阶段专题培优：1-3单元应用题（专项训练）-2025-2026学年五年级下册数学人教版

**基本信息** 聚焦长方体与正方体的空间观念培养，通过57道阶梯式应用题构建"概念-推理-应用"的完整认知链，强化几何直观与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |棱长与表面积|1/3/8题|特征迁移法、公式逆推法|从长方体面-棱关系推导到实际包装/烟囱面积计算| |体积计算|4/9/13题|排水法、等积变形原理|从基本体积公式到不规则物体体积测量的转化| |综合应用|12/27/50题|方程建模、逻辑推理|融合因数倍数知识与几何体积的跨模块问题解决|

阶段专题培优：1-3单元应用题 1．下图是一个长方体，小强有理有据的说明了两条棱a＝c，过程是：长方体的上面是一个长方形，长方形的对边相等，所以a＝b。同理，长方体的前面也是一个长方形，所以b＝c。因为a＝b，b＝c，所以a＝c。请你用同样的方法说明d＝f。 2．将9块相同的小长方体拼成了一个大长方体，如下图所示，已知每块小长方体的体积是48立方厘米，求大长方体的表面积。 3．如图所示，用丝带捆一个礼品盒，接头处长25cm，至少需要多长的丝带？ 4．在一条长500米、宽25米的马路上铺上一层厚2分米的石子。如果一辆工程车一次能运20立方米石子，这些石子用5辆工程车一起运，需要运几次？ 5．把一个长25厘米，宽15厘米，高9厘米的长方体木块锯成若干个大小相等的正方体，然后拼成一个大的正方体．这个正方体的表面积是多少平方厘米． 6．一个长方体游泳池，长50米，宽24米，深2米。如果每立方米水需要1.6元，那么注入1.5米深的水需要多少元？ 7．修建一个长25米、宽15米、深2米的游泳池，这个游泳池占地多少平方米？它的容积是多少立方米？ 8．做一种铁皮烟囱，长1.5米，宽0.8米，高0.4米，做这样一个烟囱要用铁皮多少平方米？ 9．笑笑在一个底面积为48平方分米，高5分米的长方体水槽中放了一块石头（完全浸没），水面上升了2厘米，这块石头的体积是多大？ 10．明明的房间的四壁和房顶都贴上墙纸，房间长4米，宽3米，高3米。该房间门窗面积是4.7平方米（门窗不贴墙纸），如果这样，这个房间至少需要多大面积的墙纸？ 11．一个长方体玻璃缸，长6分米，宽5分米，高4分米，玻璃缸中水深3.5分米。将一个棱长为3分米的正方体铁块完全浸没在水中，玻璃缸中的水会溢出多少升？ 12．有八个盒子，各盒内装的奶糖分别为9、17、24、28、30、31、33、44块。甲先取走了一盒，其余各盒被乙、丙、丁分别取走。已知乙、丙取到的糖的块数相同，且都为丁的2倍。请问甲取走的盒中有多少块奶糖？ 13．一个长30厘米、宽20厘米、高12厘米的长方体玻璃缸装有6厘米高的水。现在将一个西红柿放入玻璃缸中，西红柿完全浸没在水中，水面高度上升到6.15厘米，求这个西红柿的体积。 14．10以内（不含10）的质数有哪些？从这些质数中任意选出三个数，再组成一个既是2的倍数又是3的倍数的三位数，符合条件的三位数有哪些？ 15．一个长方体的长是30cm，宽14cm，高10cm，截成棱长为3cm的正方体． （1）最多能截成几块？ （2）求剩下“L”形的表面积． 16．商店里要做一个长2.2米，宽40厘米，高50厘米的玻璃柜台，现在要在柜台的各边都安上角铁，至少需要多少米的角铁？ 17．6的因数有1、2、3、6，这几个因数的关系是：1＋2＋3＝6.像6这样的数，叫做完全数。试猜一猜并验证28是不是完全数。 18．用一张长为8分米，宽为4分米的长方形铁皮做一个高为1分米长方体无盖铁盒（焊接处与铁皮厚度不计），这个铁盒的最大容积是多少升？ 19．有一个长方体长5cm，宽4cm，高3cm，用3个这样的长方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积最大是多少？最小是多少？ 20．有三个数，分别是一位数、两位数、三位数，这三个数的乘积正好是2004，这三个数分别是多少？ 21．一个正方体油箱的棱长是12分米，做15个这样的油桶至少用铁皮多少平方米？ 22．如图，在棱长为3的正方体中由上到下，由左到右，由前到后，有三个底面积是1的正方形高为3的长方体的洞，求所得形体的表面积是多少？ 23．把一张正方形铁皮沿虚线折（如图），围成一个长方体水箱的侧面，给水箱配的下底面积有多少平方分米？做成的水箱能存多少升水？    24．在汉川滨湖大酒店内，有一个国际标准的长方体游泳池，它的长是50米，宽是25米，深是2.5米。 （1）沿着游泳池走一圈，一共走了多少米？ （2）如果用瓷砖贴游泳池的四周和底面，贴瓷砖的面积是多少平方米？ 25．自然实验室有一个玻璃缸长20厘米，宽15厘米，深1.2分米。缸里的水深10厘米，刘老师放进一个体积为216立方厘米的正方体铁块后，水会从玻璃缸里溢出来吗？ 26．把一个棱长是4分米的正方体钢坯锻造成一块长50分米，宽2分米的长方体钢板，这块钢板厚多少分米？ 27．一个长方体玻璃缸，长12分米，宽9分米，高8分米，水深3分米。如果投入一块棱长为6分米的正方体实心铁块，这时水深多少分米？ 28．你能设法测量出一个苹果的体积吗？用文字或画图的方法清晰的表述探究过程。 29．一个三角形的三条边的长度都是两位数，而且是三个连续偶数，它们的个位数字的和是7的倍数．这个三角形的周长最小是多少厘米？最长应该是多少厘米？ 30．下图是一个长方体空心钢管，掏空部分的长方体的长为10cm，宽为7cm。如果每立方分米钢重7.8千克，这根空心钢管一共重多少千克？ 31．一个长方体操场，长80米，宽60米。由于下雨时总是积水，现在要在操场上铺上8厘米厚的泥土，需要泥土多少立方米？如果每车拉8立方米泥土，一共要拉多少车？ 32．学校要建一个长60米，宽25米，深20分米的长方体游泳池。 （1）如果在游泳池的底面和内壁抹上一层水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ （2）按最高水位线18分米注水，应注水多少立方米？ 33．一个正方体的水池，棱长3米。现在要在池的四周和底面贴上瓷砖，一共需要贴多少平方米的瓷砖？ 34．一块长方体木板，长3.6米，宽1.5米，厚0.03米，它的体积是多少立方米？合多少立方分米？ 35．将一个长方体的高增加2厘米，就变成一个棱长是10厘米的正方体，正方体的表面积比原来长方体的表面积多多少平方厘米？ 36．一个装有水的正方体容器，棱长是1.5分米，把一个土豆浸没水中（水未溢出），水面上升了0.2分米。这个土豆的体积是多少？ 37．原有5根绳子，取其中若干根，将每根剪成5段后放回．然后再取出、剪短、放回…．是否可能在某次放回后，绳子的段数刚好是1995段？ 38．把一张长30厘米，宽20厘米的长方形铁皮的四角各剪去一个边长是4厘米的正方形，剩下的部分焊接成一个无盖的长方体容器（如下图），这个长方体容器的容积是多少？ 39．一个长方体蓄水池长9米，宽7.5米，深2米。这个蓄水池的容积是多少？ 40．把棱长4dm的正方体油箱里的一箱油，倒入另一个长8dm，宽2dm的长方体油箱，刚好倒满，做这个长方体油箱至少要用多少平方分米的铁皮？ 41．一个长方体的长和宽分别是8厘米和6厘米，它们的表面积是236平方厘米，长方体的体积是多少？ 42．学校要做一个长58厘米、宽42厘米、高39厘米的建议箱，如果在所有的棱上粘上一圈胶带，至少需要多长的胶带？ 43．一个近似圆锥形的沙堆，底面半径1米，高1.2米． （1）这个沙堆的占地面积是多少平方米？ （2）把这堆沙铺在长2米、宽1.5米的长方体沙坑里，大约可以铺多高？（得数用“四舍五入”法保留两位小数） 44．有一个长方体,底面是一个正方形,高12cm,侧面展开正好是一个正方形．这个长方体的体积是多少立方厘米? 45．找出5个互不相同的大于1的自然数，使得其中两个数的积等于其余三个数的积，两个数的和（不一定是刚才的两个数）等于其余三个数的和，请写出满足条件的式子。 46．一个长方体，如果高减少5厘米，就成了一个正方体，这时表面积会比原来少120平方厘米，原来长方体的体积是多少？ 47．小强在一个装有水的底面积为96cm2的玻璃容器里放入一块铁块，水面上升了2cm。这块小铁块的体积是多少？ 48．一个长方形的周长是36米，它的长和宽是两个不同的质数，这个长方形的面积可能是多少？ 49．如图：一个长方体水槽宽40厘米，高10厘米，水槽正中间有一块高6厘米的隔板，将水槽下面分成了相等的2部分。现在同时往左右两边注水，已知左边注水速度为每分钟2升。注水3分钟后，右边水面高度已与隔板齐平。又经过1.5分钟，左边水面高度也与隔板齐平。 （1）水槽的容积是多少？ （2）注满水槽共需几分钟？ 50．（如图）把一个长方体木块沿高截去4cm后，正好得到一个正方体。正方体的表面积比原来长方体的表面积减少80cm2。原来长方体的体积是多少cm3？ 51．如图是一个5×5×5的正方体，将其表面全部涂上红色，再分割成1×1×1的小正方体．取出全部至少有一个面是红色的小正方体，组成表面全部是红色的实心长方体．求可以组成的长方体的最大体积． 52．给一个棱长为20厘米的正方体的礼盒外面报上一层包装纸，需要多少平方厘米的包装纸？ 53．一种汽车上的油箱，里面长5分米，宽4分米，深3分米。如果一升油重0.8千克，这个油箱能装油多少千克？ 54．一个无盖的长方体玻璃水箱，长是12cm，宽是8cm，高是30cm，它的里面盛有一些红色溶液。小明将一根长方体木条垂直插入到容器底部。已知该木条高50cm，底面是边长为6cm的正方形，量得木条被染红的部分高16cm，原来水箱内红色溶液的深度是多少？ 55．一个长方体的玻璃缸，长8dm，宽5dm，高4dm，水深2.6dm。如果投入一块棱长为4dm的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？ 56．有一块长方形铁皮（如图），长60分米，宽50分米。在铁皮的四个角分别剪去一个边长是5分米的正方形，然后焊成一个长方体容器。 （1）做这个无盖的长方体容器用了多少平方分米的铁皮？ （2）这个长方体容器的容积是多少升？ 57．下图是一张长方形的硬纸板，在这张纸板的四角分别剪去一个面积4平方厘米的正方形，使剩下的部分能折成一个无盖的长方体纸盒。 （1）画图表示剪去的正方形。 （2）计算折成的无盖正方体纸盒的容积。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．见详解 【分析】长方体的特征：长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形。根据长方形的特征可知，长方形的两条对边平行且相等，据此解答。 【详解】长方体的上面是一个长方形，长方形的对边相等，所以d＝c。同理，长方体的右面也是一个长方形，所以c＝f。因为d＝c，c＝f，所以d＝f。 2．360cm2 【分析】根据摆放的方式得知，设小长方体的高为（a）cm，则长为（3a）cm，宽为（2a）cm，根据题意可得3a×2a×a＝48，可以求出长方体的长、宽、高。根据长方体的体积＝长×宽×高，以及表面积的计算公式，表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，可求出大长方体的表面积。 【详解】解：设小长方体的高为（a）cm，则长为（3a）cm，宽为（2a）cm。 3a×2a×a＝48 6a×a×a＝48 a×a×a＝8 a＝2 小长方体的高：2cm 小长方体的长：6cm 小长方体的宽：4cm 大长方体的长：6×2＝12（cm） 大长方体的宽：2×3＝6（cm） 大长方体的高：4＋2 ＝6（cm） 表面积： （12×6＋12×6＋6×6）×2 ＝（72＋72＋36）×2 ＝ 180×2 ＝ 360（cm2） 答：大长方体的表面积为360cm2。 【点睛】解答此题的关键是：先依据题目条件求出小长方体的长、宽、高，进而求出大长方体长、宽、高，从而求得大长方体表面积，同学们要掌握相关的知识点，以便熟练解答此题型。 3．厘米 【分析】由题意得：丝带长度＝长方体长×2＋长方体宽×2＋长方体高×4＋接头处长。据此可得出答案。 【详解】 （厘米） 答：至少需要225厘米长的丝带。 【点睛】本题主要考查的是长方体棱长的应用，解题的关键是熟练掌握长方体中长、宽、高与丝带的关系，进而计算得出答案。 4．25次 【分析】先根据长方体的体积＝长×宽×高，求出石子的体积；再用这些石子的体积除以5辆工程车一次运石子的体积，即可求出需要运的次数。注意单位的换算：1米＝10分米。 【详解】2分米＝0.2米 500×25×0.2 ＝12500×0.2 ＝2500（立方米） 2500÷（20×5） ＝2500÷100 ＝25（次） 答：需要运25次。 【点睛】掌握长方体的体积计算公式是解题的关键。 5．1350平方厘米 【详解】试题分析：把这个长方体锯成棱长为1厘米的小正方体，可以锯成25×15×9=3375个；因为3375=15×15×15，所以可得拼成的大正方体的棱长是15厘米，利用正方体的表面积公式即可求出它的表面积． 解：可以锯成边长为1厘米的小正方体的个数：25×15×9=3375（个）， 因为3375=15×15×15， 所以拼组后的大正方体的棱长为15厘米； 15×15×6=1350（平方厘米）， 答：这个正方体的表面积是1350平方厘米． 点评：求出把原来长方体切割成棱长为1厘米的正方体的个数，利用正方体拼组正方体的特点即可得出大正方体的棱长． 6．2880元 【分析】先用长方形的体积公式V＝a×b×h，求出需要注水的体积，再用体积乘每立方米水的单价即可得到总价。 【详解】所需注水体积： （立方米） 总价：（元） 答：注入1.5米深的水需要2880元。 7．375平方米；750立方米 【分析】游泳池的占地面积计算游泳池的底面积即可；游泳池的容积＝长×宽×高；据此解答。 【详解】占地面积：25×15＝375（平方米） 容积：25×15×2 ＝375×2 ＝750（立方米） 答：这个游泳池占地面积是375平方米，它的容积是750立方米。 【点睛】掌握长方体的体积计算公式是解答题目的关键。 8．3.6平方米 【详解】（0.8×1.5＋0.4×1.5）×2＝（1.2＋0.6）×2＝1.8×2＝3.6（平方米）， 答：做这样一个烟囱要用铁皮3.6平方米． 9．9.6立方分米 【分析】放入石头后，这块石头的体积等于水面上升的体积，根据长方体的体积公式：V＝Sh，底面积为48平方分米，高等于水面上升的高度，单位统一后，代入即可求出石头的体积。 【详解】2厘米＝0.2分米 48×0.2＝9.6（立方分米） 答：这块石头的体积是9.6立方分米。 【点睛】此题的解题关键是掌握求不规则物体的体积的计算方法，通过转化的数学思想，利用长方体的体积公式求解。 10．49.3平方米 【分析】根据题意可知，房间的四壁和房顶都贴上墙纸，则求长方体5个面的表面积，由于门窗不能贴墙纸，所以求出5个面的表面积减去门窗的面积即可，根据长方体5个面的表面积公式：长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，把数代入即可。 【详解】4×3＋（4×3＋3×3）×2－4.7 ＝12＋21×2－4.7 ＝12＋42－4.7 ＝54－4.7 ＝49.3（平方米） 答：这个房间至少需要49.3平方米的墙纸。 【点睛】本题主要考查长方体的表面积公式，解答的时候要注意表面积是求几个面，同时门窗不能贴墙纸。 11．12升 【分析】根据数量关系：玻璃缸溢出水的体积＝正方体铁块的体积＋玻璃缸中水的体积－长方体玻璃缸装满水的体积，玻璃缸中水的体积可看作长6分米，宽5分米，高3.5分米的长方体，利用正方体的体积公式：V＝a3，长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入到数量关系式中，即可计算出玻璃缸溢出水的体积。 【详解】3×3×3＋6×5×3.5－6×5×4 ＝9×3＋30×3.5－30×4 ＝27＋105－120 ＝12（立方分米） 12立方分米＝12升 答：玻璃缸中的水会溢出12升。 【点睛】此题的解题关键是灵活运用长方体和正方体的体积公式解决实际的问题。 12．31块 【分析】根据题意，甲取走后，设丁的糖为1份，则乙、丙的糖均为2份，三人共有糖2＋2＋1＝5（份），所以甲取走后，剩下糖的总数是5的倍数，而原来各盒糖的总块数为9＋17＋24＋28＋30＋31＋33＋44＝216（块），易知216比5的整数倍多1块，所以甲取的块数必定也是5的整数倍多一块，根据5的整数倍多1的末位只能是1或6，据此判断即可得解。 【详解】根据题意，甲取走后，设丁的糖为1份，则乙、丙的糖均为2份，则： 三人共有糖：2＋2＋1＝5（份） 即甲取走后，剩下糖的总数是5的倍数； 原来各盒糖的总块数： 9＋17＋24＋28＋30＋31＋33＋44＝216（块） 216÷5＝43（组）……1（块） 所以甲取的块数必定也是5的整数倍多1块，题目中只有31块符合要求。 答：甲取走的盒中有31块奶糖。 【点睛】本题主要考查数据分析和逻辑推理能力，理解题意的基础上，运用余数相同是解题的关键。 13．90立方厘米 【分析】西红柿完全浸没，水面上升部分的体积等于西红柿的体积。先计算水面上升的高度。用长方体体积公式长×宽×高计算上升部分水的体积，即为西红柿体积。 【详解】30×20×（6.15－6） ＝600×0.15 ＝90（立方厘米） 答：这个西红柿的体积是90立方厘米。 14．2、3、5、7；372、732 【分析】首先找出10以内的质数，然后根据2，3倍数的特征可知：个位上是0，2，4，6，8的数是2的倍数；根据3的倍数特征，各个数位上的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；据此即可找到符合条件的三位数。 【详解】10以内的质数有：2、3、5、7； 既是3的倍数，又是2的倍数的是372、732。 【点睛】本题主要考查2，3倍数的特征，解答此题的关键是首先找出10以内的质数。 15．120块；1504平方厘米 【详解】试题分析：（1）要求取得尽可能多，就看沿着长方体木块长、宽、高分别切取多少个，即看30cm、14cm、10cm分别包含了多少个3cm； （2）结合剩下的L形木块的表面积和切取的长方体的高是9cm、长是12cm、宽还是30cm，所以比原来减少的表面积仅仅是两个9×12的长方形的面的面积；然后用原来长方体的表面积减去这两个9×12的长方形的面的面积即是剩下的L形木块的表面积． 解：（1）（30÷3）×（14÷3）×（10÷3）； ≈10×4×3， =120（块）； 答：被切掉的小正方体有120块． （2）14÷3≈4（个），4×3=12（厘米）； 10÷3≈3（个），3×3=9（厘米）； （30×14+30×10+14×10）×2﹣9×12×2， =（420+300+140）×2﹣216， =1720﹣216， =1504（平方厘米）； 答：剩下的L形木块的表面积是1504平方厘米． 点评：（1）本题因为长方体木块的长、宽、高不全是3的倍数，所以求被切掉的小正方体有多少块，不能用长方体的体积除以一个小正方体的体积； （2）不要单独的求剩下的L形木块的表面积，那样计算比较麻烦，要认真分析增加的和减少的面的面积之间的关系． 16．12.4米 【分析】先统一单位，40厘米＝0.4米，50厘米＝0.5米，要在柜台的各边都安上角铁，实际是求长方体的棱长总和，利用公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据即可得解。 【详解】40厘米＝0.4米 50厘米＝0.5米 （2.2＋0.4＋0.5）×4 ＝3.1×4 ＝12.4（米） 答：至少需要12.4米的角铁。 【点睛】此题的解题关键是灵活运用长方体的棱长总和公式来求解。 17．28是完全数，验证见详解。 【分析】根据完全数的定义，可找出28的因数，再进行计算，即可得出答案。 【详解】28的因数有：1、2、4、7、14、28， 所以1＋2＋4＋7＋14＝28； 因此28是完全数。 【点睛】此题主要考查的是如何计算一个数的因数。 18．12升 【详解】略 19．234cm2；202cm2 【分析】（1）要使拼成长方体的表面积最大，那就要把最小面拼在一起，即把长方体最小的两个面重合，拼组之后3个长方体就变成了一个长15cm、宽4cm、高3cm的大长方体，最后利用“长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”求出拼成长方体的表面积； （2）要使拼成长方体的表面积最小，那就要把最大面拼在一起，即把长方体最大的两个面重合，拼组之后3个长方体就变成了一个长5cm、宽4cm、高9cm的大长方体，最后代入长方体的表面积公式即可求得大长方体的表面积；据此解答。 【详解】 （1） 大长方体的长为5×3＝15cm，宽为4cm，高为3cm。 表面积：（15×4＋15×3＋4×3）×2 ＝（60＋45＋12）×2 ＝117×2 ＝234（cm2） （2） 大长方体的长为5cm、宽为4cm、高为3×9＝9cm。 表面积：（5×4＋5×9＋4×9）×2 ＝（20＋45＋36）×2 ＝101×2 ＝202（cm2） 答：这个长方体的表面积最大是234cm2，最小是202cm2。 【点睛】分析出拼成长方体的长、宽、高，并掌握长方体的表面积计算公式是解答题目的关键。 20．1；12；167 【分析】把2004进行分解质因数，进而结合题意，写出这三个数即可。 【详解】2004＝2×2×3×167＝12×167 所以这三个数是1、12、167。 【点睛】灵活掌握分解质因数的方法是解答此题的关键。 21．129.6平方米 【分析】根据正方体的表面积公式：S＝6a2，求出一个油箱所用的铁皮数，再乘15，进行单位换算后即可得解。 【详解】6×122×15 ＝6×12×12×15 ＝72×12×15 ＝12960（平方分米） 12960平方分米＝129.6平方米 答：做15个这样的油桶至少用铁皮129.6平方米。 【点睛】此题的解题关键是灵活运用正方体的表面积公式，注意面积之间的单位换算。 22．72 【详解】试题分析：先计算没打洞之前正方体表面积，再计算打洞后表面积减少的和增加的（洞的表面积）面积各是多少，原面积减去减少的加上增加的，就是所得形体的表面积． 这三个洞在正方体中间有交叉连接，在正方体的中心的表面积为0，洞的表面积为6个棱长为1的正方体的4个面的面积． 解：没打洞之前正方体表面积共：6×3×3=54， 打洞后，表面积减少：1×1×6=6， 增加的面积：4×1×1×6=24（洞的表面积）， 所得形体的表面积是：54﹣6+24=72． 答：所得形体的表面积是72． 点评：此题关键是知道洞的表面积为6个棱长为1的正方体的4个面的面积． 23．1平方分米；4升 【分析】根据题干分析可得：围成的长方体水箱的底面是一个边长为4÷4＝1分米的正方形，所以底面的面积是1×1＝1平方分米，再乘水箱的高4分米，然后根据1立方分米＝1升，把立方分米化为升，依此解答即可。 【详解】4÷4＝1（分米） 所以底面积是：1×1＝1（平方分米） 容积是：1×4＝4（立方分米） 1立方分米＝1升 4立方分米＝4升 答：底面积是1平方分米，能盛4升水。 24．（1）150米 （2）1625平方米 【分析】（1）求走一圈的路程，实际上是求长为50米，宽为25的长方形的周长，根据长方形的周长公式即可得解。 （2）求贴瓷砖的面积实际上是在求长方体4个侧面和1个底面的面积之和，根据长方体的表面积公式：S＝a×b×2＋a×h×2＋b×h×2，代入数据即可得解。 【详解】（1）（50＋25）×2 ＝75×2 ＝150（米） 答：一共走了150米。 （2）50×25＋50×2.5×2＋25×2.5×2 ＝1250＋250＋125 ＝1625（平方米） 答：贴瓷砖的面积是1625平方米。 【点睛】此题的解题关键是弄清求的是哪几个面的面积，灵活运用长方形的周长公式和长方体的表面积公式，解决实际的问题。 25．不会 【分析】先根据进率：1分米＝10厘米，将1.2分米换算成12厘米；根据题意可知，玻璃缸无水部分是一个长20厘米，宽15厘米，深（12－10）厘米的长方体，根据长方体的体积公式V＝abh，求出玻璃缸内无水部分的体积，再与放入的正方体铁块的体积作比较，如果无水部分的体积大于或等于铁块的体积，则水不会从玻璃缸里溢出来；反之，会溢出。 【详解】1.2分米＝12厘米 20×15×（12－10） ＝20×15×2 ＝600（立方厘米） 600＞216 答：水不会从玻璃缸里溢出来。 【点睛】本题考查长方体的体积公式的灵活运用，也可以求放入正方体铁块后水面上升的高度，再与无水部分的高度相比较，得出结论。 26．0.64分米 【分析】根据正方体的体积公式：V＝a3，代入数据求出正方体钢坯的体积，锻造后，体积不变，再根据长方体的体积公式：V＝abh，代入数据即可求出这块钢板的厚度。 【详解】4×4×4÷（50×2） ＝64÷100 ＝0.64（分米） 答：这块钢板厚0.64分米。 【点睛】此题主要考查等积变形，灵活运用正方体和长方体的体积公式求解。 27．4.5分米 【分析】首先确定正方体是否完全浸入水中。如果正方体实心铁块完全浸没水中，则上升部分水的体积是正方体实心铁块的体积，即（6×6×6＝216）立方分米，水面上升高度是（216÷12÷9＝2）分米。放入铁块后，如果水面的高度大于或等于铁块的棱长，则正方体实心铁块完全浸没水中；如果水面的高度小于铁块的棱长，则正方体实心铁块没有完全浸没水中。再根据正方体的浸入水中部分的体积等于水面上升部分的体积，据此列方程解答。 【详解】6×6×6 ＝36×6 ＝216（立方分米） 216÷12÷9 ＝18÷9 ＝2（分米） 3＋2＝5（分米） 5＜6，正方体实心铁块没有完全浸没水中。 解：设这时水深x分米。 6×6x＝12×9×（x－3） 36x＝108（x－3） 36x＝108x－108×3 36x＝108x－324 108x－324＋324－36x＝36x＋324 72x＝324 72x÷72＝324÷72 x＝4.5 答：这时水深4.5分米。 【点睛】此题考查了不规则物体的体积计算，注意考虑正方体是否是完全浸入。 28．步骤1：准备了一个长方体容器，并从里面测量出长方体容器的长和宽。 步骤2：往玻璃缸中倒入一定量的水，测量此时水的高度。 步骤3：把苹果放入长方体容器，水淹没苹果，且水没有溢出。 步骤4：测出此时水深。 上升部分水的体积就是苹果的体积，然后根据长方体的体积公式进行计算苹果的体积。 【分析】运用排水法测量苹果的体积：首先准备一个长方体容器，从里面测量它的长、宽、高；先往长方体容器中倒入水，测量水的高度，然后把苹果放入长方体容器，水淹没苹果，且水没有溢出；然后测量此时水的高度；上升部分水的体积就是苹果的体积，然后根据长方体的体积公式进行求解； 【详解】步骤1：准备了一个长方体容器，并从里面测量出长方体容器的长和宽。 步骤2：往玻璃缸中倒入一定量的水，测量此时水的高度。 步骤3：把苹果放入长方体容器，水淹没苹果，且水没有溢出。 步骤4：测出此时水深。 上升部分水的体积就是苹果的体积，然后根据长方体的体积公式进行计算苹果的体积。 【点睛】此题考查了探索某些实物体积的测量方法，本题关键是明白：杯子里水上升的体积就是苹果的体积。 29．54厘米；264厘米 【详解】试题分析：依题意，三个数的末位数字和能被7整除的只有7、14、21等三种．但三个两位的连续偶数相加其和也一定是偶数，故符合题意的只有14．所以三个最小的两位连续偶数它们的末位数字又能被7整除的，便是16、18、20，它们的和即三角形最小周长为16+18+20；这样三个最大的两位连续偶数．它们的末位数字又能被7整除的，便是90、88、86，它们的和即三角形最大周长为90+88+86． 解：依题意，因为三角形三边是三个连续偶数，所以它们的个位数字只能是0，2，4，6，8，并且它们的和也是偶数， 又因为它们的个位数字的和是7的倍数，所以只能是14， 三角形三条边最小应该是：16、18、20， 周长最小为：16+18+20=54（厘米）， 三角形三条边最大应该是：86，88，90， 那么周长最长为86+88+90=264（厘米）， 答：这个三角形的周长最小是54厘米；最长应该是264厘米． 点评：此题考查学生三角形的特性以及被7整除的数的性质． 30．62.4千克 【分析】用外部长方体的体积减去内部空心部分长方体的体积，就是这根空心管的体积，用空心管的体积乘单位体积的重量，就是这根管子的重量。 【详解】空心管的体积：18×15×40－10×7×40 ＝10800－2800 ＝8000（立方厘米） ＝8（立方分米） 空心管的重量：8×7.8＝62.4（千克） 答：这根空心管的体积是8立方分米，这根管子重62.4千克。 【点睛】此题主要考查长方体的体积的计算方法在实际生活中的应用。 31．384立方米；48车 【分析】求需要泥土的体积，实际是求长方体的体积，根据长方体的体积公式：V＝abh，统一单位后，代入即可得解；再用泥土的体积除以每车所拉的体积，即可求出一共要拉多少车。 【详解】8厘米＝0.08米 80×60×0.08 ＝4800×0.08 ＝384（立方米） 384÷8＝48（车） 答：需要泥土384立方米，一共要拉48车。 【点睛】此题的解题关键是利用长方体的体积公式求解，主要是熟记公式。 32．（1）1840平方米 （2）2700立方米 【分析】（1）求抹水泥的面积，实际是求长方体的1个底面和4个侧面的面积之和，根据长方体的表面积公式：S＝a×b＋a×h×2＋b×h×2，代入数据即可求出抹水泥的面积。 （2）根据长方体的体积公式：V＝abh，代入数据即可求出应注水的体积。 【详解】（1）20分米＝2米 60×25＋60×2×2＋25×2×2 ＝1500＋240＋100 ＝1840（平方米） 答：抹水泥的面积是1840平方米。 （2）18分米＝1.8米 60×25×1.8 ＝1500×1.8 ＝2700（立方米） 答：应注水2700立方米。 【点睛】这是一道关于长方体表面积和体积的实际应用，在计算表面积时要分清需要计算几个长方形面的面积，缺少的是哪一个面的面积，从而列式解答即可。 33．45平方米 【分析】根据题意可知，由于水池是没有盖的，因此在水池四周和底面贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是求长方体的前后、左右和底面的面积，相当于求正方体5个面的面积，据此解答。 【详解】3×3×5＝45（平方米） 答：一共需要贴45平方米的瓷砖。 【点睛】此题主要考查正方体的表面积的计算方法的灵活应用。 34．0.162立方米；162立方分米 【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，求出木板体积，再根据1立方米＝1000立方分米，统一单位即可。 【详解】3.6×1.5×0.03＝0.162（立方米） 0.162立方米＝162立方分米 答：它的体积是0.162立方米，合162立方分米。 35．80平方厘米 【详解】试题分析：根据题意可知，一个长方体如果高增加2厘米，就变成了一个正方体；说明长和宽相等且都是10厘米，高就是10﹣2=8厘米，因此增加的是底面边长为10厘米，高为2厘米的长方体的侧面积，利用侧面积=底面周长×高即可求解． 解：底面周长：10×4=40（厘米） 增加的面积：40×2=80（平方厘米） 答：正方体的表面积比原来长方体的表面积多80平方厘米． 【点评】此题解答关键是求出长方体的长、宽，再求出高；从而解决问题． 36．0.45立方分米 【分析】土豆完全浸没在水里后，土豆的体积＝水面上升的体积，水面上升的体积可看作长为1.5分米，宽为1.5分米，高为0.2分米的长方体的体积，根据长方体的体积公式，把数据代入即可得解。 【详解】1.5×1.5×0.2 ＝2.25×0.2 ＝0.45（立方分米） 答：这个土豆的体积是0.45立方分米。 【点睛】此题的解题关键是掌握不规则物体的体积的计算方法，通过转化的数学思想，灵活运用长方体的体积公式，解决问题。 37．1995段 【详解】试题分析：根据题意，每剪一根，绳子增加4根，所以，绳子总的根数是4的倍数加1，由此看1995减去1后，是否是4的倍数，如果是4的倍数就可以剪成1995段；否则就不可能剪成1995段；由此解答． 解：每剪一根，绳子增加4根，所以，绳子总的根数是4的倍数加1， 因为（1995﹣1）÷4=498…2， 所以不可能剪成1995段． 答：不可能在某次放回后，绳子的段数刚好是1995段． 点评：此题主要考查4的倍数的特征和有余数的除法，据此解决有关问题． 38．1056立方厘米 【分析】看图可知，长方体的长＝长方形铁皮的长－正方形边长×2，长方体的宽＝长方形铁皮的宽－正方形边长×2，长方体的高＝正方形边长，根据长方体体积＝长×宽×高，即可求出容器的容积。 【详解】30－2×4 ＝30－8 ＝22（厘米） 20－2×4 ＝20－8 ＝12（厘米） 22×12×4＝1056（立方厘米） 答：这个长方体容器的容积是1056立方厘米。 39．135立方米 【分析】根据长方体的容积公式：V＝abh，据此代入数值进行计算即可。 【详解】9×7.5×2 ＝67.5×2 ＝135（立方米） 答：这个蓄水池的容积是135立方米。 【点睛】本题考查长方体的容积，熟记公式是解题的关键。 40．112平方分米 【详解】4×4×4＝16×4＝64（立方分米） 64÷（8×2）＝64÷16＝4（分米） （8×2+8×4+2×4）×2＝（16+32+8）×2＝56×2＝112（平方分米） 答：做这个长方体油箱至少要用112平方分米的铁皮． 41．240立方厘米 【详解】试题分析：要求这个长方体的体积，需要求出长方体的高，设高是x厘米，则根据表面积是236平方厘米，可得方程：（8×6+8x+6x）×2=236，由此解方程求出x的值，再代入长方体的体积公式即可解答． 解：设高是x厘米，根据题意可得方程： （8×6+8x+6x）×2=236， 48+14x=118， 14x=70， x=5， 所以长方体的体积是：8×6×5=240（立方厘米）， 答：长方体的体积是240立方厘米． 点评：此题考查长方体的表面积和体积公式的灵活应用，熟记公式即可解答． 42．5.56米 【分析】根据长方体的棱长总和：（长＋宽＋高）×4。 【详解】（58＋42＋39）×4 ＝139×4 ＝556（厘米） ＝5.56（米） 答：至少需要5.56米长的胶带。 【点睛】掌握长方体的棱长总和的计算方法是本题的解题关键。 43．3.14平方米，0.42米 【详解】试题分析：（1）利用圆的面积公式即可直接求出沙堆的占地面积； （2）因为沙子的体积是不变的，利用圆锥的体积公式即可求出沙子的体积，进而依据长方体的体积公式即可求出所铺沙子的高度． 解：（1）3.14×12=3.14（平方米）； 答：这个沙堆的占地面积是3.14平方米． （2）×3.14×1.2， =3.14×0.4， =1.256（立方米）， 1.256÷（2×1.5）， =1.256÷3， ≈0.42（米）； 答：大约可以铺0.42米高． 点评：此题主要考查圆的面积以及圆锥、长方体的体积的计算方法的灵活应用． 44．108cm³ 【详解】12÷4=3（cm）  3×3×12=108（cm³） 45．见详解 【分析】首先考虑数较小并且因数比较多的数，比如36，60等，然后快速地逐步把组合数放大，进行尝试计算。 【详解】因为36＝2×3×6＝4×9，而2＋4＋6＝3＋9，所以5个数是：2、3、4、6、9； 因为，60＝3×4×5＝6×10，而3＋5＋6＝4＋10，所以5个数是：3、4、5、6、10； 120＝2×3×20＝5×24 ，2＋5＋20＝3＋24，所以5个数是：2、3、5、20、24。 【点睛】本题主要考查了学生对计算的速度和对数字的敏感度。 46．396立方厘米 【分析】根据长方体的特征，6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等。由题意可知：高减少5厘米，这时表面积比原来减少了120平方厘米。表面积减少的是高为5厘米的长方体的4个侧面的面积。先求出减少部分的1个侧面的面积，120÷4＝30（平方厘米）；根据长方形的面积公式S＝ab，求出原来长方体的底面边长就是6厘米。原来的高是6＋5＝11（厘米），再根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。 【详解】原来长方体的底面边长是： 120÷4÷5 ＝30÷5 ＝6（厘米） 高是：6＋5＝11（厘米） 原来长方体的体积是： 6×6×11 ＝36×11 ＝396（立方厘米） 答：原来长方体的体积是396立方厘米。 【点睛】此题解答关键是求出原来长方体的底面边长，进而求出高，再根据长方体的体积公式解答即可。 47．192cm3 【分析】放入铁块后，水面上升的体积等于小铁块的体积，可利用长方体的体积公式：V＝Sh，用容器的底面积乘水面上升的高度，即可得解。 【详解】96×2＝192（cm3） 答：这块小铁块的体积是192cm3。 【点睛】此题主要考查长方体的体积的计算方法，关键是利用转化的思想，求出不规则物体的体积。 48．65平方米；77平方米 【分析】根据长方形的周长求出长与宽的和，在长方形中长大于宽且长和宽是两个不同的质数据此求出所有符合条件的长与宽，最后利用“长方形的面积＝长×宽”求出长方形的面积，据此解答。 【详解】长与宽的和：36÷2＝18（米） 情况一：当宽为2米时， 长：18－2＝16（米） 因为16不是质数，所以不符合题意。 情况二：当宽为3米时， 长：18－3＝15（米） 因为15不是质数，所以不符合题意。 情况三：当宽为5米时， 长：18－5＝13（米） 因为5和13都是质数，所以符合题意。 面积：5×13＝65（平方米） 情况四：当宽为7米时， 长：18－7＝11（米） 因为7和11都是质数，所以符合题意。 面积7×11＝77（平方米） 由上可知，长方形的面积可能是65平方米和77平方米。 答：这个长方形的面积可能是65平方米和77平方米。 【点睛】掌握长方形的周长和面积计算公式并熟记100以内质数表是解答题目的关键。 49．（1）60升 （2）7.5分钟 【分析】（1）设右边每分钟注水x升，根据有隔板的左右两部分体积相等，当3分钟之后，右边的水会流到左边，那么3分钟之后经过的1.5分钟左边的水的注入量是右边和左边一起注入的，据此列方程解出右边每分钟注水多少。再根据长方体的体积公式变形a＝V÷b÷h，求出水槽左边（或右边）的长，进而求出整个水槽的长，然后把数据代入体积公式解答。 （2）用整个水槽的容积除以左右两个水管每分钟共注水的体积即可解答。 【详解】（1）解：设右边每分钟注水x升。 3×2＋1.5×（2＋x）＝3x 6＋1.5×2＋1.5x＝3x 6＋3＋1.5x＝3x 9＝3x－1.5x 1.5x＝9 x＝9÷1.5 x＝6 3×6＝18（升） 18升＝18000立方厘米 18000÷6÷40 ＝3000÷40 ＝75（厘米） 75×2＝150（厘米） 150×40×10 ＝6000×10 ＝60000（立方厘米） 60000立方厘米＝60升 答：水槽的容积是60升。 （2）60÷（2＋6） ＝60÷8 ＝7.5（分钟） 答：注满水槽共需7.5分钟。 【点睛】此题考查长方体的体积（容积）公式的灵活运用及列方程解决问题的方法。 50．225cm3 【详解】把顶上的面移给下面正方体后，80cm2实际上是截去的长方体四周的四个相同面，其中高是4cm，所以80÷4÷4＝5cm就是相同面的长；因为剩下的是一个正方体，所以可以确定上下两个面是正方形。得到：5×5×（5＋4）＝225（cm3）。 51．96； 【详解】试题分析：可以先求出这个立方体可以切割的小正方体的总个数和长方体中没有涂色的小正方体个数，而没有涂色的小正方体都在长方体的内部，然后根据长方体的体积公式看组成长方体的体积最大是多少，由此即可解答． 解：5×5×5﹣（5﹣2）×（5﹣2）×（5﹣2） =125﹣27 =98（个）， 8个三面涂色的在长8个三面涂色的在长方体8个顶点处，（5﹣2）×12=36个两面涂色的在长方体的12条棱上，一面涂色的98﹣8﹣36=54个只能放在面的中间和里面，如图， 98=2×7×7，两面涂色的需要（7﹣2）×8=40，40＞35，不可以； 96=4×4×6，两面涂色的需要（4﹣2）×8+（6﹣2）×4=32，32＜35，可以； 答：可组成的长方体的体积最大是96； 点评：此题考查了立方体的切拼问题中涂色问题，这里抓住三面涂色在顶点；两面涂色的在棱上，一面涂色的在表面中，没涂色的在内部． 52．2400平方厘米 【分析】根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，列式解答即可。 【详解】20×20×6＝2400（平方厘米） 答：需要2400平方厘米的包装纸。 【点睛】本题考查了正方体表面积，正方体有6个面，6个面的面积相等。 53．48千克 【分析】先根据长方体的容积（体积）＝长×宽×高，求出油箱的容积；再根据1立方分米＝1升，换算成用升作单位；然后乘每升油的重量，即可求出这个油箱能装油的重量。 【详解】5×4×3 ＝20×3 ＝60（立方分米） 60立方分米＝60升 0.8×60＝48（千克） 答：这个油箱能装油48千克。 【点睛】本题考查长方体的体积（容积）公式的实际应用，注意体积与容积单位的换算。 54．10cm 【分析】先求出插入木条后，红色溶液与溶液中木条的总体积是12×8×16，溶液中木条的体积是6×6×16，相减就得到了溶液的体积，再除以容器的底面积，得到原来容器内红色溶液的深度。 【详解】12×8×16－6×6×16 ＝1536－576 ＝960（cm3） 960÷（12×8） ＝960÷96 ＝10（cm） 答：原来水箱内红色溶液的深度是10cm。 【点睛】此题的解题关键是灵活运用长方体的体积公式，通过转化的数学思想，解决实际的问题。 55．8升 【分析】先计算出正方体铁块的体积，再计算出铁块投放前玻璃缸内没水部分的体积。溢出的部分，恰好是铁块比原来没水部分体积多出的部分，所以利用减法求出溢出的水的体积即可。 【详解】4×4×4－8×5×（4－2.6） ＝64－40×1.4 ＝64－56 ＝8（立方分米） ＝8（升） 答：缸里的水溢出8升。 【点睛】本题考查了长方体和正方体的体积，长方体的体积等于长乘宽乘高，正方体的体积等于棱长乘棱长乘棱长。 56．（1）2900平方分米 （2）10000升 【分析】（1）观察图形可知，做这个无盖的长方体容器所需铁皮的面积＝长方形的面积－4个正方形的面积，根据长方形的面积＝长×宽，正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算求解； （2）从图中可知，长方体的长是（60－5×2）分米，宽是（50－5×2）分米，高是5分米，根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，以及进率“1立方分米＝1升”求解。 【详解】（1）60×50－5×5×4 ＝3000－100 ＝2900（平方分米） 答：做这个无盖的长方体容器用了2900平方分米的铁皮。 （2）（60－5×2）×（50－5×2）×5 ＝（60－10）×（50－10）×5 ＝50×40×5 ＝10000（立方分米） 10000立方分米＝10000升 答：这个长方体容器的容积是10000升。 【点睛】本题考查长方体的表面积、体积公式的灵活运用，在求长方体的容积时，找出长方体的长、宽、高是解题的关键。 57．（1）图见详解 （2）16立方厘米 【分析】（1）由图可知，正方形的边长为1厘米，则一个正方形的面积为：1×1＝1平方厘米，已知在这张纸板的四角分别剪去一个面积4平方厘米的正方形，则每个角减去4个正方形，据此作图； （2）四个角各减去一个正方形后，那么剩下的部分折成一个无盖的纸盒，这个无盖的纸盒长＝长方形的长－4个正方形的边长，盒子的宽＝长方形的宽－4个正方形的边长，盒子的高＝正方形的边长×2，然后再根据求长方体体积公式：长×宽×高即可。 【详解】（1）画图如下： （2）长：8－（1×4）＝4（厘米） 宽：6－（1×4）＝2（厘米） 高：1×2＝2（厘米） 体积：4×2×2 ＝8×2 ＝16（立方厘米） 答：这个长方体纸盒的容积是16立方厘米。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $