第三单元《长方体和正方体》应用题题型分类（专项训练）-2025-2026学年五年级下册数学人教版

第三单元《长方体和正方体》应用题题型分类 一、溢水问题： 1、没装满水的情况： 一块铁块的体积为500立方厘米，完全浸没在装有水的正方体容器中，该容器的棱长为10厘米。 （1） 原来水深4厘米，现在水深几厘米？ （2） 原来水深7厘米，溢出多少立方厘米的水？ 2、装满水的情况： （1） 在一个长10m、宽4m、高2m的水池中注满水，然后把两条长3m、宽2m、高5m的石柱立着放入池中，水池溢出的水的体积是多少？ （2） 在一个长10米，宽6米，高2.5米的水池中注满水，然后把两根长3米，宽2米，高5米的石柱立着放入池中，水池溢出的水的体积是多少？ 二、求不规则物体体积问题： 1.一个长方体容器，从里面量，长3dm，宽2dm，高2dm。向容器中倒入6L水，再把一个梨全部浸入水中，这时测得容器内的水面的高度是1.35dm。这个梨的体积是多少立方分米？ 2.在一个长50cm、宽30cm、高40cm的长方体鱼缸中盛有3.5L水，放入几条金鱼后，水面上升了2cm。这几条金鱼的体积一共是多少立方分米？ 三、乌鸦喝水问题： 1. 当水面距离瓶口2cm时，乌鸦就能喝到水了。它至少要衔多少立方厘米的小石头放进瓶里才能喝到水呢？ 现在的水面高度是容器高度的一半。 2. 器皿里原有0.36升水，乌鸦含了多少cm3的石子放进器皿就能喝到水？ 四、求水升高高度问题： 1. 把60L水倒入一个棱长为5dm的正方体容器里，水的高度是多少分米？ 2. 一个长方体玻璃鱼缸，底面是一个周长为60cm的正方形。现向鱼缸内倒入9L，鱼缸内的水高多少cm？ 3. 一个长方体容器，从里面量长是40厘米，宽是25厘米，水深15厘米．现在要放进一块棱长是10厘米的正方体铁块，铁块完全浸没在水中且水没有溢出，容器里的水面会升高多少厘米？ 五、刷漆/贴墙纸/贴板砖问题： 1.一间长方体仓库的长为8m，宽为6m，高为3.5m，仓库装有一扇门，门的宽为1m，高为2m。现要给仓库的屋顶和四壁刷上涂料，刷涂料的面积是多少？ 2. 一间教室长9米，宽7米，高3米.要粉刷教室的屋顶和四面墙壁(除去门窗和黑板的面积29.6平方米)，粉刷面积是多少平方米？如果平均每平方米用0.2千克涂料，至少需要多少千克涂料？ 3.一间教室长12m，宽8m，高4米，这间教室的占地面积是多少平方米？现在要用涂料粉刷它的四周和顶面，门窗和黑板的面积是32m2,粉刷涂料的面积有多大？ 4. 一间教室长8m，宽6m，高3m，要给教室地面铺上地板砖，已知地板砖长宽均为40cm，共需要多少块地板砖？ 六、管道铁皮问题： 1. 一种通风管，每段的形状如下图。如果制作这样的100段，那么一共需要多少平方米的铁皮？ 2. 如图是一根3m、横截面积是边长为8cm的正方形的管道的示意图，若要制作5根这样的管道，共需要多少平方分米的铁皮？ 3. 楼房外壁用于流水的水管是长方体．如果每节长15分米，横截面是一个长方形，长1分米，宽0.6分米．做一节水管，至少要用铁皮多少平方分米？ 七、切割问题： 1. 在一块长为48cm、宽为28cm的长方形铁皮的四个角上各剪去一个边长为4cm的正方形，然后将它焊成无盖的盒子。这个盒子的表面积是多少？ 2. 在如图所示的长方形铁皮四角分别剪去一个边长为的正方形后，正好可以折成一个无盖的铁盒。这个铁盒的表面积是多少？ 八、表面积增加、减少问题： 1. 一个长方体的长为10cm，宽为8cm，高为5cm，把它截成两个相同的长方体后，表面积最少增加多少平方厘米？ 2. 如右图所示的长方体长5dm，宽3dm，高2dm，现从一个角挖去一个棱长为1dm的小正方体，那么剩下部分的表面积是多少平方分米？ 3. （1）把图中的长方体沿虚线锯开正好可以变成三个正方体，三个正方体的表面积之和比原来长方体的表面积多（ ）。 （2）三个棱长为3分米的正方体木块胶合成一个长方体后，表面积减少了（　　）平方分米． （3）一个长方体木块长6厘米，宽4厘米，高2厘米．如果把它切成两个相同的小长方体，表面积比原来最少增加　 　平方厘米，最多增加　 　平方厘米． 九、熔铸问题： 1.有一个棱长是8dm的正方体钢锭，要把它熔铸成一个高4dm的长方体钢材。这个长方体钢材的底面积是多少？ 2. 把一块长16厘米、宽4厘米、高4厘米的长方体铁块熔铸成一个正方体铁块，这个正方体铁块的体积是多少立方厘米？ 十、求原体积/棱长和问题： 1. 一块长方体木料，长为2m，沿垂直于长的方向截成两段后，表面积比原来增加了18dm2。这块木料原来的体积是多少dm3？ 2.如图所示，将一个长方体平均截成3段，每段长是2米，表面积增加了20平方米。求原来长方体的体积是多少立方米？ 3. 把一个长方体切割成4份后，每份都是一个棱长为的正方体。原来的长方体 的棱长和可能是多少？ 十一、求特殊长方体的体积： 1. 一个长方体的底面是一个周长为16dm的正方形，它的表面积是192dm2，这个长方体的体积是多少？ 十二、长方体的搭建： 1.从下面小棒中选一些搭成长方体框架，体积最大是（ ）cm3，最小是（ ）cm3。 8厘米 2根 7厘米 4根 6厘米 8根 5厘米 6根 4厘米 5根 2.下面是小明准备的小棒，试着用这些小棒搭成一个长方体。（单位：cm） （1）选择哪些小棒可以搭成一个长方体框架？ （2）这个长方体框架的棱长总和是多少厘米？ 十三、长度扩大倍数问题： 1. 如果长方体长、宽、高，分别扩大到原来的2倍、3倍、4倍，则体积扩大到原来的（ ）倍。 2. 长方体的长、宽、高分别扩大到原来的2倍，它的表面积扩大到原来的（ ）倍，体积扩大到原来的（ ）倍。 3. 正方体的棱长扩大到原来的3倍，它的表面积扩大到原来的（ ）倍，体积扩大到原来的（ ）倍。 十四、彩带问题： 1. 结头处彩带长20cm，求这根彩带的长度。 2. 按下图所示用绳子对一个纸盒进行捆扎，如果最后需要长的绳子来打结，那 么捆扎这个纸盒至少需要多少厘米长的绳子？ 第三单元《长方体和正方体》应用题题型分类答案 一、溢水问题： 1、没装满水的情况： （1）现在水深计算 思路：铁块完全浸没，水面上升的体积等于铁块体积，用铁块体积除以容器底面积得到上升高度，再加原水深。 容器底面积：10×10=100 cm2 水面上升高度：500÷100=5 cm 现在水深：4+5=9 cm （2）溢出水的体积计算 思路：先算容器剩余空间体积，用铁块体积减去剩余空间体积，得到溢出水的体积。 容器剩余空间：10×10×(10−7)=300 cm3 溢出水体积：500−300=200 cm3 2、装满水的情况： （1）关键分析：石柱立着放入水池，浸入水中的高度等于水池高度（2m），溢出的水的体积 = 2 根石柱浸入水中的体积之和。 单根石柱浸入体积：3×2×2=12 m3 2 根石柱总体积（溢出水体积）：12×2=24 m3 （2）关键分析：同理，浸入高度等于水池高度（2.5m），溢出的水的体积 = 2 根石柱浸入水中的体积之和。 单根石柱浸入体积：3×2×2.5=15 m3 2 根石柱总体积（溢出水体积）：15×2=30 m3 二、求不规则物体体积问题： 第 1 题 思路：梨的体积 = 放入梨后水和梨的总体积 − 原有水的体积 单位换算：6 L=6 dm3 放入梨后总体积：3×2×1.35=8.1 dm3 梨的体积：8.1−6=2.1 dm3 第 2 题 思路：金鱼的体积 = 水面上升部分的水的体积（底面积 × 上升高度），最后统一单位为立方分米 单位换算：50 cm=5 dm 30 cm=3 dm 2 cm=0.2 dm 金鱼体积：5×3×0.2=3 dm3 三、乌鸦喝水问题： 第 1 题 步骤解析： 容器总高 20cm，现在水面高度是容器高度的一半，即 20÷2=10 cm 要让水面距离瓶口 2cm，水面需要上升到 20−2=18 cm 因此水面上升高度为 18−10=8 cm 容器底面积：20×18=360 cm2 小石头体积 = 水面上升部分的体积：360×8=2880 cm3 第 2 题 思路：石子体积 = 水面从原有高度上升到 15cm 所需的水的体积 计算目标体积：V目标​​=6×6×15=540(cm3)​ 原有水体积：0.36L=360cm3 石子体积：V石子​​=540−360=180(cm3)​答：乌鸦需要含 180cm3 的石子。 四、求水升高高度问题： 第 1 题 思路：水的体积不变，用体积 ÷ 底面积 = 水的高度，先统一单位。 单位换算：60 L=60 dm3 容器底面积：5×5=25 dm2 水的高度：60÷25=2.4 dm 第 2 题 思路：先根据底面周长求出边长，再算底面积，最后用体积 ÷ 底面积 = 水的高度，统一单位。 底面正方形边长：60÷4=15 cm 底面积：15×15=225 cm2 单位换算：9 L=9000 cm3 水的高度：9000÷225=40 cm 第3题 思路：水面上升的体积等于正方体铁块的体积，用铁块体积 ÷ 容器底面积 = 水面上升高度。 计算正方体铁块的体积V铁块​=10×10×10=1000 立方厘米 计算长方体容器的底面积S容器​=40×25=1000 平方厘米 计算水面上升的高度h上升​=​V铁块÷S容器​​=1000÷1000​=1 厘米 五、刷漆/贴墙纸/贴板砖问题： 第 1 题 屋顶面积：8×6=48 m2 四壁面积：2×(8×3.5+6×3.5)=2×(28+21)=98 m2 门面积：1×2=2 m2 刷涂料面积：48+98−2=144 m2 第 2 题 屋顶面积：9×7=63 m2 四壁面积：2×(9×3+7×3)=2×(27+21)=96 m2 粉刷面积（扣除门窗黑板）：63+96−29.6=129.4 m2 所需涂料：129.4×0.2=25.88 千克 第 3 题 教室占地面积（底面积）：12×8=96 m2 顶面面积：12×8=96 m2 四壁面积：2×(12×4+8×4)=2×(48+32)=160 m2 粉刷面积（扣除门窗黑板）：96+160−32=224 m2 第4 题 思路：先统一单位，再分别计算教室地面面积和每块地板砖的面积，最后用地面总面积 ÷ 单块砖面积 = 所需砖数。 单位换算地板砖边长 40 cm=0.4 m 计算教室地面面积S地面​=8×6=48 平方米 计算每块地板砖的面积S砖​=0.4×0.4=0.16 平方米 计算所需地板砖数量n=48÷0.16​=300（块） 六、管道铁皮问题： 第 1 题 思路：通风管是空心的，只需要计算4 个侧面的面积（无上下底面），先统一单位，再计算 100 段的总面积。 单位换算：20 cm=0.2 m 单段通风管侧面积：2×0.2×4=1.6 平方米 100 段总面积：1.6×100=160 平方米 第 2 题 思路：管道同样只算4 个侧面的面积，统一单位为分米，再计算 5 根的总面积。 单位换算：8 cm=0.8 dm，3 m=30 dm 单根管道侧面积：30×0.8×4=96 平方分米 5 根总面积：96×5=480 平方分米 第3题 思路：水管是空心的，只需要计算4 个侧面的面积（无上下底面），用底面周长 × 水管长度即可。 计算横截面的周长，横截面是长 1 分米、宽 0.6 分米的长方形，周长为： C=(1+0.6)×2=3.2 分米 计算一节水管的侧面积，水管长 15 分米，侧面积 = 周长 × 长度： S=3.2×15=48 平方分米 七、切割问题： 第 1 题 思路：无盖盒子的表面积 = 原长方形铁皮面积 − 4 个剪去的小正方形面积 原铁皮面积：48×28=1344 cm2 4 个小正方形面积：4×4×4=64 cm2 盒子表面积：1344−64=1280 cm2 第 2 题 思路：同理，无盖铁盒的表面积 = 原长方形铁皮面积 − 4 个剪去的小正方形面积 原铁皮面积：40×30=1200 cm2 4 个小正方形面积：4×4×4=64 cm2 铁盒表面积：1200−64=1136 cm2 八、表面积增加、减少问题： 第1题 思路：把长方体截成两个相同的长方体，表面积会增加2 个切面的面积。要让表面积增加最少，就要选择面积最小的面作为切面。 计算长方体三个不同面的面积 长 × 宽：10×8=80 cm2 长 × 高：10×5=50 cm2 宽 × 高：8×5=40 cm2 确定最小的切面面积三个面中面积最小的是 40 cm2（宽 × 高的面）。 计算增加的表面积截开后增加 2 个这样的面：40×2=80 cm2 第 2 题 思路：从长方体的一个角挖去小正方体，挖去部分会减少 3 个面，但同时会露出 3 个相同的新面，因此表面积不变，等于原长方体的表面积。 原长方体表面积：S=2×(5×3+5×2+3×2)=2×(15+10+6)=2×31=62 平方分米 第 3 题 (1) 思路：长方体锯成 3 个正方体，需要锯 2 次，每锯 1 次增加 2 个正方形面，共增加 2×2=4 个面。 正方体棱长：24÷3=8 cm 增加的表面积：4×8×8=256 cm2 (2) 思路：3 个正方体胶合成 1 个长方体，重合 2 处，每处减少 2 个正方形面，共减少 2×2=4 个面。 减少的表面积：4×3×3=36 平方分米 (3) 思路：切成 2 个相同的小长方体，增加 2 个切面的面积。要增加最少，选最小的面；要增加最多，选最大的面。 三个不同的面的面积：6×4=24 cm2，6×2=12 cm2，4×2=8 cm2 最少增加：2×8=16 平方厘米 最多增加：2×24=48 平方厘米 九、熔铸问题： 第 1 题 思路：熔铸前后钢的体积不变，先算正方体体积，再用体积 ÷ 高 = 长方体底面积。 正方体体积：8×8×8=512 dm 3 长方体底面积：512÷4=128 dm 2 第 2 题 思路：熔铸前后铁的体积不变，正方体体积 = 原长方体体积。 长方体体积（即正方体体积）：16×4×4=256 cm 3 十、求原体积/棱长和问题： 第 1 题 思路：沿垂直于长的方向截成两段，表面积增加了2 个横截面的面积，先求横截面面积，再用 “体积 = 横截面面积 × 长” 计算，注意统一单位。 单位换算：2 m=20 dm 横截面面积：18÷2=9 dm2 木料体积：9×20=180 dm3 第 2 题 思路：截成 3 段需要锯 2 次，表面积增加了4 个横截面的面积，先求横截面面积，再用 “体积 = 横截面面积 × 总长” 计算。 横截面面积：20÷4=5 m2 长方体总长：2×3=6 m 长方体体积：5×6=30 m3 第 3 题 思路：切割成 4 份后每份都是棱长 5cm 的正方体，有两种拼接方式，分别计算原长方体的棱长和。 情况 1：4 个正方体排成一排（1×4 排列） 原长方体长：5×4=20 cm，宽和高均为5 cm 棱长和：(20+5+5)×4=30×4=120 cm 情况 2：4 个正方体拼成 2×2 的大长方体（田字形排列） 原长方体长和宽均为：5×2=10 cm，高为5 cm 棱长和：(10+10+5)×4=25×4=100 cm 十一、求特殊长方体的体积： 思路：先根据底面正方形的周长求出边长，再算出底面积，然后用表面积公式求出长方体的高，最后计算体积。 求底面正方形的边长正方形周长 = 边长 × 4，因此边长为：16÷4=4 dm 求底面正方形的面积S底​=4×4=16 dm2 求长方体的高长方体表面积公式：S=2S底​+4×(边长×高)代入已知数据 S=192 dm2，S底​=16 dm2，边长 = 4 dm：192=2×16+4×(4×h)，192=32+16h，16h=192−32=160，h=10 dm 求长方体的体积体积公式：V=S底​×h，V=16×10=160 dm3 十二、长方体的搭建： 第 1 题 思路：长方体有 12 条棱，分 3 组，每组 4 根长度相等的小棒。要体积最大，选最长的 3 种（每种≥4 根）；要体积最小，选最短的 3 种（每种≥4 根）。 小棒数量：8cm (2 根)、7cm (4 根)、6cm (8 根)、5cm (6 根)、4cm (5 根) 最大体积：选 7cm (4 根)、6cm (8 根)、5cm (4 根)，长宽高为 7cm、6cm、5cm体积：7×6×5=210 cm3 最小体积：选 6cm (4 根)、5cm (4 根)、4cm (4 根)，长宽高为 6cm、5cm、4cm体积：6×5×4=120 cm3 第 2 题 (1) 选择小棒长方体需要 3 组，每组 4 根长度相等的小棒。 小棒数量：4cm (4 根)、5cm (2 根)、6cm (8 根)、7cm (1 根)、8cm (8 根) 可选方案：选 4cm (4 根)、6cm (4 根)、8cm (4 根)（满足每组 4 根） (2) 棱长总和棱长总和 = 4×（长+宽+高）=4×（4+6+8）=4×18=72cm 十三、长度扩大倍数问题： 第 1 题 长方体体积公式：长宽高长、宽、高分别扩大到原来的 2 倍、3 倍、4 倍，新体积为：长宽高长宽高所以体积扩大到原来的 24 倍。 第 2 题 设原长方体长、宽、高为a,b,h 原表面积：S=2(ab+ah+bh)，新长、宽、高为2a,2b,2h，新表面积：S′=2(2a×2b+2a×2h+2b×2h)=4×2(ab+ah+bh)=4S表面积扩大到原来的 4 倍。 原体积：V=abh新体积：V′=2a×2b×2h=8abh=8V体积扩大到原来的 8 倍。 第 3 题 设原正方体棱长为a 原表面积：S=6a2新棱长为3a，新表面积：S′=6×(3a)2=9×6a2=9S表面积扩大到原来的 9 倍。 原体积：V=a3新体积：V′=(3a)3=27a3=27V，体积扩大到原来的 27 倍。 十四、彩带问题： 第 1 题 思路：彩带绕长方体 2 圈（长、宽方向各 2 条，高方向 4 条），加上结头长度。 长方向：15×2=30 cm 宽方向：12×2=24 cm 高方向：8×4=32 cm 结头：20 cm 总长度：30+24+32+20=106 cm 第 2 题 思路：绳子绕长方体，长方向 2 条、宽方向 2 条、高方向 4 条，加上打结长度。 长方向：30×2=60 cm 宽方向：15×2=30 cm 高方向：20×4=80 cm 打结：20 cm 总长度：60+30+80+20=190 cm 2 学科网（北京）股份有限公司 $