精品解析：湖南湘潭市湘乡市东皋学校2025-2026学年下学期九年级3月质量监测数学试题卷

东皋学校2026年上九年级3月质量监测数学试题卷 时量：120分钟 满分120分 一、单选题（本大题共10个小题，每小题有且只有一个正确答案，每小题3分，满分30分） 1. 年“湘超”联赛吸引超万人到现场观赛，将万用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 写有实数0，1，，，，的六张卡片中，随机抽取一张，是无理数的概率为（ ） A. 1 B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，是斜边的中点，连接，若，，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 如图，在中，分别是边上的点，且，若，则的长为（ ） A. 6 B. C. 10 D. 9. 某快递公司为提高配送效率，引进甲乙两种型号的分拣机器人，已知甲型号每小时分拣数量比乙型号每小时分拣数量多30件，且甲型号分拣600件与乙型号分拣500件所用时间相同．若设甲型号每小时分拣数量为件，则可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 在同一平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的图象如图，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6个小题，请将答案写在答题卡的相应位置上，每小题3分，满分18分） 11. 因式分解________． 12. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 13. 在平面直角坐标系中，点与点关于y轴对称，则的值是________． 14. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的值为_________． 15. 如图，是的直径，点A在的延长线上，是的切线，B为切点，连接，若，则的度数为________． 16. 定义一种新运算：※，例：．若，则的值为______． 三、解答题 17. 计算： 18. 化简求值：先化简，再从0，1，2中选择一个合适的数代入并求值． 19. 完成下列各题： （1）如图1，已知直线与相切于点C，且，求证：． （2）如图2，矩形的两条对角线相交于点O，，，求的长． 20. 某市图书馆计划举办中小学生“成语百变”趣味活动，因报名人数较多，将所有报名人员分为、、、四组同时进行，现随机抽取了部分报名的学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成如图所示两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题． （1）本次抽取调查学生共有______人，并补全条形统计图； （2）求出扇形统计图中组部分所占的圆心角的度数； （3）小红和小林都报名参加了“成语百变”趣味活动，他们会被随机分到、、、四个组中，请用画树状图法或列表法，求两人恰好分到同一组的概率． 21. 年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进款个，款个，需花费元；购进款个，款个，需花费元． （1）求两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ （2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过元的资金购进两款“哪吒”纪念品共个，那么至少需要购进款纪念品多少个？ 22. 为建设美好社区，某社区在文化活动室墙外安装遮阳篷（如图1所示），便于社区居民休憩，如图2，在侧面示意图中，遮阳篷长为6米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为5米（图中所有的点都在同一平面内）．（参考数据：） （1）求遮阳篷边缘点到墙体的距离； （2）当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长． 23. 问题背景： 一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证＝．小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明＝． （1）尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明＝； （2）应用拓展：如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处． ①若AC＝1，AB＝2，求DE的长； ②若BC＝m，∠AED＝，求DE的长（用含m，的式子表示）． 24. 如图，抛物线过点、点，交y轴于点C． （1）求b，c的值． （2）点是抛物线上的动点 ①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值； ②过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，问：是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东皋学校2026年上九年级3月质量监测数学试题卷 时量：120分钟 满分120分 一、单选题（本大题共10个小题，每小题有且只有一个正确答案，每小题3分，满分30分） 1. 年“湘超”联赛吸引超万人到现场观赛，将万用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，先将“万”化为普通整数，再根据科学记数法的定义写出正确形式即可． 【详解】解：万． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、幂的运算及单项式除法的相关法则，需依据各法则逐一判断选项运算的正确性，即可作答． 【详解】解：∵合并同类项时，系数相加，字母及指数不变， ∴，故A选项不符合题意； ∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，故B选项不符合题意； ∵积的乘方，需把每个因式分别乘方，再把所得幂相乘， ∴，故C选项不符合题意； ∵单项式除法中，系数相除，同底数幂相除， ∴，故D选项符合题意； 故选：D 3. 写有实数0，1，，，，的六张卡片中，随机抽取一张，是无理数的概率为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵实数0，1，，，0.1235，中有两个无理数， ∴P（抽到无理数）． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，则，A错误； B、表示4的算术平方根，结果为非负数，则，B错误； C、，则，C正确； D、，D错误． 5. 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据从前面看到的图形即为主视图求解即可． 【详解】解：该几何体的主视图是： 故选：A． 6. 如图，在中，，是斜边的中点，连接，若，，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由勾股定理可求，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半求解即可． 【详解】解：在中，，，， ， 是斜边的中点， ． 7. 在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定方法逐项判断即可作答． 【详解】解：A、，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； B、，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； C、，，四边形为平行四边形，故本项符合题意； D、，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； 故选：C． 8. 如图，在中，分别是边上的点，且，若，则的长为（ ） A. 6 B. C. 10 D. 【答案】D 【解析】 【分析】已知，根据平行线分线段成比例定理，可得，由，可求，进而可求． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 9. 某快递公司为提高配送效率，引进甲乙两种型号的分拣机器人，已知甲型号每小时分拣数量比乙型号每小时分拣数量多30件，且甲型号分拣600件与乙型号分拣500件所用时间相同．若设甲型号每小时分拣数量为件，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定乙每小时的分拣数量，再根据时间相等列出方程即可． 【详解】解：设甲型号每小时分拣数量为件，则乙型号每小时分拣数量为件， 由题意得． 10. 在同一平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的图象如图，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数和二次函数的图象得到，，然后判断一次函数的图象． 【详解】解：∵反比例函数图象在第一，三象限 ∴ ∴一次函数的图象与y轴交于正半轴， ∵二次函数的图象开口向下，顶点在第一象限 ∴， ∴ ∴ ∴一次函数的图象y随x的增大而减小， ∴一次函数的图象大致是： 二、填空题（本题共6个小题，请将答案写在答题卡的相应位置上，每小题3分，满分18分） 11. 因式分解________． 【答案】 【解析】 【分析】利用提公因式分解因式即可． 【详解】解：， ． 12. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由分式有意义的条件得，由二次根式有意义的条件得，解不等式求解可得x的取值范围． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴且， 解得． 13. 在平面直角坐标系中，点与点关于y轴对称，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等，求出a和b的值，再计算即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ，， ． 14. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点 ∴ ∵点在反比例函数的图象上 ∴，即 解得 15. 如图，是的直径，点A在的延长线上，是的切线，B为切点，连接，若，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由是的切线，则有，根据直角三角形两个锐角互余得出，根据等边对等角得，根据三角形外角的性质得出，最后求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 16. 定义一种新运算：※，例：．若，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，分和两种情况，列出方程解答即可，看懂新定义运算是解题的关键． 【详解】解：当，即时， ， 解得，（不合，舍去）； 当，即时， ， 解得，（不合，舍去）； 综上，的值为或， 故答案为：或． 三、解答题 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了零次幂、负整数次幂、二次根式的性质、特殊角的三角函数值等知识化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 18. 化简求值：先化简，再从0，1，2中选择一个合适的数代入并求值． 【答案】，取，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，利用分式的性质及运算法则先对分式化简，由分式有意义的条件可得且，再取1代入化简后的结果中计算即可求解，正确化简分式是解题的关键． 【详解】解： ， ∵，，， ∴且， ∴取，原式． 19. 完成下列各题： （1）如图1，已知直线与相切于点C，且，求证：． （2）如图2，矩形的两条对角线相交于点O，，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵直线与相切于点C， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等来证明； （2）根据矩形性质得出是等边三角形，求出，得出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 20. 某市图书馆计划举办中小学生“成语百变”趣味活动，因报名人数较多，将所有报名人员分为、、、四组同时进行，现随机抽取了部分报名的学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成如图所示两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题． （1）本次抽取调查学生共有______人，并补全条形统计图； （2）求出扇形统计图中组部分所占的圆心角的度数； （3）小红和小林都报名参加了“成语百变”趣味活动，他们会被随机分到、、、四个组中，请用画树状图法或列表法，求两人恰好分到同一组的概率． 【答案】（1）60， 补全条形图如下图所示， （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、列举法求概率等知识，通过条形统计图和扇形统计图获得所需信息是解题关键． （1）利用“组学生人数除以其占比”，即可求得本次抽取调查学生总人数；利用“本次抽取调查学生总人数组的学生人数占比”求出组的学生人数， 补全条形图即可； （2）利用“组学生占比”即可求得答案； （3）根据题意作出树状图，结合树状图求解即可． 【小问1详解】 解：本次抽取调查的学生总人数为（人）， 组的人数为（人）． 图略； 故答案为：60； 【小问2详解】 组部分所占的圆心角； 【小问3详解】 根据题意，画树状图如下， 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中两人恰好分到同一组的结果为4， 所以两人恰好分到同一组的概率． 21. 年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进款个，款个，需花费元；购进款个，款个，需花费元． （1）求两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ （2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过元的资金购进两款“哪吒”纪念品共个，那么至少需要购进款纪念品多少个？ 【答案】（1）款“哪吒”纪念品每个进价为元，款“哪吒”纪念品每个进价为元； （2）至少需要购进款纪念品个． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意，列出方程组和不等式是解题的关键． （）设款“哪吒”纪念品每个进价为元，款“哪吒”纪念品每个进价为元，由题意得二元一次方程组，然后解方程组即可； （）设需要购进款纪念品个，则需要购进款纪念品个，由题意得，然后解不等式即可． 【小问1详解】 解：设款“哪吒”纪念品每个进价为元，款“哪吒”纪念品每个进价为元， 由题意得， 解得， 答：款“哪吒”纪念品每个进价为元，款“哪吒”纪念品每个进价为元； 【小问2详解】 解：设需要购进款纪念品个，则需要购进款纪念品个， 由题意得：，    ，  答：至少需要购进款纪念品个． 22. 为建设美好社区，某社区在文化活动室墙外安装遮阳篷（如图1所示），便于社区居民休憩，如图2，在侧面示意图中，遮阳篷长为6米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为5米（图中所有的点都在同一平面内）．（参考数据：） （1）求遮阳篷边缘点到墙体的距离； （2）当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长． 【答案】（1）遮阳篷边缘点到墙体的距离为米； （2）阴影的长为米． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，求出相关线段的长度． （1）在中，根据已知数据及的余弦值即可解答； （2）首先，在中，根据，可得，然后，根据，证得四边形是矩形，可得，，接着，在中，根据已知数据及的正弦值可求得的长，最后，可求得的长． 【小问1详解】 解：在中，米，，， ∴（米）． 即遮阳篷边缘点B到墙体的距离为米； 【小问2详解】 解：如图2，过点B作于点G， ∴，， ∴， 在中，米，，， ∴（米）， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵米，米， ∴（米），米， ∴（米）， 即阴影的长为米． 23. 问题背景： 一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证＝．小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明＝． （1）尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明＝； （2）应用拓展：如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处． ①若AC＝1，AB＝2，求DE的长； ②若BC＝m，∠AED＝，求DE的长（用含m，的式子表示）． 【答案】（1） 证明：∵AB∥CE， ∴∠BAD=∠DEC， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD， ∴∠CAD=∠DEC， ∴AC=EC， ∵∠BDA=∠CDE， ∴， ∴， 即， ∴； （2）①DE=；② 【解析】 【分析】（1）利用AB∥CE，可证得，即，由AD平分∠BAC，可知AC=EC，即可证得结果； （2）利用（1）中的结论进行求解表示即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①由折叠可知，AD平分∠BAC，CD=DE， 由（1）得，， ∵AC＝1，AB＝2， ∴， ∴， 解得：CD=， ∴DE= CD=； ②由折叠可知∠AED＝∠C=， ∴， 由①可知， ∴， ∴， 即：． 【点睛】本题主要考查的是相似三角形的综合运用，灵活转化比例关系是解题的关键． 24. 如图，抛物线过点、点，交y轴于点C． （1）求b，c的值． （2）点是抛物线上的动点 ①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值； ②过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，问：是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）①当时，的面积由最大值，最大值为； ②当点的坐标为或时，为等腰直角三角形 【解析】 【分析】（1）将将、代入抛物线即可求解； （2）①由（1）可知：，得，可求得的解析式为，过点P作轴，交于点E，交轴于点，易得，根据的面积，可得的面积，即可求解； ②由题意可知抛物线的对称轴为，则，分两种情况：当点在对称轴左侧时，即时，当点在对称轴右侧时，即时，分别进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：将、代入抛物线中， 可得：，解得：， 即：，； 【小问2详解】 ①由（1）可知：， 当时，，即， 设的解析式为：， 将，代入中， 可得，解得：， ∴的解析式为：， 过点P作轴，交于点E，交轴于点， ∵，则， ∴点E的横坐标也为，则纵坐标为， ∴， 的面积 ， ∵， ∴当时，的面积有最大值，最大值为； ②存在，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形． 理由如下：由①可知， 由题意可知抛物线的对称轴为直线， ∵轴， ∴，，则， 当点在对称轴左侧时，即时， ，当时，为等腰直角三角形， 即：，整理得：， 解得：（，不符合题意，舍去） 此时，即点； 当点在对称轴右侧时，即时， ，当时，为等腰直角三角形， 即：，整理得：， 解得：（，不符合题意，舍去） 此时：，即点； 综上所述，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形． 【点睛】本题二次函数综合题，考查了利用待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及图象上的点的特点，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是表示出点的坐标，进行分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $