精品解析：广东省广州市第八十九中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年广东省广州八十九中九年级（上）期中数学试卷 一、单选题（共8个小题，每小题3分，共24分） 1. 下列音符中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的顶点坐标是( ) A. B. C. D. 3. 若关于的方程有一个根为，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程，配方正确的是（） A. B. C. D. 5. 将二次函数的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的函数图象的解析式为（　　） A. B. C. D. 6. 若关于x的一元二次方程kx2-4x-1＝0有实数根，则k的取值范围为 (　　) A. k≥-4 B. k≠0 C. k≥-4且k≠0 D. k>-4且k≠0 7. 要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，则应邀请（ ）个球队参加比赛． A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 点P1（﹣1，），P2（3，），P3（5，）均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共2个小题，每小题4分，共8分） 9. 如图，O是正内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论，正确的是（ ） A. B. 点O与的距离为4 C. D. 10. 二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. （m为任意实数） 三、填空题（共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若、是方程的两根，则____________． 12. 点关于原点对称的点的坐标是__________． 13. 一个直角三角形的两条直角边的长相差，面积是，设较短的直角边的长为，根据题意．可列方程为______________． 14. 若二次函数的对称轴为直线，则______． 15. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集为______． 16. 已知：如图，在正方形内取一点P，连接、、，将绕点A顺时针旋转90°得，连．若，，．下列结论：①；②点B到直线的距离为；③；④．其中正确结论的序号是________． 四、解答题（共9小题，共70分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）． 17. 解方程：． 18. 如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，其中D，E分别是A，B的对应点，且点E在斜边上，求的度数． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上． （1）画出与关于原点O成中心对称的图形； （2）画出绕点O顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标． 20. 如图，某人以一定的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：，回答下列问题： （1）小球最高离地面多少米？ （2）小球从飞出到落地需要多少时间？ 21. 二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，经过（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）． （1）求二次函数的解析式； （2）不等式ax2+bx+c＞0的解集为　 　； （3）方程ax2+bx+c＝m有两个实数根，m的取值范围为　 　． 22. 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为的篱笆围成，已知墙长（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为，矩形苗圃园的面积为． （1）写出y与x的函数关系式； （2）若苗圃园的面积为，求x的值； （3）当x取何值时，这个苗圃园的面积最大，最大面积是多少？ 23. 如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P是直线下方抛物线上的动点，连接和，当的面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值． 24. 如图，正方形的边长为4，P为边上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，得到线段． （1）如图1，当时，求点Q到直线的距离； （2）如图2，连接，取的中点M，连接．求证：； （3）连接，，当为等腰三角形时，求的长． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线（）． （1）求该抛物线的顶点坐标（用含有a的代数式表示）； （2）若和是抛物线上任意两点，且，当时，求Q的值； （3）已知A，B两点的坐标分别为．若二次函数的图象与线段只有一个公共点，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省广州八十九中九年级（上）期中数学试卷 一、单选题（共8个小题，每小题3分，共24分） 1. 下列音符中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形的定义，一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心，根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】A、该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、该图形是中心对称图形，故此选项符合题意； D、该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 二次函数的顶点坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可． 【详解】解：∵二次函数顶点式y=a（x-h）2+k的顶点坐标为(h，k)， ∴的顶点坐标是（-3，7）， 故选：A． 【点睛】此题考查了二次函数的顶点式，掌握二次函数顶点式的解析式形式y=a（x-h）2+k是本题的解题关键． 3. 若关于的方程有一个根为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把一个根为代入方程，即可求解． 【详解】解：∵关于的方程有一个根为， ∴，解得，， 故选：． 【点睛】本题主要考查运用一元二次方程的根求参数，掌握一元二次方程根据的代入计算求参数的方法是解题的关键． 4. 用配方法解方程，配方正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把常数项-4移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-2的一半的平方． 【详解】解：把方程x2-2x-4=0的常数项移到等号的右边，得到x2-2x=4， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2-2x+1=4+1， 配方得（x-1）2=5． 故选C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程--配方法．配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 5. 将二次函数的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的函数图象的解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象平移的规律，即可求解． 【详解】解：将二次函数的图象先向右平移3个单位所得函数的解析式为：； 再将二次函数的图象先向下平移2个单位所得函数的解析式为：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象的平移，熟练掌握二次函数的图象平移的规律“左加右减”，“上加下减”是解题的关键． 6. 若关于x的一元二次方程kx2-4x-1＝0有实数根，则k的取值范围为 (　　) A. k≥-4 B. k≠0 C. k≥-4且k≠0 D. k>-4且k≠0 【答案】C 【解析】 【分析】关于x的一元二次方程kx2-4x-1＝0有实数根，则，且k≠0，求出k的取值范围即可. 【详解】关于x的一元二次方程kx2-4x-1＝0有实数根， 则，且k≠0， ∴， 解得：k≥-4且k≠0， 故选C. 【点睛】本题是对一元二次方程的考查，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解决本题的关键. 7. 要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，则应邀请（ ）个球队参加比赛． A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】设应邀请个球队参加比赛，则总共需安排场比赛，根据计划安排28场比赛建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设应邀请个球队参加比赛，则总共需安排场比赛， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 8. 点P1（﹣1，），P2（3，），P3（5，）均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵， ∴对称轴为x=1，P2（3，），P3（5，）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小， ∵3＜5， ∴， 根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，）与（3，）关于对称轴对称， 故， 故选：D． 二、多选题（共2个小题，每小题4分，共8分） 9. 如图，O是正内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论，正确的是（ ） A. B. 点O与的距离为4 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据证明即可；连接，根据等边三角形的性质得出即可；证明，得出为直角三角形，根据是等边三角形，得出，最后求出结果即可；过点B作于点D，求出，根据求出结果即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ，， ∴， 由旋转得，，， 是等边三角形，， ∴， ∴，故选项A正确，符合题意； 连接， 是等边三角形， ， ∴点O与的距离为4， 故选项B正确，符合题意； ∵， ， ， ∴为直角三角形， ， 是等边三角形， ， ∴， 故选项C正确，符合题意； 过点B作于点D， ， ， 故D选项不正确，不符合题意． 10. 二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. （m为任意实数） 【答案】BC 【解析】 【分析】根据二次函数图象确定，，根据顶点坐标确定对称轴，从而得出，可判断A项；根据二次函数图象与轴的交点可判断B项；根据抛物线的对称性可得当时，，可判断C项；根据是最大值，可判断D项． 【详解】解：由二次函数图象可知：抛物线开口向下，交于y轴的正半轴于一点， ，， ∵顶点坐标为， ∴抛物线对称轴为：， ， ，故A项错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ，故B项正确； 由二次函数图象可知：当时，， ∵抛物线对称轴为：， ∴当时，， ∴， ， ，故C项正确， 抛物线开口向下，对称轴为：， 当时，是最大值， m为任意实数， ， ，故D项错误． 三、填空题（共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若、是方程的两根，则____________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据根与系数关系定理解答即可． 本题考查了一元二次方程的根与系数关系定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：是方程的两个根， 则， 故答案为：2． 12. 点关于原点对称的点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，掌握关于原点对称点坐标的性质是解题关键．根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数． 【详解】点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 13. 一个直角三角形的两条直角边的长相差，面积是，设较短的直角边的长为，根据题意．可列方程为______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形的面积公式列方程即可． 【详解】解：∵两条直角边的长相差，且较短的直角边的长为， ∴较长的直角边的长为， ∵面积是， ∴可得． 14. 若二次函数的对称轴为直线，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的对称轴方程，掌握二次函数的对称轴方程是解题关键，将已知的值与对称轴代入公式即可求解的值。 【详解】解：在二次函数中，，已知其对称轴为直线， 根据二次函数的对称轴方程为直线， 可得：即，解得． 故答案为： 15. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集为______． 【答案】或 【解析】 【分析】利用图象找到抛物线在直线上方时的取值范围，即可得解． 【详解】解：由图可知：当或时，抛物线在直线上方， 即不等式的解集是：或． 16. 已知：如图，在正方形内取一点P，连接、、，将绕点A顺时针旋转90°得，连．若，，．下列结论：①；②点B到直线的距离为；③；④．其中正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】①根据旋转的性质可得△AEP是等腰直角三角形，则∠AED=45°，所以∠BEP=135°-45°=90°，可作判断； ②作垂线段BF，根据等腰直角△BEF的性质可得BF的长； ③连接BD，求出△ABD的面积，然后减去△BDP的面积即可； ④根据勾股定理可得AB2，从而得正方形的面积． 【详解】解：①∵将△PDA绕点A顺时针旋转90°得△EBA， ∴∠EAP=90°，AE=AP，∠APD=∠AEB， ∴△AEP是等腰直角三角形， ∴∠AED=45°， ∴∠BEP=∠AEB-∠AED=∠APD-∠AED=135°-45°=90°， ∴EB⊥EP； 故①正确； ②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F， ∵AE=AP=2，∠EAP=90°， ∴∠AEP=∠APE=45°， 又∵EB⊥ED，BF⊥AF， ∴∠FEB=∠FBE=45°， 又∵BE=PD=2 ∴，即点B到直线AE的距离为； 故②正确； ④如图，连接BD，在Rt△AEP中， ∵AE=AP=2， ∴EP=2， Rt△ABF中，， ∴S正方形ABCD=AB2=16+4， 故④正确； ③S△ABP+S△ADP=S△ABD-S△BDP=S正方形ABCD-×DP×BE=（16+4）-×2×2=2+2． 故③不正确． 所以本题正确的结论有：①②④； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式的运用、勾股定理的运用等知识，熟记性质并仔细分析图形，理清图中三角形与角的关系是解题的关键． 四、解答题（共9小题，共70分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）． 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 利用因式分解法解方程即可． 【详解】解： 或 解得，． 18. 如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，其中D，E分别是A，B的对应点，且点E在斜边上，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理得，由旋转性质得，进而可得． 【详解】解：，， ， 由旋转得，， ， ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上． （1）画出与关于原点O成中心对称的图形； （2）画出绕点O顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标． 【答案】（1）如图，即为所求． （2） 如图，即为所求；． ． 【解析】 【分析】本题考查作图﹣旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，某人以一定的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：，回答下列问题： （1）小球最高离地面多少米？ （2）小球从飞出到落地需要多少时间？ 【答案】（1）小球飞行的最大高度是； （2）小球从飞出到落地需要． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，把函数解析式化为顶点式是解题关键． （1）把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最值； （2）当时，求得，即可得到小球从飞出到落地需要的时间 【小问1详解】 解：， ∵， ∴当时，h有最大值，最大值为20， ∴小球飞行的最大高度是； 【小问2详解】 解：当时，得， 解得：或0， 答：小球从飞出到落地需要． 21. 二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，经过（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）． （1）求二次函数的解析式； （2）不等式ax2+bx+c＞0的解集为　 　； （3）方程ax2+bx+c＝m有两个实数根，m的取值范围为　 　． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）x＜﹣1或x＞3；（3）m≥﹣4． 【解析】 【分析】（1）把（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c解方程组即可得到结论； （2）根据图象即可得到结论； （3）设y＝ax2+bx+c和y＝m，方程ax2+bx+c＝m有两个实数根，即二次函数图象与直线y＝m有两个交点或一个交点，结合一元二次方程根的判别式即可求出m的取值范围． 【详解】解：（1）把（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c得， 解得：， ∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）由函数图象可知抛物线和x轴的两个交点横坐标为﹣1，3， 所以不等式ax2+bx+c＞0的解集为x＜﹣1或x＞3； （3）设y＝ax2+bx+c和y＝m， 方程ax2+bx+c＝m有两个实数根，则二次函数图象与直线y＝m有两个交点或一个交点， 即有两个实数根， ∴，即， 解得m≥﹣4． 【点睛】本题考查二次函数与不等式，抛物线与x轴的交点问题，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此，同学们要引起重视． 22. 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为的篱笆围成，已知墙长（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为，矩形苗圃园的面积为． （1）写出y与x的函数关系式； （2）若苗圃园的面积为，求x的值； （3）当x取何值时，这个苗圃园的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】（1） （2）17 （3）当x取11时，这个苗圃园的面积最大，最大面积是． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一元二次方程的实际应用．理解题意，找出数量关系，列出等式和不等式是解题关键． （1）根据题意可求出，根据长不能为0，且小于等于可求出x的取值范围，再根据矩形的面积公式即可求出y与x的函数关系式； （2）将代入（1）所求函数关系式求解即可； （3）将（1）所求函数关系式改为顶点式，结合x的取值范围和二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：由题意可求出， ∵，即， ∴x的取值范围是． 由矩形的面积公式可知，即， ∴y与x的函数关系式为； 【小问2详解】 解：若苗圃园的面积为，即， ∴， 解得：（舍）， ∴x的值为17； 【小问3详解】 解：， ∵，且， ∴当时，y有最大值，最大值为， ∴当x取11时，这个苗圃园的面积最大，最大面积是． 23. 如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P是直线下方抛物线上的动点，连接和，当的面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值． 【答案】（1） （2）；面积的最大值为4 【解析】 【分析】考查二次函数解析式（交点式）、一次函数解析式、三角形面积最值（铅垂高法）；核心技巧是用铅垂高表示面积，转化为二次函数求最值；易错点是铅垂高计算时符号错误，或配方时符号出错． （1）利用交点式设抛物线，代入C点求 a；（2）作铅垂线，将面积拆分为两个小三角形面积之和，转化为二次函数求最大值． 【小问1详解】 由题意得：， 则，则， 则抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 由抛物线解析式得，又． 设直线的解析式为，将、代入： ​ 将代入，得． 故直线的解析式为：． 过点P作轴交于点H， 设点，则点， 则， 则， 将代入面积公式： 即的面积的最大值为4，此时，则点 24. 如图，正方形的边长为4，P为边上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，得到线段． （1）如图1，当时，求点Q到直线的距离； （2）如图2，连接，取的中点M，连接．求证：； （3）连接，，当为等腰三角形时，求的长． 【答案】（1）1 （2） 证明：过Q作于H，连接， ∵正方形， ∴，， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵M是的中点 ∴； （3）2或或4 【解析】 【分析】（1）过Q作于H，利用证明；即可求解； （2）过Q作于H，连接，由（1）知：，则，进而得出，可求，，然后根据直角三角形斜边中线的性质即可得证； （3）分，，三种情况讨论即可． 【小问1详解】 解∶如图，过Q作于H， ∵线段绕点逆时针旋转，得到线段， ∴，， ∵正方形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴点到直线的距离为1； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当时，过Q作于H，于M， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 由（1）知：， ∴； ②当时，过Q作于H，于M， ∵， ∴， ∴， 设，则 由①知四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 解得或， 当时，B、P重合，A、Q重合，不符合题意，舍去， 当时，A、P重合，如图， 符合题意， ∴； ③当时，过Q作于H，于M， 由②知：， 在中，， ∴， ∴， 又， ∴， 综上，当的值为2或或4时，为等腰三角形． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线（）． （1）求该抛物线的顶点坐标（用含有a的代数式表示）； （2）若和是抛物线上任意两点，且，当时，求Q的值； （3）已知A，B两点的坐标分别为．若二次函数的图象与线段只有一个公共点，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，完全平方公式，二次函数与线段综合．熟练掌握二次函数的图象与性质，完全平方公式，二次函数与线段综合并数形结合是解题的关键． （1）由，可求顶点坐标； （2）由（1）可知抛物线的对称轴为直线．由，可知和关于对称轴直线对称，则，即，根据，代值求解即可． （3）由题意知，抛物线的顶点是，由，可知抛物线开口向下，①若顶点在线段上时，如图1，则，计算求解即可；②若顶点在直线上方，即时，如图2，则，计算求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由（1）可知抛物线的对称轴为直线． ∵， ∴和关于对称轴直线对称， ∴，即， ∴， ∴Q的值为． 【小问3详解】 解：由题意知，抛物线的顶点是， ∵， ∴抛物线开口向下， ①若顶点在线段上时，如图1， ∴， 解得； ②若顶点在直线上方，即时，如图2， 二次函数的图象与线段只有一个公共点，，， ∴， 解得． 综上所述，二次函数的图象与线段只有一个公共点，的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $