精品解析：广东梅州市外语实验学校2025-2026学年九年级下学期数学 3月学情自测试卷

梅州市外语实验学校2025-2026年第二学期九年级3月 基础过关诊断试卷数学 全卷共2页 满分为120分 用时为120分钟 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由互为倒数的两数之积为1，即可求解． 【详解】解：∵， ∴的倒数是. 故选C 2. 星辰大海，永不止步．2025年5月29日，中国天问二号行星际探测器搭载长征三号乙Y110运载火箭在西昌卫星发射中心成功发射升空，主要任务是对小行星进行探测、取样并返回地球．已知天问二号从地球出发到抵达小行星的总航程约为360000000千米．将数据360000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：将数据360000000用科学记数法表示为； 故选：B． 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的相关运算法则，分别根据同底数幂乘法、幂的乘方、同底数幂除法、积的乘方的法则计算各选项，判断正误即可． 【详解】解：选项A：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，A错误． 选项B：∵幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∴，B错误． 选项C：∵同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴，C错误． 选项D：∵积的乘方，需将积中每个因式分别乘方，再把所得幂相乘， ∴，D正确． 4. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件． 根据分式有意义的条件（分母不为零），即可得的取值范围． 【详解】解：∵分式 有意义， ∴， ∴， ∴的取值范围是． 故选：D． 5. 若点M的坐标为，点N的坐标为，轴，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等，根据该性质列方程即可求解． 【详解】解：轴， 点和点的横坐标相等， 点的横坐标为，点N的横坐标为， ，解得． 6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（   ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式， 根据题意可知，再求出解集，判断答案即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴符合取值范围． 故选：A． 7. 将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的函数表达式为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移规则即可求解． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的函数表达式为． 8. 已知点，点，点在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是比较反比例函数值或自变量的大小，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质． 将点，点，点分别代入反比例函数，求出，，的值，再比较大小即可． 【详解】解：点，点，点在反比例函数的图象上， ，，， ， ． 故选：． 9. 一副直角三角板如图放置，其中，，，点F在CB的延长线上若，则等于（ ） A. 35° B. 25° C. 30° D. 15° 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠BDE=45°，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得：∠EDF=30°，∠ABC=45°， ∵DE∥CB， ∴∠BDE=∠ABC=45°， ∴∠BDF=45°-30°=15°． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质得出∠BDE的度数是解题关键． 10. 已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，掌握函数各项系数与函数图象之间的关系是解题的关键． 首先根据二次函数图象得到，再根据反比例函数与一次函数的图象与系数的关系，即可求解． 【详解】解：二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴，且对称轴在y轴的右侧， ， ， 反比例函数的图象在第二、四象限；一次函数的图象经过第一、三、四象限， 选项A符合题目要求． 故选：A． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式．首先找出公因式，进而提取得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 点到轴的距离是__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，点到y轴的距离是点的横坐标的绝对值，点到x轴的距离是点的纵坐标的绝对值．根据点到y轴的距离是点的横坐标的绝对值，可得答案． 【详解】解：点到轴的距离是， 故答案为：． 13. 如图，点A是反比例函数图象上的一点，垂直于x轴，垂足为B．的面积为8，若点也在此函数的图象上，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的几何意义．由的面积可得的值，再把代入解析式即可得到答案． 【详解】解：∵的面积为8， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点也在此函数的图象上， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，长方形纸片，将这张长方形纸片翻折，点落到边点处，点落到点处，折痕交边于点E，F，若，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质以及平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点E作于点P，则，由折叠的性质以及平行线的性质可得，从而得到，在中，利用勾股定理可得的长，然后在中，求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点E作于点P，则， 根据题意得：，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∴． 故答案为： 15. 如图，，，，是分别以，，，为直角顶点且一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边中点，，均在反比例函数的图象上，则的值为____________________． 【答案】 【解析】 【分析】先分析第一个等腰直角三角形，设直角顶点坐标，利用中点坐标公式得到斜边中点坐标，代入反比例函数求出第一个中点的纵坐标； 用相同方法求出第二个、第三个中点的纵坐标，观察并归纳出第个中点纵坐标的表达式；将代入表达式，计算最终结果． 【详解】解： 设的直角顶点的坐标为，则的坐标为， 的坐标为， 又在反比例函数的图象上， ，即，解得， ． 的坐标为，设的直角顶点的坐标为， 是等腰直角三角形， ，则的坐标为， 是斜边的中点， 的坐标为， 又在反比例函数的图象上， ，解得， ． 同理，可求得第三个中点的纵坐标， 由此归纳得出第个中点的纵坐标为：． 当时，． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】分别根据绝对值、零指数幂的运算法则及负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查绝对值、零指数幂的运算法则、负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值，熟知各个运算法则是解答此题的关键． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，涉及分式混合运算、因式分解、代数式求值等知识，熟记分式混合运算法则是解决问题的关键． 先对括号内的式子通分，再对分式分子分母因式分解，然后将除法转化为乘法、约分即可得到化简结果，最后将代入化简结果计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 花钿（）是古时汉族妇女脸上用金翠珠宝制成的一种花形首饰，在唐代比较流行．王欣和张敏都是汉服妆造爱好者，两人买了四种不同的花钿（如图所示），由于每个花钿都很漂亮，一时不知道该选哪个来装扮，因此用抽卡片的方式来决定，将这四种花钿分别画在四张背面完全相同的不透明卡片上（卡片大小、形状、质地均相同），将背面朝上洗匀，王欣先从这四张卡片中随机选择一张不放回． （1）王欣选中的花钿恰好是的概率是______； （2）张敏将剩下的三张卡片洗匀后，再从这三张卡片中随机选择一张，请用列表或画树状图的方法求两人选择的花钿恰好是和的概率．（不分先后顺序） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）直接利用概率公式进行计算即可； （）画出树状图，利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵一共有、、、四种花钿， ∴选中的花钿恰好是的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意画树状图如下： 共有种等可能的结果，恰好是和的结果数为种， ∴两人选择的花钿恰好是和的概率． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分， 19. 如图，的顶点分别为，，． （1）作出关于轴对称的图形； （2）写出点，，的坐标； （3）在轴上找一点并写出坐标，使得最小（画出图形，标出点的位置）． 【答案】（1）见解析 （2），， （3），图见解析 【解析】 【分析】（1）作出各顶点关于轴的对称点，再顺次连接即可； （2）根据，，在平面直角坐标系中的位置确定坐标即可； （3），因此连接交于x轴的点即为点． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：由（1）知，，，； 【小问3详解】 解：如图，连接交于x轴的点即为点P． 20. 解锁新能源汽车，驶向未来的科技引擎．在科技飞速发展的今天，新能源汽车如雨后春笋般出现在大街小巷，其具有能耗成本低，驾驶体验舒适，环保性能良好等优点，深受广大消费者的喜爱．某品牌汽车销售公司8月共售出16台插混式汽车和10台纯电式汽车，销售额为392万元，9月共售出20台插混式汽车和15台纯电式汽车，销售额为540万元． （1）求插混式汽车和纯电式汽车每台的售价各是多少万元？ （2）受惠民政策影响，该汽车厂家为让利消费者，对所有车辆每台补贴2万元，销售公司在“十一”黄金周共售出两种新能源汽车25辆，销售额不少于330万元，求该公司在黄金周至少售出多少台纯电式汽车？ 【答案】（1）插混式汽车每台售价12万元，纯电式汽车每台20万元 （2）10台 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，解题的关键是理解题意，正确列方程． （1）设插混式汽车每台售价万元，纯电式汽车每台的售价万元，根据题意列方程组求解即可； （2）设该公司在黄金周售出a台纯电式汽车，根据题意列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设插混式汽车每台售价万元，纯电式汽车每台的售价万元， 由题意得，， 解得． 答：插混式汽车每台售价12万元，纯电式汽车每台20万元． 【小问2详解】 解：设该公司在黄金周售出a台纯电式汽车， 由题意得，， 解得． 答：该公司在黄金周至少售出10台纯电式汽车． 21. 如图所示，某大楼的顶部竖有一块广告牌点C、D、E在同一直线上，且，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，已知山坡的坡度（即），米，米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米，参考数据：，，，，） （1）求点B距水平地面的高度； （2）若市政规定广告牌的高度不得大于7米，请问该公司的广告牌是否符合要求，并说明理由． 【答案】（1）点B距水平地面的高度为5米 （2） 该公司的广告牌符合要求， 理由如下： ，，， ∴四边形是矩形； 米，， 在中，（米）． ∴米， ∵， ∴米， ∴米， 在中，，米， ∴（米）， ∴， ∴符合要求． 【解析】 【分析】（1）过点B作，，垂足分别为M、N，利用特殊角的三角函数值求解即可； （2）根据仰角，俯角的意义，解直角三角形即可． 【小问1详解】 解：如图，过点B作，，垂足分别为M、N， 由题意可知，，，，米，米． ∵， ∴， ∴（米）， 答：点B距水平地面的高度为5米． 【小问2详解】 略 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 为迎接我区文旅产业发展大会，九曲黄河万里情景区研发一款纪念品，每件成本30元，投放景区内进行销售，销售一段时间发现，每天的销售量（件）与销售单价（元/件）满足一次函数关系，部分图象如图． （1）求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若经销商计划销售该纪念品每日获利800元，且尽可能让利于顾客，求该纪念品的销售单价应定为多少元？ （3）当销售单价为多少元时，每天的获利最大，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）40 （3）当销售单价为55元时，每天的获利最大，最大利润是1250元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和解析式，解一元二次方程，二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）设销售单价应定为元，根据题意，列出一元二次方程进行求解即可； （3）令销售利润为，则，然后根据二次函数图象和性质进行求最值即可． 【小问1详解】 解：设与的函数关系式为， 将和代入解析式得， ， 解得 ∴与的函数关系式为； 【小问2详解】 解：设销售单价应定为元，根据题意得， ， 整理得， 解得或， ∵尽可能让利于顾客， ∴取， ∴销售单价应定为40元； 【小问3详解】 解：令销售利润为，则， ∵， ∴抛物线顶点为最高点， ∴顶点横坐标为， 顶点纵坐标为， ∴当销售单价为55元时，每天的获利最大，最大利润是1250元． 23. 如图，抛物线过点、点，交y轴于点C． （1）求b，c的值． （2）点是抛物线上的动点 ①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值； ②过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，问：是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）①当时，的面积由最大值，最大值为； ②当点的坐标为或时，为等腰直角三角形 【解析】 【分析】（1）将将、代入抛物线即可求解； （2）①由（1）可知：，得，可求得的解析式为，过点P作轴，交于点E，交轴于点，易得，根据的面积，可得的面积，即可求解； ②由题意可知抛物线的对称轴为，则，分两种情况：当点在对称轴左侧时，即时，当点在对称轴右侧时，即时，分别进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：将、代入抛物线中， 可得：，解得：， 即：，； 【小问2详解】 ①由（1）可知：， 当时，，即， 设的解析式为：， 将，代入中， 可得，解得：， ∴的解析式为：， 过点P作轴，交于点E，交轴于点， ∵，则， ∴点E的横坐标也为，则纵坐标为， ∴， 的面积 ， ∵， ∴当时，的面积有最大值，最大值为； ②存在，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形． 理由如下：由①可知， 由题意可知抛物线的对称轴为直线， ∵轴， ∴，，则， 当点在对称轴左侧时，即时， ，当时，为等腰直角三角形， 即：，整理得：， 解得：（，不符合题意，舍去） 此时，即点； 当点在对称轴右侧时，即时， ，当时，为等腰直角三角形， 即：，整理得：， 解得：（，不符合题意，舍去） 此时：，即点； 综上所述，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形． 【点睛】本题二次函数综合题，考查了利用待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及图象上的点的特点，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是表示出点的坐标，进行分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 梅州市外语实验学校2025-2026年第二学期九年级3月 基础过关诊断试卷数学 全卷共2页 满分为120分 用时为120分钟 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 星辰大海，永不止步．2025年5月29日，中国天问二号行星际探测器搭载长征三号乙Y110运载火箭在西昌卫星发射中心成功发射升空，主要任务是对小行星进行探测、取样并返回地球．已知天问二号从地球出发到抵达小行星的总航程约为360000000千米．将数据360000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若点M的坐标为，点N的坐标为，轴，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（   ） A. B. C. 2 D. 3 7. 将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的函数表达式为（    ） A. B. C. D. 8. 已知点，点，点在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 一副直角三角板如图放置，其中，，，点F在CB的延长线上若，则等于（ ） A. 35° B. 25° C. 30° D. 15° 10. 已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：______． 12. 点到轴的距离是__________ 13. 如图，点A是反比例函数图象上的一点，垂直于x轴，垂足为B．的面积为8，若点也在此函数的图象上，则________． 14. 如图，长方形纸片，将这张长方形纸片翻折，点落到边点处，点落到点处，折痕交边于点E，F，若，则的长为__________． 15. 如图，，，，是分别以，，，为直角顶点且一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边中点，，均在反比例函数的图象上，则的值为____________________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 花钿（）是古时汉族妇女脸上用金翠珠宝制成的一种花形首饰，在唐代比较流行．王欣和张敏都是汉服妆造爱好者，两人买了四种不同的花钿（如图所示），由于每个花钿都很漂亮，一时不知道该选哪个来装扮，因此用抽卡片的方式来决定，将这四种花钿分别画在四张背面完全相同的不透明卡片上（卡片大小、形状、质地均相同），将背面朝上洗匀，王欣先从这四张卡片中随机选择一张不放回． （1）王欣选中的花钿恰好是的概率是______； （2）张敏将剩下的三张卡片洗匀后，再从这三张卡片中随机选择一张，请用列表或画树状图的方法求两人选择的花钿恰好是和的概率．（不分先后顺序） 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分， 19. 如图，的顶点分别为，，． （1）作出关于轴对称的图形； （2）写出点，，的坐标； （3）在轴上找一点并写出坐标，使得最小（画出图形，标出点的位置）． 20. 解锁新能源汽车，驶向未来的科技引擎．在科技飞速发展的今天，新能源汽车如雨后春笋般出现在大街小巷，其具有能耗成本低，驾驶体验舒适，环保性能良好等优点，深受广大消费者的喜爱．某品牌汽车销售公司8月共售出16台插混式汽车和10台纯电式汽车，销售额为392万元，9月共售出20台插混式汽车和15台纯电式汽车，销售额为540万元． （1）求插混式汽车和纯电式汽车每台的售价各是多少万元？ （2）受惠民政策影响，该汽车厂家为让利消费者，对所有车辆每台补贴2万元，销售公司在“十一”黄金周共售出两种新能源汽车25辆，销售额不少于330万元，求该公司在黄金周至少售出多少台纯电式汽车？ 21. 如图所示，某大楼的顶部竖有一块广告牌点C、D、E在同一直线上，且，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，已知山坡的坡度（即），米，米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米，参考数据：，，，，） （1）求点B距水平地面的高度； （2）若市政规定广告牌的高度不得大于7米，请问该公司的广告牌是否符合要求，并说明理由． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 为迎接我区文旅产业发展大会，九曲黄河万里情景区研发一款纪念品，每件成本30元，投放景区内进行销售，销售一段时间发现，每天的销售量（件）与销售单价（元/件）满足一次函数关系，部分图象如图． （1）求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若经销商计划销售该纪念品每日获利800元，且尽可能让利于顾客，求该纪念品的销售单价应定为多少元？ （3）当销售单价为多少元时，每天的获利最大，最大利润是多少？ 23. 如图，抛物线过点、点，交y轴于点C． （1）求b，c的值． （2）点是抛物线上的动点 ①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值； ②过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，问：是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $