 即， 故答案为：； ∵， ∴ ， ∵根据表格， ∴， 故答案为：． 8．如图，将直角以点为中心逆时针旋转到处，的对应点为点，点的对应点为点，连使得，作交的延长线于点，连接，分别交于点点，点． (1)若，求的度数； (2)求证：为的中点； (3)若，求直角的面积． 【详解】（1）解：，，， 四边形为矩形， ∴， ， ，， 是由旋转所得， ， ， ； （2）证明：过点作于点，如图， 由（1）知， 又 ∴， 又， ， 在和中， ， ， ， 即为的中点； （3）解：，为的中点， ， 为等腰三角形， 又， 为等腰三角形， 两个等腰三角形有公共底角， ， 由（2）知， ， 设，则，， ， 解得， ，， ， 在中，，， ， ， 直角的面积为． 9．已知二次函数图象的顶点是，且经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)一次函数的图象经过点，与二次函数的图象交于A，B两点点在点的左侧），过点，分别作轴于点，轴于点． ①若点横坐标为2，求的长，并直接写出不等式的解； ②分别用，，，表示，，的面积，则的值是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请说明理由． 【详解】（1）依题意，， 解得 二次函数的解析式为． （2）①依题意，即该一次函数的解析式为． 将代入，得， 即点的坐标为， 代入，得， 即一次函数的解析式为， 由， 解得点横坐标为 依题意，C，D横坐标分别与A，B横坐标相同， 所以， 由图像可知不等式解为． ②设，，则，． 将代入，得， 则， 解得， ，， 依题意得， ， ， ． 而 ． ，， ，． 故 所以，， 即的值为定值，且该定值为． （考试时间：60分钟 试卷满分：90分） 解答题:(本大题共9题，第 15-18 每题8分，第 19-20 每题 10 分，第 21-22 题12 分第 23 题 14 分，共 90 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 10．计算 【答案】 【详解】解：原式 ． 11．2025年4月23日是第30个“世界读书日”．为用于摆放书籍，某校计划购买甲、乙两种型号的书架共30个．已知每个甲型书架比每个乙型书架低100元，购买2个甲型书架和3个乙型书架共需1300元．求甲、乙两种型号书架的单价． 【详解】解：设甲型书架的单价为x元，乙型书架的单价为y元． 根据题意，可列方程组： 由第一个方程可得：． 将代入第二个方程：，解得 把代入得． 答：甲型书架的单价为元，乙型书架的单价为元． 12．如图，已知点是坐标原点，两点的坐标分别为，． (1)以点为位似中心在轴左侧将放大到倍（即新图与原图的相似比为），画出，并写出两点的对应点，的坐标； (2)将绕点逆时针旋转得到，画出图形． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，由图形可得，，； （2）如图所示，即为所求． 13．祖冲之发明的水碓（duì）是一种舂米机具（如图1），在我国古代科学家宋应星的著作《天工开物》中有详细记载，其原理是以水流推动轮轴旋转进而拨动碓杆上下舂米．图2是碓杆与支柱的示意图，支柱高4尺且垂直于水平地面，碓杆长16尺，．当点A最低时，，此时点B位于最高点；当点A位于最高点时，，此时点B位于最低点． (1)求点A位于最低点时与地面的垂直距离； (2)求最低点与地面的垂直距离．（参考数据：，，） 【详解】（1）分别过点O作直线，作，H为垂足，分别过点B、作、，垂足分别为C、D．    ∵， 由题意，碓杆长16尺，． ∴ ∴， ∴点A距离地面2尺； （2）∵， ∴ ∴ ∴ 故点到地面之间的垂直距离约为0.28尺． 14．某校以中国传统节日端午节为契机，组织全体学生参加包粽子劳动体验活动，随机调查了部分学生，对他们每个人平均包一个粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表． 等级 时长（单位：分种） 人数 所占百分比 A B C D 根据图表信息，解答下列问题： (1)本次调查的学生总人数为___，表中x的值为___； (2)该校共有500名学生，请你估计等级为B的学生人数； (3)本次调查中，等级为A的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【详解】（1）解：本次调查的学生总人数为（人） ， 故答案为：，． （2）（人）， 答：等级为B的学生人数为200人． （3）画树状图，如图所示： 共有12种等可能结果，其中符合题意的有8种， 抽到一名男生和一名女生的概率为． 15．如图，内接于是的直径，连接，点是延长线上一点，是的切线，连接并延长交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【详解】（1）证明：∵是的切线， ∴， ∴．     ∵，， ∴，， ∴， ∴，即． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴ ， ∵， ∴．     ∵， ∴，，     ∴． 16．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论      ______ 按上表规律，完成下列问题： （）（    ）（    ）； （）______； (2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容． 【详解】（1）（）由规律可得，， 故答案为：，； （）由规律可得，， 故答案为：； （2）解：假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 故答案为：． 17．如图，是正方形的对角线上一点，过点作交于点，连接，以，为邻边作，连接，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若于点，求的值． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，． ， ， ． 四边形是平行四边形， ，， ，， ， 在与中， ， ； （2），， ， ， ． 四边形是平行四边形， ， ， ； （3）由（）知， ． ， ， ， ， ， ． 由(1)知， ， 设， 则 ， ， ， ． 18．已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点和分别在抛物线和上（与原点都不重合）． ①若，且，比较与的大小； ②当时，若是一个与无关的定值，求与的值． 【详解】（1）解：由题意得，将点代入得， ，即， 所以， 故所求抛物线的对称轴是直线． （2）解：①由（1）可知，当时，， 抛物线的解析式为． ∵， ∴ ， ∵抛物线过原点，且点A与原点不重合， ∴， ， 故． ②由题意知，，． ∵， ∴． 因为两条抛物线均过原点，且A，B与原点都不重合，所以，． 故，即． 于是． 依题意知，是与无关的定值． 则，解得． 经检验，当时，是一个与无关的定值，符合题意． 所以，． （考试时间：60分钟 试卷满分：90分） 解答题:(本大题共9题，第 15-18 每题8分，第 19-20 每题 10 分，第 21-22 题12 分第 23 题 14 分，共 90 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 19．先化简，再求值：，其中． 【详解】解： ， 当时，原式． 20．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)将向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，请画出； (2)如图，O为格点，以点O为中心，在网格中画出的中心对称图形． 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）解：如图：即为所求． 21．如图，某市近郊有一块长为，宽为的长方形荒地，政府准备在此建一个运动场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个长方形区域将铺设塑胶地面作为运动场地． (1)设通道的宽为，则_____；（用含x的代AI数式表示） (2)若塑胶运动场地总占地面积为，则通道的宽为多少米． 【详解】（1）解：设通道的宽为，则； （2）解：根据题意得 ， 整理得， 解得 (不符合题意，舍去)． 即通道的宽为． 22.随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，点O，C在同一水平线上，无人机从点O竖直上升到点A，在点A测得点C的俯角为，A，C两点的距离为． (1)求无人机从点O到点A的上升高度；（结果精确到） (2)若无人机从点A处继续竖直上升到达点B处，求B，C两点之间的距离．（结果精确到）（点O，A，B，C在同一平面内，参考数据：，） 【详解】（1）解：由题意得，且， ∴， 答：无人机从点O到点A的上升高度为； （2）解：在中，由勾股定理得： ， ∵， ∴在中，由勾股定理得：， 答：B，C两点之间的距离为． 23．技术已渗透至社会各领域，某校综合实践小组开展了对两种软件“模型”和“模型”进行使用满意度调查，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（分数用x表示，单位：分，满分100分，分为四个等级：：，：，：，：），下面给出了部分信息： 抽取的对“模型”的评分数据中等级的数据：89，89，88，87，86，86，84； 抽取的对“模型”的评分数据：100，99，98，98，97，97，97，95，89，88，87，87，86，86，85，84，78，72，69，68． 抽取的对“模型”、“模型”的评分统计表 品牌 平均数 中位数 众数 等级所占百分比 模型 88 98 模型 88 抽取的对“模型”评分的扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中________，________，________； (2)根据以上数据，你认为哪个软件更受用户的喜爱？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)此次测验中，有300人对“模型”进行评分，260人对“模型”进行评分，估计此次测验中对“模型”、“模型”两种软件评分为等级的共有多少人？ 【详解】（1）解：“模型”的评分数据中等级数据有7份， 占比为：，； “模型”的评分数据中等级数据份数为：， 等级数据按从大到小顺序排列为：89，89，88，87，86，86，84， 可知“模型”的评分数据中从大到小排序，第10，11位数据均为89， ； “模型”的评分数据中97出现了3次，出现的次数最多， ； 故答案为：15，89，97； （2）解：“模型”软件更受用户的喜爱， 理由如下： “模型”评分数据中A等级所占百分比比“模型”高；（答案不唯一） （3）解：（人） 答：估计此次测验中对“模型”、“模型”两种AI软件评分为等级的共有239人． 24．如图，是的直径，是的一条弦，连接 (1)求证： (2)连接,过点作交的延长线于点，延长交于点，若为的中点，求证：直线为的切线． 【详解】（1）证明：设交于点，连接， 由题可知， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明： 连接， ， ， 同理可得：,， ∵点H是CD的中点，点F是AC的中点， ， ， ， ， 为的直径，   ， ， ， ， ， ， 直线为的切线． 25．综合与实践 【项目主题】 某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地． 【项目准备】 （1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺． （2）密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为． （3）密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”． 观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3所示的拼接单元，则增加1个正六边形和2个正三角形，长度增加，从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为． 自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼接单元，则增加① 个正六边形和② 个正三角形，长度增加③ cm，从而y个这样的拼接单元拼成一行的长度为④ cm． 【项目分析】 （1）项目条件：场地为长、宽的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元． （2）基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用． （3）方式确定： （i）考虑成本因素，采用图1方式进行密铺； （ii）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按图1所示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束； （iii）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止． （4）方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案． 方案一：第一行沿着长度为6 m的墙自左向右拼接（如图5）． 根据规律，令，解得，所以每行可以先拼块拼接单元，即共用去个正六边形和个正三角形组件，由知，所拼长度为，剩余恰好还可以摆放一个正六边形组件（如图5所示的阴影正六边形）．最终需用个正六边形和个正三角形组件，由知，方案一每行的成本为元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行，则，解得，故需铺行．由知，方案一所需的总成本为元． 方案二：第一行沿着长度为的墙自左向右拼接． 类似于方案一的成本计算，令 方案二每行的成本为⑤ 元，总成本为⑥ 元． 【项目实施】 根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动（略）． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①________；②________；③________；④________；⑤________；⑥________． 【答案】；；；；； 【详解】解：项目主题： 观察图4可知，每增加一个图4所示的拼接单元，增加1个正六边形和6个正三角 形； 由正六边形和正三角形组件的边长均为，观察图4可得 增加的长度为3个边长，即 计算 y个拼接单元拼成一行的长度第一个拼接单元有一个正六边形左边的，每增加一个拼接单元长度增加，所以y个这样的拼接单元拼成一行的长度为 项目分析： 计算方案二每行可拼接的单元数量令， 移项可得，即， 两边同时除以，解得， 每行可以先拼块拼接单元． 计算方案二每行所需的正六边形和正三角形组件数量 拼块拼接单元， 共用去个正六边形和个正三角形组件． 由知，所拼长度为， 剩余，无法再摆放组件． 由知，方案二每行的成本为元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行， 则， 两边同时除以，， 故需铺17行． 计算方案二的总成本． 方案二所需的总成本为元． 项目实施： 两种方案比较可知：． 选方案二完成实践活动． 故答案为：；；；；；． 26．如图1，在 中，，（），是线段上的动点（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．过点作交的延长线于点． (1)若 ，求 的大小(用含的代数式表示)； (2)求证∶ ； (3)如图2，，，三点共线时，若，，求的长． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：延长至点，使，连接，，延长至点，使，连接， ∵，， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴，， ∴， 以为直径作， ∵，， ∴， ∴点，在上， 由（1）知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设， ∵，，三点共线，，， 由（2）知，， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或不合题意舍去， ∴的长为． 27．已知抛物线的顶点始终在直线上，且与直线的另一个交点为点，抛物线与轴的交点为点． (1)用含的代数式表示，并求出的最小值； (2)已知点在第一象限，过点作轴于点，过点作于点，连接，，． ①的长是否为定值？请说明理由； ②若的面积是的面积的2倍，求的值． 【详解】（1）解： ， 顶点的坐标为， 点始终在直线上， ，， 当时，取得最小值，最小值为； （2）①的长为定值，理由如下： 由（1）知， 令得， ，． 令，， ，， 或， 或， 把代入，得， 点的坐标为， 轴，， 点的坐标为， ， 的长为定值； ②如图，延长交轴于点，则点的坐标为， ，，，， ，且， ， ， 而，， ，解得或（不合题意，舍去）， 的值为2． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $